【文档说明】【精准解析】专题63随机事件的概率-（文理通用）【高考】.docx，共(19)页，596.104 KB，由小赞的店铺上传

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专题63随机事件的概率最新考纲1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．2.了解两个互斥事件的概率加法公式.基础知识融会贯通1．概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一

事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数

附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件

A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件

B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A)＋P(B)＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤

P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝

1－P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情

况，而互斥事件未必是对立事件．重点难点突破【题型一】事件关系的判断【典型例题】从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是（）A．至多有一件次品B．两件全是正品C．两件全是次品D．至多有一件正品【解答】解：从四件正品、两件次品中随机取出

两件，记“至少有一件次品”为事件A，则A的对立事件是两件全是正品．故选：B．【再练一题】从装有红球和绿球的口袋内任取2个球（已知口袋中的红球、绿球数都大于2），那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个是红球，至少有一个是绿球

B．恰有一个红球，恰有两个绿球C．至少有一个红球，都是红球D．至少有一个红球，都是绿球【解答】解：从装有红球和绿球的口袋内任取2个球（已知口袋中的红球、绿球数都大于2），选项A，C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选

项D中的两事件是对立事件．故选：B．思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定

义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．【题型二】随机事件的频率与概率【典型例题】事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，其中随机事件A发生的概率的范围是（）A．P（A）＞0B．P（A）＜1C．0＜P（A

）＜1D．0≤P（A）≤1【解答】解：事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，由随机事件的性质得：必然事件A发生的概率是P（A）＝1，不可能事件A发生的概率是P（A）＝0，随机事件A发生的概率的范围是：0＜P（A）＜1．

故选：C．【再练一题】将三颗骰子各掷一次，设事件A＝“三个点数互不相同”，B＝“至多出现一个奇数”，则概率P（A∩B）等于（）A．B．C．D．【解答】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A＝“三个点数互不相同”，B＝“至多出现一个奇数

”，基本事件总数n＝6×6×6＝216，A∩B包含的基本事件个数m60，∴概率P（A∩B）．故选：C．思维升华(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反

映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．【题型三】互斥、对立事件的概率命题点1互

斥事件的概率【典型例题】某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，中奖的概率为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.7【解答】解：由于中一等奖，中二等奖，为互

斥事件，故中奖的概率为0.1+0.1＝0.2，故选：B．【再练一题】某产品分为优质品、合格品、次品三个等级．生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03．在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是（

）A．0.28B．0.72C．0.75D．0.97【解答】解：∵某产品分为优质品、合格品、次品三个等级．生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03．在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是p＝1﹣0.25

﹣0.03＝0.72．故选：B．命题点2对立事件的概率【典型例题】某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是

0.35．（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少【解答】解：（1）设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N），那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得：P（

A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）＝P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）＝0.1+0.2+0.3+0.35＝0.95．（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A，“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为．根据对立事件的概率公式，得P（）＝1﹣P（A

）＝1﹣0.95＝0.05．【再练一题】小明和小勇玩一个四面分别标有数字1，2，3，4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：基本事件总体为4×4＝16种

，两次数字之和小于5的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）共6种，∴数字之和不小于5的概率为P，故选：C．思维升华求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法

(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．基

础知识训练1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A、“至

少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，与“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于B、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，“至多有1个红球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，不是互斥事件，不符合题意；对于C、“恰有1个白球”即“

一白一红”，与“恰有2个白球”是互斥不对立事件，对于D、“至多有1个白球”包括“两个红球”和“一白一红”两种情况，和“都是红球”不是互斥事件，不符合题意；故选：C．2．某人在打靶中连续射击两次，事件“至多

有一次中靶”的对立事件是A．至少有一次中靶B．只有一次中靶C．两次都中靶D．两次都不中靶【答案】C【解析】射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次

.选C.3．已知事件M”3粒种子全部发芽”，事件N“3粒种子都不发芽”，那么事件M和N是（）A．互斥且对立事件B．不是互斥事件C．互斥但不对立事件D．对立事件【答案】C【解析】事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，故事件M和事件N互斥而事件M”3粒种子全部发芽”

的对立事件为”3粒种子不都发芽”，有可能1个不发芽，也有可能2个不发芽，也有可能三个不发芽，故事件M和事件N不对立故事件M和事件N互斥不对立故选：C．4．从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是(

)A．至少有一个红球，至少有一个白球B．恰有一个红球，都是白球C．至少有一个红球，都是白球D．至多有一个红球，都是红球【答案】B【解析】由题意可知，基本事件分三类：一类是二个红球；一类是二个白球；一类是一红一白.选项A：至少有一个红球，包括一红球一白球

，二红球，至少有一个白球，包括一白球一白球，二白球，这二个事件不互斥；选项B：恰有一个红球，那一个是白球，与二个都是白球，显然互斥但不对立，因为还有一个事件二个都是红球；选项C:至少有一个红球，包括一红一白，二红，显然与二白是对立事件；选项D;至多一个红

球，包括一红一白，二白，显然与二红是对立事件，故本题选B.5．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（）A．108石B．169石C．237石D．338

石【答案】A【解析】256粒内夹谷18粒，米中含谷的频率为189256128=，1536石中夹谷约为91536129108128==（石）.故选A.6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知()0.7PA=

，()0.2PB=，()0.1PC=．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）A．0.7B．0.2C．0.1D．0.3【答案】D【解析】∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件A={抽到一等品}，()0.7PA=，∴抽到不是一等品的概率是10.70.3−=．故选：D．7．随

着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【答案】B【解析】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付

，则()()()()PABPAPBPAB=++因为()()PA0.45,PAB0.15==所以()PB0.4=故选B.8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个

黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”【答案】D【解析】对于A：事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”，这两个事件可能同时发生，所以不正确；对于B中：“至少

有一个黑球”与“都是红球”这两个事件是互斥事件又是对立事件，所以不正确；对于C中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，所以不正确；对于D中，“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，所以是互斥事件，但不是对立

事件，所以是正确的，故选D．9．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数

学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）．A．1415B．115C．29D．【答案】A【解析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，所以232101()=15CP

AC=，因此114()1()=11515PAPA=−−=,故本题选A.10．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“4X”表示试验的结果为（）A．第一枚为5点，第二枚为1

点B．第一枚为5或6点，第二枚为1点C．第一枚为6点，第二枚为1点D．第一枚为1点，第二枚为6点【答案】C【解析】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，所以，“4X”即“5X=”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”.故选C11．

“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为10.3P=；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M

，设这个n人团队解决项目M的概率为2P，若21PP，则n的最小值是()A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为10.3P=，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.1，现在李某单独研究

项目M，且这n个人组成的团队也同时研究M，设这个n人团队解决项目M的概率为2P，则021(0.9)nnPC=−，21PP…，10.90.3n−…，解得4n．n的最小值是4．故选：B．12．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，1

5.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A．5960B．12C．35D．160【答案】C【解析】设甲乙丙回家分别为事件A,B,C，至少1人回老家过节为事件D，则：()()()()()

23431113455pDpABCpApBpC=−=−=−=.故选：C.13．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．下列命题

正确的是______．①A与C是互斥事件②B与E是互斥事件，且是对立事件③B与C不是互斥事件④C与E是互斥事件【答案】②③【解析】①A与C不是互斥事件②B与E是互斥事件，且是对立事件③B与C不是互斥事件④C与E不是互斥

事件14．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为___________________.【答案】0.40【解析】解：由题意知射手在一次射击中不够8环的对立事件是射手在一次射击中不小于8环，∵射手在

一次射击中不小于8环包括击中8环，9环，10环，这三个事件是互斥的，∴射手在一次射击中不小于8环的概率是0.20+0.30+0.10＝0.60，∴射手在一次射击中不够8环的概率是1﹣0.60＝0.40，故答案为：0.40．15．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲不输的概率是，则甲赢的概率为_

_______.【答案】【解析】记事件为两人下成和棋，则事件为甲赢棋，则本题正确结果：16．已知随机变量的分布列为，那么实数_____.【答案】3【解析】因为随机变量的分布列为，所以，因此.故答案为317．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次

试验中，事件AB+发生概率为__________.【答案】23.【解析】21()63PA==,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件B表示“大于等于5的点数出现”，所以21()63PB==，根据和事件的运算公式可知事件AB+发生概率为112333=+=.18．某公司制造两种电子设备：影片播放

器和音乐播放器.在每天生产结束后，要对产品进行检测，故障的播放器会被移除进行修复.下表显示各播放器每天制造的平均数量以及平均故障率.商品类型播放器每天平均产量播放器每天平均故障率影片播放器30004%音乐播放器90003%下面是关于公司每天生产

量的叙述:①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器；②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的；③如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03.上面叙述正确的是___________.【答案】③【解析】①每天生产的播放器有300019000

30004=+是影片播放器，故①错误；②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的是错误的，4%是概率意义上的估计值，并不能保证每批都恰有4个；③因为音乐播放器的每天平均故障率3%，所以从每天生产的音乐

播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03，正确.故答案为：③19．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三

个项目是否成功互相独立.则至少有一个项目成功的概率为_______．【答案】8990【解析】记事件A为“至少有一个项目成功”，则()111156390PA==()()189119090PAPA=−=−=本题正确选项：899020．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自

由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为23、13，则小球落入A袋中的概率为__________．【答案】23【解析】小球落入B袋，则要求小球一直从左侧下落，或者右侧下落，所以其概率()3321133

3PB=+=，所以落入A袋的概率()()121133PAPB=−=−=.能力提升训练1．从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（）A．3件都是正品B．3件都是次品C．至少有1件次品D．至少有1件正品【答案】D【解析

】从10件正品，2件次品，从中任意抽取3件:3件都是正品是随机事件，：3件都是次品不可能事件,:至少有1件次品是随机事件,：因为只有两件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有一件是正品是必然事件，故选D.2．从装有3个红球和2个白球

的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是（）A．取出的3个球中不止一个红球B．取出的3个球全是红球C．取出的3个球中既有红球也有白球D．取出2个红球和1个白球【答案】A【解

析】从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，因为白球一共2个，所以取出3个球，必有红球；因此，事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“取出的3个球中不止一个红球”.故选A3．下列说法正确的有

()①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．③任意事件A发生的概率总满足.④若事件A的概率为0，则A是不可能事件．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能

事件，如几何概率中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；任意事件A发生的概率P(A)满足，∴③错误；又①正确．∴选C.4．把红、黑、白3张纸牌随

机地分给甲、乙、丙3个人，每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．两个不可能事件C．互斥但不对立事件D．两个概率不相等的事件【答案】C【解析】把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时

不发生，∴事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选：C．5．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是（）A．取出2个红球和1个白球B．取出的3个球全是红球C．取出的

3个球中既有红球也有白球D．取出的3个球中不止一个红球【答案】D【解析】从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有：“3个红球”“1红2白”“2红1白”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3红或是2红1白”即“3个球不止一个红球”故选：D.6．学校足球赛决赛计划在周

三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】设在这周能进行决赛为事件，恰好在

周三、周四、周五进行决赛分别为事件，则，又事件两两互斥，则有，故选D．7．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．【答案】1735【解析】解

:因为取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235,所以从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为：11217p73535=+=8．口袋中有若干红球、黄球与蓝球，从中摸出一个球，摸出红球的概率为0.5，摸出红球或黄球的概率

为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为___．【答案】0.85【解析】由题意得：摸出红球的概率为0.5，摸出红球或黄球的概率为0.65，故摸出蓝色球的概率为1-0.65=0.35，故摸出红球或蓝球的概率为0.5+

0.35=0.85，故答案：0.85.9．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概

率为____．【答案】3544【解析】甲袋中白球没有减少的两种情形；一是从甲袋中取出的球为黑球，记作事件E，此时不论从乙袋中取何种球放回甲袋，甲袋中的白球不会减少，另一种情形为从甲袋中取出的球是白球，放入乙袋，此事件用F1表示，并由乙袋取白球放入甲，用F2表示，令F＝F1

F2．则所求事件为E∪F，且E与F互斥，显然P（E）＝58，下面计算P（F），记F1为由甲袋取出白球（不放入乙袋），F2为当乙袋内有5个白球，6个黑球时取出一球为白球，则显然有P（F1F2）＝P（F1′F2′）．而F1′与F2′独立，故P（F1′F2′）＝35811．∴P（E∪F）＝P（E

）+P（F）＝58+35811＝3544故答案为：3544．10．有下列说法①互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件②演绎推理是从特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段论”③残差图的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高④若(

)()()1PABPAPB=+=，则事件A与B互斥且对立⑤甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为1136．其中正确的说法是______（写出全部正确说法

的序号）．【答案】①③⑤【解析】对于①，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，故①正确；对于②，演绎推理是从一般到特殊的推理，它的一般模式是“三段论”，故②错误；对于③，残差图的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方

程的预报精度越高，故③正确；对于④，若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B不一定互斥且对立，例如几何概型：在[-1,1]任取实数x，则事件A；1,0,x−事件B：0,1,x则有P（A∪B）=P（

A）+P（B）=1，但事件A与B不互斥，故④错误；对于⑤，设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y则所有的基本事件构成的区域Ω满足024024xy，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A满足0240244xyxy−，作出对应的平面区

域如图，这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率2020111242436PA=−=，故⑤正确．故答案为：①③⑤．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com