【文档说明】《精准解析》福建省福州市八县（市、区）一中2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）.docx，共(22)页，1.311 MB，由小赞的店铺上传

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2022～2023学年第一学期高二八县（市）期考联考高中二年数学科试卷命题学校：长乐一中命题教师：高二集备组审核教师：高二集备组考试日期：月日完卷时间：120分钟满分：150分第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．）1.已知空间向量(2,1,3)a=−，(2,,3)bx=−−，且ab⊥，则x=（）A.1B.-13C.13D.-5【答案】B【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为()2,1,3a=−，()2,,3bx=−−，且ab⊥，所以490x−−−=，解得

13x=−，故选：B.2.若直线l的方向向量是()1,3e=，则直线l的倾斜角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解【详解】由直线l的方向向量是()1,3e=得直线l的斜率为3，设直线的倾斜角是

()π0πtan33==，，故选：B.3.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=左､右焦点分别为12,,FF，离心率为32，过点1F的直线l交椭圆于A,B两点，若2AFB的周长为8，则C的方程为（）的A.221164xy+=B.2211612xy+=C

.22143xy+=D.2214xy+=【答案】D【解析】【分析】由椭圆的定义知2AFB的周长为4a，结合已知条件求出a，再由离心率求出c，进而求出b，从而得出答案.【详解】依题意2AFB的周长为48

,2aa==，3e,3,12ccba====.则C的方程为2214xy+=.故选:D4.若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线50xy−+=的距离为（）A.522B.322C.5D.3【答案】A【解析】【分析】根据题意可设圆的方程为222()()xayaa−+−=，且0a，代

入点到直线的距离公式即可求解.【详解】因为圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则设圆心为(,)aa，0a，ra=，所以设圆的方程为222()()xayaa−+−=且0a，则圆心到直线的距离为55222aad−

+==.故选：A5.已知等差数列na的前n项和为nS，且1020310,930SS==，则30S=（）A.1240B.1550C.1860D.2170【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前n项和的性质得1020103020,,SSSSS−−成等差数列，即可求得30S的值.【详解】因为等差数列

na的前n项和为nS，所以1020103020,,SSSSS−−成等差数列所以()20101030202SSSSS−=+−，所以()302930310310930S−=+−，解得301860S=.故选：C.6.如图，已知正四棱锥PABCD−的所有棱长均为

1，E为PC的中点，则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为（）A.33B.22C.13D.12【答案】D【解析】【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量BM在BE上的投影的大小，再求点M到直线BE的距离，由此可求其最小值.方法二：证明PE为异面直线,PABE的公垂线段，

由此可求动点M到直线BE的距离的最小值.【详解】连接,ACBD，记直线,ACBD的交点为O，由已知PO⊥平面ABCD，ACBD⊥，以点O为原点，,,OAOBOP为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，由已知1,1ABBCCDDAPAPBPCPD========，所以12212,

,122222OAOCACOBOP=====−=，则222222,0,0,0,,0,0,0,,,0,0,,0,222244ABPCE−−，所以222,,424BE

=−−，22,,022BA=−，22,0,22AP=−，设AMAP=()01，则()2221,,222BMBAAMBAAP=+=+=−−，所以BM在BE上的

投影向量的模为()1132124632BMBEBE++==，又()22211111222BM=−++=−+，所以动点M到直线BE的距离()22212411121123312d=−+−+=−+，所以()221134d=−+，所以当1=时，动点M到直线BE的距离最小，最小值

为12，故选：D.方法二：因为PBC为等边三角形，E为PC的中点，所以PEBE⊥，由已知1,1,2PAPCAC===，所以222PAPCAC+=，所以PAPC⊥，所以PE为异面直线PA，BE的公垂线段，所以PE的长为动点M到直线BE的距离最小值，所以动点M到直线BE距

离最小值为12，故选：D.7.已知椭圆()2222:10yxCabab+=与抛物线()220xpyp=有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFy⊥轴，则椭圆的离心率是（）的A.12B.22C.21−D.31−【答案】C【解析】【分析】分析可得2pc=，求得2AFc=，设设

椭圆的下焦点为F，利用勾股定理可求得AF，利用椭圆的定义可求得该椭圆的离心率的值.【详解】易知点(),0Fc或0,2pF，所以，2pc=，即2pc=，将2py=代入抛物线方程可得xp=，则2AFpc==，设椭圆的下焦点为F，

因为AFy⊥轴，则2222AFAFFFc=+=，由椭圆的定义可得()2222212aAFAFccc=+=+=+，所以，椭圆的离心率为12121cea===−+.故选：C.8.初中时通常把反比例函数(0)kykx=的图像叫做双曲线，它的图像就是在圆锥曲线

定义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同，当K>0时只需把反比例函数的图像绕着原点顺时针旋转45，便得到焦点在x轴的双曲线的图形.所以也可以理解反比例函数的图像是以x轴，y轴为渐近线，以直线y=

x为实轴的等轴双曲线，那么当k=4时，双曲线的焦距为（）A.8B.4C.22D.42【答案】A【解析】【分析】结合所给信息，可得旋转后，双曲线变为等轴双曲线，再由()2,2绕原点顺时针旋转所得坐标在等轴双曲线上可得等轴双曲线方程.【详解】由所给信息，可知旋转

后双曲线以两条相互垂直的直线作为渐近线，则双曲线为等轴双曲线，设为()222210xyaaa−=.又注意到()2,2在函数4yx=图像上，其与原点连线与x正半轴夹角为o45，则将点()2,2绕原点顺时针旋转o45后，该点落在x正半轴，设为()0m,，因旋转前后到原点距离不变，则2822mm=

=.即将点()2,2绕原点顺时针旋转o45后，可得()22,0，则()22,0满足22221xyaa−=.可得双曲线方程为22188xy−=，则884c=+=，则焦距为28c=.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分

，共20分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.正四面体ABCD中，棱长为a，高为h，外接球半径为R，内切球半径为r，AB与平面BCD所成角为，二面角A

-BD-C的大小为，则（）A.63ha=B.2Rr=C.6sin3=D.1cos2=【答案】AC【解析】【分析】根据正四面体的性质结合外接球、内切球的性质以及线面、面面夹角逐项分析运算.【详解】取BD的中点M，BCD△的中心H，连接,,AHBHCM，

对A：∵ABCD为正四面体，则AH⊥平面BCD，故外接球的球心O（也为内切球的球心）在AH上，则22323136,,,233363AMCMaBHCHCMaDMCMahAHACCHa=========−=，A正

确；对B：6,3OAOBROHraR====−∵AH⊥平面BCD，,BHCM平面BCD，∴,AHBHAHCM⊥⊥，故222OBBHOH=+，即2226633RaaR=+−，解得64Ra=，故6663412raaa

=−=，则3Rr=，B错误；对C：由AH⊥平面BCD，可得AB与平面BCD所成角为ABH=?，故6sinsin3AHABHAB=?=，C正确；对D：∵M为BD的中点，且ABADBCBD===，则,AMBDCMBD⊥⊥，故二面角A-BD-C的大小为AMC=，在RtAHM中

，则316coscos332aMHAMCAMa====，D错误.故选：AC.10.已知等差数列na的前n项和为nS，且满足410aa=，公差0d，则（）A.70a=B.130SC.nS有最大值D.13(112,)nnSSnnN−=【答案】ACD【解析】【分析】首先根据已

知条件得到40a，100a，4100aa+=，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为满足410aa=，公差0d，所以40a，100a，且410aa=−，即4100aa+=.对选项A，410720aaa+==，即70a=，故A正确.对选项B，()()11113340131320

2Saaaa++===，故B错误.对选项C，因为70a=，0d，所以60a，80a，所以当6n=或7n=时，nS有最大值.故C正确.对选项D，因当6n=或7n=时，nS取得最大值，所以13(112,)nnSSnnN−=，故D

正确.故选：ACD11.已知抛物线22(0)ypxp=的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A、B两点，若()2Mm，是线段AB的中点，则（）A.1m=B.4p=C.直线l的方程为24yx=−D.5AB=【答案

】BC【解析】【分析】根据抛物线的几何性质可判断B；利用点差法求解得直线斜率，从而可判断C；由点(),2Mm在直线l上可求得m，可判断A；利用弦长公式可判断D.【详解】由题知，4p=，故抛物线方程为28yx=.设1122(,),(,)AxyBxy，易知12xx，则211

22288yxyx==，由点差法可得1212128yyxxyy=−+−又(),2Mm是线段AB的中点，所以124yy+=，所以直线l的斜率12122yyxx−−=因为直线l过焦点(2,0)F，所以l的方程为02(2)yx−=

−，即24yx=−对于A：将(),2Mm代入24yx=−可得3m=，A错误；对于B：B正确；对于C：C正确；为对于D：将24yx=−代入28yx=得2640xx−+=，所以126xx+=，所以126410ABxxp=++=+=，故D错误.故选：BC12.在数列na

中，若221(2,,nnaapnnp−−=N为常数），则称na为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（）A.(2)n−是平方等差数列B.若na是平方等差数列，则2na是等差数列C.若na是平方等差数列，则(

,,,nkabkbkb+N为常数）也是平方等差数列D.若na是平方等差数列，则(,,,knbakbkb+N为常数）也是平方等差数列【答案】BD【解析】【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可.【

详解】对于A，当n为奇数时，则()1n−为偶数，所以()()()11122223?2nnnnn−−−−−−=−+=−，当n为偶数时，则()1n−为奇数，所以()()()11122223?2nnnnn−−−−−−=+=，即(2)n−不符合平方等差数列的定义，故错误；对于B，若

na是平方等差数列，则221(2,,nnaapnnp−−=N为常数），即2na是首项为21a，公差为p的等差数列，故正确；对于C，若na是平方等差数列，则221(2,,nnaapnnp−−=N为常数），则()()()()222221112nnnnnnkab

kabkaakbaa−−−+−+=−+−，即()()()222112nnnnkabkabkpkbaa−−+−+=+−，当na为等差数列时，1nnaad−−=，则nkab+为平方等差数列，当na不为等差数列时，则nkab+不为平方等差

数列，故错误；对于D，因为na是平方等差数列，所以()()222222121111+++++−−=−==−=knknknknknknaaaaaap，把以上的等式相加，得()()()()()222222121111+++++−−+−++−=knknknknknknaaaa

aakp，22(1)knknaakp+−=，则()221knbknbaakp+++−=，即数列knba+是平方等差数列，故正确；故选:BD第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.在等差数列na中，若11a=，2462aa=，则5a=___

___【答案】174139【解析】【分析】根据已知先求公差，然后由通项公式可得.【详解】记等差数列na的公差为d，则有211(3)2(5)adad+=+又11a=，所以2(13)2(15)dd+=+，解得2139d=所以5213174131499a=+=故答

案为：17413914.已知双曲线的渐近线方程为2yx=，且过点()22,4，则双曲线的标准方程为________【答案】221416xy−=【解析】【分析】由双曲线的渐近线为2yx=，设双曲线方程为22(0)4yx−

=，代入点的坐标即可求得.【详解】因为双曲线的渐近线方程为2yx=，所以设双曲线方程为22(0)4yx−=，因为双曲线过点()22,4，代入解得4=−，所以双曲线的方程为221416xy−=.故答案为：221416xy−=15.将全体

正奇数排成一个蛇形三角形数阵：按照以上排列的规律，记第i行第j个数为,ija，如4,215a=，若,2023ija=，则ij+=_____.【答案】69【解析】【分析】观察数阵的排列规律，先确定2023在数阵中的行i的值，再确定2023在该行的项数j，由此可求ij+.【详解】观察可得

数阵的第m行排m个数，从第3行起，奇数行的数从左至右排列为公差为-2的等差数列，偶数行的数从左至右排列为公差为2的等差数列，将数阵中所有数从小到大排列记为数列nb，则21nbn=−，令2023nb=

，可得1012n=，因为2023在数阵的第i行，所以()12311012i++++−，()12311012ii++++−+，所以2220240,20240iiii−−+−，Ni，所以45i=，所以2023排在第45行，前45行共排了12345++++

个数，即1035个数，所以第45的最大数为10352069b=，将第45行的数从左至右排列记为nc，则12069c=，所以()206921ncn=−−，即20712ncn=−，因为2023为数列nc的第j项，故207122023j−=，所以

24j=，故69ij+=.故答案为：69.16.如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线22(0)xpyp=旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A

点，则p的取值范围为______.的【答案】)1,2【解析】【分析】根据题意分析可得：圆()2211xy+−=与22(0)xpyp=只有一个交点()OA，圆()()2242xyaa+−=与22(0)xpyp=只有两个交点，分别联立方程分析运算.【详解】如图，由题意

可得：圆()2211xy+−=与22(0)xpyp=只有一个交点()OA，联立方程()222112xyxpy+−==，消去x得()2210ypy+−=，解得0y=或()21yp=−，故()210p−，则1p

，圆()()2242xyaa+−=与22(0)xpyp=只有两个交点，联立方程()22242xyaxpy+−==，消去x得()22240ypaya+−+−=，∵240a−，可得若()22240ypaya+−

+−=有根，则两根同号，根据题意可知：()22240ypaya+−+−=有且仅有一个正根，故()()22Δ44400paaap=−−−=−，则可得422papp+=，解得02p，综上所述：p的取值范围为)1,2.故答案为：)1,2.【点睛】方法点睛：在处理实际问题

时，体现数形结合的思想，将图形转化为代数，这样交点转化为方程的根或函数的零点，利用方程或函数的知识分析求解.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，10分+12分+12分+12

分+12分+12分，共70分）17.在数列na中，515a=，点()()1,Nnnaan+在直线x-y+3=0上.（1）求数列na通项公式；（2）nb为等比数列，且1123,baba==，

记nT为数列nb的前n项和，求nT.【答案】（1）*3(N)nann=（2）3(31)2nnT=−.【解析】【分析】(1)由条件根据等差数列定义证明数列na为等差数列，结合等差数列通项公式求

其通项；(2)由条件求数列nb的首项和公比，根据等比数列求和公式求nT.【小问1详解】因为点()()1,Nnnaan+在直线30xy−+=上，所以130nnaa+−+=，即13nnaa+−=，所以数列na是以3d=为公差的等差数列，因为515a=，所以14

315a+=，故13a=，的所以*13(1)3(N)naannn=+−=；【小问2详解】设数列nb的公比为q，由(1)知11233,9baba====，所以213bqb==，所以3nnb=，所以1(1)3(13)3(31)1132nnnnbqTq−−===−−−.,18.已知

平行四边形ABCD的三个顶点坐标为()2,1A−−、()4,1B、()2,3C.（1）求AD所在的直线方程；（2）求平行四边形ABCD的面积.【答案】（1）30xy++=（2）16【解析】【分析】（1）分析可知//ADBC，则ADBCkk=，可求得直线AD的斜率，再利用点斜式可得出

直线AD的方程；（2）求出直线BC的方程，可计算得出点A到直线BC的距离，并求出BC，再利用平行四边形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：因为四边形ABCD为平行四边形，则//ADBC，则13142ADBCkk−===−−，所以，直线AD的方程为()12yx+=−+，即30

xy++=.【小问2详解】解：直线BC的方程为()14yx−=−−，即50xy+−=，且()()22421322BC=−+−=，点A到直线BC的距离为215422d−−−==，所以，平行四边形ABCD的面积为224216ABCDSBC

d===.19.如图，点A（-2，1），B，C三点都在抛物线22(0)xpyp=上，抛物线的焦点为F，且F是ABC的重心.（1）求抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求BC中点M的坐标及线段BC的长.【答案】（1）抛

物线方程为24xy=，焦点坐标为()0,1F；（2）()1,1M，15BC=.【解析】【分析】（1）由点A在抛物线上可得抛物线方程，后可得焦点坐标；（2）设BC直线方程为ykxb=+，将其与抛物线联立，结合韦达定理及重心坐标公式可得答案.

【小问1详解】因()2,1A−在抛物线上，则422pp==.则抛物线方程为24xy=，焦点坐标为()0,1F；【小问2详解】设BC线段所在直线方程为ykxb=+，将其与抛物线方程联立224440xyxkxbykxb=−−==+，由题216160kb=+.设()()1

122,，,BxyCxy，则由韦达定理121244xxkxxb+==−，.因F是ABC的重心，则1212121220232113xxxxyyyy−++=+=+=++=，则BC中点M的坐标为

()12121122,,xxyy++=，1422kk==.又M在直线ykxb=+上，则112kbb=+=，故121222，xxxx+==−.则()()()()2222221212121212114BCxxyykxxkxxxx=−+−=+−=++−21128154=++=.20

.如图，等腰梯形ABCD中，//,1,3,3,====⊥ABCDABCDADBCAECD，沿AE把DEA△折起成四棱锥DABCE−，使得2DB=.（1）求证：平面DBE⊥平面DAC；（2）求点A到平面DBC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）点A到平面DBC的距离为2211.【

解析】【分析】（1）先证明DE⊥平面ABCE，由此证明DEAC⊥，再证明BEAC⊥，根据线面垂直判定定理证明AC⊥平面DBE，再根据面面垂直判定定理证明平面DBE⊥平面DAC；（2）建立空间直

角坐标系，求平面DBC的法向量和AB，再由距离公式求解.【小问1详解】因为//,1,3,3,====⊥ABCDABCDADBCAECD，所以311,3122DEAE−===−=，所以1DE=，又2DB=，213BE=+=，所以222DBBEDE=+，故DEBE⊥

，又DEAE⊥，,AEBE平面ABCE，AEBEE=I，所以DE⊥平面ABCE，因为AC平面ABCE，所以DEAC⊥，在等腰梯形ABCD中，3,246,3ADACDC==+==，所以222=ADACCD+，所以AD

AC⊥，又//ADBE，所以ACBE⊥，因为,DEBE平面DBE，DEBEE=，所以AC⊥平面DBE，因为AC平面DAC，所以平面DBE⊥平面DAC；【小问2详解】由(1)DE⊥平面ABCE，AEEC⊥，以点E为原点，,,EAECED为,,xyz轴的正

方向，建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,2,1,0,0,0,1,0,2,0ABDC，所以()()()0,1,0,2,1,0,0,2,1ABBCDC==−=−，设平面DBC的法向量为(),,nxyz=，则

00nBCnDC==，所以2020xyyz−+=−=，令2x=，则2,4yz==，所以()2,2,4n=为平面DBC的一个法向量，所以点A到平面DBC的距离为222112416ABndn===++，21.已知数列na满

足：111,31nnnaaaa+==+（1）证明数列1na为等差数列，并求数列na的通项公式；（2）若2nnnba=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析，132nan=−；

（2）1(35)210nnTn++=−.【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列1na是等差数列，并通过数列1na的通项公式得到数列na的通项公式；(2)因为()322nnbn=−，根据错位相

减法即可求出数列nb的前n项和nT．【小问1详解】因为131nnnaaa+=+，所以1311111133nnnnnnnaaaaaaa++−=−=+−=，又11a=，所以数列1na是首项为1，公差为3的等差数列所以11(1)

332nnna=+−=−，所以132nan=−；【小问2详解】由(1)可知：2(32)2nnnnbna==−，231124272...(352(322nnnTnn−=++++−−+）），23121242352322nnnTnn+=+++−−（）+（）

，上面两式相减可得234123222...2322nnnTn+−=+++++−−（（）），111=(35)134(12)23222102nnnnn−++−=+−−−+−−（），化简可得1(35)210nnTn

++=−，22.把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱OO中底面长轴4ABAB==，短轴长23，12,FF为下底面椭圆的左右焦点，2F为上底面椭圆的右焦点，4AA=，P为BB的中点，MN为过点2F的下底面的一条动弦（不与AB重合）.（1）求

证：12FF//平面PMN（2）求三棱锥1PFMN−的体积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】【分析】（1）由线线平行证线面平行；（2）由解析法，建立平面直角坐标系Oxy−如图所示，1113PFM

NFMNVSPB−=，转为求112FMNSMNd=的最大值，其中MN为弦长公式结合韦达定理求得，d为1F到直线MN的距离由点线距离公式求得.最后讨论最值即可.【小问1详解】由长轴4ABAB==，短

轴长23得焦半径得21212231OFOFOFOFⅱ====-=，∴22FF¢、分别OB、OB的中点，在柱体中，纵切面ABBA为矩形，连接OB，则21BFOFⅱ，又211BFOFⅱ==，∴四边形12FOBFⅱ为平行四边形，∴12OBFF

ⅱ，∵P为BB的中点，2FPOB¢，∴212FPFF¢，∵2FPÌ平面PMN，12FF¢Ë平面PMN，∴12FF//平面PMN；【小问2详解】1111233PFMNFMNFMNVSPBS−==，建立平面直角坐标系Oxy−如

图所示，则底面椭圆为22143xy+=，()21,0F，由题意知，直线MN的斜率不为0，设为1xmy=+，()()1122,,,MxyNxy，联立椭圆方程可得()2234690mymy++−=，则12122269,3434myyyymm+=-?-++，∴()()()2222221

2121222144112111413434mmMNmyymyyyymmm++=+-=++-=+=++.又点()11,0F−到直线MN的距离2211211dmm--==++.∴1221121234FMNmSMNdm+==+.∴1122222

8181334311PFMNFMNmVSmmm−+===++++.设[)211,tm=+??，对13ytt=+，由2130yt=−，∴13ytt=+在)1,+上单调递增，∴188211331P

FMNVtt−==++，此时10tm=?.故三棱锥1PFMN−的体积的最大值为2.【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般由弦长公式结合韦达定理求得一边长，再由点线距离公式求得高，从而表示出面积，作进一步讨论.