【文档说明】福建省福州市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷（解析版）.docx，共(19)页，957.525 KB，由envi的店铺上传

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2023~2024学年第一学期福州市高一年级期末质量检测数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin120=（）A.32−B.12−C.12D.32【答案】D【解析】【分析】利用诱导公

式化简求解.【详解】因为()oooo3sin120sin18060sin602=−==.故选：D.2.命题“0x，ln1xx−”的否定是（）A.0x，ln1xx−B.0x，ln1xx−C.0x，

ln1xx−D.0x，ln1xx−【答案】C【解析】【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】命题“0x，ln1xx−”为全称量词命题，该命题的否定为“0x，ln1xx−”.故选：C.3.在

下列区间中，方程3430xx+−=的实数解所在的区间为（）A()2,1−−B.()1,0−C.()0,1D.()1,2【答案】C【解析】【分析】由函数单调性以及零点存在定理即可求解.【详解】由题意函数()

343xyfxx==+−单调递增，且()()020,140ff=−=，由零点存在定理可知方程3430xx+−=的实数解所在的区间只能为()0,1..故选：C.4.已知集合220Axxx=−，πsin,2kBxxk==Z，则AB=（）A.1

,0−B.0,1C.0D.1【答案】B【解析】【分析】求出集合A，对整数k的取值进行讨论，可求得集合B，利用交集的定义可求得集合AB.【详解】因为22002Axxxxx=−=，对于()πsin2kxk=Z，当()4knn=Z时，()πsinsin2π02kxn=

==，当()41knn=+Z时，πππsinsin2πsin1222kxn==+==，当()42knn=+Z时，()πsinsin2ππsinπ02kxn==+==，当()43knn=+Z时，π3π3

πsinsin2πsin1222kxn==+==−，综上所述，πsin,1,0,12kBxxk===−Z，因此，0,1AB=.故选：B.5.设xR,则“cos1x=”是“sin0x=”的

（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【详解】当cos1x=时,()2πZxkk=,此时sin0x=;当sin

0x=时()πZxkk=,此时cos1x=或cos1x=−；所以“cos1x=”是“sin0x=”的充分不必要条件.故选:A.,6.已知0.82a=，ln2b=，ln0.8c=，则（）A.abcB.cbaC.cabD.b<c<a【答案】B【解析】【分析】由对数函数、指数函数单调

性即可得解.【详解】由题意00.8ln0.8ln10ln2lne=1=22cba====.故选：B.7.已知π3sin45+=，则sin2=（）A.2425−B.725−C.725D.725【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式

可求得sin2的值.【详解】22ππ37sin2cos212sin1224525=−+=−−+=−−=−.故选：B.8.某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量

P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）的关系为tPka=（kR且0k，0a且1a），其图象如下，则污染物减少60%至少需要的时间约为（）（参考数据：lg20.3010，lg30.4771）A.23小时B.25小时C.42小时D.44小时【答案】D【解析】

【分析】由图象首先得111050,0.810.9kPa===，进一步由指对互换、换底公式以及对数运算性质即可得解.【详解】由题意0=t时，0PPk==，10t=时，1000.81PPka==，解得111050,0.810.9kPa===，令()()5000160%0.9ttPPaP−==，

解得0.9lg0.42lg2120.301015log0.455543.45lg0.92lg3120.47711t−−===−−，对比选项可知污染物减少60%至少需要的时间约为44小时.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给

出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知ab，则下列不等式成立的是（）A.acbc++B.acbcC.11abD.22ab【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用特殊值法

可判断BC选项；利用指数函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，因为ab，由不等式的性质可得acbc++，A对；对于B选项，当0c=时，acbc=，B错；对于C选项，因为ab，取1a=，1b=-，则11ab，C错；对于D选项，因为函数2xy=为

R上的增函数，且ab，则22ab，D对.故选：AD.10.已知函数()()sin0,2fxx=+的部分图象如下所示，则（）A.π3=B.()fx在7ππ,6上单调递增C.()fx的图象关于直线5π12

x=−对称D.将()fx的图象向左平移π3个单位长度后所得的图象关于原点对称【答案】ACD【解析】【分析】根据题设条件得()πsin23fxx=+，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】由图知，五点法作图中的第二个点为π,112

，第五个点为5π,06，所以ππ2π1225π2π2π6kk+=++=+，且π,2kZ，解得2,3==π，得到()πsin23fxx=+，所以选项A正确，对于选项B，当7ππ,6x时，π7π8π2,333x

+，因为5π7π8π,233，由sinyx=的图像与性质知，()fx在13ππ,12上单调递增，在13π7π,126上单调递减，所以选项B错误；对于选项C，当5π12x=−时，ππ

232x+=−，由sinyx=的图像与性质知选项C正确；对于选项D，将()fx的图象向左平移π3个单位长度后得()ππsin[2()]sin233gxxx=++=−，又()sin2()sin2()gxxxgx−=−−

==−，即()gx奇函数，所以选项D正确，故选：ACD.11.已知函数()fx的定义域为R，x、yR都有()()()()2126fxyfxfyfyx+=−−+，且()01f=，则（）A.()12f−=B.()13f=C.()fx是增函数D.()f

x是偶函数【答案】BC【解析】【分析】通过赋值法求出函数()yfx=解析式，然后逐项判断，可得出合适的选项.为【详解】令0xy==，得()()()2210066fff=−+=，则()13f=，令1y=，

则()()()()213126323fxfxfxfxx+=−−+=−+，①令1x=，则()()()()2132624fyfyfyfy+=−−+=+，即()()12fxfx+=+，②联立①②可得()21fxx=+，则()1211

f−=−+=−，()13f=，A错B对，函数()21fxx=+增函数，且为非奇非偶函数，C对D错.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的基本性质问题，解题的关键在于对x、y进行赋值，通过构建方程组求解函数解析式，然后利用函数的基本性质来进行判断.1

2.已知函数1()1,0().2(2),0xxfxxxx−=−−若关于x的方程()fxm=有3个实数解123,,xxx123()xxx，则（）A.120xx+B.12312xxx++C.123112xxx−−D.关于x的方程()()f

xfm=恰有3个实数解【答案】ABD【解析】【分析】对于A项，通过作1()12xy=−关于y轴对称的函数21xy=−的图象与ym=的交点情况，不难判断；对于B，C两项，主要是考虑二次函数图象的对称性和1x

的取值范围分析或者特例判断即得；对于D项，要先判断()fm的范围，结合()yfx=图象易得.【详解】为如图，依题意作出函数()fx的图象.对于A项，作出1()12xy=−关于y轴对称的函数21xy=−的图象，与直线ym=交于点A，则1Axx=−，不难看出点A在点B右侧，则12xx−，故1

20xx+，A项正确；对于B项，因当02x时，(2)yxx=−−的图象关于直线1x=对称，故点B与点C关于直线1x=对称，则232xx+=，由10()112x−可得：10x−，即110x−，则得12312xxx++，故B项正确；对

于C项，当21m=−时，由1()1212x−=−解得：112x=−，由(2)21xx−−=−解得：23122,122xx=−−=+−，此时1231121(122)(122)222xxx−=−−−+−=−，故C项错误；对于D项，依题意，01m，2

()(2)(1)1fmmmm=−−=−−+在(0,1)上单调递增，故0()1fm，于是由图知，函数()yfm=与()yfx=的图象恰有三个交点，即关于x的方程()()fxfm=恰有3个实数解，故D项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数的零点与对应方程的

解的关系问题.解决函数零点与对应方程解的问题的主要思想方法有：（1）转化思想：就是将方程的解的个数转化为函数的零点个数，或转化为对应的两个函数的图象交点个数求解；（2）数形结合法：通过作出函数的图象，根据其对称性、单调性或值域等推导相应参数的范围.三、填空题

：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()1xfxa+=（0a且1a）的图象经过定点P，则P的坐标是______.【答案】()1,1−【解析】的【分析】由01a=（0a且1a）可求得定点P的坐标.【详解】对于函数()1xfxa+=（0a且1a），令

10x+=，可得=1x−，且()011fa−==，故点()1,1P−.故答案为：()1,1−.14.已知扇形的弧长是2cm，面积是21cm，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】2【解析】【分析】由扇形弧长、面积和圆心角以及半径的关系列方程即可求解.【详解

】由题意设扇形的圆心角（正角）的弧度数、半径、弧长以及面积分别为,,,rlS，则212,12lrSr====，解得1,2r==.故答案为：2.15.已知函数()fx不恒为0，且同时具备下列三个性质：①()10f=；②(

)fx是偶函数；③0x，0y，()()()fxyfxfy=+.写出一个函数()fx=______.【答案】lnx.（答案不唯一，如()3logafxx=，()2logafxx=（0a且1a）等均可）【解析】【分析】由0x，0y

，()()()fxyfxfy=+，可联想到对数函数性质，由此即可进一步求解.【详解】注意到对数函数()logagxx=（0a且1a），满足()10g=，且()()()logloglogaaagxyxyxygxgy==+=+，即满足①③，若要满足②

函数是偶函数；则只需取()logafxx=，在这里可取ea=.故答案为：lnx（答案不唯一）.16.用IM表示函数sinyx=在闭区间I上的最大值，已知3π02a.（1）若0,21aM，则a的取值

范围是______.（2）若0,,22aaaMM，则a的取值范围是______.【答案】①.π0,4②.3π9π,48【解析】【分析】（1）分π02a、π3π22a两种情况

讨论，求出0,aM，根据0,21aM可得出关于实数a的不等式，解之即可；（2）对实数a的取值进行分类讨论，求出0,aM、,2aaM，根据0,,22aaaMM可得出关于a的不等式，综合可得出实数a的取值范围.【详解】（1）若π02a时，函数sinyx=在0,

a上单调递增，当0xa时，则maxsinya=，则0,122sinaMa=，解得2sin2a，因为π02a，解得π04a，若π3π22a，当0xa时，max1y=，则0,212aM=，不合乎题意，综上所述，实数a的取值范围是π0,4

；（2）当π04a时，则π022a，则0,sinaMa=，,2sin2aaMa=，由0,,22aaaMM可得sin2sin222sincosaaaa=，整理可得2cos4a，因为π04a，则2cos2a，矛盾；当ππ42a

时，则π2π2a，则0,sinaMa=，,21aaM=，由0,,22aaaMM可得sin2a，无解；当π3π22a时，π23πa，则0,1aM=，若3ππ22a，则π3π24a，此时，函数sinyx=在,

2aa上单调递减，则,2sinaaMa=，由0,,22aaaMM可得12sina，可得2sin2a，解得3π4a=；若3π5π222a，则3π5π44a，此时，函数sinyx=

在3π,2a上单调递减，在3π,22a上单调递增，所以，,2maxsin,sin2aaMaa=，由0,,22aaaMM可得12sin12sin2aa，可得2s

in22sin22aa，可得3π5π443π9π224aa，解得3π9π48a；若5π23π2a，则,21aaM=，由0,,22aaaMM，可得12，矛盾

.综上所述，实数a的取值范围是3π9π,48.故答案为：（1）π0,4；（2）3π9π,48.【点睛】关键点点睛：本题考查三角不等式的求解，解题的关键是对实数a的取值进行分类讨论，结合正弦函数的单调性求出0,aM、

,2aaM，进而得出不等式求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()9(1)1fxxxx=+−.（1）求()fx的最小值；（2）若()26aafx+恒成立，求a的取值范围.【答案】（1

）7（2）7,1−【解析】【分析】（1）根据条件，利用基本不等式即可求出结果；（2）利用（1）中结果，将问题转化成求解不等式267aa+，即可解决问题.【小问1详解】()991111fxxxxx=+=−++−−，

因为1x，所以10x−，所以()9911211711xxxx−++−+=−−，当且仅当911xx−=−，即4x=时，等号成立，所以()fx的最小值为7.【小问2详解】由（1）知函数()fx的最小值为7，因为()26aafx+恒成立，所以267aa+，解得71a−

，所以a的取值范围是7,1−.18.已知角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P−.（1）求sin，cos，tan的值；（2）将的终边按顺时针方向旋转π4，此时终边所对应的角为，求sin2cossincos

+−的值.【答案】（1）4sin5=，3cos5=−，4tan3=−（2）32【解析】【分析】（1）根据条件，由三角函数的定义即可求出结果；（2）由题知π4=−，法一：根据（1）中结果，求

出tan7=，再利用齐次式即可求出结果；法二：利用（1）中结果，直接求出72sin10=，2cos10=，即可求出结果.【小问1详解】因为角的终边经过点()3,4P−，所以5OP=，则4sin5=，3cos5=−，4tan3=−.【小问2详解】法一，因为π4=−，由（1）知

4tan3=−，所以41π3tantan744113−−=−==+−所以sin2costan2723sincostan1712+++===−−−，法二，πsinsin4=−，πcoscos4=−，所以2272s

insincos2210=−=，222coscossin2210=+=，所以7222sin2cos31010sincos27221010++==−−.19.已知函数()()π2coscos2fxxx=+，π36f

=.（1）求()fx的单调递增区间；（2）求()fx在区间π0,2上的最大值和最小值.【答案】19.5πππ,π1212kk−+，kZ20.最小值为0，最大值为312+【解析】【分析】（1）由已知π36f=代入运算求出，带回化简()fx

求出增区间；（2）根据π0,2x，求出ππ4π2,333x+，再根据正弦函数的性质求解.【小问1详解】根据题意可得，ππππ2coscos3cos36666f=+=

+=，即πcos16+=.因为π2，所以ππ2π363−+，所以π06+=，即π6=−.所以()π2coscos6fxxx=−ππ2coscoscossinsin66xxx=+

23coscossinxxx=+()31cos21sin222xx=++π3sin232x=++，由πππ2π22π232kxk−++，得5ππππ1212kxk−+，kZ，所以()fx的单调递增区间为5πππ,π1212kk−+

，kZ.【小问2详解】因为π0,2x，所以ππ4π2,333x+，所以当π4π233x+=，即π2x=时，()min0fx=；当ππ232x+=，即π12x=时，()max312fx=+.20.已知e是自然对数的底数，

()ee1xxfx=+.（1）判断函数()fx在)0,+上的单调性并证明；（2）解不等式()()21fxfx+.【答案】20.函数()fx在)0,+上单调递增，证明见解析21.{1xx或1}3x−【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义证明；（2）首

先证明函数是偶函数，将不等式转化为()()21fxfx+，再结合函数的单调性解不等式；【小问1详解】函数()fx在)0,+上单调递增，证明如下：任取1x，)20,x+，且12xx，则()()121212

11eeeexxxxfxfx−=+−+()121211eeeexxxx=−+−()12121ee1eexxxx=−−，因为1x，)20,x+，且12xx，所以

21ee1xx，所以12ee0xx−，12ee1xx，12110eexx−，故()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以()fx在)0,+上单调递增.【小问2详解】函数1()eexxfx=+的定义域为R，且11()ee()

eexxxxfxfx−−−=+=+=，所以()fx是偶函数，又由（1）知()fx在)0,+上单调递增，所以()()(2)(1)2121fxfxfxfxxx+++，两边平方可得23210xx−−，解得1x或13x−，故不等式()()2

1fxfx+的解集为{1xx或1}3x−.21.已知函数()2log1axfxx−=+为奇函数，()2421xxgxm+=−+.（1）求实数a的值；（2）10,1x，)20,1x，使得()()12gxfx=，求实数m的取值范围.【答案】（1）1（2）7,4

−【解析】【分析】（1）由奇函数的性质得恒等式，解出参数并检验即可得解.（2）首先得MN，(,0N=−，进一步通过换元，并对m进行分类讨论即可得解.【小问1详解】因为()fx是奇函数，所以()()0fxfx−+=，即22loglo

g011axaxxx+−+=−+，整理得2221axx−=−.所以21a=.解得1a=，当1a=−时，101axx−=−+，舍去，当1a=时，函数()fx的定义域为()1,1−，符合题意.所以1a=.【小问2详解】设()

())11220,1,0,1MgxxNfxx==，根据题意可得，MN.由（1）知()2212loglog111xfxxx−==−+++，当)0,1x时，(210,11x−++，故(,0N=−.()()224212421xxx

xgxmm+=−+=−+，设2xt=，函数()241htmtt=−+，1,2t.①当0m=时，()41htt=−+，可得()()max130hth==−，符合题意；②当0m时，()2241htmtmm=−+−，()ht图象的对称轴为2tm=.（i）当

0m时，对称轴20tm=，所以()ht在区间1,2上单调递减，故()()max13hthm==−，由MN，得30m−，即3m，所以0m；（ii）当0m时，若232m，即43m时，()()max247hthm==−，由MN，得470m−，所以4734m

；若232m，即403m时，()()max13hthm==−，由MN，得30m−，所以403m；综上所述，m的取值范围是7,4−.22.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流量稳定的情况下，一个半径为5m的筒车开启后按逆时

针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒车的轴心O距离水面的高度为5m2.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数）.若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：s）之间的关系为()sin0,0,2yAtKA=+

+.（1）求A，，，K的值；（2）若盛水筒P在不同时刻1t，2t距离水面的高度相等，求12tt+的最小值；（3）若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离

水面的高度差的最大值.【答案】（1）55,,,2306AK====−（2）40s（3）5652m2−【解析】【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解；（2）不妨设120tt，由题意得12ππ5ππ55sin5sin30623062tt

−+=−+，通过分类讨论即可求解；（3）由题意首先得5652ππsin2304ht−=+，)0,t+，由此即可进一步求解.【小问1详解】如图，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM，过点P作P

BMN⊥于点B，过点O分别作ODMN⊥于点D，OCPB⊥于点C，则5AOM==，52KOD==因为筒车转一周需要1分钟，所以2ππ6030==，故π30MOPt=.在RtOMD中，512sin52ODOMDOM===，所以π6C

OMOMD==，即π6=−.【小问2详解】由（1）知ππ55sin3062yt=−+，)0,t+.不妨设120tt，由题意得12ππ5ππ55sin5sin30623062tt−+=−+，故12ππππsinsin306306tt

−=−，所以121ππππ2π306306ttk−=−+，1kN或122πππππ2π306306ttk−+−=+，2kN.当121ππππ2π306306ttk−=−+，1kN时，解得12160ttk=+，1kN，故122126060tttk

+=+，当且仅当20t=，11k=时，等号成立.此时12tt+的最小值为60；当122πππππ2π306306ttk−+−=+，2kN时，解得1224060ttk+=+，显然当20k=时，12tt+取得最小值40.综上，12tt+的最小值为40s.【小问3详解】设在筒

车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为mh，两个相邻的盛水筒的位置分别用1P和2P表示，则126πPOP=.所以ππ5ππ55sin5sin30623032htt=−+−−+()

531ππsincos23030tt−=+5652ππsin2304t−=+，)0,t+当π304πππ2tk+=+，即15302tk=+，kN时，高度差h的最大值为5652m2−.【点睛】关键点睛：第三问的关键是准确求出5652ππsin2304h

t−=+，由此即可顺利得解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com