【文档说明】湖北省荆州中学2021届高考数学四模试卷 含解析【精准解析】.docx，共(19)页，647.937 KB，由小赞的店铺上传

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2021年湖北省荆州中学高考数学四模试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．集合A＝{x∈R|z＝x+2i的实部为0}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，C＝{m∈Z||m|＜3}，i为虚数单位，则∁CB为（）A．{﹣2，﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，1}C

．{﹣1，1}D．{﹣2，2}2．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7＝0相切，则p的值为（）A．B．1C．2D．43．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.2x+3，则c，k的值分别是（）A．e2，0.6B．e

2，0.3C．e3，0.2D．e4，0.64．定义域是一个函数的三要素之一，已知函数Jzzx（x）定义域为[211，985]，则函数shuangyiliu（x）＝Jzzx（2018x）+Jzzx（2021x）的定义域为（）A．B．C．D．5

．若cos（﹣α）＝，则cos2α﹣sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18

C．24D．547．期待已久的2021年高考终于要来了，自信的小强在十张完全相同的卡片上写下了“高考考完了，生活开挂了”这句话中的10个汉字，每张片上一个字，写完了，他把十张卡片往天花板上一扔，结果卡片掉下来居然从左至右摆成了一排，他思考了

一下，发现卡片从左至右可以摆出n种不同的结果，则（2018x﹣2021y）n展开式中各项系数之和为（）A．B．C．D．8．已知A（x1，0），B（x2，0）两点是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，φ∈

（0，π））与x轴的两个交点，且满足|x1﹣x2|min＝，现将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到的新函数图象关于y轴对称，则φ的可能取值为（）A．B．C．D．二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知m，n是空间中两条不同

的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是（）A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α10．在下列区间中，函数f（x）＝ex﹣4

x﹣3一定存在零点的区间为（）A．B．（﹣e，3）C．D．11．已知双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，双曲线的左焦点在直线上，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2的取值可能为（）A．B．1C．D．

212．若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（）A．0B．C

．D．三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知双曲线的中心在原点，有一个焦点F（0，﹣2），它的离心率是方程2x2﹣5x+2＝0的一个根，则双曲线的标准方程是．14．已知P1，P2是曲线C：y＝2|lnx|上的两点，分别以P1，P2为切点作曲线C的切线l1，l2，且l1⊥

l2，切线l1交y轴于A点，切线l2交y轴于B点，则线段AB的长度为．15．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且，，则2x+y的最小值为．16．已知数列{an}满足（n+1）an+1＝an+n，a1＝2，则a3﹣1的值为，a20

21的值为．四、解答题（共6小题，共70分）17．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．18．△ABC的内角A，

B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．19．图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其

中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．20．随着资本市场的强势进入，互联网共

享单车“忽如一夜春风来”遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：经常使用偶尔或不用合计30岁及以下703010030岁以上6040100合计13

070200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提认为A市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（

ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（k2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.024

6.63521．如图，已知椭圆的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2．（1）求圆C2的标准方程；（2）已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点．（i）求证：OP⊥OM；（

ii）试探究是否为定值．22．已知f（x）＝（lnx）2+2x﹣aex．（1）当a＝0时，求函数f（x）的导函数f'（x）的最大值；（2）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，每小

题5分，共40分）.1．集合A＝{x∈R|z＝x+2i的实部为0}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，C＝{m∈Z||m|＜3}，i为虚数单位，则∁CB为（）A．{﹣2，﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣1，1}D．{﹣2，2}解：因为

A＝{x∈R|z＝x+2i的实部为0}＝{0}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}＝{0}，C＝{m∈Z||m|＜3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则∁CB＝{﹣2，﹣1，1，2}．故选：A．2．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线

与圆x2+y2﹣6x﹣7＝0相切，则p的值为（）A．B．1C．2D．4解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2＝16相切，所以故选：C．3．以模型y＝cekx去拟

合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.2x+3，则c，k的值分别是（）A．e2，0.6B．e2，0.3C．e3，0.2D．e4，0.6解：对于y＝cekx，两边取自然对数得z＝lny＝ln（cekx）＝lnc+kx，所以，解得k＝0

.2，c＝e3．故选：C．4．定义域是一个函数的三要素之一，已知函数Jzzx（x）定义域为[211，985]，则函数shuangyiliu（x）＝Jzzx（2018x）+Jzzx（2021x）的定义域

为（）A．B．C．D．解：根据题意得，解得：x∈[，]．故选：A．5．若cos（﹣α）＝，则cos2α﹣sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣解：由，得＝，故选：C．6．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上

四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．54解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB＝6，球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C＝＝，OO′＝＝2，则三棱锥D﹣ABC高的最大

值为：6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：＝18．故选：B．7．期待已久的2021年高考终于要来了，自信的小强在十张完全相同的卡片上写下了“高考考完了，生活开挂了”这句话中的10个汉字，每张片上一个字，写完了，他把十张卡片往天花板上一扔，结果卡片掉下来居然从左至右摆成

了一排，他思考了一下，发现卡片从左至右可以摆出n种不同的结果，则（2018x﹣2021y）n展开式中各项系数之和为（）A．B．C．D．解：∵高考考完了，生活开挂了这句话中，有两个考字，两个了字，∴n＝＝，令x＝1，y＝1，则（2018x﹣2021y）n展开式中各项系

数之和为＝，故选：A．8．已知A（x1，0），B（x2，0）两点是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，φ∈（0，π））与x轴的两个交点，且满足|x1﹣x2|min＝，现将函数f（x）的图象向左平移个单位

，得到的新函数图象关于y轴对称，则φ的可能取值为（）A．B．C．D．解：由题意，|x1﹣x2|min＝，令f（x）＝0，可得sin（ωx+φ）＝，由A（x1，0），B（x2，0）两点是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，φ∈（0，π））与x轴的两个交点，设x1＞x2，不妨令x1ω+2

φ＝，x2ω+2φ＝，即（x1﹣x2）ω＝；∴ω＝2∴f（x）＝2sin（2x+φ）+1函数f（x）的图象向左平移个单位，得到的新函数图象关于y轴对称，即+φ＝，可得φ＝．故选：A．二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知m，n是空

间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是（）A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α解：已知α⊥β，对于A，如图1，若m⊂α，m与l平行时，m∥β，故A错误

；对于B，如图1，若m⊂α，n⊂β，m与n都平行于l时，m∥n，故B错误；对于C，如图1，若m⊥β，则m∥α或m⊂α，又m⊄α，∴m∥α，故C正确；对于D，如图2，若α∩β＝m，n⊥m，则n⊂α或n∥α或n与α相交，相交也不一定垂直，故D错误．故选：ABD．10．在下

列区间中，函数f（x）＝ex﹣4x﹣3一定存在零点的区间为（）A．B．（﹣e，3）C．D．解：由f（x）＝ex﹣4x﹣3，得f′（x）＝ex﹣4，当x∈（﹣∞，ln4）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（ln4，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（ln4）

＝eln4﹣4ln4﹣3＝1﹣4ln4＜0．对于A，f（﹣1）＝＞0，f（）＝＜0，∴f（x）在（﹣1，）内一定存在零点，A正确；对于B，f（﹣e）＝e﹣e+4e﹣3＞0，f（3）＝e3﹣15＞0，又∵﹣e＜ln4＜3，f（ln4）＜0，∴f（x）在（﹣e，3）内一定存在零点，故B正确；对于C

，f（0）＝﹣2＜0，f（）＜0，∵＜ln4，∴f（x）在内不存在零点，故C错误；对于D，f（﹣1）＞0，f（）＝＜0，则f（x）在（﹣1，）内存在零点，故D正确．故选：ABD．11．已知双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，双曲

线的左焦点在直线上，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2的取值可能为（）A．B．1C．D．2解：双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，可

得a＝2b，双曲线的左焦点在直线上，可得﹣c＝﹣，即c＝，由a2+b2＝5，解得a＝2，b＝1，双曲线的方程为﹣y2＝1，由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），设P（m，n），可得﹣n2＝1，即有＝，可得k1k2＝•＝＝，k1，k2＞0，则k1+k2≥2＝1，由A，B为左右顶

点，可得k1≠k2，则k1+k2＞1，故选：CD．12．若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若恰

有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（）A．0B．C．D．解：若使f（x）有两个友情点对，则a＜0，且y＝与y＝﹣ax2在x＞0时有两个交点，则＝﹣ax2，﹣a＝，即y＝﹣a与y＝在x＞0时有两个交点，对于y＝，得y′＝，当x∈（0

，1）时，y＝单调递增，当x∈（1，+∞）时，y＝单调递减，∴x＝1，ymax＝，又x→0时，y→0，x→+∞时，y→0，∴f（x）的大致图象为：要使y＝﹣a与y＝在x＞0时有两个交点，则﹣a∈（0，），即a∈（﹣，0），结合选项可知，实数a的值可以是CD．故选：BD．三、填

空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知双曲线的中心在原点，有一个焦点F（0，﹣2），它的离心率是方程2x2﹣5x+2＝0的一个根，则双曲线的标准方程是y2﹣．解：双曲线的中心在原点，有一个焦点F（0，﹣2），它的

离心率是方程2x2﹣5x+2＝0的一个根，可得e＝2，c＝2，则a＝1，所以b＝，所以所求双曲线方程为：y2﹣．故答案为：y2﹣．14．已知P1，P2是曲线C：y＝2|lnx|上的两点，分别以P1，P2为切点作曲线C的切线l1，l2，且l1⊥l2，切线l1交y轴于A点，

切线l2交y轴于B点，则线段AB的长度为4﹣4ln2．解：y＝2|lnx|＝，y′＝，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），两切线斜率分别为k1，k2，由l1⊥l2得k1•k2＝﹣1，不妨设0＜x1＜1≤x

2，故l1：y+2lnx1＝﹣（x﹣x1），令x＝0得A（0，2﹣2lnx1），同理B（0，﹣2+2lnx2），又k1•k2＝﹣＝﹣1所以x1x2＝4，则|AB|＝|4﹣2ln（x1x2）|＝4﹣4ln2．故答案为：4﹣4ln2．15．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别

交AB，AC两边于M，N两点，且，，则2x+y的最小值为．解：∵G是△ABC的重心，∴＝+，又∵，，∴＝+，∵M，G，N三点共线，∴+＝1，∵2x+y＝（2x+y）（+）＝++1≥2+1＝，当且仅当＝时取等号，∴2x+y的最小值为．故答案为：．1

6．已知数列{an}满足（n+1）an+1＝an+n，a1＝2，则a3﹣1的值为，a2021的值为+1．解：∵（n+1）an+1＝an+n，a1＝2，∴an+1﹣1＝，即＝，∴an﹣1＝••……••（a1﹣1）＝××……××1＝．∴a3﹣1＝＝，a2021＝+1．故答案为：，+1

．四、解答题（共6小题，共70分）17．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）当d＞1时，

记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．解：（1）设a1＝a，由题意可得，解得，或，当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；当时，an＝（2n+79），bn＝9•；（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn＝＝，∴Tn＝1+3•+5•

+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴Tn＝1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴Tn＝2+++++…+﹣（2n﹣1）•＝3﹣，∴Tn＝6﹣．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝acsinB＝，∴3csinBsinA＝2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC＝；（2）∵6cosBcosC＝1，∴cosBc

osC＝，∴cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sinBsinC＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2

＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．19．图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结

DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．【解答】证明：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG，∴AD，CG

确定一个平面，∴A，C，G，D四点共面，由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，∴AB⊥面BCGE，∵AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE．解：（2）作EH⊥BC，垂足为H，∵EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，∴EH⊥平面ABC，由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC

＝60°，∴BH＝1，EH＝，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H﹣xyz，则A（﹣1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），＝（1，0，），＝（2，﹣1，0），设平面ACGD的法向量＝（x，y，z），

则，取x＝3，得＝（3，6，﹣），又平面BCGE的法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∴二面角B﹣CG﹣A的大小为30°．20．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问

卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：经常使用偶尔或不用合计30岁及以下703010030岁以上6040100合计13070200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提认为A市使用共享单车情况与年龄有关？（

2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考

数据：p（k2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解：（1）由列联表可知，．因为2.198＞2.072，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年

龄有关．（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）．（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e．则从5人中选出2人的所有可

能结果为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种．其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为（d，e），共1种．故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．21．如图，已知椭圆的

左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2．（1）求圆C2的标准方程；（2）已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点．（i）求证：OP⊥OM；（ii）试探究是否为定值．解：（1）因为A2，B1分别为椭圆的右顶

点和上顶点，则A2，B1坐标分别为（2，0），（0，1），可得直线A2B1的方程为：x+2y＝2，则原点O到直线A2B1的距离为，则圆C2的半径，故圆C2的标准方程为，（2）（i）可设切线l：y＝kx+b（k≠0），P（x1，y1），M（x2，y2），将直线PM方程代入椭圆C1可得，由韦

达定理得：则，又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离，整理得，则，所以，故OP⊥OM．（ii）由OP⊥OM知，①当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时；②当直线OP的斜率存在时，设OP：y＝k1x代入椭圆方程可得，则，故，同理，则．综上可知：

为定值．22．已知f（x）＝（lnx）2+2x﹣aex．（1）当a＝0时，求函数f（x）的导函数f'（x）的最大值；（2）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝0时，f′（x）＝+2，设g（x）＝f′（x）＝+2，g′（x）＝，令

g′（x）＝0，得x＝e，在（0，e）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（e，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以f′（x）max＝g（x）＝max＝f′（e）＝+2．（2）f′（x

）＝+2﹣aex，f（x）有两个极值点，等价于f′（x）有两个变号的零点，即a＝有两个实数根，令函数h（x）＝，问题转化为函数h（x）与直线y＝a有两个不同的交点，h′（x）＝，在（0，1）上，h′（x

）＞0，h（x）单调递增，在（1，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝，又因为当x→0时，h（x）→﹣∞；当x→+∞时，h（x）→0，所以实数a的取值范围为（0，）．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com