【文档说明】河南省实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考试题+数学+含答案.docx，共(9)页，894.914 KB，由小赞的店铺上传

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河南省实验中学2023-2024学年上期第一次月考高二数学时间:120分钟满分:150分命题人:郭远明审题人:贾玉明一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.

在下列四个命题中，正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大B.过点00(,)Pxy的直线方程都可以表示为：00()yykxx−=−C.经过两个不同的点()111,Pxy，()222,Pxy的直线

方程都可以表示为：()()()()121121=yyxxxxyy−−−−D.经过点()1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=2．如图，在空间四边形OABC中，点E在OA上，满足2OEE

A=，点F为BC中点，则EF=（）A.121232OAOBOC−+−B.211322OAOBOC−−C.111222OAOBOC−−+D.211322OAOBOC−++3.直线sin20xy−+=的倾斜角的取值范围是（）A.)0,πB.π3π,44

C.ππ,42D.πππ3,,422π44．正四面体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，PMPN的最大值为()A．1B．2C．3D．45.

冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为1，竹签所在直线方程为20xy+=，则与该串冰

糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（）A.220xy+=B.250xy+=C.240xy+=D.2250xy+=6．已知直线(32)(32)50xy++−+−=恒过定点P，则与圆22:(2)(3)

16Cxy−++=有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为()A．22(2)(3)36xy−++=B．22(2)(3)25xy−++=C．22(2)(3)18xy−++=D．22(2)(3)9xy−++=的7．如图，已知(5,0)A，(0,5)B，从点(1,0

)P射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为()A．213B．210C．226D．4138．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且1EF=，点Q是棱11

AD的中点，点P是棱11CD上的动点，则下面四个结论中正确的个数是()①PQ与EF一定不垂直②二面角PEFQ−−的正弦值是1010③PEF的面积是22④点P到平面QEF的距离是常量A.1B.2C.3D.4二、多项选择题：本题共4小题，

每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若向量,,abc共面，则它们所在的直线共面B.若G是四面体OABC的底面ABC的重心，则()13OG

OAOBOC=++C.若233555OGOAOBOC=−++，则,,,ABCG四点共面D.若向量pmxnykz=++，则称(),,mnk为p在基底,,xyz下的坐标，已知p在单位正交基底,,abc下的坐标为()1,2

,3，则p在基底,,ababc−+下的坐标为13,,322−10.已知直线()12:310,:4340lmxylxmym++−=++−=，下列命题中正确的是（）A.若12ll⊥，则125m=-B.若12ll∥，则1m=或4m=−C.当0m=时，()1,3是直线1

l的方向向量D.原点到直线2l的最大距离为1011．已知菱形ABCD中，60BAD=，AC与BD相交于点E．将ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是()A．BDCM⊥B．

存在一个位置，使CDM为等边三角形C．DM与BC不可能垂直D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为6012．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点P满足1DPDDDA=+，[0，1]，[0，1]，则以下说法正确的

是()A．当=时，//BP平面11CBDB．当12=时，存在唯一点P使得DP与直线1CB的夹角为3C．当1+=时，DPPB+的最小值为22+D．当点P落在以1B为球心，2为半径的球面上时，

+的最小值为22−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过点(1,2)P−作直线l，若直线l与连接(0,1)A−与(2,1)B两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为________．14．如图在一个120的二面角的棱上有两点A

、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若2AB=，1AC=，2BD=，则CD=___________.15．如图，在四棱锥PABCD−的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，ADE是以AD为斜

边的等腰直角三角形，90HDCFAB==，则四棱锥PABCD−外接球的球心到面PBC的距离为___________.16．函数22()820420fxxxxx=+++++的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知ABC的顶点()1,3B−−，AB边上的高CE所在的直线方程为4370xy+−=，BC边上中线AD所在的直线方程为330xy−−=.（1）求点C的坐标；（2）求点

C到直线AB的距离.18.（本小题满分12分）如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1160AADAABBAD===，2ABAD==，11AA=，点P为线段BC中点．（1）求1DP；（2）求直线1AB与1DP所成角的余弦值．19．（本小题满分12分）已知(0t，5]，由

t确定两个点(,)Ptt，(10,0)Qt−．（1）写出直线PQ的方程（答案含t）；（2）在OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上．若OAa=，当正方形ABCD的面积最大时，

求a，t的值．20．（本小题满分12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线4350xy−+=垂直；②过点(5,5)−；③与直线3420xy++=平行．问题：已知直线l过点(1,2)

P−，且____．（1）求直线l的一般式方程；（2）已知(3,16)M−，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得||||MNON−最大．21．（本小题满分12分）如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥PABCD−，四边形ABCD是等腰梯形，//ADB

C，ACDBO=，PO⊥平面ABCD，90BOC=，1OA=，2OC=，E在PB上．（1）为保证风筝飞行稳定，需要在E处引一尼绳，使得3PBPE=，求证：直线//PD平面AEC；（2）实验表明，当tan2PAC=时，

风筝表现最好，求此时直线PA与平面PBC所成角的正弦值．22．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PA＝PD＝2，AB＝1，AD＝2，PD⊥AB.(1)证明：平面PCD⊥平面PAB；(2)若P

B＝3，试在棱PD上确定一点E，使得平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为277.河南省实验中学2023-2024学年上期第一次月考高二数学参考答案一、单项选择题：1.C2.D3.B4.B5.A6.B7.A8.C二、多项选择题：9.BD10.

AD11.ABD12.ACD．三、填空题：13.3k或1k−14.315.．16.四、解答题：17.解(1)设(),Dab，则()21,23Cab++，∴()()33042132370abab−−=+++−=，解得01ab==−，∴()()0,

1,1,1DC−；（2）∵CEAB⊥，且直线CE的斜率为43−，∴直线AB的斜率为34，∴直线AB的方程为()3314yx+=+，即3490xy−−=，所以点C到直线AB的距离为22349234−−=+.18.解：（1）因为在平行六面体1111ABCDABCD−中，点P在线段BC

上，且满足BPPC=．设ABa=，ADb=，1AAc=，这三个向量不共面，,,abc构成空间的一个基底．所以()()111DPAPADABBPADAA=−=+−+()1122abbcabc=+−+=−−．112DPabc=−−，22222111224DPabcabca

bacbc=−−=++−−+1111441222212141122134222=++−−+=++−−+=，13DP=．（2）由（1）知112DPabc=−−，13DP=，1aABc=+，()2114122172ABac=++

==+，()11111112cos,73acabcABDPABDPABDP+−−==552102211321222147321aabacacbcc−−+−−===，直线1AB与1DP所成角的余弦值为2114．19．解（1）由题意知当

直线斜率存在时，210PQtkt=−，当5t=时，直线PQ的方程为5x=，当5t时，直线PQ的方程为()210tytxtt−=−−．直线PQ的方程为(210)(10)tytxt−=+−．（2）由(,)Ptt和四边形ABCD为正方形可知OAADAB==，OAa=，(,0)Aa，(2,0)Ba，(

2,)Caa因为点(2,)Caa在直线PQ上，所以(210)(210)tatat−=+−，所以2115(10)(5)10102attt=−=−−+，而正方形ABCD的面积最大，即a最大，所以当5t=时，52a=，此时图中阴影部

分的面积最大．20．解：（1）根据题意，选择①与直线4350xy−+=垂直，则直线l的斜率413k=−，解得34k=−，又其过点(1,2)P−，则直线l的方程为：32(1)4yx+=−−，整理得：3450xy++=；选择②过点(5,5)−，又直线l过点(1,2)P−则

直线l的斜率523514k−+==−−，则直线l的方程为：32(1)4yx+=−−，整理得：3450xy++=；选择③与直线3420xy++=平行，则直线l的斜率34k=−，又其过点(1,2)P−，则直线l的方程为：32(1)4y

x+=−−，整理得：3450xy++=；综上所述，不论选择哪个条件，直线l的方程均为：3450xy++=．（2）根据（1）中所求，可得直线l的方程为：3450xy++=，又(3,16)M−，设点O关于直线l的对称点为(,)Qxy，则314yx−=−，且345022xy++=，

解得68,55xy=−=−，即68(,)55Q−−；根据题意，作图如下：显然||||||||||MNONMNQNQM−=−„，但且仅当Q，N，M三点共线时取得等号；又直线QM的斜率247k=−，故其方程为：8246()575yx+=−+，即244077yx=−−，联立3450

xy++=，可得5,03xy=−=，即点N的坐标为5(,0)3−时，使得||||MNON−最大．21．解：（1）证明：四边形ABCD是等腰梯形，//ADBC，1OD=，2OB=，连接EO，13PEDOPBDB==，//EOPD，EO平面AEC，PD平面AEC，//PD平面AE

C．（2）解：PO⊥平面ABCD，AC平面ABCD，POAC⊥，tan2PAC=，2OPOA=，2OP=，OBOC⊥，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，(0O，0，0

)，(0P，0，2)，(0A，1−，0)，(0C，2，0)，(2B，0，0)，(0,1,2),(0,2,2),(2,0,2)PAPCPB=−−=−=−，设平面PBC的法向量为(,,)nxyz=，220220nPCyznPBxz=−==−=，令1x=，

1y=，1z=，(1,1,1)n=，设PA与平面PBC所成角为，||315sin|cos,5||||53PAnPAnPAn====．PA与平面PBC所成角的正弦值为155．22．(1)证明因为PA＝PD＝2，AD＝2，所以PA2＋PD2＝AD2，所以PD⊥PA，又因为PD⊥AB

，AB，PA⊂平面PAB，且AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB，又因为PD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAB.(2)解因为PA＝2，AB＝1，PB＝3，所以PA2＋AB2＝PB2，所以AB⊥PA，又因为PD⊥AB，PA，PD⊂平面PAD，且PD∩PA＝A，

所以AB⊥平面PAD，因为AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD，所以四边形ABCD为矩形．以A为原点，AB→，AD→分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(

0,1,1)，所以AC→＝(1,2,0)，AP→＝(0,1,1)，PD→＝(0,1，－1)，由PD⊥平面PAB，可得向量PD→＝(0,1，－1)是平面PAB的一个法向量．设ED→＝λPD→，0≤λ≤1，则E(0,2－λ，λ)，所以AE→＝(0,

2－λ，λ)．设平面EAC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AE→＝0，n·AC→＝0，所以(2－λ)y＋λz＝0，x＋2y＝0，令y＝－1，可得x＝2，z＝2－λλ，所以n＝2，－1，2－λλ，所以|cos〈PD→，n〉|

＝PD→·n|PD→||n|＝277，可得12λ2－8λ＋1＝0，解得λ＝12或λ＝16，即当点E满足ED→＝12PD→或ED→＝16PD→时，平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为277.获

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