【文档说明】四川省棠湖中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题【精准解析】.doc，共(17)页，1.199 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省棠湖中学高一期中考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R，集合13Axx=−,21Bxxx=−或,则()UACB=（）A.11xx−B.23xx−C.2

3xx−D.21xxx−−或【答案】A【解析】【分析】进行交集、补集的运算即可．【详解】UCB＝{x|﹣2＜x＜1}；∴A∩（UCB）＝{x|﹣1＜x＜1}．故选A．【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.在AB

C中，a、b分别为内角A、B的对边，如果30B=，105C=，4a=，则b=（）A.22B.32C.6D.56【答案】A【解析】【分析】先求出45,A=再利用正弦定理求解即可.【详解】30B=，105C=，45A=，由正弦定理可得4sin45sin30b=，解得1

422222b==，故选：A.【点睛】本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.3.已知向量()()1331ab=−=−，，，，则a与b夹角的大小为()A.6B.2C.23D.56【答案】D【解析】【分析】。分别求出a，b，

ab，利用cos||||abab=即可得出答案.【详解】设a与b的夹角为2222||1(3)2,||(3)12ab=+==−+=1(3)(3)123ab=−+−=−233cos222||||abab−===−[0,]5

6\=故选：D【点睛】本题主要考查了求向量的夹角，属于基础题.4.设等比数列na的公比2q=，前n项和为nS，则52Sa=（）A.2B.4C.172D.312【答案】D【解析】【分析】设首项为1a，利用等比数列

的求和公式与通项公式求解即可.【详解】设首项为1a，因为等比数列na的公比2q=，所以()5152112311222aSaa−−==，故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式与通项公式，熟练掌握基本公式是解题的关键，属于基础题.5.在ABC中，2BDDC=，则

AD=（）A.1233ABAC−B.1233ABAC+C.2133ABAC−D.2133ABAC+【答案】B【解析】【分析】根据向量的三角形法则进行转化求解即可．【详解】∵2BDDC=，∴23ADABADBCBB==++，又BCACAB=−则1233ADABAC=+故选：B【点睛】本题考查向

量加减混合运算及其几何意义，灵活应用向量运算的三角形法则即可求解，属于基础题.6.已知等比数列na中，31174aaa=，数列nb是等差数列，且77ba=，则311bb+=（）A.3B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质求得74a=，再由等差数列的性质可得结果

.【详解】因为na等比数列，且31174,aaa=27740aa=，解得74a=，数列nb是等差数列，则31177228bbba+===，故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列与等差数列的下标性质，属于基础题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2pqmnraaaaa+=+=（

2pqmnr+=+=）.7.设ABC的内角,,ABC所对边的长分别为,,abc，若2,3sin5sinbcaAB+==,则角C=（）A.3B.23C.34D.56【答案】B【解析】【详解】试题分析：3sin5sin

AB=，由正弦定理可得35ab=即53ab=；因为2bca+=，所以73cb=，所以22222222549151999cos51022233bbbabcCabb+−−+−====−，而(0,)C，所以2

3C=，故选B.考点：1.正弦定理；2.余弦定理.8.已知向量()3,1a=，()3,3b=−，则向量b在向量a方向上的投影为（）A.3−B.3C.-1D.1【答案】A【解析】【分析】根据投影的定义和向量的数量积求解即可．【详解】解：∵()3,1a=，()3,3b=−，∴向量b

在向量a方向上的投影cos,abbaba=()22333131−+=+3=−，故选：A．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义及其坐标运算，属于基础题．9.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c依次成

等差数列，a，b，c依次成等比数列，则ABC的形状为（）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.直角边不相等的直角三角形【答案】A【解析】【分析】根据a，b，c依次成等差数列，a，b，c依次成等比数列，利用等差、等比中项的性质可知2aacc+=，根据基本不等式求得a=c，判断

出a=b=c，推出结果．【详解】由a，b，c依次成等差数列，有2b=a+c(1)由a，b，c成等比数列,有bac=(2)，由(1)(2)得2aacc+=，又根据2aacc+，当a=c时等号成立，∴可得a=c，∴2=

=bacaa=，综上可得a=b=c，所以△ABC为等边三角形.故选：A.【点睛】本题考查三角形的形状判断，结合等差、等比数列性质及基本不等式关系可得三边关系，从而求解，考查综合分析能力，属于中等题.10.已知定义域R的奇函数()f

x的图像关于直线1x=对称，且当01x时，()3fxx=，则52f=（）A.278−B.278C.18D.18−【答案】D【解析】【分析】根据函数()fx的图像关于直线1x=对称可得()()2fxfx=−，再结合奇函数的性质即可得出答案．【详解】解：∵函数(

)fx的图像关于直线1x=对称，∴()()11fxfx+=−，∴()()2fxfx=−，∵奇函数()fx满足，当01x时，()3fxx=，∴55222ff=−1122ff=−=−

31128=−=−，故选：D．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与对称性的综合应用，属于基础题．11.若,,2,且25sin5=,()10sin10−=−,则sin=（）A.7210B.22C.12D.110【答案】B【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式

将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可．【详解】β＝α-(α﹣β)，∵2＜απ＜，2＜βπ＜，π−−＜β＜2−，∴2−＜αβ2−＜，∵sin（αβ−）1010=−＜0，∴αβ2−−＜＜0，则cos（αβ−）()2210903101αβ1()1010010s

in=−−=−−==，∵sinα255=，∴cosα22255511()5255sin=−−=−−=−=−，则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）2531055105

=−−（1010−）30252252250502−===，故选B【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键，是基础题12.设函数()sin(0)3fxwxw=+，若()4fxf

对任意的实数x都成立，则w的最小值为（）A.12B.23C.34D.1【答案】B【解析】【分析】()4fxf对任意的实数x都成立，说明三角函数f（x）在4x=时取最大值，利用这个信息求ω的值．

【详解】由题意，当4x=时，()fx取到最大值，所以2()432kkZ+=+，解得28()3kkZ=+，因为0，所以当0k=时，取到最小值23.故选：B.【点睛】本题考查正弦函数的图象及性质

，三角函数的单调区间、对称轴、对称中心、最值等为常考题，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sin2sin=，0,2a，则tan=________．【答案】3【解析】【分析

】由二倍角求得α，则tanα可求．【详解】由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，∵0,2,∴sinα≠0,则12cos=,即3=.∴3tan=.故答案为：3.【点睛

】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查公式的灵活应用，属于基础题.14.设等差数列na的前n项和为nS，若23a=−，510S=−，则nS的最小值为______．【答案】10−【解析】【分析】用基本量法求出数列的通项公式，由通项公式可得nS取最小值时的n

值，从而得nS的最小值．【详解】设数列公差为d，则由已知得2151351010aadSad=+=−=+=−，解得141ad=−=，∴1(1)4(1)5naandnn=+−=−+−=−，50nan=−，5n，又50a=，、∴nS的最小值为5410SS==−．故答案

为：10−．．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最值．首项为负且递增的等差数列{}na，满足0na的最大的n使得nS最小，首项为正且递减的等差数列{}na，满足0na的最大的n使得nS最大，当然也可把nS表示为

n的二次函数，由二次函数知识求得最值．15.设数列na满足1226aa==，，且21122nnnnnaaaba，++−+==，则数列nb的前n项和nS=_______________.【答案】1nn+【解析】令1112,

62442(1)22nnnnnncaaccccnn++=−−==−==+−=+1(22)22(2)(22)42(1)2nnnnnaanannnn++−=+=+−+++==+11111(1)111nnnbSnnnnnn==−=−=++++16.在直角坐标系xOy中，

一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(1,1)时，OP的坐标为________．【答案】(1sin1,1cos1)−−【解析】【分析】设滚动后圆的圆心为C，切点为A，连

接CP．过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（1，1），算出312=+，结合三角函数的

诱导公式，化简可得P的坐标为(1sin1,1cos1)−−，即为向量OP的坐标．【详解】设滚动后的圆的圆心为C，切点为(1,0)A，连接CP，过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于(2,1)B，设BCP=，∵C的方程为22(1)(

1)1xy−+−=，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为(1cos,1sin)++，∵单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，圆滚动到圆心位于(1,1)，1ACP=，可得312=−，可得3coscos1sin12=−=−，3sinsin1cos12=−=−

，代入上面所得的式子，得到P的坐标为(1sin1,1cos1)−−，所以OP的坐标是(1sin1,1cos1)−−.故答案为：(1sin1,1cos1)−−.【点睛】本题考查圆的参数方程,平面向量坐标表示的应用，解题的关键是根据数形结合找到变量的角度，属于中等题.三.解答题：共7

0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，1ADCD==，3AB=，（Ⅰ）若ACABBD+=，求实数的值；（Ⅱ）若ADBC⊥，求数量积ACBD的值【答案】（Ⅰ）4

3−（Ⅱ）3−【解析】【分析】（Ⅰ）根据平面向量基本定理求解，（Ⅱ）根据向量数量积定义求解.【详解】（Ⅰ）因为ACABBD+=，所以ADDCABBAAD++=+,103ABABAB++=,因此43=−，（Ⅱ）()()()()()22222··

······3?33.ACBDADDCBCCDADCDDCBCCDADBCCDCDABBCCDBCCDCDCDCDCDCDCD=++=+−=−−=++−−=−+−=−=−【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断

与求解能力，属中档题.18.设na是等比数列，公比大于0，其前n项和为()*nSnN．nb是等差数列，已知2433315732,4,,3aaaabbabb==+=+=+．(1)求na和nb的通项公式；(2)设数列nnSb+的前n项和

为()*nTnN，求nT.【答案】(1)12nna-=，nbn=；(2)21222nnnnT+−=−+【解析】【分析】先根据等差数列、等比数列的概念求出通项公式，再求出nnSb+的通项公式，然后利用分组求和法及公式

法即可求出nT.【详解】解：（1）设na的公比为q，nb的公差为d，∵22a=，∴22432244202aaaqaqqqq=+=+−−==或1q=−（舍）∴2122nnnaaq−−==由331115731213341,abbbdba

bbbdd=++===++==，∴()111nbnn=+−=∴na的通项公式为12nna-=，nb的通项公式为nbn=（2）∵()11121121222112nnnnnSaaa−−=+++=++==−−∴21nnnSbn+=+−∴()()212120

1221222nnnnnnnT+−+−−=+=−+−.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法及数列求和问题，属中等难度题.19.已知函数()3sin22sincos6fxxxx=−−．（1）求()

fx的最小正周期；（2）当,44x−时，求()fx的值域．【答案】（1）T=；（2）11,2−【解析】【分析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x

的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f（x）的值域．【详解】(1)31()3sin2cos2sin222fxxxx=−−13sin2cos222xx=−sin23x=−，T=；(2)44x

−Q，∴52636−−x，∴11sin232x−−，()fx的值域为11,2−.【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性

较强，属于简单题.20.已知数列na的前n项和为nS，且()12nnnS+=，*nN.（1）求证：数列na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，12nnTbbb=+++，求nT.【答案】（1）nan=；（2）1nnTn=+．【解析】【分析】（1）利

用11,1,2nnnSnaSSn−==−即可求出答案；（2）利用裂项相消法即可求出答案．【详解】解：（1）∵()12nnnS+=，当1n=时，111aS==，当2n时，1nnnaSS−=−()()1122n

nnn+−=−n=，∴nan=，*nN；（2）∵11nnnbaa+=()11nn=+111nn=−+，∴11111122334nT−+−+−+=11...1nn+−+

111n=−+1nn=+．【点睛】本题主要考查数列已知nS求na，考查裂项相消法求和，属于中档题．21.设na是一个公比为q的等比数列，且14a，23a，32a成等差数列.（1）求q；（2）若数列na前4项的和41

5S=，令2nnbna=（nN），求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）2q=，1q=（2）()1122nnTn+=−+或()1514nTnn=+【解析】【分析】（1）根据14a，23a，32a成等差数列，得到

2320qq−+=，解得答案.（2）讨论2q=和1q=两种情况，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）因为na是一个公比为q的等比数列，所以11nnaaq−=.因为14a，23a，32a成等差数列，所以213642aaa=+即2320qq−+=.解得

2q=，1q=.（2）①若2q=，又它的前4和415s=，得()411151aqq−=−，解得11a=所以12nna-=，因为22nnnbnan==，（nN），∴231222322nnTn=++++，()23412122232122nnnT

nn+=++++−+，∴23122222nnnTn+−=++++−，∴()11122212212nnnnTnn+++−=−−=−+−②若1q=，又它的前4和415s=，即1415a=，1154a=因为2nnbna=，（n

N），所以()()1515123124nTnnn=++++=+LL.【点睛】本题考查了等比数列的计算，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.22.已知函数6()4fxxx=−+．（1）若不等式(ln)ln0fxax−在21,1e上恒成立，求a的取值范

围；（2）若函数()()22222log49log4yfxbx=++−+恰好有三个零点，求b的值及该函数的零点．【答案】（1）52a−（2）6b=,函数的三个零点分别为0,2,2−【解析】【分析】（1）利用换元法,将不等

式变形,构造成二次函数形式,结合二次函数的对称性及单调性即可求得a的取值范围.（2）根据零点定义,可得对应的方程.利用换元法,将方程变形,由方程有三个零点和函数的对称性,可确定其中的一个解.将方程的解代入即可求得b的值,再将b的值代入即可求得方程的三个

根,即函数的三个零点.【详解】（1）令lntx=,由21,1ex可得)2,0t−则不等式(ln)ln0fxax−在21,1e上恒成立,可化为()0ftat−在)2,0t−上恒成立即640tatt−+−,变形可得2641att−++

所以2115633at−−+因为)2,0t−,则11,2t−−所以根据二次函数的图像与性质可知实数a满足22max115115566332332at−−+=−−−+=−所以实数a的范围为52a−（2）

令()22log4mx=+,则由对数的性质可知2m函数()()22222log49log4yfxbx=++−+的三个零点需满足0y=所以()()22222log490log4fxbx++−=+,化简可得()290fmbm+−=即62490

bmmm−++−=化简可得25260mmmb−+−=因为()()22222log490log4fxbx++−=+恰好有三个实数根则必有一根为0x=（否则根据函数的对称性可知会有四个根）即()2log042m=

+=代入方程25260mmmb−+−=可解得6b=则方程可化为2560mmm−+=,解方程可得2m=或3m=当3m=时,即()22log43x+=,解得2x=综上可知,6b=,函数的三个零点分别为0,2,2−【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题的解法,二次函数图像与

性质的综合应用,函数零点的定义及对应方程的解法,综合性强,属于难题.