【文档说明】第06讲 导数的运算(核心考点讲与练)2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）（解析版）.docx，共(58)页，3.093 MB，由管理员店铺上传

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第06讲导数的运算(核心考点讲与练)一、初等函数的导数公式表()yfx=()yfx=yc=0y=nyx=()n+N1nynx−=，n为正整数yx=(0,0,)Q1yx−=，为有理数xya=(0,1)aalnxyaa

=logayx=(0,1,0)aax1lnyxa=sinyx=cosyx=cosyx=sinyx=−注：lnlogeaa=，称为a的自然对数，其底为e，e是一个和π一样重要的无理数2.7182818284e=．注意

()xxee=．二、导数的四则运算法则1.函数和（或差）的求导法则设()fx，()gx是可导的，则(()())()()fxgxfxgx=，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．2.函数积的求导法

则设()fx，()gx是可导的，则[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．综上所述：[()]()CfxCfx=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．3.函数的

商的求导法则设()fx，()gx是可导的，()0gx，则2()()()()()()()fxgxfxfxgxgxgx−=．特别是当()1fx时，有21()()()gxgxgx=−．三、复合函数的求导法则法则：一般地，对于两个函

数()yfu=和()ugx=，如果通过变量,uy可以表示成x的函数。那么称这个函数为函数()yfu=和()ugx=的复合函数，记作(())yfgx=。复合函数(())yfgx=的导数和函数(),()yfuugx==的导数间的关系为'''xuxyyu=（注：'xy表示y对x的

导数，'uy表示y对u的导数）一、基本初等函数的导数【例1】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）有一机器人的运动方程为()23sttt=+，(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻2t=时的瞬时

速度为（）A．5B．7C．10D．13【答案】B【分析】对运动方程求导，根据导数意义即速度求得在2t=时的导数值即可.【详解】由题知，()23stt=+，当2t=时，(2)7s=，即速度为7.故选：B【例2】（2021·黑龙江牡丹江·高二阶段练习）下列求导运算不正确的是（）A．()322

32xxxx−=−B．(cos)sinxx=−C．()22ln2xx=D．()1eln2e2xx+=+【答案】D【分析】结合导数的基本运算直接判断即可.【详解】对ABC判断可知，运算正确，对D，()ln2xxee+=，故D错误.故选：D【例3】（2022·河南·郏县第一高级

中学高二开学考试（文））下列结论正确的个数为（）①若y＝ln2，则12y¢=；②若()21fxx=，则()2327f=−；③若2xy=，则2xy=；④若2logyx=，则1ln2xy=．A．4B．3C．2D．1【答案】C【分析】根据求导公式依次对选项求导即可.

【详解】①：由ln2y=，得0y=，故①错误；②：由221()fxxx−==，得332()2fxxx−=−=−，所以2(3)27f=−，故②正确；③：由2xy=，得ln22xy=，故③错误；④：由2logyx=，得11ln2ln2xyx

==，故④正确；故选：C【例4】（2022·福建南平·高二期末）曲线12yx=+在点()1,3处的切线方程为（）A．40xy+−=B．20xy−+=C．30xy−=D．310xy−+=【答案】A【分析】求得'1|xy=，根据导

数的几何意义即可求得切线方程.【详解】因为12yx=+，故可得'y21x=−，故'1|xy=1=−，故曲线12yx=+在点()1,3处的切线方程为：()31yx−=−−，整理得：40xy+−=.故选：A.【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知111ln20xxy−−+=，22242

ln20xy+−−=，则221212()()xxyy−+−的最小值为（）A．105B．255C．2105D．2155【答案】B【分析】221212()()xxyy−+−的最小值可转化为函数ln2yxx=−+图像上的点()11,xy与直线242ln

20xy+−−=上的点()22,xy的距离的最小值.【详解】设()11,Axy,()22,Bxy,点()11,Axy在函数ln2yxx=−+上，点()22,Bxy在函数242ln20xy+−−=上，221212()()xxyy−+−表示曲线ln2yxx=−+上点()11,Axy到直线242ln

20xy+−−=的点()22,Bxy距离.由ln2yxx=−+，可得11yx=−，与直线242ln20xy+−−=平行的直线的斜率为12−，令1112x−=−，得2x=，所以切点的坐标为()2,ln2，切点到直线242ln20xy+−−=的距离22242ln225514lnd+−−=

=+.221212()()xxyy−+−的最小值为255.故选：B【例6】（2020·上海·高一专题练习）设函数()Fx和()fx都在区间D上有定义，若对D的任意子区间[,]uv，总有[,]uv上的实数p和q，使得不等式()()()(

)FuFvfpfquv−−成立，则称()Fx是()fx在区间D上的甲函数，()fx是()Fx在区间D上的乙函数.已知2()3,FxxxxR=−，那么()Fx的乙函数()fx=______.【答案】2

x-3【分析】由题设中函数的定义知()()FuFvuv−−表示过两点(u，())Fu，(v，())Fv的直线的斜率，由导数的定义可知，满足题设条件的()fx是()Fx在区间D上的导数，由此可求．【详解】由

题得()()FuFvuv−−表示过两点(u，())Fu，(v，())Fv的直线的斜率，v无限接近u时，()()FuFvuv−−即()fx在xu=点的切线斜率，此时，()()fpfq近似相等，且等于此斜率，所以()fx为()Fx的导数（即()fx的值是()Fx在x点的斜率），由2

()3Fxxx=−，知()[()]23fxFxx==−故答案为：23x−．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是审题时能联想到导数的定义，当然，能顺利联想到导数的定义必须理解导数的定义才行，由此可以看出，对基础知识掌握的水平能做题的

影响，数学知识学习分为几个层次：了解掌握理解灵活运用，学习时要注意理解知识的内涵．【例7】（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）已知函数()exfx=，若0()1fx=，则0x=___________．【答案】0【分析】先求导，得到00()e1xfx=

=，解出答案.【详解】()exfx=，则00()e1xfx==，故00x=.故答案为：0【例8】（2022·广东梅州·高二期末）某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为218sin32yt=−，则当3t=s时，弹簧振子的瞬时速

度为_________mm/s.【答案】0【分析】根据题意得218cos3yt=−，进而根据导数几何意义求解3st=时的导函数值即可得答案.【详解】解：因为2218sin18cos323ytt=−=−，所以求导得22218sin12sin

333ytt=−−=，所以根据导数的几何意义得该振子在3st=时的瞬时速度为3212sin303ty===,故答案为：0.【例9】（2022·青海海东·高二期末（文））已知曲线1exy−=与曲线e1xy=−有相同的切线ykx

b=+，则b=________．【答案】0【分析】设切点分别为()11,Axy，()22,Bxy．利用导数的几何意义可得121eexxk−==，则121xx−=．由111exy−=，22e1xy=−，计算可得21211yykxx−==−，进而求得A点坐标代入方程即可求得结果.【详解】设切点分别为(

)11,Axy，()22,Bxy．由题意可得121eexxk−==，则121xx−=，即121xx−=．因为111exy−=，22e1xy=−，所以222121e1e11xxyykxx−−−===−−，即11e1

x−=，解得11x=，所以(1,1)A，则11b+=，解得0b=．故答案为：0【例10】（2022·吉林白山·高三期末（理））若曲线lnyx=在点P（e，1）处的切线也是曲线eaxy=的一条切线，则a=___________.【答案】2e−

##21e【分析】利用导数的几何意义可得曲线lnyx=在点P(e,1)处的切线方程为1eyx=，然后再利用导数的几何意义即求.【详解】因为lnyx=，所以1yx=，则e1exy==，所以曲线lny

x=在点P(e,1)处的切线方程为1eyx=，设1eyx=与eaxy=相切于点()00,eaxx，因为()eeaxaxa=，所以0001e,ee1,eaxaxax==则000eeaxaxax=，01ax=，可得20ex=，从而2e−=a.故答案为：2e−.【例11】（2021·

全国·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)41yx=(2)34yx=(3)3xy=(4)1()2xy=(5)4logyx=(6)12logyx=【答案】(1)54yx−=−(2)1343yx=(3)3ln3xy=(4)21()

12lnxy=(5)1ln4yx=(6)1ln2yx=−【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；(1)解：因为441yxx−==，所以()454yxx−−==−；(2)解：因为4343yxx==，所以413343yxx==；(3)解：因为3xy=，所以

3ln3xy=；(4)解：因为1()2xy=，所以21()12lnxy=；(5)解：因为4logyx=，所以1ln4yx=；(6)解：因为12logyx=，所以111ln2ln2yxx==−；【例12】（2021·全国·高二课时练习）

求满足下列条件的直线l的方程：(1)过原点且与曲线lnyx=相切；(2)斜率为e且与曲线xye=相切.【答案】(1)1yxe=(2)yex=【分析】（1）求出导函数，设切点为(),lnmm，切线方程为ykx=，根据导数的几何意义求出斜率，即可得直线方程，然后

将切点代入直线方程即可求得m，从而可得答案；（2）求出导函数，根据切线斜率为e，求出切点坐标，即可得出答案.(1)解：1yx=，()0x，设切点为(),lnmm，切线方程为ykx=，所以1km=，1yxm=，因为切点为(),lnmm，所以1ln1mmm=

=，所以me=，所以切线方程为1yxe=；(2)解：exy=，因为切线斜率为e，所以xyee==，所以1x=，则切点为()1,e，所以切线方程为()1yeex−=−，即yex=.【例13】（2022·云南·昆明一中高二期末）若函数

()()ln0fxxaa=+，函数()exgx=.(1)若函数()fx在1x=处的切线与坐标轴围成的面积为12，求实数a的值；(2)若直线ykx=与()fx，()gx的图象都相切，求实数a的值.【答案】(1)2(2)2【分析】（1）求出切线方程，然后求出

与x轴，y轴的交点，根据面积列方程求解即可；（2）根据相切求出切点，再将切点代入函数列方程组求解即可.(1)由已知()1fxx=，则()11f=，又()1fa=，所以函数()fx在1x=处的切线为1yxa=+

−，当0x=时，1ya=−，当0y=时，1xa=−，则111122aa−−=，又0a解得2a=；(2)由已知()1fxx=，()exgx=，设直线ykx=与()fx，()gx的图象相切的切点分别为()()1122,,,xyxy则11kx=，2exk=，所以121,lnxxkk==，

可得直线ykx=与函数()lnfxxa=+的切点为1,1k，直线ykx=与函数()exgx=的切点为()ln,lnkkk，ln1ln1elnkakkk+==，解得2a=.【例1

4】（2020·山东·高三专题练习）已知()lnfxx=，()()2102gxaxbxa=+，()()()hxfxgx=−.（Ⅰ）若3,2ab==，求()hx的极值；（Ⅱ）若函数()yhx=的两个零点为()1212,xxxx，记1202xx

x+=，证明：()00hx．【答案】（Ⅰ）极大值为5ln36−−，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.【详解】分析：（Ⅰ）先判断函数()hx在()0,+上的单调性，然后可得当13x=时，()hx有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设120xx，由题意可得()()()()22121

21212lnln02ahxhxxxxxbxx−=−−−−−=，即()()22121212lnln2axxxxbxx−=−+−，又由条件得()1201222xxhxabxx+=−++，构造()()()121211201211222212ln21x

xxxxxxhxxxabxxxxx−+−=−−−=−++，令()1201xttx=，则()()()21ln011trtttt，−=−+，利用导数可得()()10rtr=，故得()()1200xxhx−，又120xx

−，所以()00hx．详解：（Ⅰ）()()23ln2,0,2hxxxxx=−−+，()()()2311132132xxxxhxxxxx−−+−−+==−−=，由()()()3110xxh

xx−−+==得13x=，且当103x时，()0hx，即()hx在10,3上单调递增，当13x时，()0hx，即()hx在1,3+上单调递减，∴当13x=时，()hx有极大值

，且()15=ln336hxh=−−极大值，无极小值．（Ⅱ）函数()yhx=的两个零点为()1212,xxxx，不妨设120xx，()21111ln02ahxxxbx=−−=，()222222ln02hxxx

bx=−−=．()()2212111222lnln22aahxhxxxbxxxbx−=−−−−−()()22121212lnln02axxxxbxx=−−−−−=，即()()22121212lnln2axxxxbxx−=−+−，

又()()()()1hxfxgxaxbx==−−+，1202xxx+=，()1201222xxhxabxx+=−++，()()()12120121222xxxxhxxxabxx+−=−−−+()()()1222121212212xxaxxbxxxx−

=−−+−+()()1212122lnlnxxxxxx−=−−+12112221ln1xxxxxx−=−+．令()1201xttx=，则()()()21ln011trtttt，

−=−+()()()()222141011trttttt−−=−=++，()rt在()0,1上单调递减，故()()10rtr=，12112221ln01xxxxxx−−+，即()()1200xxhx−，又120xx−，

()00hx．点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然

后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．二、导数的四则运算法则【例1】（2022·重庆南开中学高二期末）已知()fx是函数()sinfxxx=的导函数，则2f=（）A．0B．1C．2D．【答案】B【分析】求出()fx，代值计

算可得2f的值.【详解】因为()sinfxxx=，则()sincosfxxxx=+，因此，12f=.故选：B.【例2】（2022·山西吕梁·高二期末）下列结论中正确的有（）A．若yx=，则0y=B．若1yx=，则lnyx=C．若si

n3y=，则12y¢=D．若cosxyx=，则2sincosxxxyx+=−【答案】D【分析】根据基本初等函数的导数和运算法则分别计算函数的导数，即可判断选项.【详解】A.若yx=，则1y=，故A错误；B.若1yx=，则21yx=−，故B错误；C.若

sin3y=，则0y=，故C错误；D.若cosxyx=，则22sincossincosxxxxxxyxx−−+==−，故D正确.故选：D【例3】（2021·四川·威远中学校高二阶段练习（理））已知函数21()c

os4fxxx=+，则()fx的导函数()fx的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】求出函数()fx的导函数()fx，再探讨()fx的性质，结合性质及取2时的函数值即可判断作答.【详解】函数21()cos4fxxx=+定义域为R，

求导得1()sin2fxxx=−，显然1()sin()2fxxxfx−=−+=−，因此，函数()fx是R上奇函数，图象关于原点对称，选项C，D不满足，又1()sin1022224f=−=−，选项B不满足，选项

A符合题意.故选：A【例4】（2022·江西抚州·高二期末（理））丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数()fx在区间(),ab内的导

函数为()fx¢，()fx¢在区间(),ab内的导函数为()fx，在区间(),ab内()0fx恒成立，则称函数()fx在区间(),ab内为“凸函数”，则下列函数在其定义域内是“凸函数”的是（）A．()2

sinfxxx=+B．()exfxx=−C．()lnfxxx=−D．()exxfx=【答案】B【分析】根据基本初等函数的导函数公式求各函数二阶导函数，判断其在定义域上是否恒有()0fx，即可知正确选项.【详解】A：()12

cosfxx=+，则()2sinfxx=−，显然定义域内()fx有正有负，故不是“凸函数”；B：()1exfx=−，则)e(0xfx=−，故是“凸函数”；C：1()1fxx=−，则2()10fxx=，故不是“凸函数”；D：1()exxfx−=，则()

2exfxx=−，显然定义域内()fx有正有负，故不是“凸函数”；故选：B【例5】（2022·福建福清·高二期末）已知函数()()()2lnfxxxxxaaR=+−，若对任意1,22x，都有()()

xfxfx成立，则a的取值范围为（）A．9(,)4−B．3(,)2−C．(,2)−D．(3),−【答案】C【分析】求出函数()fx的导数，再对给定不等式等价变形，分离参数借助均值不等式计算作答.【

详解】对函数()()2lnfxxxxxa=+−求导得：22(()1ln())fxxxxxaa=+−−++，1[,2]2x，()()()22[2(1lnln]())xxaxxxxxfxfxxxaax++−++−−，则1[,2]2x，122axx+

，而1122222xxxx+=，当且仅当12xx=，即22x=时“=”，于是得222a，解得2a，所以a的取值范围为(,2)−.故选：C【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数

思想是解决问题的关键.【例6】（2017·上海市宜川中学模拟预测（文））已知321()=3fxxaxx++是奇函数，则(3)'(1)ff+=A．14B．12C．10D．-8【答案】A【详解】试题分析：由题意知()()()()()323232111333fxxaxxxaxxxaxxfx

−=−+−+−=−+−=−−+=−,所以0a=.所以()313fxxx=+，则()2'1fxx=+.所以()()3213'1(33)(11)143ff+=+++=.故A正确.考点：1函数的奇偶性;2导数的计算.【例7】（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））若4()3(

1)fxxfx=+，则(0)f=___________．【答案】6−【分析】先求出函数()fx的导函数()fx，再求出()1f，即可得出答案.【详解】解：由4()3(1)fxxfx=+，得3()3(1)4fxfx=+

，则()()1314ff=+，所以()12f=−，所以3()46fxx=−，所以(0)6f=−.故答案为：6−.【例8】（2022·江苏徐州·高二期末）已知函数()tanfxxx=+，则3f的值是______.【答案】5【分析】求出()fx，代值计算可得3f

的值.【详解】因为()sintancosxfxxxxx=+=+，则()()()22sincossincos111coscosxxxxfxxx−=+=+，因此，21153cos3f=+

=.故答案为：5.【例9】（2017·上海市宜川中学三模（理））设曲线axye=在点()0,1处的切线与直线210xy++=垂直，则cos3a的值为__________．【答案】12−【分析】根据

曲线axye=在点()0,1处的切线的斜率列方程，解方程求得a的值，进而求得cos3a的值.【详解】直线210xy++=的斜率为12−，所以曲线axye=在点()0,1处的切线的斜率为2.'axyae=，'0|x

ya==，所以'0|2xya===，所以cos3a=21cos32=−.故答案为：12−【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两直线垂直时斜率的关系，考查复合函数导数的求法，考查特殊角的三

角函数值，属于基础题.【例10】（2021·辽宁·高三期中）如图所示，动点P，Q分别在函数()exfxx=+，()12ln2gxx=+上运动，则PQ的最小值为______．【答案】52【分析】数形结合可知当点()11,Pxy，

()22,Qxy分别为两函数的切点，且两切线平行以及PQ与切线垂直时，两点间的距离即为所求结果.【详解】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数，又()e1xfx=+，()2gxx=在定义域上分别单调递

增、单调递减，所以函数()fx递增的速度由慢到快，()gx递增的速度由快到慢，设动点()11,Pxy，()22,Qxy，当且仅当满足：()112121222e1,1e2ln221xxxxxxxx+=+−+=−−

时，PQ取得最小值，由图象的示意图不难发现，该方程组有唯一一组解：10x=，21x=，所以()0,1P，11,2Q，所以PQ的最小值为()221501122−+−=．故答案为：52.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学

中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．【例11】（2022·

陕西安康·高二期末（文））已知函数2()cosfxxx=，求(1)()fx(2)2f(3)曲线()yfx=在π2x=处的切线方程【答案】(1)2()2cossinfxxxxx=−(2)24−(3)y=2348x−+【分析】（1）

由导数的运算法则求解即可；（2）利用导函数计算即可；（3）由导数的几何意义得出切线方程.(1)()222()cos(cos)2cossinfxxxxxxxxx=+=−(2)222cossin222224f=−=−

(3)当2x=时，f(x)=0，则切点为,02P所以切线方程是022yfx−=−，即y=2348x−+【例12】（2022·湖南郴州·高二期末）已知函数()l

naxfxbx=+在1x=处的切线方程为220xy−−=.(1)求()fx的解析式；(2)求函数()fx图象上的点到直线230xy−+=的距离的最小值.【答案】(1)()2lnxfxx=；(2)5.【

分析】（1）由题可得()()21lnaxfxx−=，然后利用导数的几何意义即求；（2）由题可得切点()1,0到直线230xy−+=的距离最小，即得.(1)∵函数()lnaxfxbx=+，∴()fx的定

义域为()0,+，()()21lnaxfxx−=，∴()fx在1x=处切线的斜率为()12kfa===，由切线方程可知切点为()1,0，而切点也在函数()fx图象上，解得0b=，∴()fx的解析式为()2lnxfxx=；(2)由于直线2

20xy−−=与直线230xy−+=平行，直线220xy−−=与函数()2lnxfxx=在()1,0处相切，所以切点()1,0到直线230xy−+=的距离最小，最小值为555d==，故函数()fx图象上的点到直线230xy−+=的距离的最小值为5.【例13】（2022·

湖南益阳·高二期末）已知函数()eln3xfxxx=+.(1)求()fx的导数()fx；(2)求函数()fx的图象在点()()1,1f处的切线方程.【答案】(1)1(ln)3e)(xxxxf++=；(2)(e3

)eyx=+−.【分析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答.(2)求出()1f，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.(1)函数()eln3xfxxx=+定义域为(0,)+，所以函数()elne11

(3eln)3xxxxxfxxx+=+=++.(2)由(1)知，(1)3ef=+，而(1)3f=，于是得3(e3)(1)yx−=+−，即(e3)eyx=+−，所以函数()fx的图象在点()()1,1f处的切线方程是(e3)eyx=+−.【例14】（2021·全国·

高二单元测试）请阅读：当1x时，在等式2111nnxxxxx−++++=−L的两边对x求导，得12121(1)123(1)nnnnxnxxxnxx−−−+−++++=−L，利用上述方法，试由等式0111(1)nnnnnnnnnxCCxC

xCx−−+=++++（xR，正整数2n）.（1）证明：112(1)1nnkknknxkCx−−=+−=；（注：121niniaaaa==+++）（2）求12310101010102310CCCC++++；（3）求212325

29910010010010013599CCCC++++L.【答案】（1）证明见解析；（2）5120；（3）9925252.【详解】试题分析：（1）由()01111nnnnnnnnnxCCxCxCx−−+=++++，两边对x求导即可得结论；（2）由（1）令

10,1nx==可得123101019101010102+3+10=10(1+1)1025120CCCC−++==；（3）对（1）中结论两边对x求导得，()()()121222322111123nnnnnnnnnxxnxCCxCxnCx−−−++−+=++++，取

100n=得，分别利用令1x=，1x=−所得等式相加化简即可得结论.试题解析：（1）证明：由()01111nnnnnnnnnxCCxCxCx−−+=++++，两边对x求导得()112321123nnnnnnnnxCCxCxnCx−−+=++++,所以()123

21121123nnnnkknnnnknxCCxnCxkCx−−−=+−=+++=.（2）在①式中，令10,1nx==得12310101101010102+3+10=10(1+1)CCCC−++91025120==.（3）将式两边同乘以x得()112

233123nnnnnnnnxxCxCxCxnCx−+=++++两边对x求导得，()()()121222322111123nnnnnnnnnxxnxCCxCxnCx−−−++−+=++++，取100n=得，()()9998122232210099100100100

100231001001991CCxCxCxxxx++++=+++()()9810011001xx=++，令1x=得，12223210098100100100100231001001012CCCC++++=

，令1x=−得，122232100100100100100231000CCCC−++−=，两式相加得，()1232529910010010010010023599251012CCCC+++=，所以21232529999100100100100135

9925252CCCC+++=.【例15】（2021·全国·高二课时练习）已知函数()sinxfxex=.设函数()()cos=+xFxfxex，20152017,22x−，过点1,02M−作函数()Fx的图象的所有切线，令各切点的横坐标

按从小到大构成数列nx，求数列nx的所有项之和的值.【答案】1008S=【分析】把()fx的解析式代入()()cosxFxfxex=+，求出函数()Fx的导函数，设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，

由点斜式写出切线方程，把M的坐标代入切线方程，得到关于切点横坐标的三角方程，利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于2对称成对出现，最后由给出的自变量的范围得到数列nx的所有项之和S的值.【详解】∵()()cos(sincos)xxFxfxexexx

=+=+，∴()2cosxFxex=设切点为0000(,(sincos))xxexx+，则切线斜率为000()2cosxFxex=，∴切线方程为000000(sincos)2cos()xxyexxexxx−+=−，∴000

000(sincos)2os)2c(1xxexxexx−−+=−，可得00tan2()2xx=−，令12tan,2()2yxyx==−，这两个函数的图象均关于点(,0)2对称，则它们交点的横坐标也关于2x=对称，从而所作的

所有切线的切点的横坐标构成数列nx的项也关于2x=成对出现，又在20152017,22−共有1008对，每对和为.∴1008S=.【例16】（2020·江苏·海安高级中学高三阶段练习）已知函数()2xxbxcfx

e++=（e为自然对数的底数），()fx为()fx的导函数，且()10f=.（1）求实数c的值；（2）若函数()fx在0x=处的切线经过点()1,0−，求函数()fx的极值；（3）若关于x的不等式()2fx对于任意的0,2x恒成立，求

实数b的取值范围.【答案】（1）1；（2）函数()yfx=的极小值为0，极大值为4e；（3）(,22e−−.【分析】（1）求出函数()yfx=的导数()fx，由()10f=，可求出实数c的值；（2）利用导数求出函数()yfx=在0

x=处的切线方程，将点()1,0−代入切线方程，可求出实数b的值，然后利用导数求出函数()yfx=的极值点，并列表分析函数()yfx=的单调性，由此可得出函数()yfx=的极小值和极大值；（3）方法1：由()2fx，得()221

xbxex−+，0,2x，然后分0x=和02x两种情况讨论，在0x=时可验证不等式成立，在(0,2x时，由参变量分离法得21xebxxx−+，并构造函数()21xegxxxx=−+，并利用导数求出函数()ygx=在区间(0,2上的最小值，由此可得出

实数b的取值范围；方法2：解导数方程()0fx=，得出11xb=−，21x=，然后分11b−=，10b−，011b−，12b−和112b−五种情况讨论，分析函数()yfx=在区间0,2上的单调性，求出函数()yfx=的最大值()m

axfx，再解不等式()max2fx可得出实数b的取值范围.【详解】（1）因为()2xxbxcfxe++=，所以()()22xxbxbcfxe−+−+−=，又因为()10f=，所以()120bbce−+−+−=，解

得1c=.（2）因为()2xxbxcfxe++=，所以()01f=.因为()()22xxbxbcfxe−+−+−=，所以()01fb=−.因为，函数()yfx=在0x=处的切线方程为()11ybx−=−且过点()1,0−，即()11b−=−−，解得2b=.因为()()()

11xxxfxe−+=−，令()0fx=，得1x=，列表如下：x(),1−−1−()1,1−1()1,+()fx+0−0+()fx极大值极小值所以当1x=−时，函数()yfx=取得极小值()10f−=，当1

x=时，函数()yfx=取得极大值为()41fe=；（3）方法1：因为()212xxbxfxe++=在0,2x上恒成立，所以()221xbxex−+在0,2x上恒成立.当0x=时，01成立；当(0,2x时，21xebxxx−+

恒成立，记()21xegxxxx=−+，(0,2x，则()()()()221212111xxxexexgxxxx−−−−=−−=.令()21xhxex=−−，(0,2x，则()0212110xhxee=−−=，所以

函数()yhx=在区间(0,2上单调递增，所以()()0020110hxhe=−−=，即210xex−−在区间(0,2上恒成立.当(0,2x，令()0gx=，得1x=，所以，函数()ygx=在区间()0,1上单调递减，在区间()1,2上

单调递增，所以()()min122gxge==−，所以，22be−，因此，实数b的取值范围是(,22e−−；方法2：由（1）知，()21xxbxfxe++=，所以()()()()22111xxxbxbxxbfxee−+−+−−+−==−.令()

0fx=，得11xb=−，21x=.①当11b=−时，即0b=时，函数()yfx=在区间0,2上单调递减，由题意可知()012f=，满足条件；②当10b−时，即1b时，函数()yfx=在区间0,1上单调递增，在区间1,2上单调递减，由题

意可知()212bfe+=，解得122be−；③当011b−时，即01b时，函数()yfx=在0,1b−上单调递减，在1,1b−上单调递增，在1,2上单调递减，由题意可知()212b

fe+=，解得22be−，所以01b；④当12b−时，即1b−时，函数()yfx=在区间0,1上单调递减，在区间1,2上单调递增，由题意可知()22522bfe+=，解得252be−.又因

为1b−，所以1b−；⑤当112b−时，即10b−时，函数()yfx=在0,1上单调递减，1,1b−上单调递增，在1,2b−上单调递减，由题意可知()1212bbfbe−−−=，即()12110beb−−−+.令1tb=−，则12t，设()2121ttyetet=−

+=−−，则210tye=−，所以，函数21tyet=−−在区间()1,2上单调递增，又因为1t=时，220ye=−，所以0y≥在区间()1,2上恒成立，所以10b−.综上，22be−，因此，实数b的取值范围是(,22e−−.【点睛】本题考查导数的计算、导数的几何意义、

利用导数求函数的极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法，也可以采用分类讨论法，转化为函数的最值来求解，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.三、简单复合函数的导数【例1】（2022·浙江省浦江中学高三期末）已知二次函数()2fxaxbxc=++

，设()()exgxfx−=，若函数()gx的导函数()gx的图像如图所示，则（）A．ab，bcB．ab，bcC．1ba，bc=D．1ba，bc=【答案】D【分析】求出函数()gx，再根据给

定图象与x轴交点横坐标即可计算判断作答.【详解】依题意，()2e()xgxaxbxc−=++，求导得2()e()e(2)xxgxaxbxcaxb−−=−++++2[(2)]exaxabxcb−−−+−=−，观察()gx的图像得：()00g

cb=−=，即bc=，()gx的另一个零点为221abbaa−=−，即1ba，所以有1ba，bc=.故选：D【例2】（2021·湖南永州·高三阶段练习）已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且()1fx+为奇函数.

若()12f=−，则曲线()yfx=在点()()9,9f−−处的切线方程为（）A．2140xy−+=B．2140xy++=C．2180xy++=D．2180xy−+=【答案】D【分析】由题可得函数()fx的周期为4，可求()90f−=，利用(2)()()fxfxfx+=−−=−可得(2)

()()fxfxfx+=−=−，可求(9)2f−=，即得切线方程.【详解】∵函数()fx是定义在R上的偶函数，且()1fx+为奇函数，∴()(),(1)(1)fxfxfxfx−=−+=−+，∴(2)()()fxfxfx+=−−=−，∴(

4)(2)()fxfxfx+=−+=，∴函数()fx的周期为4，令1x=−可得(1)(1)(1)fff=−−=−即(1)(1)0ff=−=∴()9(1)(1)0fff−=−==，由(2)()()fxfxfx+=−−=−得(2)()()fxfxfx+=

−=−，∴(4)()fxfx+=，又()12f=−∴(9)(1)(1)2fff−=−=−=，∴曲线()yfx=在点()()9,9f−−处的切线方程为02(9)yx−=+即2180xy−+=.故选：D.【例3】（2021·黑龙江·牡丹江市

第三高级中学高三阶段练习（理））定义在R上的偶函数()fx满足(2)()0fxfx−+=，且在1x=处的导数(1)2f=−，则曲线()yfx=在点(7(7))f−−，处的切线方程为（）A．2140xy++=B．2140xy−+=C．270xy−−=D．270xy++

=【答案】A【分析】根据给定条件探求出函数()fx的性质，由此求出(7)(1)ff−=，再借助复合函数求导问题求出(7)f−即可得解.【详解】R上的偶函数()fx满足(2)()0fxfx−+=，则当1x=时，(1)0

f=，,(2)(2)()xRfxfxfx−=−=−，于是得(4)(2)()fxfxfx−=−−=，即f(x)是周期函数，周期为4，则有(7)(1)0ff−==，对(8)()fxfx−=两边求导得(8)(8)()fxxfx−−=，即(8)()

fxfx−=，于是当1x=时，(7)(1)2ff−==−，曲线()yfx=在点(7(7))f−−，处的切线方程为02(7)yx−=−+，即2140xy++=.故选：A【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是

区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点00(,())xfx0()xD处的切线方程为：000()()()yfxfxxx−=−.【例4】（2022·湖南长沙·高三阶段练习）函数()1exfx−=的图象在

点()()0,0f处的切线方程为___________.【答案】e10xy−+=【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，求出切点，运用点斜式写出直线方程，即可得到所求切线的方程．【详解】∵()1exfx−=的导数为()1

exfx−=，∴()0110eef−==，可得在点()()0,0f处的切线斜率为1ek=，又()0110eef−==，所以切点为10,e，则在点()()0,0f处的切线方程为()110eeyx−=−，即为e10xy−+=．故答案为：e

10xy−+=．【例5】（2022·山东临沂·高二期末）某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系516sin62yt=+，则该振子在6st=时的瞬时速度为___________mm/s.【答案】0【分析】根据题意得516cos6yt=，

进而根据导数几何意义求解6st=时的导函数值即可得答案.【详解】解：因为5516sin16cos626ytt=+=，所以求导得5540516sinsin6636ytt=−=−，所以根据导数的几何意义得该振子在6st=时的瞬时速度为6516sin5

06ty==−=故答案为：0.【例6】（2022·江苏常州·高三期末）已知定义域都是R的两个不同的函数()fx，()gx满足()()fxgx=，且()()gxfx=．写出一个符合条件的函数()fx的解析式()fx=________．【答案】eexx−+（答案较多，其他也对）【分

析】两次求导以后所得解析式与原解析式相同，是本题需注意的关键点.【详解】令函数()eexxfx−=+则有()()eexxgxfx−==−，()()'e(eee)xxxxgxfx−−===−+，满足题意.另外，()

()3eexxmx−=+，()()2eexxnx−=+等函数均符合题意要求.故答案为：eexx−+【例7】（2020·全国·高三专题练习）已知函数()fx为偶函数，对任意xR满足()(2)fxfx=−，当[1,0]x−时，2()1fxx=−+.若函数()()||gxfxa

x=−至少有4个零点，则实数a的取值范围是____________．【答案】[0,423]−【分析】根据偶函数性质及解析式满足的条件，可知()fx的对称轴和周期，并由[1,0]x−时的解析式2()1fxx=−+，画出函数图像；根据导数的几何意义，求得

1,3x时的解析式()fx，即可求得a的临界值，进而确定a的取值范围.【详解】函数()()||gxfxax=−至少有4个零点，由()||fxax=可得函数()fx为偶函数，对任意xR满足()(2)fxfx=−，则函数图像关于1x=对称，函数()fx为周期2T=的周期函数

，当[1,0]x−时，2()1fxx=−+，则()||fxax=的函数图像如下图所示：由图像可知0a，根据函数关于y轴对称可知，若()()||gxfxax=−在0x时至少有两个零点，则满足()()||gxfxax=−至少有4个零点，即()fxax=在0x时至少有两个交点；当yax

=与()()221,1,3fxxx=−−+相切时，满足()fxax=有两个交点；则()()22fxx=−−，设切点为()00,xy，则()()2000210220xxx−−+−−−=−，解方程可得03=x，由导数的几何意义

可知()()0002242423afxxx==−−=−=−，所以满足条件的a的取值范围为[0,423]−.故答案为：[0,423]−.【点睛】本题考查了函数零点的应用，方程与函数的综合应用，根据导数求函数的交点情况，数形结合法求参数的取值范围，属于难题.【例8】（202

1·全国·高二课时练习）若函数32()(0)=+++hxaxbxcxda图象的对称中心为00(,())Mxhx，记函数()hx的导函数为()gx，则有0'()0gx=，设函数32()32fxxx=−+,则1240324033...20172

01720172017++++=ffff________．【答案】0【分析】求出函数f（x）=x3-3x2+2的对称中心为（1，0），利用f（x）的对称性得出答案.【详解】由题意得，()()2'360gxfxxx==−=，()'

660gxx=−=解得1x=，且()10f=，即函数()fx的图象关于点()1,0对称，因为()()110fxfx++−=，则114032403314033...201720172017201720172017f

fffff++++=++()2403220162018...102017201720172017fffff+++++=，故答案为0．【点

睛】本题以新定义的形式考查了函数的对称性判断与应用，考查了函数的导函数，关键是理解题目所给出的信息，求出对称中心，合理应用函数的性质解题..【例9】（2021·全国·高二课时练习）某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系()53sin126stt

+=（024t），其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在18t=时的导数，并解释它的实际意义．【答案】函数在18t=时的导数为8，它表示当18t=时，潮水的高度上升速度为m/h8．【分析】结合复合函数求导

法则，求出导函数，进而可以求出结果.【详解】函数()5123sin6ttys+==是由函数()3sinfzz=和函数()5126ztt==+复合而成的，其中z是中间变量．由导数公式表可得()3cosfzz=，()12t=．再由复合函数求导

法则得()()()53coscos124126tystfztzt====+．将18t=代入()st，得()718cos438s==．它表示当18t=时，潮水的高

度上升速度为m/h8．【例10】（2021·全国·高二课时练习）某食品厂生产某种食品的总成本C（单位：元）和总收入R（单位：元）都是日产量x（单位：kg）的函数，分别为()210020.02Cxxx=++，()270.01Rxxx=

+，试求边际利润函数以及当日产量分别为200kg，250kg，300kg时的边际利润，并说明其经济意义.（总利润y关于产量x的函数()yfx=的导函数称为边际利润函数）【分析】由已知可得()251000.01Lxxx=−−并求导，进而分别求出日产

量分别为200kg，250kg，300kg时的边际利润，说明经济意义即可.【详解】根据定义，知：总利润函数()()()251000.01LxRxCxxx=−=−−，∴边际利润函数为()50.02Lxx=−.()20050.022001L=−=（元），()25050.0

22500L=−=（元），()30050.023001L=−=−（元），其经济意义是：当日产量为200kg时，再增加1kg，则总利润可增加1元；当日产量为250kg时，再增加1kg，则总利润无增加；当日产量为300kg时，再增加1kg，则总利润反而减少1

元.由此可得，当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，会使企业“无利可图”.【例11】（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)231yx=+(2)()312yx=−(3)()2log21yx=+(

4)cos3xy=(5)3sin(3)2yx=−(6)221xy=−【答案】(1)()32331yx−=−+(2)()2612yx=−−(3)()221ln2yx=+(4)1sin33xy=−(5)3sin3yx=(6)4ln4x

y=【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得；(1)解：因为()12223131yxx−==++，所以()()1322231331yxx−−=+=−+(2)解：因为()312yx=−，所以()()3

212612yxx=−=−−(3)解：因为()2log21yx=+，所以()()22log2121ln2yxx=+=+(4)解：因为cos3xy=，所以'1cossin333xxy==−(5)解：因为3sin(3)co

s32yxx=−=−，所以()cos33sin3yxx=−=(6)解：因为22141xxy=−=−，所以()414ln4xxy=−=【例12】（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)()2(23)35yxx

x=+−+；(2)23(21)(23)yxx=−−；(3)(32)sin5yxx=+；(4)2ecos3xyx=.【答案】(1)29261yxx=−−(2)()()()221231730yxxx−=−−(3)3sin5(1510)cos5yxxx=

++(4)2(2cos33sin3)exxxy−=【分析】（1）根据导数的运算法则计算．（2）根据导数的运算法则计算．（3）根据导数的运算法则计算．（4）根据导数的运算法则计算．(1)()22335(23)(52)9261yx

xxxxx=−+++−+=−−(2)23(21)(23)yxx=−−()()()()()()()()322222122321323321231730yxxxxxxx=−−+−−−=−−−(3)3sin5(32)cos553sin5(1510)cos5yxx

xxxx=++=++(4)222(sin3)3(2cos33sin32ecos3ee)xxxxxyxx−+==−．【例13】（2022·辽宁营口·高三期末）已知函数()1exxfx−=(1)求函数

()fx的最大值；(2)若正实数m，n互不相等，且满足()()11e1e4enmmnmn+−+++=，求证：2mn+．【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】(1)由导数判断函数的单调性，再求最值；(2)通过不断转化、复合函数表达式，利用导数判断函数的单调性.(1

)函数()fx定义域为R，()()11211ee1eexxxxxxfx−−−−−−==，当1x时，()0fx¢>，当1x时，()0fx¢<，所以()fx在(,1−上单调递增，在)1,+上单调递减，则当1x=时，函数()fx取得最大值()11f=，所以函数()fx的

最大值是1．(2)因为正实数m，n互不相等，且满足()()11e1eenmmnmn+−+++=，所以()()114eeemnmn+++=令11mx+=，21nx+=，则11x，21x，不妨设12xx于是有1212114=eee

xxxx−−+，即()()124efxfx+=，由(1)可知()fx在()1,+上单调递减，且()22ef=因为()()124efxfx+=，所以1212xx设函数()()()()412gxfxfxx=+−，()()()()()311321

e3e134eeexxxxxxxxgxfxfx−−−−−−−−−=−−=−=设()()()()311e3e12xxhxxxx−−=−−−()()()312ee0xxhxx−−=−−所以()hx在()1,2上单调递减，

()()20hxh=，即()0gx¢>所以()gx在()1,2上单调递增，()()()4222egxgf==因为112x，所以()14egx，即()()1144efxfx+−所以()()1144efxfx−−，即()()124fxfx−又因

为141x−，21x，且()fx在()1,+上单调递减所以124xx−，即124xx+即()()114mn+++，所以2mn+【例14】（2019·江苏启东·高二期末）已知函数221()cos22xxfxeex

−=−+.（1）求()fx；（2）证明：()fx在区间(,)−+上是增函数.【答案】（1）2211()sin222xxfxeex−=+−；（2）证明见解析【分析】（1）根据复合函数的求导法则，对()fx直接求导即可；（2）根

据22221111212222xxxxeeee−−+=…，sin2[1x−，1]，可以判断()0fx，从而证明()fx在R上单调递增．【详解】（1）221()cos22xxfxeex−=−+，2211()sin

222xxfxeex−=+−；（2）证明：由（1）知2211()sin222xxfxeex−=+−，22221111212222xxxxeeee−−+=…，当且仅当0x=时取等号，sin2[1x−，1]，当且仅当,4xkk

Z=+时sin21x=，当xR时，()0fx，()fx在区间(,)−+上是增函数．【点睛】本题考查复合函数的求导法则和基本不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．一、单选题1．（20

22·福建福州·高二期末）设()lnfxxx=.若()02fx=，则0x＝（）A．12B．ln22C．ln2D．e【答案】D【分析】由题可得()ln1fxx=+，将0x代入解方程即可.【详解】∵()lnfxxx=，∴()ln1fxx=+,∴()00ln12fxx=+=，解得0ex=.故选：

D.2．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知()cos2xfxx=+，则()fx=（）A．1sin2xxx−−+B．1sin2xxx−+C．sin2ln2xx−+D．sin2ln2xx+【答案】C【分

析】利用基本初等函数的导数和导数的运算规则求导后可得正确的选项.【详解】()sin2ln2xfxx=−+，故选：C.3．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））设()0sin2cos2fxxx=+，

()()10fxfx=，()()21fxfx=，…，()()1nnfxfx+=，nN，则()2022fx=（）A．()20212cos2sin2xx−B．()20222cos2sin2xx−−C．()20212cos2sin2xx+D．()20222cos2sin2xx−

+【答案】B【分析】根据已知条件求得()nfx的规律，从而确定正确选项.【详解】()12cos22sin2fxxx=−，()2222sin22cos2fxxx=−−，()3332cos22sin2fxxx=−+，()4442sin22cos2fxxx=+，()5552c

os22sin2fxxx=−，……，以此类推，202250542=+，所以()()202220222sin2cos2fxxx=−−.故选：B4．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln3fxxxx=−，则曲线()yfx=在点

()()e,ef处的切线方程为（）A．e0++=xyB．e0−+=yxC．e0−+=xyD．e0+−=xy【答案】A【分析】求出函数()fx的导函数()fx，再求出(e)f，然后利用导数的几何意义求解作答.【详解】函数()ln3fxxxx=−

，求导得：()(ln1)3ln2fxxx=+−=−，则(e)1f=−，而(e)2ef=−，于是得：2e1(e)yx+=−−，即e0++=xy，所以曲线()yfx=在点()()e,ef处的切线方程为e0++=xy.故选：A5．（2022·广西河池·高二期末（文））已知点P是曲线

4e3xy−=+上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．0,6B．,62C．,63D．0,3π【答案】A【分析】求出函数4e3xy−=+的导数，利用均值不等式求出切线斜率的取值范围即

可计算作答.【详解】函数4e3xy−=+的定义域是R，求导得：函数24e(e3)xxy=+，而e0x，则曲线在点0(,)(R)Ptyt处的切线的斜率24e4433(e3)e2e23e3323ettttttk=

=++=++，当且仅当e3ett=，即e3t=，1ln32t=时取“=”，而24e0(e3)tt+，于是得30tan3，有倾斜角锐角，因此，06，所以的取值范围是0,6.故选

：A【点睛】关键点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.6．（2019·福建·莆田一中高二期中（理））已知定义在R上的函数()fx和函数()gx满足()()()2221202xffxexfx−+−

=，且()()20gxgx+，则下列不等式成立的是A．()()()220172019fggB．()()()220172019fggC．()()()201722019gfgD．()()()20172

2019gfg【答案】C【分析】对函数()yfx=求导，由题意得出()()()()()0211220102ffefffe=+−=，解出()0f和()1f的值，可得出函数()yfx=的解析式，可得出()42fe=，构造函数()()2xhxegx=，利用导数判断

出函数()yhx=在R上为减函数，可得出()()20172019hh，化简后可得出正确选项.【详解】()()()2221202xffxexfx−=−+Q，()()()221220xfxfexf−=+−，则

()()()011220ffef=+−，()01f=，()()222122xffxexx−+−=，将0x=代入函数()yfx=的解析式得()()21012ffe==，得()212fe=，()222xfxexx=+−，则()42fe=.构造函数()()2x

hxegx=，则()()()()()222220xxxhxegxegxegxgx=+=+，所以，函数()yhx=在R上单调递减，()()20172019hh，即()()4034403820172019egeg，即()()4201720

19geg，因此，()()()201722019gfg，故选C.【点睛】本题考查函数不等式正误的判断，解题时要结合题中不等式构造新函数，利用单调性来进行判断，难点在于构造新函数，考查分析问题与解决问题的能力，属于难题.7．（2018·福建·上杭

一中高二阶段练习（理））若直线l：1ykx=−与曲线C：1()1xfxxe=−+没有公共点，则实数k的最大值为A．1−B．12C．3D．1【答案】D【详解】分析：因为直线与曲线没有交点，因而联立方程无解．通过分离参数k，构造函数1()1xgxxe=+，研究函数的单调性与极值

．详解：因为直线l：1ykx=−与曲线C：()11xfxxe=−+没有公共点则111xkxxe−=−+无解当0x=时，上式不成立，所以0x所以11xkxe=+令1()1xgxxe=+，所以2(1)'()xxgxxe−+=，令2(1)'()0xxgxxe−+==，得1

x=−当1x−时，'()0gx，()gx单调递增当1x−时，)'(0gx，()gx单调递减当0x时，)'(0gx，()gx单调递减且(1)1ge−=−，当x→+时，()1gx→所以(()(),11,gxe

−−+因为方程无解，所以(1,1ke−所以k最大值为1所以选D点睛：本题主要考查了函数与导数的综合应用，通过分离参数法构造新函数，研究新函数的单调性和极值最值，属于难题．此类题目主要注意当

自变量趋近于无穷大时，是否趋近于某一个具体值．二、填空题8．（2022·江苏镇江·高二期末）函数()41fxx=+，则函数()fx在2x=处切线的斜率为_______________.【答案】23【分析】根据导数的

几何意义求解即可.【详解】解：因为()41fxx=+，所以()241fxx=+，所以𝑓′(2)=2√4×2+1=23，所以函数()fx在2x=处切线的斜率为23故答案为：239．（2021·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知曲线1el

nxymxx−=+在1x=处的切线方程为2yxn=+，则n=______.【答案】1−【分析】由导数几何意义可得1m=，再由切点坐标求出结果.【详解】∵1elnxymxx−=+，∴1eln1xymx−=++，又曲线1elnxymxx−=+在1x=处的

切线方程为2yxn=+，可得012m++=，解得1m=，所以1eln−=+xyxx，切点为()1,1，代入直线方程得可得121n=+，即1n=−.故答案为：1−.10．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））已知P为直线3yx=+上的动点，Q为函数()lnxfx

x=图象上的动点，则PQ的最小值为______．【答案】22【分析】求得()fx的导数，由题意可得与直线1yx=+平行的直线和曲线()fx相切，然后求出||PQ的值最小，设出切点，求出切线方程，再由两直线平行的距离公式，得到||PQ的最小值．【详解】解：函数()lnxfxx=的导数为21

ln()xfxx−=，设与直线3yx=+平行的直线yxt=+与曲线()fx相切，设切点为(,)mn，则21ln1mm−=，所以2ln10mm+−=，所以1m=，所以0n=，所以1t=−，所以切线方程为1yx=−，可得||PQ的最小值为|31|2211+=+，故

答案为：22．11．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期末（文））已知函数()()()2e0ln4xffxx=++，则()0f=______．【答案】83##223【分析】根据给定条件，两边求导再赋值计算得解.【详解】函数()()()2e0ln4xffxx=++，求导得：函数()()2

02e4xfxfx=++，当0x=时：(0)2(0)4ff=+，解得8(0)3f=，所以8(0)3f=.故答案为：8312．（2021·天津市武清区杨村第一中学高二阶段练习）巳知函数()22fxxx=+，若关于x的方程()4fxax=+有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_____

______.【答案】117(,2)(2,)4++【分析】方程()4fxax=+有4个互异的实数根转化为函数()fx的图象与动折线|4|yax=+有四个不同的公共点，借助数形结合的思想作答.【详解】函数()22fxxx=+定义域为(,

0)(0,)−+，是偶函数，其图象如图，直线2yx=−，2yx=(图中虚线)及y轴是该图象的渐近线，函数|4|yax=+的图象是过定点(4,0)−的折线，观察图象知，当射线(4)(4)yaxx=+−与()fx在y轴左侧的图象有公共点时，该射线与()fx在y轴右侧的图象有1个或2个公

共点，当射线(4)(4)yaxx=+−与()fx在y轴左侧的图象相切时，设切点2(,2)(0)tttt−−，22()2(0)fxxx=−+，依题意有()aft=，且222224tttt−−−+=+，整理得2220tt−−=，解得1174t−=

，117117()44af−+==，显然0a，当1174a+时，射线(4)(4)yaxx=+−与曲线()(0)yfxx=有无公共点，则曲线()yfx=与折线|4|yax=+最多有2个公共点，不符合，①当1174a+=时，射线(4)(4)yaxx=+−与曲线()(0)

yfxx=有1个公共点，而11724+，该射线与直线2yx=相交，它与曲线()(0)yfxx=有2个公共点，射线(4)(4)yaxx=+−与直线2yx=−不相交，则它与曲线()(0)yfxx=

无公共点，即当1174a+=时，曲线()yfx=与折线|4|yax=+有3个公共点，②当11724a+时，射线(4)(4)yaxx=+−与曲线()(0)yfxx=有2个公共点，该射线与直线2yx=相交，它与曲线()(0)yfxx=有2个公共点，射线(4

)(4)yaxx=+−与直线2yx=−不相交，则它与曲线()(0)yfxx=无公共点，即当11724a+时，曲线()yfx=与折线|4|yax=+有4个公共点，③当2a=时，射线(4)(4)yaxx=+−与曲线()(0)y

fxx=有2个公共点，该射线与直线2yx=平行，它与曲线()(0)yfxx=有1个公共点，射线(4)(4)yaxx=+−与直线2yx=−平行，则它与曲线()(0)yfxx=无公共点，即当2a=时，曲线()

yfx=与折线|4|yax=+有3个公共点，④当2a时，射线(4)(4)yaxx=+−与曲线()(0)yfxx=有2个公共点，该射线与直线2yx=不相交，它与曲线()(0)yfxx=有1个公共点，射线(4)(4)yaxx=+−与直线2yx=−相

交，则它与曲线()(0)yfxx=有1个公共点，即当2a时，曲线()yfx=与折线|4|yax=+有4个公共点，综上，当11724a+或2a时，曲线()yfx=与折线|4|yax=+有4个公共点，即方程()4fxax=+有4个互异的

实数根，所以实数a的取值范围是117(,2)(2,)4++.故答案为：117(,2)(2,)4++13．（2021·江苏·高二专题练习）若函数()fx是函数()fx的导函数，且满足(0)1,3()()3ffxf

x==−，则不等式4()()fxfx的解集为____________.【答案】1ln23(,)+【分析】由题意可设()bxfxaec=+，由(0)1,3()()3ffxfx==−，可得3,1,2bca==−=，由此求出()f

x的解析式，不等式可解.【详解】3()()3fxfx=−，()3()3fxfx=+可设()bxfxaec=+由(0)1f=，得1ac+=又3()()3fxfx=−，即333bxbxaecabe+=−333aabc==−，解得3,1,2bca==−=

3()21,xfxexR=−又4()()fxfx33846xxee−即32xe解得1ln23x故答案为：1ln23(,)+【点睛】本题考查了导数中构造函数解决问题的题型，由题眼3()()3fxfx=−可知，原函数和导函数形式相同，由此

可联想构造xe型函数，属于难题.三、解答题14．（2021·全国·高二课时练习）写出函数5()fuu=和()cosg=的导函数．【答案】4()5fuu=，()sing=−【分析】直接根据基本初等函数的导数公式计算可得；【详解】解：因为5()fuu=，所

以4()5fuu=，因为()cosg=，所以()sing=−15．（2021·江苏·高二课时练习）求下列函数在给定点处的切线方程：(1)3,(2,2)1xyx=+；(2)5ln,(1,5)yx

x=+．【答案】(1)340xy−+=(2)610xy−−=【分析】利用导数的几何意义求解.(1)解：因为31xyx=+，所以()231yx=+，则21,(2)23|xyy===，所以切线方程为：()1223yx−=−，即340x

y−+=；(2)解：因为5lnyxx=+，所以15yx=+，则16|xy==，(1)5y=，所以切线方程为()561yx−=−，即610xy−−=．16．（2021·全国·高二课时练习）已知3()fxx=，求()fabx−的导数，其中a，b均为常数．【答案】2()=

3()fabxbabx−−−【分析】首先求出3()=()fabxabx−−,再根据复合函数的求导公式计算即可.【详解】3()fxx=3()=()fabxabx−−22()=3()()=3()fabxabxabxbabx−−−−−2()=3(

)fabxbabx−−−17．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数.(1)()sin23yx=+；(2)21exy−+=；(3)()22log21yx=−.【答案】(1)()2cos23x+(2)212ex−+−(3)()2421ln2xx−【分析】（1）函数()sin

23yx=+可以看作函数sinyu=和23ux=+的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；（2）函数21exy−+=可以看作函数uye=和21ux=−+的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；（3）函数()22log21yx=−可以看作函数2logyu=和221ux=−的复合函数，

由复合函数的求导法则即可求出结果.(1)函数()sin23yx=+可以看作函数sinyu=和23ux=+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()sin23cos22cos2cos23xuxyyuuxuux==+===+.(2)函数21exy−+=可以看作函数uye

=和21ux=−+的复合函数，由复合函数的求导法则可得()()()21e21e22euuxxuxyyux−+==−+=−=−.(3)函数()22log21yx=−可以看作函数2logyu=和221ux=−的复合函数，由复合函数的求导法则可得()2144ln221ln2xuxxyy

uxux===−.18．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数.(1)()()22131yxx=−+；(2)2211xxyxx−+=++；(3)3e2exxxy=−+；(4)2ln1xyx=+.【答案】(1)21843yxx=+−(2)()222221x

yxx−=++(3)()3eln3e2ln2xxy=−(4)y()()22212ln11xxxx−+=+【分析】（1）方法一：将原函数解析式展开，利用导数的运算法则可求得结果；方法二：利用导数的运算法则直接化

简计算可求得结果；（2）利用导数的运算法则可求得结果；（3）利用导数的运算法则可求得结果；（4）利用导数的运算法则可求得结果.(1)解：方法一：()()23221316231yxxxxx=−+=+−−，所以，

()()()()32322623162311843yxxxxxxxx=+−−=+−−=+−.方法二：由导数的乘法法则得()()()()()()22221312131431321yxxxxxxx=−++−+++=−222124

631843xxxxx=++−=+−.(2)解：根据题意把函数的解析式整理变形可得2222211221111xxxxxxyxxxxxx−+++−===−++++++，所以，()()()()2222222

12212211xxxxxyxxxx++−+−=−=++++.(3)解：根据求导法则可得()()()()()()'''''3e2e'3e3e23ln3e3e2ln23eln3e2ln2xxxxxxxxxxxxxxxy=−+=+−=+−=−.(4)解：根据题意，利用求导的除法

法则可得()()()()2222ln1ln11xxxxyx+−+=+()()()()22222211ln212ln111xxxxxxxxx+−−+==++.19．（2021·全国·高二课时练习）氡气是一种由地表

自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500g氡气，那么t天后，氡气的剩余量为()5000.834tAtg=．（参考数值ln0.8340.1815−，70.8340.2806）(1)氡气的散发速度是多少？(2)()7A的值是什么（精确到0

.1）？它表示什么意义？【答案】(1)()5000.834ln0.834tAt=(2)()2575.A−，表示在第7天附近，氡气大约以25.5克/天的速度自然散发．【分析】（1）根据基本初等函数的导数公式计算可得；（2）将7t=代入求值即可；(1)解：氡气的散发速度就是剩留量函数的导数．(

)5000.834tAt=，()5000.834ln0.834tAt=．(2)解：因为()5000.834ln0.834tAt=所以()775000.834ln0.83425.5A=−．它表示在第7天附近，氡气大约以25.5克/天的速度自然散发．20．

（2021·黑龙江牡丹江·高二阶段练习）已知函数31()413fxxx=−+，()fx为函数()fx的导数.(1)求()3fxx的解集；(2)求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程.【答案】(1){14}xx−(2)410xy+

−=【分析】（1）结合导数及一元二次不等式的解法即可求解；（2）结合导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求解.(1)由31()413fxxx=−+得，2()4fxx=−，∴()3fxx，即2340xx−−，解得14x−，∴()3fxx的解集为{

14}−xx.(2)由（1）知(0)1f=，(0)4f=−，∴曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程14(0)yx−=−−，即410xy+−=21．（2021·全国·高二课时练习）函数()yfx=图象上不同两点()11,Axy，()22,Bxy处的切线的

斜率分别是Ak，Bk，规定()2,ABkkABAB+=叫作曲线()yfx=在点A，B之间的“平方弯曲度”．设曲线xyex=+上不同两点()11,Axy，()22,Bxy，且121xx−=，求(),AB的取值

范围．【答案】210,2−．【分析】根据题目中的定义，先求出()()1212222ee,1ee1xxABxxkkABAB−−==+−+，然后根据题意再换元，令12ee0xxu=−，即可根据基本不等式求出(),AB的取值范围．【详解】因为e1

xy=+，所以1e1xAk=+，2e1xBk=+，由题意可得12eexxABkk−=−，()()12221212eexxABxxxx=−+−+−，又因为121xx−=，所以12xx，12ee0xx，所以()1221ee1xxAB=+−+，故()()121222

2ee,01ee1xxABxxkkABAB−−==+−+，令1212eeeexxxxu=−=−，0u，则()21,2222uABuuuu==++++，由于222uu+，当且仅当2u=时等号成立，所以()1121,222222ABuu−==+++，故(),

AB的取值范围为210,2−．22．（2021·全国·高二期末）求下列函数的导数．(1)()991yx=+(2)21xyx=+(3)()()23sin25yxx=−+；(4)cos(32)2xyx−=(5)()()2

31ln3yxx=+(6)33xxye−=．【答案】(1)9899(1)yx=+(2)()12212121xxxyx−+−+=+(3)()()()2sin2c6os5425yxxx+=+−+(4)()()26sin322cos324xxxyx−−−−=(5)()()()

236311ln3xxxxy++=+(6)333ln333xxxxyee−−=−【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解．(1)解：99(1)yx=+，989899(1)(1)99(1)yxxx=++

=+；(2)解：因为21xyx=+，所以()()()()122212121212121xxxxxxxyxx−+−++−+==++(3)解：因为()()23sin25yxx=−+，所以()()()()()()()23sin2

523sin2552sin2546cos2xyxxxxxx+=−=−++++−+(4)解：因为cos(32)2xyx−=，所以()()()()()22cos(32)22cos326sin322cos3242xxxxxxxyxx−−−−−−−=

=(5)解：因为()()231ln3yxx=+，所以()()()()()()()222lnln31313313631ln3xxxxyxxxx++=+=+++(6)解：因为33xxye−=，所以()()3333333ln333

xxxxxxxxyeeee−−−−=+=−23．（2021·福建·三明一中高二阶段练习）已知函数3(),(1)2,(1)2fxaxaxbff=−+==．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1,(1))f−−处的切线方程．【答案】(1

)3()2fxxx=−+；(2)240xy−+=.【分析】(1)对函数()fx求导，利用给定条件列式计算即可得解.(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程..(1

)由3()fxaxaxb=−+求导得：2()3fxaxa=−，又(1)2,(1)2ff==，则222ba==，解得1,2ab==，所以()fx的解析式为3()2fxxx=−+.(2)由(1)得，2()31xfx=−，则(1)2,(1)2ff−=−=，()fx在(1,(1))f−−处

的切线方程为22(1)yx−=+，即240xy−+=，所以f(x)在(1,(1))f−−处的切线方程是：240xy−+=.24．（2020·全国·高二课时练习）已知函数20152017()sincos,,22xxfxexexx=+−

，过点1,02M−作函数()fx的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大的顺序形成数列nx，求数列nx的所有项之和.【答案】1008【解析】首先利用导数的几何意义求切线方程，根据切线过点1,

02M−，代入后可得00tan22xx=−，利用函数的对称性可知切点关于,02对称，利用对称性求切点的和.【详解】()(sincos)xfxexx=+，∴()2cosxfxex=，设切点坐标为()()0000,sincosxxexx+，则该点处的

切线斜率为()0002cosxfxex=，从而切线方程为()()000000sincos2cosxxyexxexxx−+−=，∵切线过点1,02M−，∴()0000001sincos2cos2xxexxexx−−+=−，解得00tan22xx

=−.令12tan,22yxyx==−，这两个函数的图象均关于点,02对称，则它们交点的横坐标也关于2x=对称，从而各切线切点的横坐标所构成的数列nx的项也关于2x=成对出现，又20152017,22x−，∴

共有1008对，每对横坐标之和均为，故所有项之和为1008.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及函数零点，对称性的应用，属于中档题型，本题的关键是当得到00tan22xx=−，利用等号两侧的函数关于,02

对称，得到满足方程的实数根应关于,02对称，这是本题的关键和难点.25．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()cos1xefxxx=+−(其中0x)，()fx为()fx的导数.(1)求函数()fx在0x=处的切线方程；(2)若不等式()fxax恒成

立，求a的取值范围.【答案】(1)yx=；(2)1a.【分析】(1)对f(x)求导，再求出导函数在0处的导数值，利用点斜式写出方程而得；(2)不等式恒成立，等价转化为cos10xxexax+−−，构建新函数，分

类讨论求其最小值不小于0而得解.【详解】(1)()()1sinxexxfx+−=，∴()()0001sin01ef−+==，又∵()00f=，∴函数()fx在0x=处的切线方程为yx=.(2)令()cos1xhxxexax=+−−，()()1sinxhxexxa=

+−−，∵()()2cos0xehxxx−=+(0x)，∴()()1sinxhxexxa=+−−在)0,+上单调递增，①当1a时，()10hxa−，所以()hx为增函数，故()()0

0hxh=恒成立，即1a.②当1a时，∵()()1sinxhxexxa=+−−在)0,+上为增函数，且()010ha=−，()()()()lnsinlnsinlnsin0lnlnlnlnaah

aaaaaaaaa=+−−=−−，故存在唯一()00x+,，使得()00hx=.则当()00,xx时，()0hx，()hx为减函数，()()00hxh=，此时与()0hx恒成立矛盾.综上所述，1a.【点睛】利用导数解决含参函数问题，求导后不能准确判断导数值

的正负，还需二次求导判断一阶导数的单调性，再分类讨论解决.26．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()()122lnxefxaxaRxx−=−+．（1）若0a=，求()fx的单调区间；（2）若()fx在()0,2上有两个极值点1x、()

212xxx．①求实数a的取值范围；②求证：121xx．【答案】（1）递减区间为()0,2，递增区间为()2,+；（2）①1,2e，②证明见解析．【分析】（1）求得()()()()1320xxexfxxx−−−=，分析导数的符号变化，由此可得出函数()fx的单调递增区间

和单调递减去加；（2）①分析可知()1xgxeax−=−在()0,2上有两个不同的零点，对实数a的取值进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围；②先证明出121212lnlnx

xxxxx−−，其中1202xx，由已知条件可得出1212lnlnxxxx−=−，再利用不等式121212lnlnxxxxxx−−可证得结论成立.【详解】（1）()()()()1320xxexfxxx−−−=，令()()10xgx

exx−=−，()11xgxe−=−，因为0x，所以当()0,1x时，()0gx，()gx单调递减，所以当()1,x+时，()0gx，()gx单调递增，所以()()0110gxge=−=，所以当()0,2x时，()

0fx，当()2,x+时，()0fx，因此，()fx的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+；（2）（i）()()()()1320xxeaxfxxx−−−=，要使()fx在()0,2上有两个极值点1x、2x，则()

1xgxeax−=−在()0,2上有两个不同的零点，①1a时，由（1）知，()11xxgxeaxex−−=−−，令()1xSxex−=−，故()110xSxe−=−，所以()Sx在()0,2上为增函数，所以()()00SxS=，故()0gx，故()g

x在()0,2上无零点，舍；②当ae时，()0,2x，11,xeee−，()10xgxea−=−，则()gx在()0,2上单调递减，故()gx最多只有一个零点，不合题意，舍去；③当1ae时，()1xgxea−=−

，当0ln1xa+时，()0gx；当ln12ax+时，()0gx.所以，函数()gx在()0,ln1a+上单调递减，在()ln1,2a+上单调递增，所以()()minln1lngxgaaa=+=−，即要使()()()100ln1ln0220gegaaagea=

+=−=−，解得12ea.综上所述，a的取值范围为1,2e；（ii）由（i）知，()()120gxgx==，120ln12xax+，先证不等式121212lnlnxxxxxx−−，其中1202xx，即证1212122112lnlnxxxxxxxxxx−

−=−，即112221lnxxxxxx−，令()120,1xtx=，即证()12ln01tttt−，构造函数()12lntttt=−+，则()()22212110ttttt−=−−=−，所以，函数()t在区间()0,1上单调递减，故()()

10t=，由已知可得121112xxeaxeax−−==，故11221lnln1lnlnxaxxax−=+−=+，所以1212lnlnxxxx−=−，则12121lnlnxxxx−=−，所以，1212121lnlnxxxxxx−=−，因此，121xx.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()(

)hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.27．（2021·全国·高二课时练习）函数()()()321Rfxxaxaxca=++

++.（1）求证：()fx有且仅有两个极值点；（2）设()fx的两个极值点分别为1x，2x，且满足2123xx−=，若函数()fx有三个零点，求实数c的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）证明方程()0fx=有两个变号的根即可；（2）利用韦达定理和条件2

123xx−=，求出0a=或1a=，再进行分类讨论，根据三次函数的图象特征得到不等式组，进而求得c的取值范围；【详解】（1）证明：由题意可得()()2321fxxaxa=+++，令()0fx=，得方程()23210xaa+++=，()()224112410aaaa=+−=−+恒成立，

所以()0fx=有两个根，不妨假设为1x，2x，且12xx，所以当()1,xx−，()0fx，()fx单调递增；当()12,xxx，()0fx，()fx单调递减；当()2,xx+，()0fx，()fx单调

递增；故()fx有两个极值点；（2）由（1）得()fx的两个极值点分别为1x，2x，则1x，2x是方程()23210xaa+++=的两根，()12213xxa+=−+，123axx=，因为2123xx−=，所以()()22221211244441939

axxxxxxa−=+−=+−=，解得：0a=或1a=；①当0a=时，()32fxxxc=++，()()23232fxxxxx=+=+，123x=−，20x=，所以()fx在2,3−−单调递增，在2,03−单调递减，在()0,+单调递

增，所以()fx的极大值为23f−，极小值为()0f，要使得函数()fx有三个零点，只需()20300ff−即可，解得：4,027c−；②当1a=时，()322fxxxxc=+++，()()()2341131

fxxxxx=++=++，11x=−，213x=−，所以()fx在(),1−−单调递增，在11,3−−单调递减，在1,3−+单调递增，所以()fx的极大值为()1f−，极小值为13f−，要使得函数()fx有三

个零点，只需()10103ff−−即可，解得：40,27c；综上所述：当0a=时，4,027c−；当1a=时，40,27c.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、零点问题，求解时要充分利用三次

函数的图象特征，通过极大值、极小值的正负得到参数的取值范围.28．（2021·全国·高三专题练习（理））已知2()sinsinxxfxxexexaxax=−−+.（1）当()fx有两个零点时，求a的取值范围；（2）当1a=，0x时，设()()sinfxgxxx=−

，求证：()lngxxx+.【答案】（1）1ae=−或0a；（2）证明见解析.【分析】（1）化简()()(sin)xfxxeaxx=−−，根据题意得0xxea−=有一个非零实根，设()xhxxe=，利用导数求得函数的单调性和极值，结合函数

的值的变化趋势，即可求解；（2）化简()1xgxxe=−，根据题意转化为()1lnlnxxxexxxe−+=，令xtxe=，得到新函数()ln1(0)Htttt=−−，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()

2()sinsin(sin)xxxfxxexexaxaxxeaxx=−−+=−−因为()fx有两个零点，又因为sin0xx−=时，解得0x=，所以当0xxea−=有一个非零实根，设()xhxxe=，可得()(1)xhxxe=+，当(,1)x−−时，()0hx，()

hx单调递减；当(1,)x−+时，()0hx，()hx单调递增，所以当1x=−时，函数()hx取得最小值，最小值为1(1)he−=−，又由(0)0h=，0x时，(0)0h；0x时，(0)0h，所以1ae=−或0a，即实数a的取值

范围是1{}(0,)e−+.（2）由题意，可得()()1sinxfxgxxexx==−−，要证()lngxxx+，即证()1lnlnxxxexxxe−+=，令0xtxe=，令()ln1(0)Htttt=−−，可得11()1tHttt−=−=，令()0Ht

，即10t−，解得1t；令()0Ht，即10t−，解得1t，所以函数()Hx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，所以()(1)=0HxH，即1lnxxexx−+，即()lngxxx+.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式()

()()()()fxgxfxgx转化为证明()()0fxgx−()()(0)fxgx−，进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，变形再构造，对

原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.29．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()()221e2xfxaxax=++−，试讨论()fx的单调区间．【分析】求出()()2421exfxaxaxa=+++，令()2421uxaxax

a=+++．分0a=、12a、102a、0a利用导数判断()fx的单调区间可得答案.【详解】因为()()221e2xfxaxax=++−，所以()()2421exfxaxaxa=+++，令()2421uxaxaxa=+++,①当0a=时，()10ux=，

()0fx，所以()fx的单调递增区间为R，无单调递减区间．②当0a时，()()()24421421aaaaa=−+=−．（ⅰ）当12a时，0，令()0ux=，得2122aaaxa−−−=，2222aaaxa−

+−=，且12xx，所以当()1,xx−或()2,xx+时，()0ux，()0fx，当()12,xxx时，()0ux，()0fx，所以()fx的单调递增区间为()1,x−，()2,x+

，单调递减区间为()12,xx；（ⅱ）当102a时，0，所以()0ux，()0fx，所以()fx的单调递增区间为R，无单调递减区间．③当0a时，0，令()0ux=，得2122aaaxa−−−=，2222aaaxa−+−=，

且21xx，所以当()2,xx−或()1,xx+时，()0ux，()0fx，当()21,xxx时，()0ux，()0fx，所以()fx的单调递增区间为()21,xx，单调递减区间为()2,x−，()1,x+．综上，当12a时，

()fx的单调递增区间为222,aaaa−−−−，222,aaaa−+−+，单调递减区间为222222,aaaaaaaa−−−−+−；当102a≤≤时，()fx的单调递增区间为R，无单调

递减区间；当0a时，()fx的单调递增区间为222222,aaaaaaaa−+−−−−，单调递减区间为222,aaaa−+−−，222,aaaa−−−+．30．（2021·全国·高二课时练习）函数()()()2ln2fxxaxaxa=−

+−R，求函数()fx在区间2,aa上的最大值．【分析】由题意得出01a，求出导函数()fx，得出()0fx=的解，得出()fx的正负，得函数的单调性，然后讨论最大值．【详解】因为2a

a，所以01a．()()()211122xaxfxaxaxx−+=−+−=−．因为()0,x+，所以10ax+，所以当102x时，()0fx，当12x时，()0fx，所以()fx在10,2上单调递增，在

1,2+上单调递减．①当102a时，()fx在2,aa上单调递增，所以()()32maxln2fxfaaaaa==−+−；②当21212aa，即1222a时，()fx在21,2a上单调递增，在1,2a上单调递减，所以()m

ax11ln224afxf==−−；③当212a，即212a时，()fx在2,aa上单调递减，所以()()2532max2ln2fxfaaaaa==−+−．综上，当102a时，函数()f

x在2,aa上的最大值是32ln2aaaa−+−；当1222a时，函数()fx在2,aa上的最大值是1ln24a−−；当212a时，函数()fx在2,aa上的最大值是5322ln2aa

aa−+−．【点睛】（1）根据导函数的零点划分定义域时，既要考虑导函数零点是否在定义域内，还要考虑多个零点的大小问题，如果多个零点的大小关系不确定，也需要分类讨论．（2）若函数零点可求，可根据零点之间及零点与区间端点之间的大小关系进行

分类讨论．本题根据2a，a，12之间的大小关系进行分类讨论，再利用导数研究其函数的单调性．31．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln2fxxxaxx=−+，aR．（Ⅰ）若()fx在(0,+∞)内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数()fx有两个极值

点分别为1x，2x，证明：1212xxa+．【答案】（Ⅰ）e,4+；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（I）对原函数求导，根据()fx在(0,)+内的单调性得ln24xax+…在()0,x+上恒成立，构造函数ln2()xgxx+=，求出其最大值即可求出a的取值范围;（Ⅱ）函数()f

x有两个极值点分别为1x，2x，等价于'()ln240fxxax=+−=在()0,x+内有两根1x，2x，将极值点代入作差，设120xx，得到0a时原不等式成立；0a时，将原不等式转化为1211

2221ln1xxxxxx−+，令12xtx=，(0,1)t，构造函数2(1)()ln1thttt−=−+，证明()(1)0hth=，即原不等式成立.【详解】（I）由题可知()ln24fx

xax+=−，0x，()fx在()0,+?内单调递减，∴()ln240fxxax=+−在()0,+?内恒成立，即ln24xaxx+在()0,+?内恒成立，令()ln2xgxxx=+，则()21lnxgxx−−=，∴当10ex时，()0

gx¢>，即()gx在10,e内为增函数，当1xe时，()0gx¢<，即()gx在1,e+内为减函数，∴()maxgx=1gee=，即4ae，4ea，∴e,4a+；（Ⅱ）若函数()fx有两

个极值点分别为1x，2x，则()ln240fxxax=+−=在()0,+?内有两根1x，2x，1122ln240ln240xaxxax+−=+−=，两式相减，得()1212lnln4xxaxx−=−，不妨设120xx，当0a时，1212xxa+恒成立，当0a

时，要证明1212xxa+，只需证明()()121212142lnlnxxaxxaxx+−−，即证明()1212122lnlnxxxxxx−−+，即证明12112221ln1xxxxxx−

+，令12xtx=，(0,1)t，令2(1)()ln1thttt−=−+，22(1')()0(1)thttt−−=+，()ht在(0,1)t上单调递减，()(1)0hth=，2(1)ln1ttt−+，即12112221ln1xxxxxx−+成立，

1212xxa+.【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，不等式的转化，构造函数讨论是解决问题的关键.