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第七章复数7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课后篇巩固提升必备知识基础练1.若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D

.第四象限答案C解析z1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1)在第三象限.2.设z1=2+bi(b∈R),z2=a+i(a∈R),当z1+z2=0时,复数a+bi为()A.1+

iB.2+iC.3D.-2-i答案D解析因为z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,所以{2+𝑎=0,𝑏+1=0,于是{𝑎=-2,𝑏=-1,故a+bi=-2-i.3.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a

,b的值为()A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4答案A解析由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故{𝑏+4=0,𝑎+

3=0,4-𝑏≠0,解得a=-3,b=-4.4.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数分别是3+i,-1+3i,则𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗

⃗对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i答案D解析依题意有𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为4-2i,故选D.5.若z1=2+

i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1答案D解析由于z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,故a=-

1.6.(2021安徽期中)若复数z1=3+4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于第象限.答案一解析∵z1=3+4i,z2=-2+3i,∴z1-z2=(3+4i)-(-2+3i)=5+i,∴z1-z2在复平面内对应的点的坐标为(5,1),位于第一象限.7.已知z是复

数,|z|=3且z+3i是纯虚数,则z=.答案3i解析设z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+3i=a+(b+3)i是纯虚数,∴a=0,b+3≠0.又∵|z|=3,∴b=3,∴z=3i.8.设m∈R,复数z1=𝑚2+𝑚𝑚+2+(m-15)i,z2=-2+m(m-

3)i.若z1+z2是虚数,求m的取值范围.解∵z1=𝑚2+𝑚𝑚+2+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,∴z1+z2=(𝑚2+𝑚𝑚+2-2)+[(m-15)+m(m-3)]i=𝑚2-𝑚-4𝑚+2+(m2-2m-15)i.∵z1+z2为虚数,∴m2-2m-

15≠0,且m≠-2,解得m≠5,m≠-3,且m≠-2(m∈R).所以m的取值范围为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).关键能力提升练9.(2019全国Ⅰ卷)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y)

,则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案C解析设z=x+yi(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=√𝑥2+(𝑦-1)2=1,则x2+(y-1)2=

1.故选C.10.若|z|+z=3+i,则z=()A.1-43iB.1+43iC.43+iD.-43+i答案C解析设复数z=x+yi(x,y∈R),依题意有√𝑥2+𝑦2+x+yi=3+i,因此{√𝑥2+𝑦2+𝑥=3,𝑦=1,解

得{𝑥=43,𝑦=1,故z=43+i.11.设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为()A.0B.1C.√22D.12答案C解析由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线

段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离即为√22.12.(多选题)(2021广东东莞期末)已知复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的可能取值有()A.0B.1C.2D.3答案BC解析复数z满足|z|

=1,则|z-1-i|的几何意义是以原点为圆心的单位圆上的点与复平面上的点(1,1)的距离,所以最大值为原点与(1,1)的距离加半径,即√12+12+1=√2+1,最小值为原点与(1,1)的距离减去半径,即√12+12-1=√2-1,所以|z-1-i|的取值范围为[√2-1,√2+

1],故1,2满足题意,0,3不满足.故选BC.13.复数z1=√3𝑚-1-2mi,z2=-m+m2i,若z1+z2>0,则实数m=,𝑧2对应的点位于第象限.答案2三解析z1+z2=(√3𝑚-1-2mi)+(-m

+m2i)=(√3𝑚-1-m)+(m2-2m)i.∵z1+z2>0,∴z1+z2为实数且大于0.∴{√3𝑚-1-𝑚>0,𝑚2-2𝑚=0.解得m=2.∴z2=-2+4i,𝑧2=-2-4i,对应点为(-2,-4),位于第三象限.14.(2021安徽黄

山期中)已知O为坐标原点,向量𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别对应复数z1,z2,且z1=3𝑎+5+(10-a2)i,z2=21-𝑎+(2a-5)i(a∈R),𝑧1+z2是实数.求:(1)实数a的值;(2

)以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积.解(1)由z1=3𝑎+5+(10-a2)i,得𝑧1=3𝑎+5-(10-a2)i,则𝑧1+z2=3𝑎+5+21-𝑎+[(a2-10)+(2a-5)]i的

虚部为0,∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.又a+5≠0,∴a=3.(2)由(1)可得z1=38+i,z2=-1+i,则𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=38,1,𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1),则|𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√738,|𝑂𝑍2⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2,∴cos<𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗|⬚=-38+1√738×√2=5√146,∴sin<OZ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,OZ2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=√1-25146=11√146,∴以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积S=|OZ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||OZ2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sin<OZ1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,OZ2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=√7

38×√2×11√146=118.学科素养创新练15.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案A