【文档说明】2021苏教版数学必修第二册章末综合测评4　复数 .docx，共(11)页，100.219 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

章末综合测评(四)复数(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a，b∈C，下列命题正确的是()A．3i<5iB．a＝0⇔|a|＝0C．若|a|＝|b|，则a＝±bD．a2≥

0B[A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝－12＋32i，但i≠－12＋32i或12－32i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.]2．若复数z满

足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B．－45C．4D．45D[因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝|4＋3i|3－4i＝53－4i＝5(3＋4i)25＝35＋45i，故z的虚部等于45.]3．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m

∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[因为z1＝z2，所以m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝1或m＝－2，所以“m＝1”是“z1＝z2

”的充分不必要条件．]4．如图，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A．3＋iB．3－iC．1－3iD．－1＋3iD[OC→＝OA

→＋OB→＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C对应的复数为－1＋3i.]5．设复数z满足||z－i＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x

2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1C[由题意得z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，||z－i＝x2＋(y－1)2＝1，则x2＋(y－1)2＝1.故选C．]6．若1＋x＋x2＝0，则1＋x＋x2＋…＋x100＝()A．0B．1C．－12±32iD．12±32iD[因为1＋x＋x2＝

0，所以x＝－12±32i，又1＋x＋x2＋…＋x100＝1＋x＋x2(1＋x＋x2)＋…＋x98(1＋x＋x2)＝1＋x＝1＋－12±32i＝12±32i.]7．复数2＋i与复数13＋i在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于()A．π6B．π4C．π3D．π

2B[∵13＋i＝3－i(3＋i)(3－i)＝310－110i，∴它在复平面上的对应点为B310，－110，而复数2＋i在复平面上的对应点是A(2,1)，显然AO＝5，BO＝1010，AB＝41010.由

余弦定理得cos∠AOB＝AO2＋BO2－AB22AO·BO＝22，∴∠AOB＝π4.故选B．]8．设z1，z2为复数，则下列四个结论中正确的是()A．若z21＋z22＞0，则z21＞－z22B．|z1－z2|＝z1＋z22－4z1z2C

．z21＋z22＝0⇔z1＝z2＝0D．z1－z1是纯虚数或零D[举例说明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，则z21＝15＋8i，z22＝－8i，z21＋z22＞0，但z21与－z22都是虚数，不能比较大小，故A错；因为|z1－z2|2不一定等于(z1－z2)2，故|z1－z2|与z1＋

z22－4z1z2不一定相等，B错；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z21＝3＋4i，z22＝－3－4i，z21＋z22＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错；设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z1＝a－bi，故z1

－z1＝2bi，当b＝0时是零，当b≠0时，是纯虚数．故D正确．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．已知复数z的共轭复数

为z，则下列关系中一定正确的是()A．|z|＝|z|B．z·z≥0C．z＋z∈RD．若z＝z，则z2≥0ABCD[设z＝x＋yi，(x，y∈R)，则z＝x－yi，所以，|z|＝|z|＝x2＋y2，z·z＝(x＋yi)(x

－yi)＝x2＋y2≥0,z＋z＝2x∈R，所以ABC正确；因为z＝z，所以y＝0，所以z2＝x2≥0，所以D正确，故选ABCD．]10．复数z＝a－1＋3ai(i为虚数单位，a∈R)在复平面内对应的点Z可能经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限AB

C[因为复数z在复平面内对应的点Z(a－1,3a)始终在直线3x－y＋3＝0上，因为该直线经过第一、二、三象限，所以故选ABC．]11．如果复数z＝2－1＋i，则下面正确的是()A．z的共轭复数为－1＋iB．z的虚部为－1C．|z|＝2D．z的实部为－1ABD[因为z＝2－1＋i＝2(－1－i)(

－1＋i)(－1－i)＝－2－2i2＝－1－i，所以z的实部为－1，共轭复数为－1＋i，故选ABD．]12．在复平面内，下列命题是真命题的是()A．若复数z满足1z∈R，则z∈RB．若复数z满足z2∈R，则z∈RC．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2D．若复

数z∈R，则z∈RAD[对于A．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则1z＝1a＋bi＝a－bi(a＋bi)(a－bi)＝aa2＋b2－ba2＋b2i，若1z∈R，则b＝0，所以z＝a∈R，故A真命题；对于B．若复数z＝i，则z2＝－1∈R，但z∉R，故B假命题；对于C．若复数z1＝i，z2＝2i

满足z1z2＝－2∈R，但z1≠z2，故C为假命题；对于D．若复数z＝a＋bi∈R，则b＝0，z＝z∈R，故D为真命题.故选AD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线

上)13．设a，b∈R，a＋bi＝11－7i1－2i(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．8[a＋bi＝11－7i1－2i＝(11－7i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝25＋15i5＝5＋3i，依据复数相等的充

要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.]14．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i(i为虚数单位)，则z2z1＝________；若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，则|z|＝________.(本题第一空2分

，第二空3分)－1＋5i2[因为z1＝1－i，z2＝4＋6i，所以z2z1＝4＋6i1－i＝(4＋6i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－2＋10i2＝－1＋5i.因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i，又因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，得b＝1.所以z＝1＋i，则|z|

＝2.]15．向量OZ→对应的复数为－1＋i，把OZ→绕点O按顺时针方向旋转90°，得到OZ1→.则向量OZ1→对应的复数的幅角主值为__________π4[向量OZ1→对应的复数为－1＋icos90°＋isin90°＝－1＋

ii＝－(－1＋i)i＝1＋i＝2cosπ4＋isinπ4.所以该幅角主值为π4.]16．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.4i[设m＝bi(

b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即x2＋2x－2b＝0，－x－4＝0，解得x＝－4，b＝4，∴m＝4i.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)计算：(1)(2＋2i)2(4＋5i)；(2)2＋2i(1－i)2＋21＋i2020；(3)2cosπ6＋isinπ6－5.[解](1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)

＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.(2)2＋2i(1－i)2＋21＋i2020＝2＋2i－2i＋22i1010＝i(1＋i)＋1i1010＝－1＋i＋(－i)1010＝－1＋i－1＝－2

＋i.(3)2cosπ6＋isinπ6－5＝12cosπ6＋isinπ65＝125cos56π＋isin56π＝cos0＋isin032cos5π6＋isin5π6＝132cos

－5π6＋isin－5π6＝－364－164i.18．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.[解](1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．(2)当

k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．(3)当k2－3k－4＝0，k2－5k－6≠0，即k＝4时，z是纯虚数．(4)当k2－3k－4＝0，k2－5k－6＝0，即k＝－1时，z是0.19．(本小题满分12分)已知复

数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数．(1)求复数z；(2)若ω＝z2＋i，求复数ω的模|ω|.[解](1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，∵(1＋3i)z是纯虚数，∴3－3b＝

0且9＋b≠0，则b＝1，∴z＝3＋i.(2)ω＝z2＋i＝3＋i2＋i＝(3＋i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝75－15i.∴|ω|＝752＋－152＝2.20．(本小题满分12分)已知复平面内点A，B对应的复数分别是

z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设AB→对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝12x上，求θ的值．[解](1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos2θ－1)＝

－1－2sin2θ·i.(2)点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．由点P在直线y＝12x上得－2sin2θ＝－12，∴sin2θ＝14，又θ∈(0，π)，∴sinθ>0，因此sinθ＝12，∴θ＝π6或θ＝56π.21．(本小题满分1

2分)已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i.(1)求点C，D对应的复数；(2)求▱ABCD的面积．[解](1)∵向量BA→对应的复数为

1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，∴向量AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC→＝OA→＋AC→，∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵AD→＝BC→，∴向量AD→对应的复数为3－i，即AD→＝(3，－1)．设D(x，y)，则AD→＝(x－2，y－

1)＝(3，－1)，∴x－2＝3，y－1＝－1，解得x＝5，y＝0，∴点D对应的复数为5.(2)∵BA→·BC→＝|BA→||BC→|cosB，∴cosB＝BA→·BC→|BA→||BC→

|＝3－25×10＝152＝210.∴sinB＝7210，∴S▱ABCD＝|BA→||BC→|sinB＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD的面积为7.22．(本小题满分12分)已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)．(1)若复数(z＋a

i)2在复平面内对应的点在第一象限内，求实数a的取值范围；(2)若复数|z1|＝1,argz1＝θ(0≤θ≤π)，求|z－z1|的取值范围．[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，z2－i＝15×(x＋yi)(2＋i)＝

15×[(2x－y)＋(x＋2y)i]，∵z＋2i，z2－i均为实数，∴x＋2y＝0，y＋2＝0.解之得x＝4，y＝－2，∴z＝4－2i.(1)(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝16－(a－2)2＋8(a

－2)i＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.∵(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限内，∴12＋4a－a2>0，8(a－2)>0，解之得2<a<6.即实数a的取值范围是(2,6)．(2)因为|z1|＝1,argz1＝θ

(0≤θ≤π)，所以z1＝cosθ＋isinθ.z－z1＝(4－cosθ)－(2＋sinθ)i，则|z－z1|2＝(4－cosθ)2＋[－(2＋sinθ)]2＝21＋45sin(θ－φ)，∴21－45<|z－z1|2<21＋45，∴25－1<|z－

z1|<25＋1.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com