【文档说明】山西省太原市2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(18)页，511.238 KB，由小赞的店铺上传

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2022~2023学年第二学期高二年级期中质量监测数学试卷说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）1.某班有25名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是（）A.50B.100C.300D.600【答案】D【解析】【分析】利用排列及排列数公式即可求解.【详解】由题意可知，他们

发出的微信总数是225A2524600==.故选：D.2.某市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见，2652名无车人中有1400名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时，用下列哪种

方法最有说服力（）A.平均数B.方差C.独立性检验D.回归直线方程【答案】C【解析】【分析】根据在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见，2652名无车人中有1400名持反对意见，求出2K的值判断.【详解】解：由在参加调

查的2748名有车人中有1760名持反对意见，2652名无车人中有1400名持反对意见，得()22540017601252140098870.446.6352748265227602388K−==，所以有

99%的把握认为“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”有关，故利用独立性检验方法最有说服力，故：C3.61xx+的展开式中2x的系数为（）A.15B.12C.6D.1【答案】A【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，确定出2x是第几项，进

而确定出这一项的系数．【详解】61xx+展开式的通项公式为6621661CCrrrrrrTxxx−−+==，令622r−=，解得2r=，故展开式中2x的系数为2615C=.故

选∶A4.在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有（）A.12种B.24种C.64种D.81种【答案】C【解析】【分析】分析每天排班方法数，再由分步计数原理求

解即可【详解】根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意1人，有4种排班方法，同理第二天和第三天也有4种排班方法，根据分步计数原理可知，不同的排班方法有44464=种，故选：C5.设随机变量2~(1,)XN，若(2)0.2PX=，则(0)PX等于（）A.0.5

B.0.6C.0.7D.0.8【答案】D【解析】【分析】根据正态曲线的对称性可得((0)2)0.2PXPX==，再根据概率的性质可得结果.【详解】因为正态曲线关于1xu==对称，且(2)0.2PX=，所以

(0)0.2PX=，所以(0)(0)1(0)10.20.8PXPXPX==−=−=.故选：D【点睛】本题考查了正态曲线的对称性，考查了概率的性质，属于基础题.6.根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率

为310，下雨的概率为1130，既刮东风又下雨的概率为415．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（）A.1128B.911C.425D.89【答案】D【解析】【分析】设事件A表示吹东风，事件B表

示下雨，得到()PA，()PAB，结合()(|)()PABPBAPA=，即可求解．【详解】由题意，设事件A表示吹东风，事件B表示下雨，则3()10PA=，11()30PB=，4()15PAB=，所以在吹东风的条件下下雨的概率为4()815(|)3()910PABPBAPA===．故选：D

．7.随机变量X的取值为0，1，2，若()104PX==，()1EX=，则()DX=（）A.14B.12C.34D.1【答案】B【解析】【分析】设(1)PXp==，(2)PXq==，则由1(0)4PX==，()

1EX=，求出p，q，由此能求出()DX．【详解】设(1)PXp==，(2)PXq==，由题意得1()0214EXpq=++=，114pq++=解得12p=，14q=，()()()()22211110111214242DX=−+−+−

=.故选：B8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，()0mm为整数，若a.和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为()modabm.若0122202020202020CC3C3C3a=++++，()mod5ab，则b的值可以是（）

A.2020B.2021C.2022D.2023【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理化简得()200122202020202020CC3C3C351a=++=++−，展开可得a被5除得的余数为1，由此可求出符合条件的b的值.【详解】()()2001222020

222022002000CC3C3C343511a=++++==+−=()()()()1920011921819202020202020220CC51C5C51C151=+−+++−+−−，a被5除得的余数为1，选

项中的数被5除得的余数为1的只有2021.故选：B二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.对于样本

相关系数r，下列说法正确的是（）A.r的取值范围是1,1−B.r越大，相关程度越弱C.r越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越强D.r越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强【答案】AD【解析】【分析】根据已知条件，结合相关系数的定义，即可依次求解.【详解】对于样本相关系数

r，取值范围是1,1−，r越大，越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；r越小，越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱.故选：AD10.某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，

则下列结论正确的是（）A所有不同分派方案共34种.B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C.若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种D.若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种【答案】BCD【解析】【分

析】求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业的所有不同分派方案数判断选项C；求得C企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D【详解】选项A：所

有不同分派方案共43种.判断错误；选项B：若每家企业至少分派1名医生，先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.则所有不同分派方案共2113421322CCCA36A=（种）.判断正确；选项C：

若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，则A企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，则所有不同分派方案共121213131213CCCACA12+=（种）.判断正确；选项D：若C企业最多派1名医生，则C企业可以有1名医生和没有医生两种情况,则不同分

派方案共1344C2248+=（种）.判断正确.故选：BCD11.人民日报智慧媒体研究院在2020智慧媒体高峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI算法的驱动下，无论是图文编辑､视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.

已知某数据库有视频a个､图片b张()*,,1ababN，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是（）A.()()()PAPBPC=+B.()()()PAPBPC=C.()()()PAPBCPB

C+D.()()PBCPBC【答案】BC【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由相互独立事件的概率的乘法计算公式，可得A错误，B正确；事件A包含“视频甲未入选，图片乙入选”、“视频甲入选，图片乙

未入选”、“视频甲､图片乙都未入选”三种情况，所以()()()()PAPBCPBCPBC=++，则()()()PAPBCPBC+，所以C正确；由题可知，111()1aPBCabab−=−=，111()1bPBCabab−=−=，因为a，*bN，1ab，所以11a

babab−−，即()()PBCPBC，故D错误.故选:BC.12.第22届世界杯足球赛于2022年11月20日到12月18日在卡塔尔举行.世界杯足球赛的第一阶段是分组循环赛，每组四支队伍，每两支队伍比赛一场，比赛双方若有胜负，则胜方得3分，负方得0分；若战平，则双

方各得1分.已知某小组甲､乙､丙､丁四支队伍小组赛结束后，甲队积7分，乙队积6分，丙队积4分，则（）A.甲､丁两队比赛，甲队胜B.丁队至少积1分C.乙､丙两队比赛，丙队负D.甲､丙两队比赛，双方战平【答案

】ACD【解析】【分析】分析得到甲胜乙和丁，平丙，乙胜丙和丁，丙胜丁，平甲，丁全负，对比选项得到答案.【详解】甲队积7分331=++，胜两场平一场；乙队积6分330=++，胜两场负一场，负的一场一定是负

给甲的，乙队胜了丙､丁两队，C对.丙队积了4分310=++，胜平负各一场，负是输给乙，当甲､丙平时，丙胜丁，甲胜丁；当丙､丁平时，丙胜甲,不可能.故甲丙平，甲胜丁，AD对，丁队全负，B错误.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.某市的有线电视可以接收中央台

12个频道，本地台8个频道和其他省市40个频道的节目.若有3个频道正在转播同一个节目，其余频道正在播放互不相同的节目，则一台电视可以选看的不同节目共有______个.【答案】58【解析】【分析】直接计算即可.【详解】由题意可得该市的有线电视可接收12+8+40=60个

频道，而其中3个频道播放1个节目，其余57个频道互不相同，则可选看57+1=58个节目.故答案为：5814.已知回归方程21yx=+，而试验中的一组数据是()2,5.1，()3,6.9，()4,8.9，则其残差平方和是______.【答案】0.03【解析】【分析】利用残差的定义求解µµ

iiieyy=−，求得的残差平方后求和即可.【详解】残差µµiiieyy=−，当2x=时，5y=，当3x=时，7y=，当4x=时，9y=，残差平方和为222(5.15)(6.97)(8.99)0.03−+−+−=故答案为：0.03.15

.某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人.若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.则任选一名射手通过选拔进入比赛的概率是______.【答案】0.62##3150【解析】【

分析】分别求出选中一级射手．二级射手、三级射手并通过选拔进入比赛的概率，再求和即可【详解】射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人，若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.则任选一名射手能够通过

选拔进入比赛概率4880.90.70.40.62202020P=++=.故答案为：0.6216.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出

时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______.【答案】75512【解析】【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码.分两类，三种号码的出现的次数分别为3,1,1或者2,2,1.每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序有34A种，再分别

确定这三种号码卡片出现的位置(注意平均分组问题)，最后让第四种颜色出现有一种方法,相乘可得，最后根据古典概型求概率即可.【详解】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有64444=K种不同

的取法.恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3,1,1或者2,2,1,三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有11332145221240CCACA=种，三种号码分别

出现2，2，1且6次时停止的取法有2235342211360CCAA=种，由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240360600+=种取法，所以恰好取6次卡片时停止的概率为:6600754512P==，故答案为：75512【点睛】本题主要考查了概率的求法，计数原理等基础知识

，考查了排列组合的应用，难点在于平均分组问题，属于难题.四、解答题（本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在31naxx+的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.（1）求

n的值；（2）若展开式中的常数项为552，求a的值.【答案】（1）12n=（2）12a=【解析】【分析】（1）根据二项式系数的定义及组合数计算即可；（2）设二项式的展开式通项，待定系数计算即可.【小问1详解】因为前三项的二项式系数之和等于79，所以()01

21CCC1792nnnnnn−++=++=，解得12n=或13n=−.因0n，所以12n=.【小问2详解】设1231axx+的通项为()412121231121231CCrrrrrrrTaxaxx−−−+

==，所以当41203r−=时，9r=，此时，常数项为931255C2a=，解得12a=.18.某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据

整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200（1）根据0.01=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）在人工智能中常用()()()PBALBAPBA=表示在

事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计()LBA的值.附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++

.0.050.010.001x3.8416.63510.828【答案】（1）能（2）83为【解析】【分析】（1）计算出2，与0.01=的临界值比较，得出结论；（2）根据条件概率的计算公式，利用样本数据，估计()LBA的值.【小问1详解】零假

设为0H：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得()22200508030401649866359011012.0.08−=，根据0.01=的独立性检验，我们推断0H不成立，认为数学成绩与语文成绩有关.【小问2详解】A表示“

选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据，则有()80200PAB=，()30200PAB=，所以()()()()()()()()()808303PABPBAPAPABLBAPABPABPBAPA====

=，则估计()LBA的值为83.19.某种人脸识别方法，采用了视频分块聚类自动识别系统.规定：某区域内的n个点(),,iiiiPxyz的深度iz的均值为11niizn==，标准差为()211niizn==−，深度()3,3iz−+的点视为孤立点.下表给出某区域内

8个点的数据：P1P2P3P4P5P6P7P8Pix15.115.215.315.415.515.415.413.8iy15.114.214.314.414.515.414.415.4iz2012131516141218（1）根据以上数据，计算的值；的（2）判断表中各点是否为孤立点.

【答案】（1）292（2）都不是【解析】【分析】（1）直接根据公式计算和即可；（2）计算出3293152−=−，3293152+=+，从而判断出各点不是孤立的点.【小问1详解】()12012131516141218158=+++++++=，()158

29259401199882=+++++++==.【小问2详解】3293152−=−，3293152+=+，则()3293293,315,1522−+=−+，因为12，13，14，15，16，18，20均属

于()3,3−+，所以各点都不是孤立点.20.在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学对于前三道题，每道题答对的概率均为45，答错的概率均为15；对于第四道题，答对和答错的概率均为12.（1）求该同学在本次考试中填空题得分不低于15分

的概率；（2）设该同学在本次考试中，填空题的总得分为X，求X的分布列及均值.【答案】（1）88125（2）分布列见解析，14.5【解析】【分析】（1）记该同学前三道题答对k道为事件kA，第四道答对为事件B，由()()()151520PXPXPX==+=求解；（2）由X的取值可能

为0，5，10，15，20，分别求得其概率，列出分布列，再求均值.【小问1详解】解：记该同学前三道题答对k道为事件kA，第四道答对为事件B，()334155kkkkPAC−=，0,1,2,

3k()()()32232341411561552552125PXPABPABC==+=+=，()()3341322052125PXPAB====，∴()56328815125125125PX=+=

.【小问2详解】X的取值可能为0，5，10，15，20，()()30111052250PXPAB====，()()()2311034111113555252250PXPABPABC

==+=+=，()()()2221213341141161055255225PXPABPABCC==+=+=，()()

()32232341411561552552125PXPABPABC==+=+=，()()3341322052125PXPAB====.则X的分布列为：X05101520P1250132506255612

532125()113656320510152014.525025025125125EX=++++=.该同学填空题得分的均值是14.5分.21.在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学对于前两道题，每道题答对的概率均为56，答错的概率均为16；

对于第三道题，答对和答错的概率均为12；对于最后一道题，答对的概率为13，答错的概率为23.（1）求该同学在本次考试中填空题得分不低于15分的概率；（2）设该同学在本次考试中，填空题的总得分为X，求X的分布列及均值.【答案】（1）55108（2）分布列见解析，12.5【解析】【

分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式求解即可．（2）先写出X的所有可能取值，再求出相应的概率，列出分布列即可．【小问1详解】记该同学前两道题答对k道为事件kA，第三道答对为事件B，第四道答对为事件C，则()()()()()()()

2121151PXPAPBCPABCPAPBCPABC=++=−+2125125111551C6236623108=−+=.【小问2详解】X的取值可能为

0，5，10，15，20，()()20112210623216108PXPABC=====，()()()()22110025112112111235C662362362321

6PXPABCPABCPABC==++=++=，()()()()()211010PXPABCPABCPABCPABC==+++22112251251125111111813

CC623662366236232168=+++==，()()()()221221251151251118515C6236236623216PXPABCPABCPABC==++=

++=，()()225112520623216PXPABC====，则X的分布列为：X05101520P110823216388521625216()()1

0252310811585202512.5216EX=++++=.该同学填空题得分的均值是12.5分.22.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某

中学数学兴趣小组统计了本省5所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），收集数据如下表所示.A大学B大学C大学D大学E大学2022年毕业人数x（千人）765432022年考研人数y（千人）2.52.31.81.91.5（1）利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；（2）该

小组又利用上表数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与毕业人数x和考研人数y一致.请比较前者与后者的斜率1k与2k的大小.【答案】（1）0.240.8yx=+（2）12kk【解析】【分析】（1）直接利用最小二乘

法公式计算得()()512.4iiixxyy=−−=，()52110iixx=−=，继而得出0.24b=，08a.=即可；（2）直接利用最小二乘法公式计算得()()()52125140.2715iiiiiyykxxyy==−==−−，比较即可.【小问

1详解】由题意得7654355x++++==，2.52.31.81.91.525y++++==，()()5120.510.300.210.120.52.4iiixxyy=−−=++++=，又()522

222212101210iixx=−=++++=，∴()()()1210.24niiiniixxyybxx==−−==−，20.2450.8aybx=−=−=，所以y关于x的线性回归方程为0.240.8yx=+.【小问2详解】设前者和后者

的斜率分别为1k，2k由()522222210.50.30.20.10.50.64iiyy=−=++++=，得()()()5212510.6440.272.415iiiiiyykxxyy==−===−−，由（1）知10.24kb

==，∴12kk.23.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某中学数学兴趣小组统计了本省15所大学

2022年的毕业生人数x及考研人数y（单位：千人），经计算得：15175iix==，15130iiy==，()152130iixx=−=，()()1519iiixxyy=−−=.（1）利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；（2）该小组又利用收集的数

据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与毕业人数x和考研人数y一致.①比较前者与后者的斜率1k与2k的大小；②求这两条直线公共点的坐标.附：y关于x的回归方程ybxa=+$$$中，斜率和截

距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niiiniixxyybxx==−−=−，aybx=−$$；相关系数：()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−.【答案】（1）0.30.5yx=+（2）①12kk；②()5,2【解析】【分析】（1）根

据公式直接计算可得回归方程；（2）利用两个斜率与相关系数的关系可判断斜率大小关系，根据回归直线过样本中心可得公共点坐标.【小问1详解】1511515iixx===，1511215iiyy===，90.330b==，20.350.5a=−=，故回

归方程为0.30.5yx=+.【小问2详解】设前者和后者的斜率分别为1k，2k()()()15111521iiiiixxyykbxx==−−==−，()()()152121511iiiiiyykbxxyy==−==−

−()()()()215121151522211iiiiiiixxyykrkxxyy===−−==−−，即212krk=①显然有01r，故12kk，即前者斜率小于后者.②注意到，两直线都过(),xy，且12kk，故公共点仅有()5,2.获得更

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