【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期暑假作业检测（入学考试）数学试题 （答案解析）.docx，共(22)页，1.117 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-60aa8f10db8298d4e3633ae66ccd1692.html

以下为本文档部分文字说明：

长郡中学2022年高二暑假作业检测试卷数学得分：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．

已知i是虚数单位，复数()()242izxx=−++是纯虚数，则实数x的值为（）A．2B．2−C．2D．4【答案】A【分析】由题意，利用纯虚数的定义，求得实数x的值．【解析】解：i是虚数单位，复数2(4)(2)zxxi=−++是纯虚

数，24020xx−=+，2x=，故选：A．2．若0ab，则下列不等式成立的是（）A．2ababab+B．2abaabb+C．2ababab+D．2abaabb+【答案】B【分析】直接利用不等式的性质推出结果即可．【解析】解：0ab，可得2aab

+，可得2aba+，并且0ab，可得2abab+，2abb．abb，可得：2abaabb+．故选：B．3．在平面四边形中，满足ABCD+=0，()0ABADAC−=，则四边形ABCD是（）A．矩形В．正方形C

．菱形D．梯形【答案】C【分析】由向量的运算性质进行判断．【解析】平面四边形ABCD中，由0ABCD+=，得ABDC=，可知,ABDC共线，由()0ABADACDBAC−==，可知ACDB⊥，因此可得四边形ABCD是菱形，故选C．4．《九章算术》是

中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（）A．2514+B．25144+C．2512+D．25142+【答

案】B【分析】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，由已知周长求出r和R，然后由圆台的侧面积公式求解即可．【解析】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则有22r=，23R=，解得13,2rR==，又圆台的高为1丈，所以圆台的母线长为222411()2lRr+=+−=

，所以圆台的侧面积为221341514()()224SRrl++=−=+=．故选：B．5．已知a，b是两条不重合直线，，是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A．若ab∥，b∥，则a∥B．若⊥，a∥，则a⊥C．若⊥，a，a⊥，则a∥D．若

b⊥，ab∥，⊥，则a∥【答案】C【分析】利用线线，线面，面面的位置关系逐项分析即得．【解析】解：若//ab，//b，则//a或a，故A错误；若⊥，//a，则//a或a或a与相交

，故B错误；若⊥，a⊥，则//a或a，又a，故//a，故C正确；若b⊥，//ab，则a⊥，又⊥，则//a或a，故D错误．故选：C．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若coscosacbCbA−=−，则△

ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cossinsincosBCAB=，从而可求cos0B=，或sinsinAC=，进而可得B为直角，或AC=，即可判断得解三角形的形状

．【解析】解：coscosacbCbA−=−，由正弦定理可得：sinsinsincossincosACBCBA−=−，可得：sinsincoscossinsincossincosAABABBCBA−−=−，sinsincossincosAABBC−=，可得

：sinsincossincosABCAB=+，sincoscossinsincossincosBCBCBCAB+=+，可得：cossinsincosBCAB=，cos0B=，或sinsinAC=，B为直角，或AC=，ABC的形状为等腰三角形或直角三角形

．故选：C．7．设()()2,01,0xaxfxxaxx−=++，若()0f是()fx的最小值，则a的取值范围是（）A．1,2−B．1,0−C．1,2D．0,2【答案】D【分析】利用基本不等式，先求出当0x时的函数最值，然后

结合一元二次函数的性质进行讨论即可．【解析】解：当0x时，11()22fxxaaxaxx=+++=+…，此时函数的最小值为2a+，若0a，则函数的最小值为f（a）0=，此时(0)f不是()fx的最小值，此时不满足条件，若0a…，则要使(0)f是()fx的最小值，则满足2(0)2faa=+„，

即220aa−−„解得12a−剟，0a…，02a剟，故选：D．8．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质

文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球的表面上有四个点A，B，C，P，且球心O在PC上，AC=BC=4，AC⊥BC，6tantan2PABPBA==，则该鞠（球）的表面积

为（）A．9B．18C．36D．64【答案】C【分析】画出图形，作出辅助线，求出622232MP==，进而得到221282PHPMMH=−=−=，利用勾股定理求出球的半径，求出球的表面积．【解析】解：如图，取AB的中点M，连接MP，由4ACBC==，ACBC⊥得：42AB=，由6

tantan2PABPBA==，得：622232MP==，连接CM并延长，交球O于点H，连接PH，因为PC球O的直径，设球的半径为R，则11,2222PHCHMHCHAB⊥===，则221282PHPMMH=−=−=，所以2222

2(2)(42)436RPCCHPH==+=+=，解得：3R=，球的表面积为2436R=，故选：C．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对

的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．下列选项中，与sin30°的值相等的有（）A．212cos75−B．sin135cos15cos45cos75−C．cos351sin202cos20−

D．tan20tan25tan20tan25++【答案】BC【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简各个选项即可计算得解．【解析】解：对于A，212cos75cos150cos30−=−=，故错误；对于B，sin135cos15cos45cos75s

in45cos15cos45sin15sin(4515)sin30−=−=−=，故正确；对于C，222222(cos10sin10)(cos10sin10)(1010)cos20cos(4510)(cos10sin10)cos351sin2

01222sin3022cos202cos202cos202cos202cos20cossin+−−−−−======，故正确；对于D，tan20tan25tan20tan25tan(2520)(1tan25tan

20)tan20tan251tan25tan20tan20tan251++=+−+=−+=，故错误．故选：BC．10．某同学在研究函数()1xfxx=+，（xR）时，分别得出下面

几个结论，其中正确的结论是（）A．等式()()0fxfx−+=在xR时恒成立B．函数()fx的值域为()1,1−C．若12xx，则一定有()()12fxfxD．方程()0fxx−=在R上有三个根【答案】ABC【分析】利用函数的性质，对各项逐一分析即可．【解析】解：因为(),()1||xfxx

Rx=+，所以()()01||1||1||xxxxfxfxxxx−−+−+=+==+−++，所以A正确；因为(0)1()1||(0)1xxxxfxxxxx+==+−…的图象如下图所示：由图象可知函数()fx是奇函数，且在R上为单调增函数，值域为(1,1)−

，所以BC正确；因为()()gxfxx=−，所以(0)(0)00gf=−=当0x时，2()()01xgxfxxx−=−=+，当0x时，2()()01xgxfxxx=−=−，()()gxfxx=−在R上只有一个零点，即

()fx的图象与()fxx=只有一个交点(0,0)所以D不正确；故选：ABC．11．已知()2cos,sinxx=a，()3cos,2cosxx=−b，0，()3fx=+ab，且()fx的图象的对称中

心与对称轴的最小距离为4，则下列说法正确的是（）A．1=B．()fx的图象关于直线12x=−对称C．把()fx图象向左平移12单位，所得图象关于y轴对称D．保持()fx图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平移3

个单位，得到函数2sinyx=的图象【答案】ABD【分析】由题意，利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用函数sin()yAx=+的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得

出结论．【解析】解：(2cos,sin)axx=，(3cos,2cos)bxx=−，0，21cos2()323cos2sincos323sin232xfxabxxxx+=+=−++=−++3cos2sin22sin(2)3xxx

=−+=−，()fx的图象的对称中心与对称轴的最小距离为12424=，1=，()2sin(2)3fxx=−，故A正确；令12x=−，可得()2fx=−，是最小值，故()x的图象关于直线12x=−对称，故

B正确；把()fx图象向左平移12单位，可得2sin(2)6yx=−的图象，由所得函数为非奇非偶函数，故所得函数的图象不关于y轴对称，故C错误；保持()fx图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得2sin()3yx=−的图象，然后把图象向左平移3个单位，得到函数2sinyx

=的图象，故D正确，故选：ABD．12．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，如图，点F，G，M分别为CC1，BB1，B1C1的中点，则下列说法正确的是（）A．平面AD1F∥平面A1MGB．直线AD1与直线A1G所成角的余弦值为1010C．平面AFD1截正方体ABCD−A1B1C1D

1所得截面的面积为98D．点C1与点G到平面AFD1的距离相等【答案】ABC【分析】利用几何题的特征，结合线面的位置关系，逐个判断即可得出答案．【解析】解：对于A：因为G，M分别为1BB，11BC的中点，所以1//MGBC，又11//ADBC，所以1//MGAD，又F为1CC的中点

，所以11//ADGF且11ADGF=，所以四边形11ADFG是平行四边形，所以11//AGDF，因为1MGAGG=，111ADDFD=，所以平面1//ADF平面1AMG，故A正确；对于B：因为正方1111ABCDABCD−的棱

长为1，所以12AD=，21151()22DF=+=，222132()22AFACCF=+=+=，所以2222221111153(2)()()1022cos2105222ADDFAFADFADDF+−+−===，故B正确

；对于C：取BC的中点N，连接FN，AN，因为1//FNBC，又11//BCAD，所以1//FNAD，所以FN在平面1AFD内，所以平面1AFD截正方体1111ABCDABCD−所得截面为等腰梯形1ADFN，过点N作1NQAD⊥，垂足为Q，1

1222NFBC==，12AD=，222224AQ−==，52AN=，22225232()()244NQANAQ=−=−=，所以12321922248ANFDS=+=梯形，故C正确；对于D：因为1//CB平面1ADF，所以1C

G不会平行于平面1ADF，且线段1CG不与平面1ADF相交，所以点1C与点G到平面1AFD的距离不相等，故D不正确；故选：ABC．第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．欧拉公式icosi

sinxexx=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数i42ie的共轭复数为________．【答案】1i−【分析】利用复数三角形式以及复数的除法化简所求复数，利用共轭复数的定义

可得结果．【解析】解：由已知可得422cossin4422ieii=+=+，所以42222(1)(1)11(1)(1)2222iiiiiiiiiiiiei−====−=+++−+，因此，复数42iie的共轭

复数为1i−．故答案为：1i−．14．已知1sin33+=，则cos23−=________．【答案】79−【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式即可求解【解析】因为1sincos336

+==−，则217cos22cos1213699−=−−=−=−15．已知函数3tan1yx=+在,34−内是减函数，则的取值范围是________．【答案】3,02−【分析】利用正

切函数的单调性与周期性及可求得答案．【解析】解：函数3tan()1yx=+在(,)34−内是减函数，0且函数3tan()1yx=+在(3−，)3内也是减函数，2||()333T=−−=…，3||2„，3322−剟，

又0，302−„．故答案为：3[2−，0)．16．已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积是不确定的．现有一平面凸四边形ABCD，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，则其面积最大值

为________．【答案】610【分析】设ABC=，ADC=，利用两次余弦定理求得cos，cos的关系，再根据三角形面积公式以及余弦的差角公式，即可求得结果．【解析】解：设ABC=，ADC=

，连接AC，作图如下：DCBA在ABC中，由余弦定理可得：2222cos2524cosACABBCABBC=+−=−，在ADC中，由余弦定理可得：2222cos6160cosACADDCADDC=+−=−，故可得2524cos6160cos−=−，即5cos2cos3

−=，又四边形ABCD的面积11sinsin3(5sin2sin)22SABBCADCD=+=+，令5sin2sinm+=，则22225sin4sin20sinsinm++

=，由5cos2cos3−=，则2225cos4cos20coscos9+−=，上述两式相加可得：22920cos()9am−+=+，即22020cos()m=−+，当且仅当+=时，2m取得最大值4

0，此时m的最大值为210，由3(5sin2sin)3Sm=+=，其最大值为610．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）如图所示，三棱柱ABC−A

1B1C1中，CA=a，CB=b，1CC=c，CA=CB=CC1=1，2,,3==abac，,2=bc，N是AB中点．（1）用a，b，c表示向量1AN；（2）在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由．【分析】（1）根据空间

向量线性运算的几何意义进行求解即可；（2）根据空间向量共线向量的性质，结合空间向量垂直的性质进行求解即可．【解析】解：（1）11111111()2222ANAAANCCABCCCBCAabc=+=+=−+−=−+−；（2）假设存在点M，使1AMAN⊥，设111CMCB=，

([0,1])，显然CBb=，1111AMAAACCMcab=++=−+，因为1AMAN⊥，所以10AMAN⊥=，即11()()022cababc−+−+−=，2221111110222222cacbcaabcaabbbc−+−+−++

+−=11CACBCC===，a，ba=，23c=，b，2c=，22211111()022222cacaabcab−−+−+++=即222111111111()11()11()102222222−−+−+−+=，解得13=，所以当111

13CMCB=时，1AMAN⊥18．（本小题满分12分）已知函数()3xfx−=．（1）若函数()3yfxk=−−在2,1x−上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）是否存在实数m，使得函数()23log44fxymx−=−−（0x）在

,ab上的值域为2,2ab，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意可得关于x的方程|33|xk−=−在[2x−，1]上有且仅有一个实根，作出函数()|33|xhx−=−在[2x−，1]上的图像，由图像可得所

求范围；（2）化简可得4()4Fxmxx=−+−，0x，由()Fx的单调性可得a，b是2(4)40xmx+−+=的两个不等正根，由判别式大于0和韦达定理，解不等式可得所求取值范围．【解析】解：（1）问题转化为关于x的方程|33|xk−=−在[2x−，1]上有且仅有一个实

根，作出函数()|33|xhx−=−在[2x−，1]上的图像（如右图），(2)6h−=，8(1)3h=，由题意，直线yk=与该图像有且仅有一个公共点，所以实数k的取值范围是8|603kkk=或„；（2）记23log(4

)4()44fxFxmmxxx−=−−=−+−，其中0x，因为函数()Fx在[a，]b上单调递增，若存在实数m，使得()Fx的值域为[2a，2]b，则F（a）2a=，F（b）2b=，所以()2Fxx=，即a，b是2(4)40xmx+−+=的两个不等正根，所以△2(4

)160m=−−，40abm+=−，40ab=，解得0m，所以实数m的取值范围是(,0)−．19．（本小题满分12分）如图所示，已知DOE是半径为3，中心角为3的扇形，P为弧DE上一动点，四边形PQMN是矩形，∠POD=x（03x）．（1）求矩形PQMN的面积()fx的最大值

及取得最大值时的x值；（2）在△ABC中，()32fC=，2c=，其面积23ABCS=△，求△ABC的周长．【分析】（1）求出sin3sinQMPNOPxx===，cos3cosONOPxx==，333sinsin33OMQMxx===，

3cossinMNONOMxx=−=−，由此能求出矩形PQMN的面积的最大值．（2）求出6C=，83ab=，由余弦定理得2222cos46cabab=+−=，由此能求出ABC的周长．【解析】解：（1）由题意sin3sinQMPNOPxx===，cos3cosONOPxx=

=，tan33QMOM==，333sinsin33OMQMxx===，3cossinMNONOMxx=−=−，矩形PQMN的面积为：()(3cossin)3sinfxxxx=−23sincos3xxsinx=−31cos2sin2322xx−=−23sincos3xxsin

x=−31cos2sin2322xx−=−3133(sin2cos2)222xx=+−33sin(2)62x=+−，03x，52666x+，当262x+=时，即6x=时，()fx的最大值为32．（2）由（1）得6C=，1sin

2326ABCSab==，83ab=，由余弦定理得2222cos46cabab=+−=，2()(23)4abab+−+=，即2()28163ab+=+，423ab+=+，ABC的周长为623abc++=+．2

0．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=2，点E是PB的中点．（1）证明：AE⊥PC；（2）求二面角C−AE−D的大小．【分析】（1）由PA⊥平面AB

CD，知PABC⊥，结合ABBC⊥，可证BC⊥平面PAB，从而得BCAE⊥，再证AEPB⊥，进而知AE⊥平面PBC，然后由线面垂直的性质定理，得证；（2）先证平面ADE⊥平面PAB，可知二面角CAEB−−与二面角CAED−−是互余的，再根据二面角的定义找出二面角CAEB−−的平面角，并

求之，即可得解．【解析】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC⊥，因为底面ABCD为矩形，所以ABBC⊥，又PAABA=，PA，AB平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因为AE平面PAB，所以BCAE⊥，因为2PAA

B==，点E是PB的中点，所以AEPB⊥，又BCPBB=，BC，PB平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为PC平面PBC，所以AEPC⊥．（2）解：由（1）知，BC⊥平面PAB，因为//ADBC，所以AD⊥平面PAB，因为AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面PAB，所以

二面角CAEB−−与二面角CAED−−是互余的，问题可转化为求二面角CAEB−−的大小，由（2）知，2AE=，2CE=，因为226ACABBC=+=，所以222ACAECE=+，即CEAE⊥，又BEAE⊥，所以BEC即为二面角CAEB−−的大小，因为2

BEBC==，2CE=，所以4BEC=，即二面角CAEB−−的大小为4，故二面角CAED−−的大小为4．21．（本小题满分12分）向量=a（2，2），向量b与向量a的夹角为34，且2=−ab（1）求向量b；（2）若=t（1，0），且⊥bt，=c（cosA，22co

s2C），其中A，B，C是△ABC的内角，且3B=，试求+bc的取值范围．【分析】（1）设出向量(,)bxy=，由向量b与向量a的夹角为34及2ab=−得到关于x、y的二元方程组，求解后可得向量b的坐标；（2）由tb⊥得=b（0，1），求出bc+及其模||

bc+的表达式，由60B=得120AC+=，化简||bc+，求出它的取值范围．【解析】解：（1）设(,)bxy=，则222abxy=+=−，1xy+=−①；又3||||cos24abab==−，2|22|||()22b−=

−，||1b=，即221xy+=②；由①②解得10xy=−=或01xy==−，(1,0)b=−或(0,1)=−；（2）=t（1，0）且⊥bt，(0,1)b=−；2(cos,2cos1)

2CbcA+=−(cos,cos)AC=，22||coscosbcAC+=+，60B=，120AC+=；22||coscos(120)bcAA+=+−1cos21cos(2402)22AA++−=+11cos(260)2A=++；0120A，6026

0300A+，11cos(260)2A−+„，215||24bc+„，25||22bc+„．22．（本小题满分12分）如图①所示，长方形ABCD中，AD=1，AB=2，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△P

AM，连结PB，PC，得到图②的四棱锥P–ABCM．（1）若棱PB的中点为N，求CN的长；（2）设P−AM−D的大小为，若0,2，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到2215()122CN

MQ==+=；（2）作出辅助线，得到PGD为PAMD−−的平面角，即PGD=，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到29cos80609tt=+−，结合

t的取值范围求出余弦值的最小值．【解析】解：（1）取AP中点Q，连接NQ，MQ，则因为N为PB中点，所以NQ为PAB的中位线，所以//NQAB且12NQAB=，因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，所以//CMAB且12CMAB=，所以//CMNQ且CMNQ=，故四边形CNQM为平行四边形，

所以2215()122CNMQ==+=；（2）连接DG，因为DADM=，所以DGAM⊥，所以PGD为PAMD−−的平面角，即PGD=，过点D作Dz⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1A，0，

0)，(0M，1，0)，(0C，2，0)，过P作PHDG⊥于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，设0(Px，0y，0)z，所以0002212(1cos)(1cos),sin2222xyz==−=−=，所以112((1cos),(1co

s),sin)222P−−，所以1coscos12(1,1,0),(,,sin)222AMPA+−=−=−，设平面PAM的法向量为1111(,,)nxyz=，则1111101coscos12sin0222xyxyz−+=+−+−=，令12z=，则1(t

an,tan,2)n=，设平面PBC的法向量为22(nx=，2y，2)z，因为cos1cos32(1,0,0),(,,sin)222CBPC−+==−，则22220cos1cos32sin0222xxyz

=−++−=，令22siny=，可得：2(0,2sin,3cos)n=+，设两平面夹角为，则21222212sin|2322cos||||3cos1|coscos||||11cos6cos2tan2

2sin6cos9nnnn+++===−++++2213|cos|331201808020(cos)(cos)11133399(cos)3(cos)33+==−+++++−++，令1,(0,]12cos3t

=+，所以3(,3]4t，所以29cos80609tt=+−，所以当3t=时，cos有最小值1111，所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为1111获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue

100.com