【文档说明】山西省榆社中学2021届高三上学期第六次模块诊断数学（理）试卷 .docx，共(9)页，743.973 KB，由小赞的店铺上传

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高三年级第六次模块诊断数学试题（理科）考查时间：120分钟满分：150分考查内容：高考综合一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2,1,0,1,2A=−−，21ByRyx==−∣，则AB=A．0,1B．

0,1,2C．1,2D．12．在复平面内，复数()iia−对应的点的坐标为(1,2)−，则实数a=A．1B．1﹣C．2D．2﹣3．若OAAB⊥，||1OA=，则()OAOAOB+=uuruuruuurA．2B．1

C．−1D．04．已知}{na是等比数列，nS是它的前n项和，若22438aaa=，且18917=−aa，则=5SA.33B.93C.-33D.-935．设,ln为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．

若//,//ll，则//B．若//,//l，则//lC．若nnl,//,则//lD．若,ll⊥⊥，则//6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天

顶距()080的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即tanlh=．已知天顶距1=时，晷影长0.14l．现测得午中晷

影长度0.42l，则天顶距为（参考数据：tan10.0175，tan20.0349，tan30.0524，tan22.80.4204）A.2B.3C．11D．22.87．若数列na的通项公式是1(1)(41)nna

n+=−+，则111221aaa+++=A．45B．65C．69D．105−8．直三棱柱111ABCABC−中，1ABACAA==，60BAC=，则异面直线1BA和1AC所成角的余弦值为A．32B．34C．14D．

139．若函数()221(log,12,11)xfxxxxax−=−+的值域为R，则a的取值范围是A．22−,B．(,2−C．0,1D．)0,+10．设双曲线2222:1(0,0)

xyCabab−=的左、右焦点分别为12,FF，过2F的直线与双曲线的右支交于两点,AB，若1:3:4AFAB=，且2F是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是A．52B．102C．52D．511．已知0，2，在函数()()sinfxx=+，()()cosgxx=+的

图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2，当,64x−时，函数()fx的图象恒在x轴的上方，则的取值范围是A．,63B．,63C．(,)32ppD．,3212．若存在一个实数t，使得()

Ftt=成立，则称t为函数()Fx的一个不动点.设函数()1()xgxeexa=+−−(aR，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数()fx满足()()2fxfxx−+=，且当0x时，()fxx.若存在01|()(1)2xxfxfxx+−+„

，且0x为函数()gx的一个不动点，则实数a的取值范围为A．,2e−B．,2e+C．,2eeD．,2e+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数()fx的R上的奇函数，当0x时，()221fxaxx=−+，且曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线斜率为2，则a=______．14.已知向量()()sin,2a=+，()

cos,1b=−，且//ab，则2cossin2+=____.15.如图，直三棱柱111ABCABC−中,12AA=，1ABBC==，90ABC=，外接球的球心为O，点E是侧棱1BB上的一个动点.有下列判断：①直线AC与直线1CE是异面直线；②1AE一定不垂直1AC；③三棱锥1EA

AO−的体积为定值；④1AEEC+的最小值为22.其中正确的序号序号是______.16.ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，13AMAB=，2b=，273CM=，且2sinsinsin2ABcBb−=，则ABCS=________.三、

解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题12分）在ABC中，42AC=，6C=，点D在BC上，1cos3ADC=−.（1）求AD的长；（2）若ABD的面积为22，求A

B的长.18．（本小题12分）已知等差数列na是递增数列，其前n项和为nS，若24,aa是方程210210xx−+=的两个实根．（1）求na及nS；（2）设()*112nannnbnaa+=+N，求数列nb的前n项和nT．19.（本小题12分）如图，在梯形ABCD中，

AB//CD，90DAB=，112ADDCAB===，四边形ACFE为正方形，平面ACFE⊥平面ABCD.（1）求证：平面BCF⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，是否存在点M使平面MAB与平面ACFE所

成二面角的平面角的余弦值为23，若存在，求线段FM的长，若不存在，说明理由.20.（本小题12分）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，1(3,)2M−是椭圆C上一点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(4,0)P−作直线l与椭圆C交于不同两点A、B，A点关于x

轴的对称点为D，问直线BD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.21．（本小题12分）已知函数22()1exfxaxax=++−.（1）若函数()()gxfx=，试讨论()gx的单调性；（2）若(0,)x+，()

0fx，求a的取值范围.22．（本小题10分）已知曲线1C的参数方程为45cos55sinxtyt=+=+（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin=．（1）把1C的参数

方程化为极坐标方程，并求曲线2C的直角坐标方程；（2）求1C与2C交点的极坐标（0,02）．2020—2021学年第一学期高三年级第六次模块诊断XX试题评分细则1-6BDABDB7-12BCDBDB13.-214.115.①③④16.317．在△ABC中，42AC=，6

C=，点D在BC上，1cos3ADC=−.（1）求AD的长；（2）若△ABD的面积为22，求AB的长；解：（1）∵1cos3ADC=−,且0ADC∴2122sin133ADC=−=，……………2分正弦定理有sinsi

nADACCADC=，得sin13423sin222ACCADADC===；……………5分（2）∵()22sinsinsin3ADBADCADC=−==，1sin22ABDSADBDADBBD==，∴222BD=，得2BD=，……………8分又∵()1co

scoscos3ADBADCADC=−=−=，由余弦定理得22213223293AB=+−=，∴3AB=．……………12分18．已知等差数列na是递增数列，其前n项和为nS，若24,aa是方程210210xx−+=的两个实根．（1）求na及nS

；（2）设()*112nannnbnaa+=+N，求数列nb的前n项和nT．解：（1）因为等差数列{}na为递增数列，且2a，4a是方程210210xx−+=的两根，所以2410aa+=，2421aa=，……………2分解得2473aa==，或2437aa==，，又0d，则247

3aa==，，4222aad−==，则11a=……………4分故1(1)21()naandnn=+−=−N*，21(121)2nSnnn=+−=．……………6分（2）2121111111222(21)(

21)22121nannnnnbaannnn−−+=+=+=−++−−+，……………8分可得前n项和2111111111(282)233552121nnTnn−=−+−+++−++++−+……112(14)21

(41)22114213nnnnn−=−+=+−+−+．……………12分19.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，90DAB=，112ADDCAB===，四边形ACFE为正方形，平面ACFE⊥平面ABCD.（

1）求证：平面BCF⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，是否存在点M使平面MAB与平面ACFE所成二面角的平面角的余弦值为23，若存在，求线段FM的长，若不存在，说明理由.（1）证明：在梯形ABCD中，因为

AB//CD，1ADDC==，2ADC=，所以2AC=，又因为2AB=，取AB中点P，连接PC，则1PC=，1PB=，易知2BC=，所以222ABACBC=+，所以BCAC⊥.……………3分因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC=，BC平

面ABCD所以BC⊥平面ACFE，又BC平面BCF.所以平面BCF⊥平面ACFE；……………5分（2）由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令()02FM

=，则()0,0,0C，()2,0,0A，()0,2,0B，(),0,2M所以()2,2,0AB=−uuur，()2,0,2AM=−……………6分设()1,,nxyz=为平面MAB的一个法向量，由1100nA

BnAM==得()220220xzxy−+=−+=取2x=，则()12,2,2n=−，……………8分因为()20,1,0n=uur是平面ACFE的一个法向量……………9分所以()()122212222co

s3222124nnnn====++−−+……………11分可得22=，即22FM=.……………12分20．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，1(3,)2M−是椭

圆C上的一点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(4,0)P−作直线l与椭圆C交于不同两点A、B，A点关于x轴的对称点为D，问直线BD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.（1）∵32ca=，222abc=+，∴224ab=，∴222214xybb+=，…………3分将1(

3,)2M−代入椭圆C，∴21b=，∴22:14xCy+=.……………5分（2）显然AB斜率存在，设AB方程为：(4)ykx=+，2222221(14)3264404(4)xykxkxkykx+=+++−==+，216

1920k=−，∴2112k.设11(,)Axy，22(,)Bxy，11(,)Dxy−，∴21223214kxxk+=−+，212264414kxxk−=+，……………7分∵()211121:yyBDyyxxxx++=−−，∴0

y=时211112121121224()()8xyxykxxkxxxxyykxxk−++=+=+++……………9分2233222332644322()4()1288128141413232832()814k

kkkkkkkkkkkkkkk−+−−−++===−−++−++，……………11分∴直线BD过定点(1,0)−.……………12分21．已知函数22()1exfxaxax=++−.（1）若函数()()gxfx=，试讨论()gx的单调性；（2）若(0,)x+，()0fx，求a的

取值范围.解：（1）因为2()()22exgxxaxfa==+−，……………1分所以()22()24e22exxgxaa=−=−−，……………2分①当0a时，()0gx，()gx在R上单调递减.……………3分②当0a时，令()0gx，则1ln22ax；令()0gx

，则1ln22ax，所以()gx在1,ln22a−单调递增，在1ln,22a+上单调递减.……………5分综上所述，当0a时，()gx在R上单调递减；当0a时，()gx在1,ln22a−

上单调递增，在1ln,22a+上单调递减.（2）因为22()1exfxaxax=++−，可知(0)0f=，2()22exfxaxa=+−222e(21)2e(21)21xxaxxax=+−=+−+，

令()0fx=，得22e21xax=+.……………6分设22()21xehxx=+，则228e()(21)xxhxx=+.当0x时，()0hx，()hx在(0,)+上单调递增，所以()hx在(0,)+上的值域是(2,)+，即22221xex+.……………8分

当2a时，()0fx=没有实根，且()0fx，()fx在(0,)+上单调递减，()(0)0fxf=，符合题意.……………9分当2a时，(0)2ha=，所以22e()21xhxax==+有唯一实根0x，当()00,xx

时，()0fx，()fx在()00,x上单调递增，()(0)0fxf=，不符合题意.……………11分综上，2a，即a的取值范围为(,2−.……………12分22．已知曲线1C的参数方程为45cos55sinxtyt

=+=+（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin=．（1）把1C的参数方程化为极坐标方程，并求曲线2C的直角坐标方程；（2）求1C与2C交点的极坐标（0,02）．解：（1）将4

5cos55sinxtyt=+=+消去参数t，化为普通方程22(4)(5)25xy−+−=，即221:810160Cxyxy+−−+=，……………2分将cossinxy==代入22810160xyxy+−−+=，得28cos

10sin160−−+=，所以1C的极坐标方程为28cos10sin160−−+=；……………4分2:2sinC=，22sin=，222xyy+=，所以2C的普通方程为2220xyy+−=.……………6分（2）

由222281016020xyxyxyy+−−+=+−=，解得11xy==或02xy==，……………8分所以1C与2C的交点的极坐标分别为2,4，2,2．……………10分