【文档说明】山西省怀仁市大地学校2020-2021学年高一下学期第三次月考数学答案.docx，共(7)页，656.452 KB，由管理员店铺上传

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大地学校高一数学第三次月考试题答案一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的几何意义，直接由复数求出在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：复数为虚

数单位在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限．故选D．2在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（

）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数【分析】根据样本A，B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义即可得到结论．【解答】解：设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yi＝xi﹣5，则样本数据B中的众数

和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5，只有标准差没有发生变化，故选：B．3已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为A.2B.4C.6D.12【答案】C【解析】【分析】本题考察直观图

与原图的关系，以及棱柱的体积公式，属于基础题．依据直观图可知原图的底面三角形的底边长为2，高为2，可求出柱体的底面面积，再依据棱柱体积公式可求出答案．【解答】解：设三棱柱的底面三角形为，由直观图可知，，且，，故．故答案选C．4已知非零向量，，若，且，则与的夹角为A.B.C.D.【答案】B【解析】

【分析】本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解本题的关键是由垂直求出数量积为0．由向量垂直可得，结合数量积的定义表达式可求出，又，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大小．【解答】解：因为，所以，因为，所以，．故选：B．5设为平面，a，b为两条不

同的直线，则下列叙述正确的是A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．【解答】解：若，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若

，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故B正确；若，，则或，故C错误；若，，则，或，或b与相交，故D错误．故选：B．6已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为A.B.C.D.【答案

】C【解析】【分析】本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力．设底面半径为，根据线面角的大小可得母线长为2r，再根据三角形的面积得到r的值，最后代入圆锥的体积公式

，即可得答案．【解答】解：如图所示，设底面半径为，与圆锥底面所成角为，，，母线PA，PB所成角的余弦值为，，，，故选：C．7已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为A.16B.13C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用方差的性质求解

方差的问题，属于基础题．根据方差的性质直接计算可得结果．【解答】解：由方差的性质知：新数据的方差为：．故选：A．8．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成【分析】直接把正方体的展开面图复原为

空间图，进一步求出结果．【解答】解：根据正方体的表面展开图，复原成正方体．如图所示：其中“者”在最里面，“有”在最外面．构成对面关系．故选：A．9．已知向量不共线，，，若，则m＝（）A．﹣12B．﹣9C．﹣6D．﹣3【分析】由向量平行的性质得3+＝λm+λ

（m+2），由此能求出m．【解答】解：∵向量不共线，，，，∴3+＝λm+λ（m+2），∴，解得λ＝﹣1，m＝﹣3．故选：D．10．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计

样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16D．17【分析】由频率分布直方图，根据样本数据的百分位数列方程求出即可．【解答】解：由频率分布直方图知，第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率

为0.10×5＝0.5，设样本数据的第60百分位数是x，则0.2+0.10（x﹣10）＝0.6，解得x＝14，所以估计样本数据的第60百分位数是14．故选：A．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足

CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12C．8D．8【分析】取AD中点E，AB中点F，连接PD，D1E，EF，B1F，B1D1，AC，先证明E，F，B1，D1

四点共面，再由EF⊥CP，D1E⊥CP证明CP⊥平面EFB1D1可知平面EFB1D1为平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面，根据正方体的棱长即可求得EFB1D1的周长．【解答】解：取AD中点E，AB中点F，连接PD，D1E，EF，B1F

，B1D1，AC，如下图所示：E为AD中点，F为AB中点，则EF∥BD，BD∥B1D1所以EF∥B1D1所以E，F，B1，D1四点共面．根据正方形性质可知CD⊥平面ADD1A1，而D1E⊂平面ADD1A1，所以CD⊥D1E，A△D1DE≌△DAP，可知∠ED1D＝∠PDA，而∠PDA+

∠PDD1＝90°，所以∠ED1D+∠PDD1＝90°，即PD⊥D1E为CD∩PD＝D，所以D1E⊥平面PDC，而CP⊂平面PDC，所以D1E⊥CP；E为AD中点，F为AB中点，由正方形和正方体性质可知EF⊥AC，PA⊥EF，且PA∩A

C＝A，所以EF⊥平面PAC，而CP⊂平面PDC，所以EF⊥CP，又因为D1E⊥CP，D1E∩EF＝E所以CP⊥平面EFB1D1即平面EFB1D1为平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4所以EFB1D1的

周长为B1D1+D1E+EF+B1F＝＝，故选：A．12．若圆锥W的底面半径与高均为1，则圆锥W的表面积等于（）A．B．C．2πD．【分析】求出圆锥的母线长，再计算圆锥的侧面积和表面积．【解答】解：圆锥的轴截面如图所示，则圆锥的母线为

l＝＝，所以该圆锥的侧面积为S侧面积＝πrl＝π•1•＝π，圆锥的表面积为S表面积＝S侧面积+S底面积＝π+π•12＝（+1）π．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13若复数z满足方程，则．【答案】【解析】【分析】本题考查复数的计算，属基础题．根据题意可得，然后根据复数的乘法可得结果

．【解答】解：由，则，所以，所以，故答案为：14如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点若，则的值为．【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量共线定理的推论，涉及向量的

线性运算，属基础题．用向量表示，结合三点共线，即可求得参数值．【解答】解：根据题意，，因为三点共线，所以，解得．故答案为．15．向量是单位向量，||＝2，⊥，则||＝．【分析】由题意可得，进行向量的模的运算带入求值即可得答案．【解答】解：∵⇒；∴||＝＝．故答案为：．16如图，在正方体

中，点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的最小值，最大值．【答案】,11【解析】【分析】此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于中档题。由题意，直线OP与平面所成的角

的最小值为和中的最小者，然后利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出的取值范围，再确定其最值【解答】解：连接，，因为，平面，所以平面，又平面所以平面平面，所以直线OP与平面所成的角的最小值为和中的最小者，不妨设，在中，，，所以的取值范围为，所以的最小值为，最大值为1，故答案为：；1．三、解答

题（本大题共6小题，共70分）22(10分）．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；【分析】（1）根据频率分布直方图求出a的值；（2）由图可知，成绩在[

50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．【解答】解：（1）根据直方图知组距＝10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10＝1，解得a＝0.005．（2）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0

.005×10×20＝2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20＝3．17（12分）如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足，，若，其中，R，求，的值．【答案】解：因为，，在矩形OACB中，，又，所以，，所以．【解析】本题考查平面向量基本定理，属于基础题

．根据题意得出，则，由此即可求出结果．18（12分）．已知在四面体ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，且BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，AE＝λAD（0≤λ≤1）．（Ⅰ）当λ＝时，求证：AM∥平面E

FG；（Ⅱ）当λ变化时，求证：平面ADM⊥平面EFG．【分析】（Ⅰ）当λ＝时，，推导出EF∥AB，EG∥AC，从而平面ABC∥平面EFG，由此能证明AM∥平面EFG．（Ⅱ）推导出AM⊥BC，DM⊥BC，BC∥GF，从而BC⊥平面ADM，GF⊥平面ADM，由此能证明当λ变

化时，平面ADM⊥平面EFG．【解答】证明：（Ⅰ）当λ＝时，，∵四面体ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，∴EF∥AB，EG∥AC，又EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，

∴平面ABC∥平面EFG，∵AM⊂平面ABC，∴AM∥平面EFG．（Ⅱ）∵AB＝AC，DB＝DC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，AE＝λAD（0≤λ≤1）．∴AM⊥BC，

DM⊥BC，BC∥GF，∵AM∩DM＝M，∴BC⊥平面ADM，∵GF∥BC，∴GF⊥平面ADM，∵GF⊂平面EFG，∴当λ变化时，平面ADM⊥平面EFG．19（12分）如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是BC的中点．求证：平面求直线与平面所成角

的正弦值．【答案】证明：直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，，，D是BC的中点，，又，BC、平面，平面．解：如图，连接，由可知，平面，则即为直线与平面所成角，因为平面，平面，所以，在中，，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．【解析

】本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，属于中档题．由题意，可得到，并且，从而由线面垂直的判定定理可得到平面；连接，可得到为直线和平面所成角，即可得解．本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，属于中档题．由题意，可得到，并且，从而

由线面垂直的判定定理可得到平面；连接，可得到为直线和平面所成角，即可得解．20（12分）“肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史．明代万历十一年（1583年）的《肥城县志》载：“果亦

多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护．某超市在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为每个15元销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理．根据该超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分

布直方图：（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）已知该超市某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为x个（x∈N，0≤x≤240），销售利润为y元．（ⅰ）求y关于x的函数关系式；（ⅱ）结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利

润y不小于650元的概率．【分析】（1）先利用各组频率之和为1，求出a的值，再利用每组区间的中点值乘以该组的频率依次相加，即可估算出平均数；（2）（i）分情况讨论，得到y关于x的分段函数的函数关系式即可；（ii）利润y≥650，当且仅当日需求量x∈[140，240]．由频率分布直方图

求出x∈[140，240]的频率，以频率估计概率的思想，能估计当天利润y不小于650元的概率．【解答】解：（1）由题意可知：（0.00125+a+0.0075+0.00625+a+0.0025）×40＝1，解得a＝0.0

0375；所以平均数＝（20×0.00125+60×0.00375+100×0.0075+140×0.00625+180×0.00375+220×0.0025）×40＝0.05×20+0.15×60+0.3×100+0.25×140+0.

15×180+0.1×220＝124；（2）（i）当x∈[150，240]时，y＝150×（20﹣15）＝750，当x∈[0，150）时，y＝（20﹣15）x﹣（150﹣x）（15﹣10）＝10x﹣750，故y＝，（x∈N）；（ii）由（i）可知，利润

y≥650，当且仅当日需求量x∈[140，240]．由频率分布直方图可知，日需求量x∈[140，240]的频率约为0.125+0.15+0.1＝0.375，以频率估计概率的思想，估计当天利润y不小于650元的概率为0.375．21（12分）．如图，在三棱柱ABC﹣

A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AA1＝6，AC＝8，D，E分别是AC，CC1的中点．（1）求证：AB1∥平面BDC1；（2）若异面直线AB与A1C1所成的角为30°，求三棱锥C1﹣BDE的体积．【分析】（1）如图，连接B1C，交BC1

于点F，连接DF，由已知结合三角形中位线定理可得DF∥AB1，再由直线与平面平行的判定定理，证明AB1∥平面BDC1；（2）由AC∥A1C1，可得∠BAC即为异面直线AB与A1C1所成的角为30°，求三角形ABC的面积，得到三角形DBC的面积，然后分别求出三棱锥C1﹣BCD，E﹣BCD的体积，再

由求解．【解答】解：（1）证明：如图，连接B1C，交BC1于点F，连接DF，在△ACB1中，由于D为AC的中点，F为B1C的中点∴DF为△ACB1的中位线，∴DF∥AB1，∵DF⊂平面BDC1，AB1⊄平面

BDC1，∴AB1∥平面BDC1；（2）∵AC∥A1C1，∴∠BAC即为异面直线AB与A1C1所成的角，∵异面直线AB与A1C1所成的角为30°，∴∠BAC＝30°，∴，∵D是AC的中点，∴，又∵CC1⊥平面ABC，CC1＝6，E是CC1的中点．

∴．，∴．即三棱锥C1﹣BDE的体积为6．