【文档说明】广东省惠州市2024-2025学年高三上学期第二次调研考试 数学 Word版含解析.docx，共(16)页，942.455 KB，由小赞的店铺上传

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惠州市2025届高三第二次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟.2024.10注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目

的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合25Axx=∣，集合240Bxxx=−∣，则AB=（）A.()0,5B.)2,4C.()4,5D.()),02,−+2.已知复数z满足210z+=，则1z+=（）A.3B.

2C.1D.23.已知等差数列na前9项的和为1027,8a=，则100a=（）A.100B.99C.98D.974.在正方体1111ABCDABCD−中，棱11,BCAB的中点分别为,EF，则直线EF

与平面11ABBA所成角的正弦值为（）A.55B.66C.255D.3065.已知向量,ab满足：()()3,1,2,23ababb==−=，则向量b在向量a上的投影向量为（）A.535,88B.535,44C.31,88

D.31,446.已知函数()()22log2,fxxaxa=−R，则“0a”是“函数()fx在()1,+上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知“水滴”的表面是一个由圆锥的

侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段,ABAC和优弧BC所围成的平面图形，其中点,BC所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行

于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为43，则sinBAC=（）A.35B.45C.1625D.24258.在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样

本的数据中，结论一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某公司为保

证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3,4,3,1,5,3,2,5,1,3.则关于这组数据的结论正确的是（）A.极差是4B.众数小于平均数C.方差是2D.数据的第

80百分位数为4.510.函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，现将()fx的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()gx的图象，则下列结论正确的是（）A.π6=−B.2=C.函数π12yxfx=+是奇函数D.()

π2cos23gxx=−11.如图，心形曲线22:()1Lxyx+−=与y轴交于,AB两点，点P是L上的一个动点，则（）A.点2,02和()1,1−均在L上B.OP的最大值和最小值之和为3C.点P的纵坐标的最大值为2D.23PA

PB+三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在5(1)x+的二项展开式中，各项的系数和为__________.13.椭圆()222210xyabab+=的左､右顶点分别是AB､，左､右焦点分别是12FF､，若1121,,AFFFFB成等比数列，则此椭圆的离

心率e=__________.14.若关于x的方程21ln24baxx+=+有实根，则22ab+的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）已知函数()212ln2

fxxxx=−−.（1）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求函数()fx在区间1,e上的最小值.16.（本题满分15分）如图，四棱锥PABCD−中，PA⊥底面,ABCDAB∥,1CDADCD==，120,90BADACB==.（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若3

PA=，求平面PCD与平面PCA夹角的余弦值.17.（本题满分15分）已知双曲线22:1Cxy−=及直线:1lykx=−.（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于,AB两点，O是坐标

原点，且OAB的面积为2，求实数k的值.18.（本题满分17分）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知abc且tan,tan,tanABC均为整数.（1）求tan,tan,tanABC的值；（2）设AC的中点为D，求CDB的余弦值.19.（本题

满分17分）若数列()**1,,nanknkNN满足0,1na，则称数列na为k项01−数列，由所有k项01−数列组成集合kM.（1）若na是12项01−数列，当且仅当()*3,4nppp=N时，0na

=，求数列(1)nna−的所有项的和；（2）从集合kM中任意取出两个数列,nnab，记1kiiiXab==−.①求随机变量X的分布列，并证明：()2kEX；②若用某软件产生()2kk项01−数列，记事件A=“第一次产生数字1”，B=“第二次产生数字1”，且()()

01,01PAPB.若()()||PBAPBA，比较()|PAB与()|PAB的大小.惠州市2025届高三第二次调研考试试题高三数学参考答案与评分细则一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号12345678答案BDCBAADC1.【解析】

因为{04}Bxx=∣，所以{24}ABxx=∣.故选：B.2.【解析】因为210z+=，即21z=−，所以iz=，所以2211i1(1)2z+==+=.故选：D.3.【解析】设等差数列na的公差为d，由已知得：119362798adad+=+=，解得11,1ad=−=，

所以10019919998aad=+=−+=.故选：C.4.【解析】连接FB，在正方体1111ABCDABCD−中，BC⊥平面11ABBA，棱BC的中点为E，则BE⊥平面11ABBA，而BF平面11ABBA，故BEBF⊥，则

EFB即为直线EF与平面11ABBA所成角，设正方体棱长为2，则22111,145BEBFBFBB==+=+=，则226EFBFBE=+=，故16sin66BEEFBEF===.故选：B.5.【解析】由()2,23babb=−=，得22||223abbab−=−=

，即52ab=，由已知得2a=，所以向量b在向量a上的投影向量为()2553523,1,||488abaabaaaa===.故选：A.6.【解析】若函数()fx在()1,+上单调递增

，则1120aa−，解得12a，所以“0a”是“函数()fx在()1,+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.7.【解析】设优弧BC所在圆的圆心为O，半径为R，连接,,OAOBOC.易知“水滴”的“竖直高度”为OAR+，“水平宽度”为2R

，由题意知423OARR+=，解得53OAR=.因为AB与圆弧相切于点B，所以OBAB⊥.在RtABO中，3sin553OBRBAOOAR===，又π0,2BAO，所以24cos1sin5BAOBAO=−=，由对称性知，BAOCAO=，则2BAC

BAO=，所以3424sin2sincos25525BACBAOBAO===.故选：D.8.【解析】根据已知条件设理科女生有1x人，理科男生有2x人；文科女生有1y人，文科男生有2y人；根据题意可知：12121122,xxyyxyxy++++，根据同向不等式可

加的性质有：12111222xxxyyyxy++++++，即12xy，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.题号91011全部正确选项ADABDACD9.【解析】数据从小到大排列为：1,1,2,3,3,3,3,4,5,5.对于A，该组数据的极差为514

−=，故A正确；对于B，众数为3，平均数为12234452310++++=，两者相等，故B错误；对于C，方差为222221(13)2(23)1(33)4(43)1(53)21.810−+−+−+−+−=，故C错误；对于D，1080%8=，这组数据的第80百分位

数为第8个数和第9个数的平均数4.5，故D正确.故选：AD.10.【解析】由图像可知：max()2,2fxA==；又()02sin1f==−，故1sin2=−，又π2，所以π6=−，所以A项正确；已知7π7ππ2sin

012126f=−=，由五点作图法可知：7πππ126−=，解得：2=，所以B项正确；故()π2sin26fxx=−；则π2sin212xfxxx+=，设()π2sin212hxxfxxx=+=，则()()()()2

sin22sin2hxxxxxhx−=−−==，所以函数π12yxfx=+是偶函数，故C项错误；()ππππππ2sin22sin22cos2666626gxfxxxx=+=+−=+=−+

ππ2cos22cos233xx=−=−，所以D项正确；故选：ABD.11.【解析】A选项，经验算，点2,02和()1,1−的坐标满足

曲线L的方程：22()1xyx+−=，所以点2,02和()1,1−均在L上，故A项正确；B选项，22OPxy=+，因为曲线22:()1Lxyx+−=关于y轴对称，当0x时，22()1xyx+−=，设ππcos,sin,,22xyx=−=−，所以22

2221cos2||cos(cossin)1sin22OPxy+=+=++=++()3135sin2cos2sin22222=++=++，其中1tan2=，所以minmax35513551|,|222222OPOP−+=−==+=，所以OP的最大值和最小值之和为5，故B项

错误；C选项，因为曲线22:()1Lxyx+−=关于y轴对称，当0x时，22()1xyx+−=，则22()1yxx−=−，所以21yxx=−，因求点P的纵坐标的最大值，故取21yxx=+−，又()()()222222221121121112yxxxxxxxx

=+−=+−=+−++−=（当且仅当212x=时等号成立），所以2y，故C项正确；D选项，23PAPB+等价于点P在椭圆22132yx+=内（包含椭圆），由B项可知，即满足：222(cossin)3cos6++，即()()31cos221sin262+++，整理得

：4sin23cos25+，即()5sin25+，其中其中3tan4=，即()sin21+恒成立，则故D项正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.3213.5514.2e12.【解

析】当1x=时，二项式展开式各项的系数和为5232=.故答案为：32.13.【解析】由题意知1121,2,AFacFFcFBca=−==+，且三者成等比数列，则21211FFAFFB=即()()2224ccacaca=−+=−，所以215e=，所

以55e=.故答案为：55.14.【解析】设方程21ln24baxx+=+的实根为0x，则2001ln24baxx+=+，所以20140e2xbax++=，即20140e02xbax++−=.设点(),Pab，则点P在直线20140e02x

yxx++−=上.设点()0,0O到直线20140e02xyxx++−=的距离为d，则201420e14xdx+=+，设()201e1,42ttxfttt=+=，则()()2e1ttftt−=，求得()ft在1,12上单调递减，在)1

,+上单调递增，所以()min()1eftf==，则()edft=，又222||abOP+=，由几何意义可知OPd，所以2222||eabOP+=.检验：当1t=时，032x=，由2223e022ebaab+−=+

=，解得3e2e2ab==；由2223e022ebaab−+−=+=，解得3e2e2ab=−=，所以则22ab+可以取到最小值2e.故答案为：2e.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或

演算步骤.15.（本小题满分13分，其中第一小问6分，第二小问7分.）【解析】（1）因为：()1111022f=−−=−，所以切点坐标为：11,2−，又()21fxxx=−−，所以()12f=−，即所求切线的斜率为2−.所以切线方程为：()1212yx+=−−，化简得：4

230xy+−=，所以曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为4230xy+−=.（2）()()()()221221,0xxxxfxxxxxx−+−−=−−==由()0fx得2x；由()0fx得02x.所以()fx在1,2上单调递减，在2,e上单

调递增.所以函数()fx在区间1,e上的极小值为()22ln2f=−，也是最小值.所以函数()fx在区间1,e上的最小值为2ln2−.16.（本小题满分15分，其中第一小问5分，第二小问10分.）【解析】（1）证明：已知PA⊥底面ABCD，且BC底面ABCD，所以PAB

C⊥.由90ACB=，可得BCAC⊥又,,PAACAPAAC=平面PAC，所以BC⊥平面PAC.（2）取CD的中点E.由AB∥,120CDBAD=，可得60ADC=，又因为1ADCD==，所以三角形ADC是正三角形，故,AECDAEAB⊥⊥.在RtACB中，60,1BACAC

==，所以2AB=.可建立如图所示的空间直角坐标系，求得()()()31310,0,0,0,0,3,,,0,,,0,0,2,02222APCDB−，由（1）可知，33,,022BC=−是平

面PAC的一个法向量，设平面PDC的一个法向量为(),,nabc=，则00DCnPCn==，即0313022babc=+−=，令3a=，得33,0,2n=，设平面PCD与平面PCA的夹角为，所以352coscos,51532BCnBCnBCn

====.所以平面PCD与平面PCA夹角的余弦值为55.17.（本小题满分15分，其中第一小问7分，第二小问8分.）【解析】（1）直线l与双曲线C有两个不同的交点，则方程组2211xyykx−==−有两

组不同的实数根，整理得()21220kxkx−+−=.()()22210Δ44120kkk−=−−−，解得22k−且1k，双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是()()()

2,11,11,2−−−.（2）解法一：设交点()()1122,,,AxyBxy，由（1）知双曲线C与直线l联立的方程为()21220kxkx−+−=.由韦达定理得：12122222,11kxxxx

kk+=−=−−−，则()222212112114ABkxxkxxxx=+−=++−22222222284141111kkkkkkk−=+−−−=+−−−又O到直线l的距离211dk=+，所以OAB的面积2212221OA

BkSABdk−===−，解得0k=或62k=，又因为22k−且1k，所以0k=或62k=.所以当0k=或62k=时，OAB的面积为2.解法二：设交点()()1122,,,AxyBxy，直线l与y轴交于点()0,1D−，由（1）知双曲

线C与直线l联立的方程为()21220kxkx−+−=.由韦达定理得：12122222,11kxxxxkk+=−=−−−，当,AB在双曲线的一支上且12xx时，()12121122OABOADOBD

SSSxxxx=−=−=−；当,AB在双曲线的两支上且12xx时，()12121122OABOADOBDSSSxxxx=+=+=−综上，1212OABSxx=−.由已知得12122OABSxx=−=，故()2128xx−=，即

()2121248xxxx+−=所以222224811kkk−−−=−−，解得0k=或62k=，又因为22k−且1k，所以0k=或62k=.所以当0k=或62k=时，OAB的面积为2.18.（本小题满分17分，其

中第一小问10分，第二小问7分.）【解析】（1）由abc，则ABC.由πABC++=，则3ABCA++，故π03A，所以0tan3A，因为tanA为整数，所以tan1A=，解法一：由tan1A=，可得π3π,44ABC=+=.因为ABC，所以

B为锐角，则ππ42B，所以ππ42C，所以角,,ABC均为锐角，所以tan,tan,tanABC均为正整数，又tan1A=，所以tantan2CB，由3π1tantantan241tanCBCC−−=−=−，解得tan3C，所以tan2,tan3BC==.综

上，tan1,tan2,tan3ABC===.经检验，当tan1,tan2AB==时，因为()tantan12tan3tan1tantan112ABABCAB+++===−=−−−所以πABC++=，符合题意.解法二：由tan1

A=，可得π3π,44ABC=+=.因为ABC，所以3π24BCB=+，则π3π48B，所以3π1tantan8B.由23π2tan3π8tan13π41tan8==−−，则23π3πtan2tan10

88−−=，解得3πtan128=+或3πtan128=−（舍去），故1tan12B+，又2123,tanB+为正整数，所以tan2B=，所以()tantan12tantan31tantan112ABCABAB++=−+=−=−=−−，综上

，tan1,tan2,tan3ABC===.（2）由（1）可知，tan2,tan3BC==，则2510310sin,cos,sin51010BCC===，在ABC中，由正弦定理πsinsinsin4abcBC==

，可得sin210sin35,ππ55sinsin44aBaaCabc====，又AC的中点为D，所以11025aCDb==，在ABC中，由余弦定理得：2222cosBDCDCBCDCBC=+−2210101025510aaaa=+−

2a=所以BDa=，所以10coscos10CDBC==.19.（本小题满分17分，其中第一小问4分，第二小问7分，第三小问6分.）【解析】（1）因为na是12项01−数列，当且仅当()*3,4nppp=N时，0na=，所以当32np=−和()*31,4nppp=−N时，1

na=.设数列(1)nna−的所有项的和为S，则()24578101112457810111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)Saaaaaaaa=−+−+−+−+−+−+−+−.()2457810111(1)(1)(1)(1)(

1)(1)(1)=−+−+−+−+−+−+−+−()()()()11111111=−+++−+−+++−0=所以数列(1)nna−的所有项的和为0.（2）①证明：因为数列,nnab是从集合kM中任意取出

的两个数列，所以数列,nnab为k项01−数列，所以X的可能取值为：1,2,3,,k.因为集合kM中元素的个数共有012CCCC2kkkkkk++++=个，当()1,2,,Xmmk==时，则数列,nnab中有m项

取值不同，有km−项取值相同，所以()()2222C2CA1,2,,C21kmkkmkkPXmmk====−，所以随机变量X的分布列为：X123kP1C21kk−2C21kk−321kkC−C21kkk−因为()

()()()()()1*11!!CC,1!!1!11!mmkkkmkmkkmmkmkmmkm−−−===−−−−−N，所以()()12123CCC1121C2C3CC21212121kkkkkkkkkkkkkEXkk

=+++=++++−−−−()110121111122CCCC212122kkkkkkkkkkkkkk−−−−−−−=++++==−−，即()2kEX.②解：由条件()()||PBAPBA得：

()()()()()()()1PABPABPBPABPAPAPA−=−，所以()()()()()1PABPAPAPBPAB−−，化简得：()()()PABPAPB，所以()()()()()()()PABPBPABPAPBPBPAB−−，则(

)()()()()1PABPBPBPAPAB−−即()()()()PABPBPBPAB，所以()()()()PABPABPBPB，即()()||PABPAB.