【文档说明】《中考数学二轮复习重难题型突破》类型二图形规律（解析版）.doc，共(14)页，589.352 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1类型二图形规律1．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上

述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就能得到雪花曲线．问题：（1）从图形的对称性观察，图4是图形（轴对称或中心对称图形）（2）图2的周

长为；（3）试猜想第n次分形后所得图形的周长为．【答案】中心对称图形又是轴对称图形，4，3×（34）n．【点拨】（1）根据图形变化规律，图4仍然关于原三角形的对称轴成轴对称，关于对称中心成中心对称；（2）分

形后，三角形的边长增加31，变为原来的34，再乘以3就是周长；（3）每一次分形后，边长都变为原来的34，第n次分形后边长就变为原来的（34）n倍，再乘以3就是周长．【解析】解：（1）图4是中心对称图形又是轴对称图形．（2）根

据题意，边长为31×4=34，周长为34×3=4；（3）n次分形，边长变为原来的（34）n倍，周长为3×（34）n×1=3×（34）n．2故答案为：中心对称图形又是轴对称图形，4，3×（34）n．2．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2012次闪烁呈现出来

的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【点拨】从所给四个图形中可以得出每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置的规律即可算出2012次之后的图形．【解析】解：易得每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一

周，∵2012÷4=503，即第2012次与第4次的图案相同．故选B．3.将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第n个图形中“”的个数是78，则n的值是()第1题图A．11B．12C．13D．14【答案】B【解析】由每个图形中小圆的个数规

律可得第n个图形中，小圆的个数为n（n＋1）2，由此可得方程n（n＋1）2＝78，解得n＝12，故选B.4.如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A

2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…，按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是()3A.(12)n·75°B.(12)n－1·65°C.(12)n－1·75°D.(12)n·85°【答案】C【解析】在△C

BA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝180°－∠B2＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝12∠BA1C＝12×75°；同理可得，∠EA3A2＝(12)2×75°，∠FA4A3＝(12)3×75°，∴第n个三角形中以An为顶点的内

角度数是(12)n－1×75.下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为()A.116B.144C.145D.150【答案】B【

解析】将图中下半部分组成的梯形放到矩形上方，第n个组合图形可看作是由下半部分为n行n列方阵和上半部分的梯形成，第n个图中方阵中的为(n＋1)2，梯形中为2＋n2·(n－1)＝n2＋n－22，∴第n个图中的的个数为(n＋

1)2＋n2＋n－22＝3n22＋5n2，令n＝9，解得第9个中个数为144个．6.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2017秒时，点P

的坐标是()4A.(2014，0)B.(2015，－1)C.(2017，1)D.(2016，0)【答案】C【解析】由图象可知，半圆的周长为π，∴运动一秒后的坐标为(1，1)，两秒后的坐标为(2，0)，三秒后的坐标为(3，－

1)，四秒后的坐标为(4，0)，…，其中纵坐标以1，0，－1，0循环变化，∵2017÷4＝504……1，∴第2017秒时，点P的坐标为(2017，1)．7.如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“”的个数为a1，第2幅图形中“”

的个数为a2，第3幅图形中“”的个数为a3，…，以此类推，则1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a19的值为()A.2021B.6184C.589840D.431760【答案】C【解析】由所给图形可知，a1＝3＝22－1＝(1＋1)2－1，a2＝8＝32－

1＝(2＋1)2－1，a3＝15＝42－1＝(3＋1)2－1，a4＝24＝52－1＝(4＋1)2－1，由此猜想an＝(n＋1)2－1＝n(n＋2)，∴1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a19＝13＋18＋115＋…＋119×21＝12×(1－13＋12－14＋13－15＋…＋118－120＋1

19－121)＝12×(1＋12－120－121)＝589840.8.如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转2017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为()

A.2017πB.2034πC.3024πD.3026π5【答案】D【解析】∵AB＝4，AD＝3，∴AC＝BD＝5，转动一次A的路线长是90·π·4180＝2π，转动第二次A的路线长是90·π·5180＝52π，转动第三次A

的路线长是90·π·3180＝32π，转动第四次A的路线长是0，以此类推，每四次一个循环，且顶点A转动一个循环的路线长为：52π＋32π＋2π＝6π，∵2017÷4＝504……1，∴顶点A转动2017次经过的路线长为：6π×504＋2π＝3

026π.9.如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A.(1，－1)B.(－1，－1)C.(2，0)D.(0，2)【

答案】B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360

°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应

点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．10.某广场用同一种如下图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图①所示的图案，第二次拼成形如图②所示的图案，第三次拼成形如图③所示的图案，第四

次拼成形如图④所示的图案…按照这样的规律进行下去，第n次拼成的图案共用地砖________块．【答案】2n2＋2n6【解析】①4，②4＋2×4，③4＋2×4＋2×6，…，故第n个图形共有4＋2×4＋2×6＋…＋2×

2n＝4＋4×2＋4×3＋…＋4n＝4(1＋2＋3＋…＋n)＝4×n（n＋1）2＝2n2＋2n.11.下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，…，按此规律排列，第5个图形的周

长为________．【答案】40【解析】第一个图形周长1×2＋1×2；第二个图形周长(2＋1)×2＋2×2；第三个图形周长(3＋2＋1)×2＋2×3；第四个图形周长(4＋3＋2＋1)×2＋2×4；第五个图形周长(5＋4＋3＋2＋1

)×2＋2×5＝40.12.如图，在△ABC中，BC＝1，点P1、M1分别是AB、AC边的中点，点P2、M2分别是AP1、AM1的中点，点P3、M3分别是AP2、AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为________(n为正整数)．【答案】12n【解析】在△ABC中，BC＝1，P1、M1分

别是AB、ACnnnn的中点，∴P1M1＝12BC＝12，按照题设给定的规律，列表如下：图形序号PnMnPnMn的长度①P1M112②P2M214＝122③P3M318＝123………nPnMn12n713.正方形A1B1C1O，

A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是________．【答案】(2n－1－1，2n－1)【解析】∵点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，∴A1的坐标是(0，1

)，即OA1＝1，∵四边形A1B1C1O为正方形，∴OC1＝1，即点A2的横坐标为1，∴A2的坐标是(1，2)，A2C1＝2，∵四边形A2B2C2C1为正方形，∴C1C2＝2，∴OC2＝1＋2＝3，即点A3的横坐标为3，∴A3的坐标是(3，4)，…，观察可以发现：A1的

横坐标是：0＝20－1，A1的纵坐标是：1＝20；A2的横坐标是：1＝21－1，A2的纵坐标是：2＝21；A3的横坐标是：3＝22－1，A3的纵坐标是：4＝22；…据此可以得到An的横坐标是：2n－1－1，纵坐标是：2n－1.所以点An的坐标是(2n－1

－1，2n－1)．14.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A

3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2017的坐标为________．【答案】(21008，21009)【解析】观察，发现规律：A1(1，2)，A2(－2，2)，A3(－2，－4)，A4(4，－4)，A5(4，8)，…，∴A2n＋1((－2)n，2(－

2)n)，A2n＋2(－2)n＋1，2(－2)n，(n为自然数)，∵2017＝1008×2＋1，∴A2017的坐标为((－2)1008，2(－2)1008)＝(21008，21009)．15.如图，∠MON＝60°

，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3

为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．8【答案】3n－13【解析】由题可知，∠MON＝60°，不妨设Bn到ON的距离为hn，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，则A1B1＝1，易知△A1OF1为等边

三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×32＝3，又OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×32＝33，同理可求：OB3＝18，则h3＝18×32＝93，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，则hn＝2

×3n－1×32＝3n－13，∴Bn到ON的距离hn＝3n－13.16.如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1

A2＝90，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2016A2017，

若点A0(1，0)，则点A2017的横坐标为________．【答案】(43)1008【解析】由题意可知，经过12次变换后，点A13落在射线OA1上，∵2017÷12＝168……1，∴点A2017落在射线OA1上，其横坐标与点A2016相同，∵OA0＝1，经过12次变换后，OA12

＝(233)12，再经过12次变换后，OA24＝(233)24，综上可猜想，OA2016＝(233)2016＝(43)1008，∴点A2017的横坐标为(43)1008.17.如图，直线y＝33x上有点A1，A2，A3

，…，An＋1，且OA1＝1，A1A2＝2，A2A3＝4，…，AnAn＋1＝2n，分别过点A1，A2，A3，…，An＋1作直线y＝33x的垂线，交y轴于点B1，B2，B3，…，Bn＋1，依次连接A1B2，A2B3，A3B4，…，AnBn＋1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3

B4，…，△AnBnBn＋1，则△AnBnBn＋1的面积为________(用含正整数n的式子表示)．9【答案】32×22n－32×2n【解析】如解图，作A1C1⊥x轴于C1，A2C2⊥x轴于C2，An

Cn⊥x轴于Cn，∵点An在直线上y＝33x，∴A1C1OC1＝A2C2OC2＝AnCnOCn＝33，∴∠AnOCn＝30°，∴OCn＝32OAn＝32(1＋2＋22＋…＋2n－1)，∠AnOBn＝60°，∵BnAn⊥OAn，

∴OBn＝2OAn，∴BnBn＋1＝2OAn＋1－2OAn＝2AnAn＋1＝2×2n＝2n＋1.S△AnBnBn＋1＝12BnBn＋1×OCn＝12×2n＋1·32(1＋2＋22＋…＋2n－1)，设S＝1＋2＋4＋…＋2n－1，则2S＝2＋4＋…＋2n＋1＋2n，∴S＝2S－S

＝(2＋4＋…＋2n－1＋2n)－(1＋2＋4＋…＋2n－1)＝2n－1，综上可知S△AnBnBn＋1＝12×2n＋1×32(2n－1)＝32×22n－32×2n.18.如图，∠AOB＝60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1＝2，作O1A1

⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…，按这样的

方法继续下去，则△AnBnOn的面积为________(用含正整数n的代数式表示)．【答案】32n－24n3【解析】∵∠AOB＝60°，OOn平分∠AOB，∴∠AOOn＝30°，∵A1O1⊥AO，OO1＝2，∴A1O1＝1，OA1＝3.∵O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，∴O1A1＝O1B1，∵O1

O＝O1O，∴Rt△O1A1O≌Rt△O1B1O(HL)，10∴OA1＝OB1，∵∠A1OB1＝60°，∴△A1OB1是等边三角形，∴A1B1＝OA1＝3，∵△A1O2B1是等边三角形，∴A1O2＝A1B1＝3，在

Rt△A1O2A2中，∠O2A1A2＝60°，A1O2＝3，∴A2O2＝32A1O2＝32O1A1，同理A3O3＝32A2O3＝(32)2A1O1，∴AnOn＝(32)n－1A1O1.又S△O1A1B1＝

2S△O1A1O－S△A1B1O＝2×12×1×3－34·(3)2＝34.易得∠AnOnBn＝∠A1O1B1＝120°，AnOn＝BnOn，∴AnOnA1O1＝BnOnB1O1，∴△A1O1B1∽△AnOnBn，∴S△AnBnOnS△A1B1O1＝(AnOnA1O1)2＝(

32)2n－2.∴S△AnBnOn＝32n－24n3.19．课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕着某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证设旋转角∠A1A0B1＝α(α＜∠A1A0A2)，3，4，5，6所表示的角如图所示．(1)用含α的式子表示角的度数：3=________，4

=________，5=________；(2)如上图①～图④中，连结A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明

理由；归纳与猜想设正n边形A0A1A2…1nA−与正n边形A0B1B2…1nB−重合(其中，A1与B1重合)，现将正n边形A0B1B2…1nB−绕顶点A0逆时针旋转1800n°．(3)设n与上述

“3，4，…”的意义—样，请直接写出n的度数；(4)试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由．【答案】(1)60−°，，36

−°．11(2)存在．下面就所选图形的不同分别给出证明(3)当n为奇数时，当n为偶数时，n=．(4)存在．当n为奇数时，直线A0H垂直平分1122nnAB+−；当n为偶数时，直线A0H垂直平分22

nnAB．【点拨】（1）要求的度数，应从旋转中有关角度的变与不变上突破；（2）结合图形比较容易得到被A0H垂直平分的线段，在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度；（3）要探究n的度数，要注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思

考与求解度数的表达式；（4）要探究正n边形中被A0H垂直平分的线段，也应注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与突破.【解析】解：(1)60−°，，36−°．(2)存在．下面就所选图形的不同分别

给出证明：选图①．图①中有直线A0H垂直平分A2B1(如图所示)，证明如下：证法一：证明：∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形，∴A0A2＝A0B1，∴∠A0A2Bl＝∠A0B1A2．又∠A0A2H＝∠A0B1H＝60°，∴∠HA2Bl＝∠HB1

A2，∴A2H＝B1H，∴点H在线段A2B1的垂直平分线上．又∵A0A2＝A0B1，∴点A0在线段A2B1的垂直平分线上．12∴直线A0H垂直平分A2B1．证法二：证明：∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形，∴A0A2＝A0B1，∴∠A0A2B1＝∠A

0BlA2．又∠A0A2H＝∠A0B1H，∴∠HA2Bl＝∠HB1A2．∴HA2＝HB1．在△A0A2H与△A0B1H中，∵A0A2＝A0B，HA2＝HB1，∠A0A2B＝∠A0B1H，∴△A0A2H≌△A0B1H，∴∠A2A0H＝∠B1A0H，∴A0H平分等腰三角形A0A2B1

的顶角∠A2A0B1，∴直线A0H垂直平分A2B1．选图②．图②中有直线A0H垂直平分A2B2(如图所示)，证明如下：∵A0B2＝A0A2，∴∠A0B2A2＝∠A0A2B2．又∵∠A0B2B1＝∠A0A2A3＝45°，∴∠HB2A2＝∠HA

2B2，∴HB2＝HA2，∴点H在线段A2B的垂直平分线上．又∵A0B2＝A0A2，∴点A0在线段A2B2的垂直平分线上．∴直线A0H垂直平分A2B2．13(3)当n为奇数时，当n为偶数时，n=．(4)存在．当n为奇数时，直线A0H垂直平分1122nnAB+−；当n为偶数时，直线A0H垂直平分

22nnAB．20.长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操

作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为．【答案】解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20-a，所以第二次操作时正方形的边长为20-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a，2a-20

．此时，分两种情况：①如果20-a＞2a-20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a-20．则2a-20=（20-a）-（2a-20），解得a=12；②如果20-a＜2a-20，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为20-a．则20-a=（2a-20）-（20

-a），解得a=15．∴当n=3时，a的值为12或15．故答案为：12或15．21.观察下列砌钢管的横截面图：14则第n个图的钢管数是.【答案】第一个图中钢管数为1+2=3；第二个图中钢管数为2+3+4=9；第三个图中钢管数为3+4+5+6=18；第四个图中钢管数为4

+5+6+7+8=30，依此类推，第n个图中钢管数为n+（n+1）+（n+2）+…+2n=+=n2+n，故答案为：n2+n．