【文档说明】重组卷05-冲刺2023年高考数学真题重组卷（参考答案）.docx，共(26)页，1.408 MB，由小赞的店铺上传

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冲刺2023年高考数学真题重组卷05新高考地区专用（参考答案）123456789101112BDBCCBCBABDABDACAC一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：

|12ABxx=−.故选：B.2．D【解析】利用复数的除法可求z，从而可求zz+.【详解】由题设有21i1iiiz−===−，故1+iz=，故()()1i1i2zz+=++−=，故选：D3．B【解析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详

解】因为点D在边AB上，2BDDA=，所以2BDDA=，即()2CDCBCACD−=−，所以CB=3232CDCAnm−=−23mn=−+．故选：B．4．C【解析】第n环天石心块数为na，第一层共有n环，则{}na是以9为首项，9为公差的等差数列，设nS为{}na的前n项和，由题意可得32

2729nnnnSSSS−=−+，解方程即可得到n，进一步得到3nS.【详解】设第n环天石心块数为na，第一层共有n环，则{}na是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99nann=+−=，设nS为{}na的前n项和，则第

一层、第二层、第三层的块数分别为232,,nnnnnSSSSS−−，因为下层比中层多729块，所以322729nnnnSSSS−=−+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222nn

nnnnnn++++−=−+即29729n=，解得9n=，所以32727(9927)34022nSS+===.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5．C【解析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步

，将3名学生分成两个组，有12323CC=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.6．B【解析】作出图

形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即3ADBD=，设球的半径为R，则343233R=，可得2R=，所以，44ABAD

BDBD=+==，所以，1BD=，3AD=，CDAB⊥，则90CADACDBCDACD+=+=，所以，CADBCD=，又因为ADCBDC=，所以，ACDCBD△∽△，所以，ADCDCDBD=，3CDADBD==，因此，这两个圆锥的

体积之和为()21134433CDADBD+==.故选：B.7．C【解析】设()00,Pxy，由()0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,Px

y，由()0,Bb，因为2200221xyab+=，222abc=+，所以()()2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc=+−=−+−=−++++，因

为0byb−，当32bbc−−，即22bc时，22max4PBb=，即max2PBb=，符合题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc−−，即22bc时，42222maxb

PBabc=++，即422224babbc++，化简得，()2220cb−，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．8．B【解析】推导出函数()fx是以4为周期的周期函数，由

已知条件得出()10f=，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数()2fx+为偶函数，则()()22fxfx+=−，可得()()31fxfx+=−，因为函数()21fx+为奇函数，则()()1221fxfx−=−+，所以，()()11fxfx

−=−+，所以，()()()311fxfxfx+=−+=−，即()()4fxfx=+，故函数()fx是以4为周期的周期函数，因为函数()()21Fxfx=+为奇函数，则()()010Ff==，故()()110ff−=−=，其它三个选项未知.故选：B.二、多项选择题：本

题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ABD【解析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1BC、1BC，因为11//DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为直线1

BC与1DA所成的角，因为四边形11BBCC为正方形，则1BC⊥1BC，故直线1BC与1DA所成的角为90，A正确；连接1AC，因为11AB⊥平面11BBCC，1BC平面11BBCC，则111ABBC⊥，因为

1BC⊥1BC，1111ABBCB=，所以1BC⊥平面11ABC，又1AC平面11ABC，所以11BCCA⊥，故B正确；连接11AC，设1111ACBDO=，连接BO，因为1BB⊥平面1111DCBA，1CO平面1111DCBA，则11COBB⊥，因为111COBD⊥，

1111BDBBB=，所以1CO⊥平面11BBDD，所以1CBO为直线1BC与平面11BBDD所成的角，设正方体棱长为1，则122CO=，12BC=，1111sin2COCBOBC==，所以，直线1BC与平面11BBDD所成的角为30，故

C错误；因为1CC⊥平面ABCD，所以1CBC为直线1BC与平面ABCD所成的角，易得145CBC=，故D正确.故选：ABD10．ABD【解析】根据1ab+=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，()222221221abaaaa+=+−=−+21211222a+

−=，当且仅当12ab==时，等号成立，故A正确；对于B，211aba−=−−，所以11222ab−−=，故B正确；对于C，2222221logloglogloglog224ababab++===−，当

且仅当12ab==时，等号成立，故C不正确；对于D，因为()21212ababab+=+++=，所以2ab+，当且仅当12ab==时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.

11．AC【解析】利用极值点的定义可判断A，结合()fx的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231fxx=−，令()0fx¢>得33x或33x−，令()0fx得333

3x−，所以()fx在3(,)3−−，3(,)3+上单调递增，33(,)33−上单调递减，所以33x=是极值点，故A正确；因323()1039f−=+，323()1039f=−，()250f−=−，所以，函数()fx在3,3−−上有一个零点，当33x

时，()303fxf，即函数()fx在33,+上无零点，综上所述，函数()fx有一个零点，故B错误；令3()hxxx=−，该函数的定义域为R，()()()()33hxxxxx

hx−=−−−=−+=−，则()hx是奇函数，(0,0)是()hx的对称中心，将()hx的图象向上移动一个单位得到()fx的图象，所以点(0,1)是曲线()yfx=的对称中心，故C正确；令()2312fxx=−=，可得1x=，又()(1)11ff

=−=，当切点为(1,1)时，切线方程为21yx=−，当切点为(1,1)−时，切线方程为23yx=+，故D错误.故选：AC.12．AC【解析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到23ba=或2ab=，即可得解，

注意就,MN在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为B，所以1OBFN⊥，因为123cos05FNF=，所以N在双曲线的左支，OBa=，1OFc=，1FBb=，设

12FNF=，由即3cos5=，则4sin5=，235NANF22aa==，21NFNF2a−=532222aaba−−=，52be2a==，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为123cos05FNF=，所以N在双曲线的右支，所以OBa=，1OFc=，1F

Bb=，设12FNF=，由123cos5FNF=，即3cos5=，则4sin5=，235NANF22aa==，12NFNF2a−=352222abaa+−=，所以23ba=，即32ba=，所以双曲线的离心率221312cbeaa==+=选C[方法二]：答案回代法5Ae2=选项

特值双曲线()()22121,F5,0,F5,04xy−=−，过1F且与圆相切的一条直线为()y2x5=+，两交点都在左支,62N5,555−−，2112NF5,NF1,FF25===，则

123cos5FNF=，13Ce2=选项特值双曲线()()2212xy1,F13,0,F13,049−=−，过1F且与圆相切的一条直线为()2yx133=+，两交点在左右两支，N在右支，1418N13,131313，2112NF5,NF9,FF213

===，则123cos5FNF=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，若,MN分别在左右支，因为1OGNF⊥，且123cos05FNF=，所以N在双曲线的右支，又OGa=，1OF

c=，1GFb=，设12FNF=，21FFN=，在12FNF△中，有()212sinsinsinNFNFc==+，故()122sinsinsinNFNFc−=+−即()sinsinsinac=+−，所以sincoscossinsinsina

c=+−，而3cos5=，sinac=，cosbc=，故4sin5=，代入整理得到23ba=，即32ba=，所以双曲线的离心率221312cbeaa==+=若,MN均在左支上，同理有()212sinsinsinNFNFc==

+，其中为钝角，故cosbc=−，故()212sinsinsinNFNFc−=−+即sinsincoscossinsinac=−−，代入3cos5=，sinac=，4sin5=，整理得到：1424aba=+，故2ab=，故2512bea=+=

，故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．3−【解析】首先确定函数的解析式，然后求解2f的值即可.【详解】由题意可得：31332,,241234TTT=−=

===，当1312x=时，()131322,2126xkkkZ+=+==−，令1k=可得：6=−，据此有：()52cos2,2cos22cos362266fxxf=−=−==−

.故答案为：3−.【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下

降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.14．232027【解析】

根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253=；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为232321220333

27C+=.故答案为：23；2027.15．22.【解析】根据已知条件易得1DE3=，1DE⊥侧面11BCCB，可得侧面11BCCB与球面的交线上的点到E的距离为2，可得侧面11BCCB与球面的交线是扇形EFG的

弧FG，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取11BC的中点为E，1BB的中点为F，1CC的中点为G，因为BAD=60°，直四棱柱1111ABCDABCD−的棱长均为2，所以△111DBC为等边三角形，所以1DE3=，111D

EBC⊥，又四棱柱1111ABCDABCD−为直四棱柱，所以1BB⊥平面1111DCBA，所以111BBBC⊥，因为1111BBBCB=，所以1DE⊥侧面11BCCB，设P为侧面11BCCB与球面的交线上的点，则1DEEP

⊥，因为球的半径为5，13DE=，所以2211||||||532EPDPDE=−=−=，所以侧面11BCCB与球面的交线上的点到E的距离为2，因为||||2EFEG==，所以侧面11BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，因为114BEFCEG==，所以2FEG=，所以根据弧长公式可

得2222FG==.故答案为：22.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.16．①②④【解析】由()0fx=可得出lg2xkx=+，考查直线2

ykx=+与曲线()lggxx=的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k=时，由()lg20fxx=−=，可得1100x=或100x=，①正确；对于②，考查

直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−相切于点(),lgPtt−，对函数lgyx=−求导得1ln10yx=−，由题意可得2lg1ln10kttkt+=−=−，解得100100lget

kee==−，所以，存在100lg0kee=−，使得()fx只有一个零点，②正确；对于③，当直线2ykx=+过点()1,0时，20k+=，解得2k=−，所以，当100lg2eke−−时，直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−

有两个交点，若函数()fx有三个零点，则直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=有一个交点，所以，100lg220ekek−−+，此不等

式无解，因此，不存在0k，使得函数()fx有三个零点，③错误；对于④，考查直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=相切于点(),lgPtt，对函数lgyx=求导得1ln10yx=，由题意可得2lg1ln10kttkt+==，解得100lg100teeke==，所以，

当lg0100eke时，函数()fx有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式

，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．详见解析【解析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，

由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理由sin3sinAB=可得：3ab=，不妨设()3,0ambmm==，则：22222232cos3232cababCmmmmm=+−=+−=，即cm=.若选择条件①：据此可得：2333acmmm

===，1m=，此时1cm==.若选择条件②：据此可得：222222231cos222bcammmAbcm+−+−===−，则：213sin122A=−−=，此时：3sin32cAm==，则：23

cm==.若选择条件③：可得1cmbm==，cb=，与条件3=cb矛盾，则问题中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由,6CABC=++=，得56AB=−．由sin3sinAB=，得5sin3sin6BB−=，即13cossin3sin22BBB+=，得3tan3B=．

由于0B，得6B=．所以2,3bcA==．若选择条件①：由sinsinacAC=，得2sinsin36ac=，得3ac=．解得1,3cba===．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c=．若选择条件②：由sin3cA=，得2sin33c=，解得23c=，则2

3bc==．由sinsinacAC=，得2sinsin36ac=，得36ac==．所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c=．若选择条件③：由于3=cb与bc=矛盾，所以，问题中的三角形不存在．【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得,,abc的关系，再根据选择的条

件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A，可求出角B，从而可得2,,36bcABC====，再根据选择条件即可解出．18．（1）11()3nna−=，3

nnnb=；（2）证明见解析.【解析】（1）利用等差数列的性质及1a得到29610qq−+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,nnST，再作差比较即可.【详解】（1）因为na是首项为1的等比数列且1a，23a，39a成等差数列，所以21369aaa=+，所以

211169aqaaq=+，即29610qq−+=，解得13q=，所以11()3nna−=，所以33nnnnanb==.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333nnnnnT−−=++++，012111111223333−=++++nnS，23012112311

1112333323333nnnnSnT−−=++++−++++=012111012222333−−−++++111233−−−+nnnn．设0121111101212222Γ3333−

−−−−−=++++nnn，⑧则1231111012112222Γ33333−−−−−=++++nnn．⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313−−−−−=−+

+++−=−+−−nnnnnnn．所以211312Γ432323−−−−=−−=−nnnnnn．因此10232323−−=−=−nnnnnSnnnT．故2nnST．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313nnnS

−==−−，211213333nnnnnT−−=++++，①231112133333nnnnnT+−=++++，②①−②得23121111333333nnnnT+=++++−1111(1)1133(1)1323313nnnnnn++−=−=−−−，所以31(1)43

23nnnnT=−−，所以2nnST−=3131(1)(1)043234323nnnnnn−−−−=−，所以2nnST.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13=nnbn，令1()3=+nncn，且1+=−nnnbcc，即1111()[(1

)]333+=+−++nnnnnn，通过等式左右两边系数比对易得33,24==，所以331243nncn=+．则12113314423nn

nnnTbbbcc+=+++=−=−+，下同方法二．[方法四]：导函数法设()231()1−=++++=−nnxxfxxxxxx，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1nnnnnxxx

xxxxxnxnxxxx+−−−−−−+−+==−−−，则12121(1)()123(1)+−+−+=++++=−nnnnxnxfxxxnxx．又1111333−==nnnbnn，所以2112311111233333

nnnTbbbbn−=++++=++++=12111(1)11133333113nnnnf++−+=−13113311(1)4334423nnnnnn

+=+−+=−+，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法

要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,nnST,然后证得结论,为最优解；

方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3=+nncn，使1+=−nnnbcc，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.19．（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）()()EYEX．

【解析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出()EY，即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性

的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，()12011PX==，()1103011111PX==−=，则X的分布列:X2030P1111011所以()11032020

30111111EX=+=；（2）由题意，Y可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为232981510020499CCPC==，不在同一组的概率为29599P=，则()()49529502530=999999EYEX=+

.20．（I）证明见解析；（II）33【解析】（I）方法一：作DHAC⊥交AC于H，连接BH，由题意可知DH⊥平面ABC，即有DHBC⊥，根据勾股定理可证得BCBH⊥，又//EFBC，可得DHEF⊥，BHEF⊥，即得EF⊥平面BHD，即证得E

FDB⊥；（II）方法一：由//DFCH，所以DF与平面DBC所成角即为CH与平面DBC所成角，作HGBD⊥于G，连接CG，即可知HCG即为所求角，再解三角形即可求出DF与平面DBC所成角的正弦值．【详解】（I）[方法一]：几何证法作DHAC⊥交AC于H，连接BH．∵平面ADFC⊥平面ABC，而

平面ADFC平面ABCAC=，DH平面ADFC，∴DH⊥平面ABC，而BC平面ABC，即有DHBC⊥．∵45ACBACD==，∴222CDCHBCCHBC===．在CBH中，22222cos4

5BHCHBCCHBCBC=+−=，即有222BHBCCH+=，∴BHBC⊥．由棱台的定义可知，//EFBC，所以DHEF⊥，BHEF⊥，而BHDHH=，∴EF⊥平面BHD，而BD平面BHD，∴EFDB⊥．[方法二]【最优解】：空间向量坐标系方法作DOAC⊥交AC于O．∵平面

ADFC⊥平面ABC，而平面ADFC平面ABCAC=，DO平面ADFC，∴DO⊥平面ABC，以O为原点，建立空间直角坐标系如图所示.设OC=1,∵45ACBACD==，22DCBC==，∴22BC=,∴()()110,0,1,0,1,0,,,022DCB，∴

11,,122BD=−−,11,,022BC=−,11·044BDBC=−=,∴BC⊥BD,又∵棱台中BC//EF,∴EF⊥BD；[方法三]：三余弦定理法公众号：高中试卷君∵平面A

CFD⊥平面ABC，∴1coscoscoscos45cos452BCDACBACD===,∴60BCD=，又∵DC=2BC．∴90CBD=,即CDBD⊥,又∵//EFBC，∴EFDB⊥．（II）[方法一]：几何法因为//DFCH，所

以DF与平面DBC所成角即为与CH平面DBC所成角．作HGBD⊥于G，连接CG，由（1）可知，BC⊥平面BHD，因为所以平面BCD⊥平面BHD，而平面BCD平面BHDBD=，HG平面BHD，∴HG⊥平面BCD．即C

H在平面DBC内的射影为CG，HCG即为所求角．在RtHGC△中，设BCa=，则2CHa=，2233BHDHaaHGaBDa===，∴13sin33HGHCGCH===．故DF与平面DBC所成角的正弦值为33．[方法二]【最优解】：空间向量坐标系法设平面BCD的法向量为(),,nxyz=,

由（I）得11,,122BD=−−,11,,022BC=−,∴11022,11022xyzxy−−+=−+=令1x=,则1y=,2z=,()1,1,1n=,()0,1,0OC=，13

cos,3111?1nOC==++,由于//DFOC，∴直线DF与平面DBC所成角的正弦值为33．[方法三]：空间向量法以{,,}CHCBCD为基底,不妨设22DCBC==，则3,2,45,45,60DBCH

HCBHCDDCB=====(由（I）的结论可得）．设平面DBC的法向量为nxCHyCBzCD=++，则由0,0,nCDnCB==得240,0,xyzxyz++=++=取1z=，得32nCHCBCD=−++．设直线

DF与平面DBC所成角为，则直线HC与平面DBC所成角也为，由公式得||23sin3||||26HCnHCn===．[方法四]：三余弦定理法由45ACBACD==，可知H在平面DBC的射影G在DCB的角平分线上．设直线DF与平面DBC所成角为

，则HC与平面DBC所成角也为．由由（I）的结论可得60BCD=，由三余弦定理，得cos45cos30cos=，6cos3=从而3sin3=．[方法五]：等体积法设H到平面DBC的距离为h，设1DH=

,则261,2,,22HCDCBCBD====,设直线DF与平面DBC所成角为，由已知得HC与平面DBC所成角也为．由HDBCDHBCVV−−=，1121122sin601451322322hsin=

,求得33h=，所以333sin13hHC===．【整体评价】（I）的方法一使用几何方法证明，方法二利用空间直角坐标系方法，简洁清晰，通性通法，确定为最优解；方法三使用了两垂直角的三余弦定理得到60BCD=，进而证明，过程简

洁，确定为最优解（II）的方法一使用几何做法，方法二使用空间坐标系方法，为通性通法，确定为最优解；方法三使用空间向量的做法，避开了辅助线的求作；方法四使用三余弦定理法，最为简洁，确定为最优解；方法五采用等体积转化法，避免

了较复杂的辅助线.21．（1）抛物线2:Cyx=，M方程为22(2)1xy−+=；（2）相切，理由见解析【解析】（1）根据已知抛物线与1x=相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,PQ坐标，由OPOQ⊥，即可求出p；由圆M与直线1x=相切，求出半径，即可得出

结论；（2）方法一：先考虑12AA斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,AAAAAA斜率存在，由123,,AAA三点在抛物线上，将直线121223,,AAAAAA斜率分别用纵坐标表示，再由1212,AAAA与圆M相切，得出2323,yyyy+与1y的关系，最后求出M

点到直线23AA的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)CypxpPyQy=−，20,1120,21OPOQOPOQypp⊥=−=−==，所以抛物线C的方程为2yx=，()2,0,MM与1x=相切，所以半径为1，所以M的方程为22(

2)1xy−+=；（2）[方法一]：设111222333(),(,),(,)AxyAxyAxy若12AA斜率不存在，则12AA方程为1x=或3x=，若12AA方程为1x=，根据对称性不妨设1(1,1)A，则过1A与圆M相切

的另一条直线方程为1y=，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A，不合题意；若12AA方程为3x=，根据对称性不妨设12(3,3),(3,3),AA−则过1A与圆M相切的直线13AA为33(3)3yx−=−，又13133131

33113,033AAyykyxxyyy−=====−++，330,(0,0)xA=，此时直线1323,AAAA关于x轴对称，所以直线23AA与圆M相切；若直线121323,,AAAAAA斜率均存在，则121323121323111,,AAAAAAkkkyyyyyy===+++，

所以直线12AA方程为()11121yyxxyy−=−+，整理得1212()0xyyyyy−++=，同理直线13AA的方程为1313()0xyyyyy−++=，直线23AA的方程为2323()0xyyyyy−++=，1

2AA与圆M相切，12212|2|11()yyyy+=++整理得22212121(1)230yyyyy−++−=，13AA与圆M相切，同理22213131(1)230yyyyy−++−=所以23,yy为方程222111(1)230yyyyy−++−=的两根，2112

323221123,11yyyyyyyy−+=−=−−，M到直线23AA的距离为：21223122123213|2||2|121()1()1yyyyyyyy−++−=+++−−22112222111|1|111(1)4yyyyy++===+−+

，所以直线23AA与圆M相切；综上若直线1213,AAAA与圆M相切，则直线23AA与圆M相切.[方法二]【最优解】：设()()()222111113333322222,,,,,,,,AxyyxAxyyxAxyyx===．当12xx=时，同解

法1．当12xx时，直线12AA的方程为()211121yyyyxxxx−−=−−，即121212yyxyyyyy=+++．由直线12AA与M相切得12122122111yyyyyy++=++，化简得()121212130yyxxx+−−+=，同理，由直线13AA与M相切得(

)131312130yyxxx+−−+=．因为方程()1112130yyxxx+−−+=同时经过点23,AA，所以23AA的直线方程为()1112130yyxxx+−−+=，点M到直线23AA距离为()()()11122211121311411x

xxyxx−−++==+−+．所以直线23AA与M相切．综上所述，若直线1213,AAAA与M相切，则直线23AA与M相切．【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题

转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用1213,AAAA的对称性，抽象出2323,yyyy+与1y关系，把23,yy的关系转化为用1y表示，法二是利用相切等条件得到23AA的直线方程为()1112130yyxxx+−−+=，利用点到直线距离进行证明，方法二更为

简单，开拓学生思路22．(1)()fx的减区间为(),0−，增区间为()0,+.(2)12a；(3)见解析【解析】（1）求出()fx，讨论其符号后可得()fx的单调性.（2）设()ee1axxhxx=−+，求出()hx，先讨论12a时题设

中的不等式不成立，再就102a结合放缩法讨论()hx符号，最后就0a结合放缩法讨论()hx的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12lnttt−对任意的1t恒成立，从而可得()21ln

1lnnnnn+−+对任意的*nN恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【详解】（1）当1a=时，()()1exfxx=−，则()exfxx=，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx¢>，故()fx的减区间为(),0−，增区间为()0,+.（2）

设()ee1axxhxx=−+，则()00h=，又()()1eeaxxhxax=+−，设()()1eeaxxgxax=+−，则()()22eeaxxgxaax=+−，若12a，则()0210ga=−，因为()gx

为连续不间断函数，故存在()00,x+，使得()00,xx，总有()0gx，故()gx在()00,x为增函数，故()()00gxg=，故()hx在()00,x为增函数，故()()01hxh=−，与题设

矛盾.若102a，则()()()ln11eeeeaxaxaxxxhxax++=+−=−，下证：对任意0x，总有()ln1xx+成立，证明：设()()ln1Sxxx=+−，故()11011xSxxx−=−=++，故()Sx在(

)0,+上为减函数，故()()00SxS=即()ln1xx+成立.由上述不等式有()ln12eeeeee0axaxxaxaxxaxx+++−−=−，故()0hx总成立，即()hx在()0,+上为减函数，所

以()()00hxh=.当0a时，有()eee1100axxaxhxax=−+−+=，所以()hx在()0,+上为减函数，所以()()00hxh=.综上，12a.（3）取12a=，则0x，总有12ee10xxx−+成立，令12ext=，则21,e,2lnxttxt==，故

22ln1ttt−即12lnttt−对任意的1t恒成立.所以对任意的*nN，有112ln1nnnnnn++−+，整理得到：()21ln1lnnnnn+−+，故()222111ln2ln1ln3ln2ln1ln1122nnnn+++−+

−+++−+++()ln1n=+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数

不等式合理构建数列不等式.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com