【文档说明】广东省江门市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷【精准解析】.doc，共(25)页，1.298 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．复数z＝4+3i（其中i为数单位），则z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间（）上单调递

增的是（）A．y＝|sinx|B．y＝cosxC．y＝|tanx|D．y＝cos2x3．为了更好了解高中学生的身高发情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样木，其中某班的24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0，165.0，165.0

，166.0，167.0，168.0，168.0，169.0，170.0，170.0，171.0，171.0，172.0，172.0，172.0，173.0，174.0，175.0，175.0，176.0，176.0，177.0，177.0，178.0（单位：cm），则这24个数据

的中位数、众数，以及预估该班男生的第30百分位数为（）A．171、170、168.5B．171、170、169C．171.5、172、169D．172、172、1694．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一条直线的两条直线平行B．已知直线m垂直

于平面α内的任意一条直线，则直线m垂直于平面αC．已知直线m∥平面α，直线n⊂α，则直线m∥nD．已知m为直线，α、β为平面，若m∥α且m⊥β，则α⊥β5．经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型

为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab，其中a、b是显性基因，i是隐性基因．若一对夫妻的血型一个A型，基因类型为aa，一个B型，基因类型为bi；则他们的子女的血型为（）A．O型或A型B．A型或B型C．B型或AB型D

．A型或AB型6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．17．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣

A1B1C1D1所得的截面面积为（）A．B．C．D．8．高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立．假设该同学能够进入“文学

社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a、b、，该同学可以进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则ab＝（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对

得5分，有选错得0分，部分选对得2分。9．下列叙述中，正确的是（）A．某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表木班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为40%B．某大学为了解在校

本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该校四个年级的科生中抽取一个容量为500的样木进行调查．已知该校一、二、三、四年级木科生人数之比为8：5：4：k，若从四年级中抽取75名学生，则k＝3C．

四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为2，方差为2.4，则这组数据一定没有出现6D．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均数是6

10．已知函数f（x）＝的最大值为1，则（）A．a＝﹣1B．（，0）是函数f（x）的对称中心C．f（x）在区间[，]上单调递减D．f（x）≥0成立的x的集合为（k∈Z）11．如图，矩形ABCD中，AB＝

2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C．若M为线段A1C的中点，则在△ADE的翻折过程中，以下结论正确的是（）A．BM∥平面A1DE恒成立B．：＝1：3C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．线段BM的长为定

值12．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0）、A（2，9）、B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且O、B、P三点共线，点Q是边AB上一点，且•＝0，R为线段OQ上的一个动点，则（）A．点P的纵坐标为﹣5B．向量在向量上的投影向量为﹣C．＝2D．•的最大值为1三、

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数z满足（1+i）z＝2i，则复数z＝．14．已知向量、满足||＝3，||＝4，、的夹角为60°，则|﹣|＝．15．古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻

着一个圆柱，如图所示，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现吧！记圆柱的体积和表面积分别为V1、S1，球的体积和表面积分别为V2、S2，则＝．16．随着经济发展，江门市居住环境进

一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园．某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下：公园儿童公园湖连潮头中央公园下沙公园有意向的家族组甲、乙、丙甲、乙

、丁乙、丙、丁若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．

夏天是用电的高峰期，为了既满足居民基本用电需求，又提高能源利用效率，某市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：KW•h），发现他们的用电量都在34KW•h至474KW•h之间，适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（1）求m的值；

并求被调查用户中，用电量在[200，350）（kW•h）的户数；（2）为了更合理地满足居民们基本用电需求，增强市民的环保意识，市政府计划采用阶梯定价，希望使75%的居民缴费在第一档，使90%的居民缴费在第二档，请给出居民缴费位于第二档月平均用电量标准的范围（单位：kW•h）．18．已知函数f（x

）＝cos4x﹣sin4x，g（x）是由y＝sinx横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变得到的函数，令h（x）＝g（x）﹣f（x）．（1）求函数h（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）当x∈[，π]时，h（x）≥m2+3m恒成立，求m的取值范围．19

．如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG∥平面PBC．20．已知关于x的二次函数f（x）＝mx2﹣nx﹣1，令集合M＝{1，2，3，

4}，N＝{﹣1，2，4，6，8}，若分别从集合M、N中随机抽取一个数m和n，构成数对（m，n）．（1）列举数对（m，n）的样本空间；（2）记事件A为“二次函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞）”，求事件A的概率；（3

）记事件B为“关于x的一元二次方程|f（x）|＝2有4个零点”，求事件B的概率．21．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝2．（1）若△ABC的面积为，求AC的长；（2）若AD＝

，∠ACB＝∠ACD+．求∠ACD的大小．22．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF．（1）当三棱推B1﹣BEF的体积最大时，求二面角B1﹣EF﹣B的正切值；（2）求异

面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．复数z＝4+3i（其中i为数单位），则z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数的几何意义判断即可．解：复数z＝4+3i（其中i为数单位），则z

在复平面上对应的点为（4，3），在第一象限．故选：A．2．下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间（）上单调递增的是（）A．y＝|sinx|B．y＝cosxC．y＝|tanx|D．y＝cos2x【分析】根据函数奇偶性的定义和单调性，分别判断各选项即可．解：A．f（﹣x）＝|sin（﹣x）|＝|﹣

sinx|＝|sinx|＝f（x），则f（x）是偶函数，当x∈（）时，f（x）＝sinx为减函数，不满足条件．B．y＝cosx是偶函数，当x∈（）时，f（x）＝cosx为减函数，不满足条件．C．f（﹣x）＝|tan（﹣x）|＝|﹣tanx|＝|t

anx|＝f（x），则f（x）是偶函数，当x∈（）时，f（x）＝﹣tanx为减函数，不满足条件．D．y＝cos2x是偶函数，当x∈（）时，2x∈（π，2π），f（x）＝cos2x为增函数，满足条件．故选：D．3．为了更好了解高中学生的身高发情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样木，其中某班的

24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0，165.0，165.0，166.0，167.0，168.0，168.0，169.0，170.0，170.0，171.0，171.0，172.0，172.0，172.0，173.0，174.0，175

.0，175.0，176.0，176.0，177.0，177.0，178.0（单位：cm），则这24个数据的中位数、众数，以及预估该班男生的第30百分位数为（）A．171、170、168.5B．171、170、169C．171.5、172、169D．172、172、169【分析】利用中位数

，众数，百分位数的定义求解即可．解：这24个数据的中位数为＝171.5，众数为172，∵24×30%＝7.2，∴第30百分位数为第8个数169，故选：C．4．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一条直

线的两条直线平行B．已知直线m垂直于平面α内的任意一条直线，则直线m垂直于平面αC．已知直线m∥平面α，直线n⊂α，则直线m∥nD．已知m为直线，α、β为平面，若m∥α且m⊥β，则α⊥β【分析】由平行线的传递性可判断A；由线面垂直的定义可判断B；由线面平行的定义可判断C；

由线面平行的性质和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，可判断D．解：由平行线的传递性可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故A正确；由线面垂直的定义可得，若直线m垂直于平面α内的任意一条直线，则直线m垂直于平面α，故B正确；由线面平行的定义

可得，若直线m∥平面α，直线n⊂α，则直线m∥n或m，n异面，故C错误；若m∥α，由线面平行的性质，可得过m的平面与α的交线l与m平行，又m⊥β，可得l⊥β，结合l⊂α，可得α⊥β，故D正确．故选：C．5．经过科学的研究

论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab，其中a、b是显性基因，i是隐性基因．若一对夫妻的血型一个A型，基因类型为aa，

一个B型，基因类型为bi；则他们的子女的血型为（）A．O型或A型B．A型或B型C．B型或AB型D．A型或AB型【分析】利用已知条件，求出他们的子女的基因类型，即可得到答案．解：因为一对夫妻的血型一个A型，基因类型为aa，一个B型，基因类型为bi，则他们的

子女的基因类型为：ab，ai，所以对应的血型为A型或AB型．故选：D．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．1【分析】根据AD为BC边上的中线，E为AD的中点，得到＝﹣+，然后结合＝λ+μ，

求出λ+μ的值．解：∵AD为BC边上的中线，E为AD的中点，∴＝+＝+＝﹣+（﹣）＝﹣+，∵＝λ+μ，∴λ＝﹣，μ＝，∴λ+μ＝﹣，故选：B．7．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1

的中点，则过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（）A．B．C．D．【分析】取A1D1中点，则有EF∥BC1，故四点B，C1，E，F共面，所以过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形EFC1B，根据已知，即

可求解．解：如图，取A1D1中点，则有EF∥BC1，故四点B，C1，E，F共面，所以过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形EFC1B，其中EF＝，，BE＝FC1＝，可得梯形的高h＝＝，梯形EFC1B的面积S＝（）×

×＝．故选：B．8．高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立．假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a、b、，该同学可以进入两个社团的概率为，且三个社

团都进不了的概率为，则ab＝（）A．B．C．D．【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于a，b的方程组，求解即可．解：由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为，则ab+①，又三个社团都进不了的概率为，所以②，由①

②可得，ab＝．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分。9．下列叙述中，正确的是（）A．某班有40名学生

，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表木班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为40%B．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该校四个年级的科生中抽取一个容量为500的样木进行调查．已知该校一、

二、三、四年级木科生人数之比为8：5：4：k，若从四年级中抽取75名学生，则k＝3C．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为2，方差为2.4，则这组数据一定没有

出现6D．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均数是6【分析】求出学生被抽到的可能性，即可判断A；根据抽样比列方程，求出k，即可判断B；假设这组数据有6

，求出方程，即可判断C，求出众数，中位数，平均数，即可判断D．解：A：∵学号为04的学生被抽到的可能性为＝10%，∴A错误，B：∵抽样比为＝，∴k＝3，∴B正确，C：若这组数据有6，则方差s2≥＝＞2.4，∴C正确，D：∵数据1，4，4，x，7，8（其中x≠7

）的中位数为，众数为4，∴＝4×，∴x＝6，∴该组数据的平均数是＝5，∴D错误．故选：BC．10．已知函数f（x）＝的最大值为1，则（）A．a＝﹣1B．（，0）是函数f（x）的对称中心C．f（x）在区间[，]上单调递

减D．f（x）≥0成立的x的集合为（k∈Z）【分析】由条件利用三角函数恒等变换化简函数的解析式可得f（x）＝2sin（2x+）+a，进而利用正弦函数的图像和性质逐项分析即可得解．解：f（x）＝sin（2x+）+cos（2x﹣）+a＝sin2x•cos+cos2x•sin+

cos2xcos+sin2xsin+a＝sin2x+cos2x+a＝2sin（2x+）+a，又f（x）max＝2+a＝1，所以解得a＝﹣1，故A正确；可得f（x）＝2sin（2x+）﹣1，因为f（）＝2sin（2×+）﹣1＝1≠0，故B错误；令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ

+≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，可得f（x）在区间[，]上单调递减，故C正确；令f（x）＝2sin（2x+）﹣1＞0，解得sin（2x+）＞，可得2x+∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，解得x∈（kπ，kπ+），k∈Z，故D正确．故选：A

CD．11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C．若M为线段A1C的中点，则在△ADE的翻折过程中，以下结论正确的是（）A．BM∥平面

A1DE恒成立B．：＝1：3C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．线段BM的长为定值【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明BM∥A1DE，从而判断A；A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h'，直接求出，即可判断B；由A1C在平面A

BCD中的射影在AC上，AC与DE不垂直，DE与A1C不垂直，从而判断C；由余弦定理，可得MB，结合MF，FB为定值，即可判断D．解：取CD中点F，连接MF，BF，如图所示，则MF∥A1D，FB∥DE，则可得平面MBF∥平面A1DE，∵B

M⊂平面MBF，BM⊄平面A1DE，∴BM∥A1DE，故A选项正确，设A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h'，则＝＝，故B选项正确，A1C在平面ABCD中的射影在AC上，∵AC与DE不垂直，∴DE与

A1C不垂直，故C选项错误，∵∠MFB＝∠A1DE＝45°，又∵由余弦定理，可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，且MF，FB为定值，∴MB为定值．故选：ABD．12．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0）、A（2，9）

、B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且O、B、P三点共线，点Q是边AB上一点，且•＝0，R为线段OQ上的一个动点，则（）A．点P的纵坐标为﹣5B．向量在向量上的投影向量为﹣C．＝2D．•的最大值为1【分析

】对于A：设P（14，y），再由由O、B、P三点共线，得存在λ∈R，使得＝λ，即可记得λ，y，即可判断A是否正确；对于B：向量在向量上的投影向量为•，计算即可判断B是否正确；对于C：设Q（a，b），由•＝0，得3a＝4b

①，由点Q在边AB上，得＝②，解得a，b，进而可得Q点坐标，计算，，即可判断C是否正确；对于D：由R为线段OQ上的一个动点，设R（4t，3t），且0≤t≤1，利用二次函数的性质，计算•最大值，即可判断D是否正确．解：对于A：设P（14，y），则＝（14，y），＝（﹣8，﹣3﹣y）

，由O、B、P三点共线，得存在λ∈R，使得＝λ，得（14，y）＝λ（﹣8，﹣3﹣y），解得λ＝﹣，y＝﹣7，所以P（14，﹣7），故A错误；对于B：由上可知A（2，9），＝（8，﹣4）向量在向量上的投影向量为•＝•＝﹣，故B正确；对于C：设Q（a，

b），则＝（a，b），又＝（12，﹣16），则由•＝0，得3a＝4b①，因为点Q在边AB上，所以＝，即3a+b﹣15＝0②，由①②得，a＝4，b＝3，所以Q（4，3），所以＝（2，﹣6），＝（4，﹣12），所以＝2，故C正确；对于D

：因为R为线段OQ上的一个动点，设R（4t，3t），且0≤t≤1，则＝（4t﹣4，3t﹣3），＝（6﹣4t，﹣3t﹣3），所以•＝（4t﹣4，3t﹣3）•（6﹣4t，﹣3t﹣3）＝﹣25t2+40t﹣15，0≤t≤1，所以当t＝时，•的最大值为1．故D正确

．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数z满足（1+i）z＝2i，则复数z＝1+i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），化为2z＝2（i+1），∴z＝1+i．故

答案为：1+i．14．已知向量、满足||＝3，||＝4，、的夹角为60°，则|﹣|＝．【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．解：向量、满足||＝3，||＝4，、的夹角为60°，则|﹣|＝＝＝．故答案为：．15．古希腊数

学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，如图所示，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现吧！记圆柱的体积和表面积分别为V1、S1，球的体积和

表面积分别为V2、S2，则＝1．【分析】设球的半径为R，确定圆柱的底面半径以及高，利用圆柱和球的体积公式以及表面积公式，列式求解即可．解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，所以，，，，故＝．故答案为：1．16．随着经济发展，江门市居住环境进一步

改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园．某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下：公园儿童公园湖连潮头中央公园下沙公园有意向的家族组甲、乙

、丙甲、乙、丁乙、丙、丁若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为．【分析】分以下三种情况枚举所有情况即可，①选儿童公园和湖连潮头中央公园，②选儿童

公园和下沙公园，③选下沙公园和湖连潮头中央公园，利用古典概型计算公式即可．解：①选儿童公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲丙、乙丁；乙丙、甲丁；②选儿童公园和下沙公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；③选下沙公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲乙、丙丁

；甲丁、乙丙；④选3个公园时，有以下几种情况：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙丙、甲、丁；丙、甲乙、丁；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙丁；乙、甲、丙丁；共有18种选择，其中甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的4种，则

甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．夏天是用电的高峰期，为了既满足居民基本用电需求，又提高能源利用效率，某

市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：KW•h），发现他们的用电量都在34KW•h至474KW•h之间，适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（1）求m的值；并求被调查用户中，用电量在[200，350）（kW•h）的户数；（2）为了更合理地满足居民

们基本用电需求，增强市民的环保意识，市政府计划采用阶梯定价，希望使75%的居民缴费在第一档，使90%的居民缴费在第二档，请给出居民缴费位于第二档月平均用电量标准的范围（单位：kW•h）．【分析】（1）由频

率分布直方图即可求出m及样本落在[200，350）的频率，由此能求出样本中用电量在[200，350）的用户数．（2）由图计算可得频率和为0.75对应的数据在第七组，即可对应求出第一档用电量最高值；再求出前八组频率和，即可得到第二档用电量最高值．解：（1）依题意，（0.0008×2+0.0016

×2+0.002×2+0.0024+0.0036+m）×50＝1，解得m＝0.004，根据频率分布直方图，用电量在[200，350）的频率为（0.004+0.0024+0.0002）×50＝0.42，则用电量

在[200，350）的户数为0.42×200＝84户；（2）根据频率分布直方图，前六组的频率和为：（0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024）×50＝0.72＜0.75，前七组的频率和为：（0.0008+0.0016+

0.002+0.0036+0.004+0.0024+0.0002）×50＝0.82＞0.75，所以，频率和为0.75对应的数据在第七组，第一档用电量最高为300+＝315；前八组的频率之和为：0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024+0.0002+0.00

16）×50＝0.9，第二档用电量最高为400kW•h，所以，第二档月平均用电范围为[315，400）（kW•h）．18．已知函数f（x）＝cos4x﹣sin4x，g（x）是由y＝sinx横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变得到的函数，令h（x）＝g（x

）﹣f（x）．（1）求函数h（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）当x∈[，π]时，h（x）≥m2+3m恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）化简函数f（x），求出f（x）的解析式，由图象变换求出函数g（x），再写出函数h（x）的解析式，求出它的最小正周期和对称轴方程；（2）求出x∈

[，π]时h（x）的最小值，把不等式h（x）≥m2+3m化为m2+3m+2≤0，求出解集即可．解：（1）函数f（x）＝cos4x﹣sin4x＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos2x，y＝sinx横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变得到函数g（

x）＝sin2x，h（x）＝g（x）﹣f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）；所以函数h（x）的最小正周期为T＝＝π，令2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z；所以函数h（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z；（2）当x∈

[，π]时，2x﹣∈[，]，当2x﹣＝时，h（x）取得最小值为h（x）min＝﹣，所以不等式h（x）≥m2+3m恒成立，等价于×（﹣）≥m2+3m，整理得m2+3m+2≤0，解得﹣2≤m≤﹣1，所以m的取值范围是[﹣2，﹣1]．19．如图，AB是圆O的直径，

PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG∥平面PBC．【分析】（1）根据圆直径的性质，得BC⊥AC，由PA⊥平面ABC得BC⊥PA．利用线面垂直的判定定理，可BC⊥平面PA

C；（2）取延长OG，交AC于M，连结GM、QM，证出QM是△PAC的中位线，得QM∥PC．利用线面平行的判定定理证出QM∥平面PBC，同理可得QO∥平面PBC，根据面面平行的判定定理，可得平面OQG∥平面PBC．解：（1）∵AB是圆O的

直径，∴BC⊥AC，又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA．∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC；（2）取延长OG，交AC于M，连结GM、QM，∵G为△AOC的重心，∴OM是△AOC的中线，∵Q为PA的中点，M为AC的中点，

∴QM∥PC，∵QM⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴QM∥平面PBC，同理可得QO∥平面PBC，∵QM、QO是平面OQG内的相交直线，∴平面OQG∥平面PBC．20．已知关于x的二次函数f（x）＝mx2﹣nx﹣1，令集合M＝{1，2，3，4}，N＝{﹣1，2，4，6，8}，若分别从集合M、N中

随机抽取一个数m和n，构成数对（m，n）．（1）列举数对（m，n）的样本空间；（2）记事件A为“二次函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞）”，求事件A的概率；（3）记事件B为“关于x的一元二次方程|f（x）|＝2有4个零点”，求事件B的概率．【分析】（1

）直接列举即可；（2）由二次函数的性质可得，n＝2m，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可；（3）由函数与方程的关系，求出n2＞4m，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．解：（1）由题意可得，m∈{1

，2，3，4}，n∈{﹣1，2，4，6，8}，数对（m，n）的样本空间为Ω＝{（1，﹣1），（1，2），（1，4），（1，6），（1，8），（2，﹣1），（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（3，﹣1），（3，2），

（3，4），（3，6），（3，8），（4，﹣1），（4，2），（4，4），（4，6），（4，8）}；（2）若二次函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞），则二次函数f（x）的对称轴，即n＝2m，由（1）可得，总

的基本事件个数为20个，符合n＝2m的基本事件为：（1，2），（2，4），（3，6），（4，8），共4个，所以P（A）＝＝；（3）因为m＞0，二次函数的图象开口向上，方程|f（x）|＝2有4个零点，即方程f（x）＝2和f（x）＝

﹣2各有2个零点，等价于二次函数f（x）＝mx2﹣nx﹣1的最小值＞﹣2，所以，即n2＞4m，样本空间中符合n2＞4m的基本事件有：（1，4），（1，6），（1，8），（2，4），（2，6），（2，8），（3，4），（3，6），（3

，8），（4，6），（4，8），共11个，所以P（B）＝．21．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝2．（1）若△ABC的面积为，求AC的长；（2）若AD＝，∠ACB＝∠ACD+．求∠ACD的大小．【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求AB的值，在△ABC中，由余

弦定理可求AC的值．（2）设∠ACD＝α，由已知可求AC＝，利用三角形内角和定理可求∠BAC＝﹣α，由正弦定理，可得＝，求得sin（﹣α）＝sinα，由﹣α＝α，可求∠ACD的值．解：（1）在△ABC中，因

为BC＝2，∠ABC＝，△ABC的面积为＝AB•BC•sin∠ABC，所以×AB＝，解得AB＝3，在△ABC中，由余弦定理，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝7，所以AC＝．（2）设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD

+＝α+，如图，在Rt△ACD中，因为AD＝，所以AC＝＝，在△ABC中，∠BAC＝π﹣∠ACB﹣∠ABC＝﹣α，由正弦定理，可得＝，即＝，所以sin（﹣α）＝sinα，由α为锐角，可得﹣α＝α，解得α＝，即∠ACD的值为．22．

如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF．（1）当三棱推B1﹣BEF的体积最大时，求二面角B1﹣EF﹣B的正切值；（2）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．

【分析】（1）利用锥体的体积公式表示出，然后利用二次函数的性质确定取最值时x的值，从而得到的E，F分别为AB，BC的中点，取EF的中点O，连接OB，OB1，利用二面角的平面角的定义可得，∠BOB1为二面角B1﹣

EF﹣B的平面角，在三角形中，利用边角关系求解即可；（2）在AD上取点H，使得AH＝AE＝BF，利用异面直线所成角的定义确定∠HA1E即为异面直线A1E与B1F所成的角，然后利用边角关系求出cos∠HA1E，再求解其取值范围，从而得到角的范围．解：（1）

不妨设AB＝a，AE＝x，因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，则BB1⊥平面ABCD，所以＝＝，故当时，三棱推B1﹣BEF的体积最大，此时E，F分别为AB，BC的中点，取EF的中点O，连接OB，OB1，因为BE＝BF，B1E＝B1F，所以BO⊥EF，B1O⊥EF，则∠BOB1为

二面角B1﹣EF﹣B的平面角，在Rt△BEF中，BO＝EF＝，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝，所以当三棱推B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值为；（2）在AD上取点H，使得AH＝AE＝BF，则在正方体ABCD﹣

A1B1C1D1中，HF∥AB∥A1B1，HF＝AB＝A1B1，所以A1H∥B1F，则∠HA1E即为异面直线A1E与B1F所成的角，在Rt△A1AH中，A1H＝，在Rt△A1AE中，A1E＝，在Rt△

HAE中，HE＝，在△HA1E中，cos∠HA1E＝，由题意可知，因为0＜x≤a，则a2＜a2+x2≤2a2，故，所以cos∠HA1E＜1，又∠HA1E，故0＜∠HA1E，所以异面直线A1E与B1F所成的角的取值

范围为．