【文档说明】江苏省洪泽中学2021届高三上学期第一次五校联考数学试题 含答案.docx，共(12)页，140.125 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省洪泽中学2020至2021学年高三年级第一学期第一次五校联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.函数𝑓(𝑥)=√1−𝑥+lg(3𝑥−1)的定义域为()A.(13,1]B.(0,1]C.(−∞,13)D.(0,13)2.

已知log2𝑎>log2𝑏，则下列不等式一定成立的是()A.1𝑎>1𝑏B.log2(𝑎−𝑏)>0C.(13)𝑎<(12)𝑏D.2𝑎−𝑏<13.已知𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函

数，𝑓(2)=0，则不等𝑓(log2𝑥)>0的解集为()A.(0,14)B.(4,+∞)C.(14,1)∪(4,+∞)D.(0,14)∪(4,+∞)4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事

休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数(1)esin()e1xxxfx=−+在区间ππ(-,)22上的图象的大致形状是()A．B．C．D．5.已知𝑥>0,𝑦>0,lg4𝑥+lg2𝑦=lg8，

则12𝑥+4𝑦的最小值是()．A.3B.94C.4615D.96．已知函数()sinfxxx=+，xR，若()2log3af=，13log2bf=，()22cf−=则,,abc的大小为（）A．abcB．ac

bC．cbaD．bac7．已知命题：，；命题q:，，若、都为真命题，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥(ln𝑥−𝑎𝑥)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.(−∞,0)B.(0,12)

C.(0,1)D.(0,+∞)二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分，每小题全对得5分，部分对得3分，有错得零分）9.若直线𝑦=12𝑥+𝑏是函数𝑓(𝑥)图象的一条切线，则函数𝑓(𝑥)可以是()A.𝑓(𝑥)=1𝑥B.𝑓

(𝑥)=𝑥4C.𝑓(𝑥)=sin𝑥D.𝑓(𝑥)=e𝑥10．设正实数mn、满足2mn+=，则下列说法正确的是()A．2nmn+的最小值为3B．mn的最大值为1C．mn+的最小值为2D．22mn+的最小值为211.下列命

题中正确命题的是()𝐴.已知a，b是实数，则“(13)𝑎<(13)𝑏”是“log3𝑎>log3𝑏”的充分而不必要条件；𝐵.∃𝑥∈(−∞,0)，使2𝑥<3𝑥；𝐶.设𝑥=𝜃是函数𝑓(𝑥)=3𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥的一个极值点，则𝑠𝑖𝑛2𝜃

+2𝑐𝑜𝑠2𝜃=−25D.若角𝛼的终边在第一象限，则sin𝛼2|sin𝛼2|+cos𝛼2|cos𝛼2|的取值集合为{−2,2}．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯

函数”为：设，用[𝑥]表示不超过x的最大整数，则𝑦=[𝑥]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2.已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥1+e𝑥−12，则关于函数𝑔(𝑥)=[𝑓(𝑥)]

的叙述中正确的是()A.𝑔(𝑥)是偶函数B.𝑓(𝑥)是奇函数C.𝑓(𝑥)在𝐑上是增函数D.𝑔(𝑥)的值域是{−1,0,1}三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的圆心角为2𝜋3，半径为5，则扇形的面积𝑆=______．14.已知函数

𝑓(𝑥)=lg(√𝑥2+1+𝑥)+𝑎，且𝑓(𝑙𝑛3)+𝑓(ln13)=1，则𝑎=______．15.已知三个函数ℎ(𝑥)=𝑥2−2𝑙𝑛𝑥,𝑓(𝑥)=ℎ′(𝑥)−5𝑙𝑛𝑥−5𝑙𝑛2

，𝑔(𝑥)=ℎ(𝑥)+2𝑙𝑛𝑥−𝑏𝑥+4.若∃𝑥1∈(0,1]，∀𝑥2∈[1,2]，都有𝑓(𝑥1)≥𝑔(𝑥2)成立，求实数b的取值范围16.设𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数，且𝑓(2+𝑥)=𝑓(2−𝑥)，当𝑥∈[−

2,0]时，𝑓(𝑥)=(√22)𝑥−1，若在区间(−2,6)内关于x的方程𝑓(𝑥)−log𝑎(𝑥+2)=0(𝑎>0)有3个不同的根，则a的范围是．pxR220mx+xR2210xmx−+pqm[1,

)+(,1]−−(,2]−−[1,1]−四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题共10分）已知角𝛼为第一象限角，且𝑠𝑖𝑛𝛼=√55．(1)求𝑐𝑜𝑠𝛼，𝑡𝑎𝑛𝛼的值；(2)求3𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝛼)−2

𝑐𝑜𝑠(𝜋+𝛼)cos(𝜋2−𝛼)的值．18.（本题共12分）已知集合𝐴={𝑥|𝑦=log2(−4𝑥2+15𝑥−9),𝑥∈𝑅}，𝐵={𝑥||𝑥−𝑚|⩾1,𝑥∈𝑅}(1)求集合A；(2)

若p：𝑥∈𝐴，q：𝑥∈𝐵，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19.（本题共12分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+2𝑥+𝑐，(𝑎,𝑐∈𝑁∗)满足：①𝑓(1)=5；②6<𝑓(2)<11．(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；(2)若对任意的实数𝑥∈[12

,32]，都有𝑓(𝑥)−2𝑚𝑥≤1成立，求实数m的取值范围．20.（本题共12分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎·4𝑥−14𝑥+1是定义在R上的奇函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数𝑓(�

�)的单调性，并利用结论解不等式：𝑓(𝑥2−2𝑥)+𝑓(3𝑥−2)<0；(3)是否存在实数k，使得函数𝑓(𝑥)在区间[𝑚,𝑛]上的取值范围是[𝑘4𝑚,𝑘4𝑛]？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．21.（本题共12分）如图，公园内直

线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在道路上，AB为直径)，现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺

设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．(1)设∠𝐶𝑂𝐷=𝑥(单位：弧度)，将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；(2)当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用．22.已知函数𝑓(𝑥)=4𝑥−𝑎𝑙𝑛𝑥−12𝑥2−

2，其中a为正实数．(1)若函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线斜率为2，求a的值；(2)求函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调区间；(3)若函数𝑦=𝑓(𝑥)有两个极值点𝑥1，𝑥2，求证：𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)<6−�

�𝑛𝑎．五校联考试卷精选一、选择题（本大题共8小题，共40分）1.函数𝑓(𝑥)=√1−𝑥+lg(3𝑥−1)的定义域为()A.(13,1]B.(0,1]C.(−∞,13)D.(0,13)【答案】A2.已知log2𝑎>log2𝑏，则下列不等

式一定成立的是()A.1𝑎>1𝑏B.log2(𝑎−𝑏)>0C.(13)𝑎<(12)𝑏D.2𝑎−𝑏<1【答案】C3.已知𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，𝑓(2)=0，则不等𝑓(l

og2𝑥)>0的解集为()A.(0,14)B.(4,+∞)C.(14,1)∪(4,+∞)D.(0,14)∪(4,+∞)【答案】D4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常

用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数(1)esin()e1xxxfx=−+在区间ππ(-,)22上的图象的大致形状是()A．B．C．D．【答案】A5.已知𝑥>0,𝑦>0,lg4𝑥+lg2𝑦=lg8，则12𝑥+4𝑦的最小值是()．A.

3B.94C.4615D.9【答案】A6．已知函数()sinfxxx=+，xR，若()2log3af=，13log2bf=，()22cf−=则,,abc的大小为（）A．abcB．acbC．

cbaD．bac【答案】B7．已知命题：，；命题q:，，若、都为真命题，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A8.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥(ln𝑥−𝑎𝑥)有两个极值点，则实数a的取值范围是()

A.(−∞,0)B.(0,12)C.(0,1)D.(0,+∞)【答案】B【解答】解：因为𝑓(𝑥)=𝑥(𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥)，所以𝑓′(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−2𝑎𝑥+1．由题可知𝑓′(𝑥)在(0,+∞)上有两个不同的零点，令𝑓′

(𝑥)=0，则．令，则，所以𝑔(𝑥)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，又因为当x从右边趋近于0时，𝑔(𝑥)→−∞，当𝑥→+∞时，𝑔(𝑥)→0，而𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥=𝑔(1)=1，所以只需0<2𝑎<1，即0<𝑎<12．故选B．二、不定项选择

题（本大题共4小题，共20.0分）9.若直线𝑦=12𝑥+𝑏是函数𝑓(𝑥)图象的一条切线，则函数𝑓(𝑥)可以是()A.𝑓(𝑥)=1𝑥B.𝑓(𝑥)=𝑥4C.𝑓(𝑥)=sin𝑥D.𝑓(𝑥)=e𝑥【答案

】BCD10．设正实数mn、满足2mn+=，则下列说法正确的是()A．2nmn+的最小值为3B．mn的最大值为1C．mn+的最小值为2D．22mn+的最小值为2【答案】ABD11.下列命题中正确命题的是()𝐴.已知a，b是实数

，则“(13)𝑎<(13)𝑏”是“log3𝑎>log3𝑏”的充分而不必要条件；𝐵.∃𝑥∈(−∞,0)，使2𝑥<3𝑥；𝐶.设𝑥=𝜃是函数𝑓(𝑥)=3𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥的一个极值

点，则𝑠𝑖𝑛2𝜃+2𝑐𝑜𝑠2𝜃=−25D.若角𝛼的终边在第一象限，则sin𝛼2|sin𝛼2|+cos𝛼2|cos𝛼2|的取值集合为{−2,2}．【答案】CDpxR220mx+xR2210xmx−+pqm[1,)

+(,1]−−(,2]−−[1,1]−【解析】解：对于A，若“(13)𝑎<(13)𝑏”，则𝑎>𝑏，若“log3𝑎>log3𝑏”，则𝑎>𝑏>0．所以“(13)𝑎<(13)𝑏”，是“log3𝑎>log3𝑏”的必要不充分条件．所以A不正确；对于B，由指数函数的

单调性可得𝑥∈(−∞,0)，使2𝑥<3𝑥；不正确，所以B不正确；对于C.𝑓′(𝑥)=3cos𝑥+sin𝑥，∴𝑓′(𝜃)=3cos𝜃+sin𝜃=0，∴tan𝜃=−3，∴sin2𝜃+2cos2𝜃=sin

2𝜃+2cos2𝜃cos2𝜃+sin2𝜃=2tan𝜃+21+tan2𝜃=−25．对于D，角𝛼的终边在第一象限，则𝛼2∈(𝑘𝜋,𝑘𝜋+𝜋4)，𝑘∈𝑍，𝛼2在第一象限时，sin𝛼2|sin𝛼2|+cos𝛼2|

cos𝛼2|=2，当𝛼2在第三象限时，则sin𝛼2|sin𝛼2|+cos𝛼2|cos𝛼2|=−2．则sin𝛼2|sin𝛼2|+cos𝛼2|cos𝛼2|的取值集合为：{2,−2}.所以D正确；12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、

牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[𝑥]表示不超过x的最大整数，则𝑦=[𝑥]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2.已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥1+e𝑥−12，则关于函数𝑔(𝑥)=[𝑓(𝑥)]的叙述中正确的是()A.�

�(𝑥)是偶函数B.𝑓(𝑥)是奇函数C.𝑓(𝑥)在𝐑上是增函数D.𝑔(𝑥)的值域是{−1,0,1}【答案】BC【解答】解：，定义域R，且𝑓(−𝑥)=𝑒−𝑥1+𝑒−𝑥−12=11+𝑒𝑥−12=−𝑓(𝑥)，故函数𝑓(𝑥)为奇函数，函数𝑔(𝑥)=[𝑓(𝑥)

]，则𝑔(−1)=[𝑓(−1)]=−1,𝑔(1)=[𝑓(1)]=0，故𝑔(−1)≠𝑔(1)，显然𝑔(𝑥)不是偶函数，故A错，B对．，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥(1+𝑒𝑥)2>0，故𝑓(𝑥)在𝐑上是增函数，C正确；∵1𝑒𝑥+

1∈(0,1)，故𝑓(𝑥)∈(−12,12)，则𝑔(𝑥)∈{−1,0}，故D错误．故选BC．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的圆心角为2𝜋3，半径为5，则扇形的面积𝑆=______．【答案】25𝜋314.已知函数𝑓(𝑥)=lg(√𝑥2+1+𝑥)+�

�，且𝑓(𝑙𝑛3)+𝑓(ln13)=1，则𝑎=______．【答案】1215.已知三个函数ℎ(𝑥)=𝑥2−2𝑙𝑛𝑥,𝑓(𝑥)=ℎ′(𝑥)−5𝑙𝑛𝑥−5𝑙𝑛2，𝑔(𝑥)=ℎ(𝑥)+2𝑙𝑛𝑥−𝑏𝑥+4.若∃𝑥

1∈(0,1]，∀𝑥2∈[1,2]，都有𝑓(𝑥1)≥𝑔(𝑥2)成立，求实数b的取值范围【答案】𝑏≥8【解答】解：由题知𝑓(𝑥)=2𝑥−2𝑥−5ln𝑥−5ln2，𝑔(𝑥)=𝑥2−𝑏𝑥+4．∴𝑓′

(𝑥)=2+2𝑥2−5𝑥=2𝑥2−5𝑥+2𝑥2=(𝑥−2)(2𝑥−1)𝑥2．∴𝑓(𝑥)在(0,12)上单调递增；在(12,2)上单调递减，易知𝑓(𝑥)在区间(0,1]上的最大值为𝑓(12)=−3，∃𝑥

1∈(0,1]，∀𝑥2∈[1,2]，都有𝑓(𝑥1)≥𝑔(𝑥2)成立，即{𝑓(12)≥𝑔(1)𝑓(12)≥𝑔(2),即{−3≥5−𝑏−3≥8−2𝑏,解得𝑏≥8，16.设𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数，且𝑓(2+𝑥)=

𝑓(2−𝑥)，当𝑥∈[−2,0]时，𝑓(𝑥)=(√22)𝑥−1，若在区间(−2,6)内关于x的方程𝑓(𝑥)−log𝑎(𝑥+2)=0(𝑎>0)有3个不同的根，则a的范围是．【答案】(4,8)【

解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程根的关系，函数的奇偶性及函数的周期性，函数图象的应用，属于中档题．由已知中可以得到函数𝑓(𝑥)是一个周期函数，且周期为4，根据函数与方程之间的关系，转化为函数𝑓(𝑥)的图象与函

数𝑦=log𝑎(𝑥+2)的图象有3个不同的交点，利用数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵对于任意的𝑥∈𝑅，都有𝑓(𝑥−2)=𝑓(2+𝑥)，∴𝑓(𝑥+4)=𝑓[2+(𝑥+2)]=𝑓[(𝑥+2)−2]=𝑓(𝑥)，∴函

数𝑓(𝑥)是一个周期函数，且𝑇=4．又∵当𝑥∈[−2,0]时，𝑓(𝑥)=(√22)𝑥−1，且函数𝑓(𝑥)是定义在R上的偶函数，若在区间(−2,6)内关于x的方程𝑓(𝑥)−log𝑎(𝑥+2)=0恰有3个不同的实数解，则函数�

�=𝑓(𝑥)与𝑦=log𝑎(𝑥+2)在区间(−2,6)上有3个不同的交点，如下图所示：又𝑓(−2)=𝑓(2)=1，当0<𝑎<1时，不合题意，当𝑎>1时，则对于函数𝑦=log𝑎(𝑥+2)，由题意可得，当𝑥=

2时的函数值小于1，当𝑥=6时的函数值大于1，即{𝑙𝑜𝑔𝑎4<1𝑙𝑜𝑔𝑎8>1，由此解得：4<𝑎<8，故答案为：(4,8).四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知角𝛼为第一象限角，且𝑠𝑖𝑛𝛼=√55．(1)求𝑐𝑜𝑠𝛼

，𝑡𝑎𝑛𝛼的值；(2)求3𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝛼)−2𝑐𝑜𝑠(𝜋+𝛼)cos(𝜋2−𝛼)的值．【答案】(1)∵角𝛼为第一象限角，且𝑠𝑖𝑛𝛼=√55，∴cos𝛼=√1−sin2𝛼=2√55，𝑡𝑎𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛼cos𝛼=12．………………………

……4分(2)3𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝛼)−2𝑐𝑜𝑠(𝜋+𝛼)cos(𝜋2−𝛼)=3𝑠𝑖𝑛𝛼+2𝑐𝑜𝑠𝛼sin𝛼……………………6分=3+2tan𝛼……………………8分=3+212=7．………………10分18.已知

集合𝐴={𝑥|𝑦=log2(−4𝑥2+15𝑥−9),𝑥∈𝑅}，𝐵={𝑥||𝑥−𝑚|⩾1,𝑥∈𝑅}(1)求集合A；(2)若p：𝑥∈𝐴，q：𝑥∈𝐵，且p是q的充分不必要条件，求实

数m的取值范围．【答案】(1)∵𝐴={𝑥|𝑦=log2(−4𝑥2+15𝑥−9),𝑥∈𝑅}，∴−4𝑥2+15𝑥−9>0，则(𝑥−3)(4𝑥−3)<0，∴34<𝑥<3，∴𝐴={𝑥|34<𝑥<

3}．……………………6分(2)𝐵={𝑥||𝑥−𝑚|≥1,𝑥∈𝑅}，∴由|𝑥−𝑚|≥1可得：𝑥−𝑚≥1或𝑥−𝑚≤−1，∴𝑥≥𝑚+1或𝑥≤𝑚−1，∴𝐵={𝑥|𝑥≥𝑚+1或𝑥≤𝑚−1}．……

………………8分∵𝑝:𝑥∈𝐴，𝑞:𝑥∈𝐵，且p是q的充分不必要条件，∴𝐴是B的真子集，……………………9分∴𝑚−1≥3或𝑚+1≤34，∴𝑚≥4或𝑚≤−14，……………………11分∴实数m的取值范围是(−∞,−14]∪[4,+∞).……………………12分19.已知函数𝑓(

𝑥)=𝑎𝑥2+2𝑥+𝑐，(𝑎,𝑐∈𝑁∗)满足：①𝑓(1)=5；②6<𝑓(2)<11．(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；(2)若对任意的实数𝑥∈[12,32]，都有𝑓(𝑥)−2

𝑚𝑥≤1成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)∵𝑓(1)=𝑎+2+𝑐=5，∴𝑐=3−𝑎.①又∵6<𝑓(2)<11，即6<4𝑎+𝑐+4<11，②将①式代入②式，得−13<𝑎<43，

……………………3分又∵𝑎、𝑐∈𝑁∗，∴𝑎=1，𝑐=2．∴𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥+2……………………6分(2)证明：∵𝑥∈[12,32]，∴不等式𝑓(𝑥)−2𝑚𝑥≤1恒成立⇔2(1−𝑚)≤−(𝑥++1𝑥)在[12

,32]上恒成立．……………………8分由于[−(𝑥+1𝑥)]𝑚𝑖𝑛=−52，故只需2(1−𝑚)≤−52即可．……………………10分解得𝑚≥94……………………12分（注：本题有其它解法酌情给分）20.已

知函数𝑓(𝑥)=𝑎·4𝑥−14𝑥+1是定义在R上的奇函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数𝑓(𝑥)的单调性，并利用结论解不等式：𝑓(𝑥2−2𝑥)+𝑓(3𝑥−2)<0；(3)是否存在实数k，使得函数𝑓(𝑥)在

区间[𝑚,𝑛]上的取值范围是[𝑘4𝑚,𝑘4𝑛]？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵𝑓(𝑥)=𝑎⋅4𝑥−14𝑥+1是定义在R上的奇函数，∴𝑓(0)=0，从而得出𝑎=1，…………………2分𝑎=1时，𝑓(𝑥

)+𝑓(−𝑥)=4𝑥−14𝑥+1+4−𝑥−14−𝑥+1=4𝑥−14𝑥+1+14𝑥−114𝑥+1=4𝑥−14𝑥+1+1−4𝑥1+4𝑥=0，∴𝑎=1；…………………4分（不证明扣2分）(2)𝑓(𝑥)是R上的增函数，

证明如下：设任意𝑥1,𝑥2∈𝑅且𝑥1<𝑥2，=24𝑥2+1−24𝑥1+1=2(4𝑥1−4𝑥2)(4𝑥2+1)(4𝑥1+1)，∵𝑥1<𝑥2,∴4𝑥1<4𝑥2,4𝑥1+1>0,4𝑥2+1>0,∴

𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)，∴𝑓(𝑥)是在(−∞,+∞)上是单调增函数．…………………6分∵𝑓(𝑥2−2𝑥)+𝑓(3𝑥−2)<0，又∵𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数且在(−∞,+∞)上单调递增，∴𝑓(𝑥2−2𝑥)<

𝑓(2−3𝑥)，∴𝑥2−2𝑥<2−3𝑥，∴−2<𝑥<1；…………………8分(3)假设存在实数k，使之满足题意，由(2)可得函数𝑓(𝑥)在[𝑚,𝑛]上单调递增，∴{𝑓(𝑚)=𝑘4𝑚𝑓(𝑛)=𝑘4𝑛,∴{4𝑚−1

4𝑚+1=𝑘4𝑚4𝑛−14𝑛+1=𝑘4𝑛,∴𝑚,𝑛为方程4𝑥−14𝑥+1=𝑘4𝑥的两个根，即方程4𝑥−14𝑥+1=𝑘4𝑥有两个不等的实根，令4𝑥=𝑡>0，即方程𝑡2−(1+𝑘)𝑡

−𝑘=0有两个不等的正根，…………………10分∴{1+𝑘2>0𝛥>0−𝑘>0,∴−3+2√2<𝑘<0．∴存在实数k，使得函数𝑓(𝑥)在[𝑚,𝑛]上的取值范围是[𝑘4𝑚,𝑘4𝑛

]，并且实数k的取值范围是(−3+2√2,0)．…………………12分（注：本题有其它解法酌情给分）21.某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在道路上，AB为直径)，现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于C

D，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．(1)设∠𝐶𝑂𝐷=𝑥(单位：弧度)，将总费用y表示为

x的函数式，并指出x的取值范围；(2)当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用．【答案】解：(1)因为扇形AOC的半径为10m，，且OD的长不超过20米，当𝑂𝐷=20𝑚时，，故0<𝑥⩽𝜋3．…………………2分所以扇形AOC的面积：𝑆扇𝐴𝑂𝐶=(𝜋−𝑥)·1022

=50(𝜋−𝑥)，0<𝑥⩽𝜋3．在𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐷中，𝑂𝐶=10，，所以△𝐶𝑂𝐷的面积，从而𝑦=100𝑆△𝐶𝑂𝐷+200𝑆扇𝐴𝑂𝐶，0<𝑥⩽𝜋3；………6分(2)设，则，𝑓′(𝑥)=cos2𝑥+sin2�

�cos2𝑥−2=1−2cos2𝑥cos2𝑥，令𝑓′(𝑥)=0，解得𝑥=𝜋4，…………………8分从而当0<𝑥<𝜋4时，𝑓′(𝑥)<0，当𝜋4<𝑥≤𝜋3，𝑓′(𝑥)>0，因此𝑓(𝑥)在区间(0,𝜋4)上单调递减，在区

间(𝜋4,𝜋3]上单调递增，…………………10分当𝑥=𝜋4时，𝑓(𝑥)取得最小值，𝑓(𝜋4)=1+2𝜋−𝜋2=1+3𝜋2，所以y的最小值为(5000+7500𝜋)元，答：当𝑥=𝜋4时，改造景观的费用

最低，最低费用为(5000+7500𝜋)元．………12分22.已知函数𝑓(𝑥)=4𝑥−𝑎𝑙𝑛𝑥−12𝑥2−2，其中a为正实数．(1)若函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线斜率为2，求a的值；(2)求函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调区间；(3)若函数𝑦=𝑓

(𝑥)有两个极值点𝑥1，𝑥2，求证：𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)<6−𝑙𝑛𝑎．【答案】解：(1)因为𝑓(𝑥)=4𝑥−𝑎𝑙𝑛𝑥−12𝑥2−2，所以𝑓′(𝑥)=4−𝑎𝑥−𝑥，则𝑓′(1)=3−𝑎=2，所以a的值为1………

…………2分(2)𝑓′(𝑥)=4−𝑎𝑥−𝑥=−𝑥2−4𝑥+𝑎𝑥，函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)，①若16−4𝑎≤0，即𝑎≥4，则𝑓′(𝑥)≤0，此时𝑓(𝑥)的单调减区间为(0,+∞)

；(4分)②若16−4𝑎>0，即0<𝑎<4，则𝑓′(𝑥)=0的两根为2±√4−𝑎，此时𝑓(𝑥)的单调增区间为(0,2−√4−𝑎)，(2+√4−𝑎,+∞)，单调减区间为(2−√4−𝑎,2+√4−𝑎)…(6分)(3)由(2)知，当0<𝑎<4时

，函数𝑦=𝑓(𝑥)有两个极值点𝑥1，𝑥2，且𝑥1+𝑥2=4，𝑥1𝑥2=𝑎．因为𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=4𝑥1−𝑎𝑙𝑛𝑥1−12𝑥12−2+4𝑥2−𝑎𝑙𝑛𝑥2−12𝑥22−2=4(𝑥1+𝑥2)−𝑎𝑙𝑛(𝑥1𝑥2)−12

(𝑥12+𝑥22)−4=16−𝑎𝑙𝑛𝑎−12(42−2𝑎)−4=4+𝑎−𝑎𝑙𝑛𝑎，要证𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)<6−𝑙𝑛𝑎，只需证𝑎𝑙𝑛𝑎−𝑎−𝑙𝑛𝑎+2>0…(8分)构造函数𝑔(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥−𝑥−𝑙𝑛𝑥+

2，则𝑔′(𝑥)=1+𝑙𝑛𝑥−1−1𝑥=𝑙𝑛𝑥−1𝑥，𝑔′(𝑥)在(0,4)上单调递增，又𝑔′(1)=−1<0，𝑔′(2)=𝑙𝑛2−12>0，且𝑔′(𝑥)在定义域上不间断，由零点

存在定理，可知𝑔′(𝑥)=0在(1,2)上唯一实根𝑥0，且𝑙𝑛𝑥0=1𝑥0…(10分)则𝑔(𝑥)在(0,𝑥0)上递减，(𝑥0,4)上递增，所以𝑔(𝑥)的最小值为𝑔(𝑥0)，因为𝑔(𝑥0)=1−𝑥0−1𝑥0+2=3−(𝑥0+1𝑥0)，

当𝑥0∈(1,2)时，𝑥0+1𝑥0∈(2,52)，则𝑔(𝑥0)>0，所以𝑔(𝑥)≥𝑔(𝑥0)>0恒成立．所以𝑎𝑙𝑛𝑎−𝑎−𝑙𝑛𝑎+2>0，所以𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)<6−𝑙𝑛𝑎，得证…(12分)