【文档说明】江苏省常州市礼嘉中学2020-2021学年高一下学期第二次阶段质量调研数学试卷 版含答案.doc，共(12)页，1.020 MB，由小赞的店铺上传

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礼嘉中学2020-2021学年第二学期高一年级数学第二次阶段质量调研试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC△中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点．则

AD（）A．3144ABAC−B．1344ABAC−C．3144ABAC+D．1344ABAC+2.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC3.已知向量满足，则向量夹角

的余弦值为（）A．B．C．D．4.若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与

a平行的直线5．ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若105A=，45B=，22b=，则c等于（）A．1B．2C．3D．26.已知函数()23fxsinxsinxcosx=+，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB

．f（x）的最大值为32C．f（x）在536，上单调递增D．f（x）的图象关于直线x6=对称7．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝3，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦

值为()A．64B．63C．26D．368．在正方体1111ABCDABCD−中，设M为线段BC的中点，则下列说法正确的是()A．1AMBD⊥B．1//AM平面11CCDDC．11AMAB⊥D．1AM⊥平面11ABCD二、多项选择题：本大题共4小

题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分．9．判断下列结论中正确的是()A．垂直于同一个平面的两平面平行．B．直线a⊥α，b⊥α，则a∥B．C．若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．D．若

平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.10．下列四个选项中，化简正确的是A．62cos124−=B．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝22−C．241coscoscos9998=D．tan72t

an1231tan72tan12−=+11．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.则()A．平面BCF⊥平面ADFB．EF⊥平面DAFC

．△EFC为直角三角形D．VC-BEF∶VF-ABCD＝1∶412．设复数1(,izabab=+R且0)b，则下列结论正确的是（）A．z可能是实数B．||=||zz恒成立C．若2zR，则0a=D．

若1zRz+，则||=2z三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为________．14．若cos222sin

4=−−，则sin2=_____．15．如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD−中，点E､F､G分别是棱AB､BC､CD的中点，则由点E､F､G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积

等于___________.16．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.四．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应

写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．在复平面内，复数222(34)zaaaai=−−+−−（其中aR）.（1）若复数z为纯虚数，求a的值；（2）对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．18．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinco

s6bAaB=-.（1）求B；（2）设2a=，7b=，延长AC到点D使2ACCD=，求BCD△的面积.19.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE．20.已知四棱锥PABCD−中，//ABCD，ABAD⊥，4AB=，22AD=，2CD=，PA⊥平面ABCD，4PA=.（1）设平面PAB平面PCDm=，求证：CD//m；（2）若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积.21.如图所示，A、B，分别是单位圆与

x轴，y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，AOP=（0），点C坐标为()2,0−，平行四边形OAQP的面积为S．（1）求tOAOQS=+的最大值；（2）若//CBOP，求sin23−22.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B

的一动点．(1)证明：△PBC是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为2时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．1．【答案】A2.【答案】C【解析】由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的

交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD．3.（A）4.【答案】A【解析】当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A．5．【答案】D【详解】由题意知：()6CAB=−+=，∴△ABC中，有sinsincbCB=，

则122sin22sin22bCcB===.故选：D6.【答案】B【详解】()21cos233113sin2sin2cos222222xfxsinxsinxcosxxxx−=+=+=−+1sin262x=−+.()fx的最小正周期为，最大值为32，故A错误，B正确

.对C，当536x，时，32,622x−，又sinyt=在3,22t上单调递减，()fx在536，上单调递减.故C错误.对D，11sin2sin1666262f

=−+=+=，不是最值，故D错误.故选：B.7．【答案】A【解析】如图，连接A1D，A1C1，由题易知B1C∥A1D，所以∠C1DA1是异面直线B1C与C1D所成的角，又AA1＝AB＝3，AD＝1，所

以A1D＝2，DC1＝6，A1C1＝2，由余弦定理，得cos∠C1DA1＝C1D2＋A1D2－A1C212×C1D×A1D＝64，故选A．8．【答案】C【详解】若1AMBD⊥，由1AA⊥平面ABCD，AM为1AM在底面ABCD上的射影，由三垂线定理的逆定

理可得BDAM⊥，但BDAC⊥，显然矛盾，故A错误；若1//AM平面11CCDD，又1AM平面11ADCB，且平面11CDDC平面111BCDADC=，所以11//DCAM，但11//DCAB，显然矛盾，故B错误；连接1AB，由11ABAB⊥，1AB为1AM在平面11

ABBA上的射影，可得11AMAB⊥，故C正确；若1AM⊥平面11ABCD，则1AMAB⊥，又1AA⊥平面ABCD，AM为1AM在底面ABCD的射影，可得AMAB⊥，显然不成立，故D错误．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题

，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分．9．【答案】BC10．11．【答案】AD【解析】因BF⊥AF，BF⊥DA，所以BF⊥平面DAF所以平面BCF⊥平面ADF，由题意可知，平面CBF

将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V四棱锥F-ABCD，V三棱锥F-CBE.过点F作FG⊥AB于点G，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，FG⊂平面ABEF，所以FG⊥平面ABCD．所以V四棱锥F-ABCD＝13×1×2×FG＝

23FG，V三棱锥F-BCE＝V三棱锥C-BEF＝13×S△BEF×CB＝13×12×FG×1×1＝16FG，由此可得V三棱锥C-BEF∶V四棱锥F-ABCD＝1∶4.12．【答案】BC【详解】对于选项A，若222

2221iiiababzabababab−===−++++是实数，则0b=，与已知矛盾，故A错误；对于选项B，由A知2222iabzabab=+++，所以222222=,abzabab−+++222222||()()abzabab

=+++||z=，故B正确；对于选项C，2222222222222222222222ii()()()()()ababababzababababab−=−−=−+++++R，则22220()abab=+，因为0b≠，所以0a=，故C正确；对于选项D，11i

izabzab+=+++2222()()iabababab=++−++R，则220bbab−=+，因为0b≠，所以22=1ab+，所以222222||=()()=1abzabab−+++，故D错误.三.填空题：本大题共

4小题，每小题5分，共20分.13．【答案】32【解析】等边圆柱的表面积为S1＝2πR·2R＋2·πR2＝6πR2，球的表面积S2＝4πR2，∴S1S2＝6πR24πR2＝32．14．【答案】34−【解析】cos22,2cos22244sinsin

=−=−−，()222cossincossin−=−，cos0sin−=或1cos2sin+=，平方可得120sin−=或1124sin+=，21sin=或32,4sin

=−若21sin=，则cos20=，不合题意应舍去，故答案为34−.15．【答案】332【详解】分别取AD中点P，1CC中点M，1AA中点N，可得出过E，F，G三点的平面截正方体所得截而为正六边形EFMGPN，则正六边形的边长2211122MGCGCM=+=+=，故截面多边形的面积

等于23336142S==.16．【答案】2【解析】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝22.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴

EF＝12AC＝2.四．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．【详解】（1）因为复数z为纯虚数，所以2220340aaaa−−=−−，所以2a=（2）因为z对应的点在第

四象限，所以2220340aaaa−−−−解不等式组得，24a，即a的取值范围是()2,4.18．【详解】（1）∵sincos6bAaB=−.由正弦定理sinsinabAB=，可得sinsinbAaB=，∴可得：s

incos6aBaB=−，可得：31sincos=cossin622BBBB=−+，化简可得：tan3B=，∵()0,B，∴3B=.（2）由sinsinabAB=，可得32sin212sin77aBAb

===，可得cos727=A，()321sinsinsincoscossin14CABABAB=+=+=，所以11321332sin2722142ABCBCDSSabC====，可得334BCDS=△.19.证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD

⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且P

C∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．20.（1）证明

：因为//ABCD，CD平面PAB，ABÌ平面PAB，所以//CD平面PAB.因为CD平面PCD，平面PAB平面PCDm=，所以//CDm.（2）解：1114222PBEPBASSPAAB===△△，∵//CD平面PAB，所以,CD

两点到平面PAB的距离相等.由条件易得DA⊥平面PAB且22AD=∴1182422333PBECCPBEDPBEPBEVVVSDA−−=====△．21.【解】（1）()1,0A，()0,1B，AOP=，则()cos,sinP因为OAQP为平行四边形，所以si

nsinSOA==且()cos1,sinOQOPOA===+所以cos1OAOQ=+，则sincos12sin14t=++=++，()0,，5,444+，则2sin,142+−

，所以t的最大值为21+；（2）()2,1CB=，由（1）()cos,sinOP=，//CBOP，则//CBOP，所以2sincos0−=222142sincos0sinsin22sincos55sincos123coscos22cos1055−====

+===−=所以433sin2sin2coscos2sin33310−−=−=．22.(1)证明:∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点．∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，又PA∩

AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．(2)解:如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角，∵PA⊥平面

ABC，∴∠PCA即是PC与平面ABC所成的角，∵tan∠PCA＝PAAC＝2，又PA＝2，∴AC＝2，∴在Rt△PAC中，AH＝PA·ACPA2＋AC2＝233，∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝AHAB＝2332＝33，即直线AB与平

面PBC所成角的正弦值为33.