【文档说明】陕西省咸阳市2020届高三第二次高考模拟检测数学（理）试题含解析【精准解析】.doc，共(21)页，1.716 MB，由小赞的店铺上传

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咸阳市2020年高考模拟检测（二）数学（理科）试题注意事项：1.本试卷共4页满分150分，时间120分钟；2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要

工整、清晰；4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R，|0Axx=，|1Bxx=

−，则()=UCAB（）A.(1,0−B.()1,1−C.()1,−+D.)0,1【答案】A【解析】【分析】直接用补集，交集的概念运算即可.【详解】|0Axx=，|1Bxx=−，|0UCAxx=，则()(1,0UCAB=−.故选：A.【点睛】本题考查交集，补集的运算

，是基础题.2.已知复数41zi=+（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.2B.2iC.2−D.2i−【答案】C【解析】【分析】按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部.【详解】由题意得:44(1)4(1)221(1)(1)2iiziiii−−====−++−，z的虚部为2−.故选：C.【点睛】

本题考查复数的运算，属于基础题.3.已知向量()1,3a=,()3,2b=,向量a在向量b上的投影等于（）A.91010B.9C.−3D.91313【答案】D【解析】【分析】求出b以及ab的值,即可求出向量

a在向量b上的投影.【详解】解:由题意知,223213b=+=,13329ab=+=则913cos,13abaabb==故选:D.【点睛】本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量a在另一个向量b的投影时,有两种做题思路:一是直接求

,即cos,aab;另外还可以由向量数量积的运算可知,cos,abaabb=.4.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层

为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，）若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为（）.A.66B.55C.45D.38【答案】B【解析】【分析】根据三角形数的特征可得通项公式22nnna+=,代入10n=可得选项.【详解

】设数列1,3,6,10,15为数列na，则121321123nnaaaaaaan−=−=−=−=，，，，，所以()+11+2+3++2nnnan==，即22nnna+=，所以该堆第10层球的个数为2101010=552a+=，故选：B.【点睛】本题考查以数学文化为背景的等差数列的通

项的求法，找出数列的项之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.5.已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（）A.该组数据的极差为12B.该组数据的中位数为21C.该组数据的平均数为21D.该组数据的方差为11【答案】D【解析】【分析】通过

茎叶图计算出极差、中位数、平均数和方差，由此确定正确选项.【详解】根据茎叶图可知，数据为14,18,20,20,21,22,23,25,26，所以：极差为261412−=，A选项正确.中位数为21，B选项正确.平均数为14182020212223252621

9++++++++=，C选项正确.方差为()()()()()()()()2222222211421182120212212122212321252126219−+−+−+−+−+−+−+−1106499201416251199=+++++++=，D选项错误.故选：D【点睛】本小

题主要考查根据茎叶图计算极差、中位数、平均数和方差，属于基础题.6.已知01ab，则下列不等式不成立．．．的是A.11()()22abB.lnlnabC.11abD.11lnlnab【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出

不等式不成立的选项.【详解】依题意01ab，由于12xy=为定义域上的减函数，故11()()22ab，故A选项不等式成立.由于lnyx=为定义域上的增函数，故lnln0ab，则11lnlnab，所以B选项不等式不成立

，D选项不等式成立.由于01ab，故11ab，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.7.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不

同的平面，且a，b=，则“//a”是“//ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a与

//b的关系即可得到答案.【详解】若//a，根据线面平行的性质定理，可得//ab；若//ab，根据线面平行的判定定理，可得//a.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.8.3(

21)(2)xx−+的展开式中2x项的系数为（）.A.24B.18C.12D.4【答案】B【解析】【分析】由3(21)(2)xx−+展开式中含2x的项为：()1222332212xCxCx+−

，计算可得选项.【详解】3(21)(2)xx−+展开式中含2x的项为：()122222233221224618xCxCxxxx+−=−=，所以3(21)(2)xx−+的展开式中2x项的系数为18，

故选：B.【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项的系数，关键在于理解二项式展开式的意义，属于基础题.9.若0,2，且2cos2sin4=+，则sin2的值为（）.A.18B.38C.12D.78【答案】D【解析】【分析】根据余弦的二

倍角公式和正弦的和角公式将原式化简得22(cossin)2−=，再将其两边平方和运用正弦的二倍角公式可得选项.【详解】因为2cos2sin4=+，()2222cossin(sincos)2−=+，0,sincos02+

，，22(cossin)2−=，2cossin4−=，221cos2sincossin8−+=，11sin28−=，7sin28=，故选：D.【点睛】本题考查运用正弦、余弦的二倍角公式，正弦、余弦的和差角公式进行化简求值，关键在于熟练记忆三角恒等变换

所需的公式，属于基础题.10.抛物线22(0)xpyp=的焦点与双曲线221169xy−=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p的值为（）.A.403B.52C.203D.873【答案】A【解析】【分析】分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，

得出过两焦点的直线方程，根据直线垂直的条件可得选项.【详解】抛物线22(0)xpyp=的焦点坐标为0,2p，双曲线221169xy−=的右焦点坐标为(5,0),两焦点的连线的方程为(5)10pyx

=−−，又双曲线的渐近线方程为34yx=?，所以31104p−=−，解得403p=，故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，两直线垂直的条件，属于基础题.11.将函数()cos222yx=+−

的图象向右平移38个单位长度单位后得函数()fx图象，若()fx为偶函数，则（）A.()fx在区间,42−上单调递减B.()fx在区间,42−匀上单调递增C.()fx在区间,42上单调

递减D.()fx在区间,42上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据三角函数平移关系求出()fx的解析式，结合()fx是偶函数求出，利用三角函数的单调性进行求解即可.【详解】解：将函数的图象()(=cs22)o2yx+

−＜＜向右平移38个单位长度单位后得函数()fx图象，则33()cos2cos284fxxx=−+=+−，若()fx为偶函数，则3,4kkZ−=，即3,4kkZ

=+，∵22−，∴当1k−＝时，4−＝，即3()cos2cos(2)cos244fxxxx=−−=−=−，当42x−时，22x−，此时()cos2fxx=−不具备单调性，故A，B错误，当42ππx时，

22x，此时()cos2fxx=−为增函数，故D正确，故选：D【点睛】本题考查了余弦型函数的图象变换、性质，考查了数学运算能力.12.已知函数()()323132,53log4,5xxxxfxxx−−+=−+，则函数()()yffx=的零点个数为A.6B.7C.9D.1

0【答案】B【解析】【分析】首先研究函数()fx的性质，然后结合函数的图像整理计算即可求得最终结果.【详解】当5x时，()()()2'2313fxxxxx=−−=+−，据此可得函数在区间(),1−−上单调递增，在区间()1,

3−上单调递减，在区间()3,5上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间()5,+上单调递减，绘制函数图像如图所示，注意到()()()()()()30,20,00,10,40,50ffffff−−，故方程()0ft

=的解：()()()1233,2,0,1,4,5ttt−−，则原问题转化为求方程()()1,2,3ifxti==时解的个数之和，由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，分类讨论的

数学思想，函数的零点问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x，y满足不等式组2033030xyxyx−+−−，则2zxy=−的最大值为________.【答

案】6【解析】【分析】先作出不等式组所表示的可行域，再运用目标函数的几何意义得出最值.【详解】由不等式组作出可行域如下图所示，由2zxy=−，得2yxz=−，由图示可知直线2yxz=−过点C时，2zxy=−

取得最大值，由33030xyx+−=−=得()3,0C，所以2zxy=−的最大值为22306zxy=−=−=，故答案为：6.【点睛】本题考查不等式组所表示的可行域和线性目标函数的最值求解，正确理解目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于基础题.14.已知定义在R上的函数()fx满

足3()2fxfx=−+，且(2)3f−=，则(2020)f=________.【答案】3【解析】【分析】由已知可得，3是函数()fx的一个周期，所以(2020)(1)ff=，再由(2)3f−=，可求得()13f=，可得答

案.【详解】由已知可得，3()2fxfx+=−，则有333(3)++()222fxfxfxfx+==−+=，则3是函数()fx的一个周期，所以(2020)(67331)(1)fff=+

=，又(2)3f−=，所以()()123ff=−=，所以(2020)3f=，故答案为：3.【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档题.15.在ABC中内角A，B，C所对的边分别为a

，b，c，若1a=，2b=，2sinsincossinABCC=，则ABC的面积为________.【答案】12【解析】【分析】由已知条件和正弦定理可得2cosabcc=，又由余弦定理可得2223abc+=，可求得c，得出ABC是直角三角形，可求得其面积.【详解】由已知条件2sins

incossinABCC=和正弦定理得2cosabcc=，又根据余弦定理得22222abcabcab+−=，2223abc+=，又1,21abc===，，ABC∴是直角三角形，11111222ABCSac===，故答案为：12.【点睛】本题考查运用正弦定理和余弦定理进行三角形

的边角互转，关键在于正确选择和运用相应的公式，属于中档题.16.已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为56，则该三棱柱的体积为________.【答案】362【解析】【分析】通过球的内接体,说明几

何体的中心是球的球心,由球的表面积求出球的半径,设出三棱柱的底面边长,通过解直角三角形求得棱长,然后由棱柱的体积公式可得答案.【详解】如图,因为直三棱柱111ABCABC−的所有棱长都相等,6个顶点都在球O的球面上,所以三棱柱为正三棱柱,且其中心为球的球

心,设球心为O,再设球的半径为r,由球O的表面积为56,得245614rr==，，设三棱柱的底面边长为a,则上底面所在圆的半径为33a,且球心O到上底面中心H的距离2aOH=,222323ara=+,即712ra=,26

a=.则三棱柱的底面积为23(2)3466S==.1116323662ABCABCV−==.故答案为:362.【点睛】本题考查球的内接正棱柱与球的关系,关键在于求得球心的位置和球的半径,考查计算能力,属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知等差数列na满足23a=，4720aa+=，其前n项和为nS.（1）求数列na

的通项公式na及nS；（2）若2nnnab=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan=−，2nSn=（2）2332nnnT+=−【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和性质求出首项、公差,即可得到通项公式,(2)2nnn

ab=,求得通项,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.【详解】解：（1）设等差数列na的公差为d，则1132920adad+=+=，解得：11a=，2d=，∴()1+2121nann=−=−，()21+212nnnSn−==，∴21nan=−，

2nSn=，（2）因为2nnnab=，所以()2112122nnnnbn−==−，所以1232313521++++2222nnnnTbbbb−==++++，①①式两边同时乘12，得234111352122222nnnT+−=+++…，②所以①-②可得，2311111121

2222222nnnnT+−=++++−…，2311111112122222222nnnnT+−=+++−−…，即111121212222nnnnT+−=−−−，所以2332nnnT+=−.【点睛】本题考查等差数列的通项和前n项和公式的求解

，以及运用“错位相减法”求数列的和，属于中档题.18.已知四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，PD⊥平面ABCD，且//ABCD，22CDABAD==，ADCD⊥.（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）若PB与平面ABCD所成的角为45

，求二面角BPCD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）证明：取CD的中点E，连接AE，BE，BD.根据平面几何知识和线面垂直的判定可证得AE⊥平面PBD，再证得//BCAE，可证明平面PBC⊥平面

PBD.（2）由线面角的定义可得PBD为PB与平面ABCD所成的角，再以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PDC和平面PBC的法向量，

由二面角的向量求解方法可求得二面角DPCB−−的余弦值.【详解】解：（1）证明：取CD的中点E，连接AE，BE，BD.∵2CDAB=，∴ABDE=.又∵ABAD=，ADDC⊥，∴四边形ABED为正方形，则AEBD⊥.∵PD⊥平面ABCD，AE平面ABC

D，∴PDAE⊥.∵PDBDD=，∴AE⊥平面PBD.∵ABEC=，//ABEC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴//BCAE，∴BC⊥平面PBD.又BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD.（2）∵PD⊥平面ABCD，∴PBD为PB与平面A

BCD所成的角，即45PBD=，则PDBD=.设1AD=，则1AB=，2CD=，2PDBD==以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(1,

0,0)A，(0,0,2)P，(1,1,0)B，(0,2,0)C.∵DA⊥平面PDC，∴平面PDC的一个法向量(1,0,0)DA=.设平面PBC的法向量(,,)mxyz=，∵(1,1,2)PB=−uuur，(1,1,0)BC=−，则200PBmxyzBCm

xy=+−==−+=，取1x=，则(1,1,2)m=.设二面角DPCB−−的平面角为，∴||11cos2||||211mDAmDA===++uuurruuurr.由图可知二面角DPCB−−为锐角，故二面角DPCB−−的余弦

值为12.【点睛】本题考查的知识点是空间中的面面垂直关系,运用空间向量求解二面角大小.考查空间想象、推理论证、计算能力，属于中档题.19.已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表：学生的编号i123456数学ix898779817890物理i

y797577737274（1）若在本次考试中，规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生，设X表示理科小能手的人数，求X的分布列和数学期望；（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很

强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y与x的回归方程.参考数据和公式：ˆˆˆybxa=+，其中1122211()()ˆ()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxx

nx====−−−==−−，ˆˆaybx=−.【答案】（1）见解析；（2）129155yx=+【解析】【分析】（1）由题意得1号学生、2号学生为理科小能手,从而得到X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望；（2）利用最小二乘法分别求出ˆb，ˆa，由

此能求出y与x的回归直线方程．【详解】（1）由题意得1号学生、2号学生为理科小能手.X的可能取值为：0,1,2P（X＝0）242625CC==，P（X＝1）112426815CCC==，P（X＝2）222611

5CC==，X的分布列为X012P258151152812()0+1+2=515153EX=（2）84,75xy==，61i=xiyi＝37828，61i=xi2＝42476，∴ˆb=（61iiixy=−6xy）÷（62216inxx=−）237828684754

2476684−=−15=，ˆˆaybx=−=75﹣15×84＝2915，回归方程为129155yx=+【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查回归直线方程的求法，是中档题，

解题时要认真审题，注意最小二乘法的合理运用．20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点31,2，且其离心率为12，过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于M，N两点.（1

）求椭圆C的方程；（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143xy+=（2）存在；定圆22127xy+=【解析】【分析】(1)根据椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标,代入椭圆方程中,

求出a、b,即可得到椭圆C的方程.(2)根据条件，分直线MN的斜率不存在和直线的斜率不存在两种情况分别求出定圆的方程，,当直线MN的斜率存在时,设直线方程为ykxb=+,联立方程组,令()()1122,,MxyNxy，，,利用韦达定理,结合12120xxyy+=.推出()227121

mk=+,利用直线MN与圆相切,求出圆的半径,得到圆的方程,即可得到结果.【详解】解：（1）椭圆C经过点31,2，∴221914ab+=，又∵12ca=，解之得24a=，23b=.所以椭圆C的方程为

22143xy+=；（2）当直线MN的斜率不存在时，由对称性，设()00,Mxx，()00,Nxx−.∵M，N在椭圆C上，∴2200143xx+=，∴20127x=.∴O到直线MN的距离为02217dx==，所以22127xy+=.当直线MN的斜率存在时，设MN的方程为ykxm=+，由

22143ykxmxy=++=得()2223484120kxkmxm+++−=.设()11,Mxy，()22,Nxy，则122834kmxxk+=−+，212241234mxxk−=+.∵OMON⊥，∴12120xxy

y+=，∴()()()()221212121210xxkxmkxmkxxkmxxm+++=++++=.∴()22222224128103434mkmkmkk−+−+=++，即()227121mk=+.∴O到直线MN的距离为2||12221771mdk==

=+，故存在定圆22127xy+=与直线MN总相切.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法,圆与椭圆的以及直线的综合应用,考查分类讨论思想、转化思想的应用,考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.21.已知函数()1axfxeax=−−（

aR且0a）.（1）讨论()fx的单调性；（2）对任意12,[1,1]xx−，()()2123fxfxe−−恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[2,0)(0,2]−【解析】【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(2)

由题意知对任意12,[1,1]xx−，()()2123fxfxe−−恒成立，2maxmin()()3fxfxe−−，又由（1）可知，()fx在区间[1,0]−上单调递减，在区间[0,1]上单调递增.所以只需：22ee20.(1)ee20.(2)aaaa−−−+

+−+，设2()2ahaeae=−−+，对其求导可得函数的单调性，从而可求得实数a的取值范围.【详解】解：（1）由()'()1axaxfxaeaae=−=−.令'()0fx=，得0x=，当0a时，(,0)x−时，'()0fx，()fx单调递减；(0,)x+时，'()0fx，()

fx单调递增.当0a时，(,0)x−时，'()0fx，()fx单调递减；(0,)x+时，'()0fx，()fx单调递增.综上所述，()fx在区间(,0)−上单调递减，在区间(0,)+上单调递增.（2）由题意知对任意12,[1,1]xx−，()()2123f

xfxe−−恒成立，2maxmin()()3fxfxe−−，又由（1）知，()fx在区间[1,0]−上单调递减，在区间[0,1]上单调递增.所以只需：222222(1)(0)e3e1e3ee20.(1)(1)(0)e3e1e3ee20.(2)aaaaffaaffaa−−−−−−−−

−+−−−+−−+−+，设2()2ahaeae=−−+.∵'()1ahae=−，∴()ha在区间(0,)+上单调递增；在区间(,0)−上单调递减.注意到(2)0h=，所以，当02a

不等式（1）成立；当2a时不等式（1）不成立.又2222(2)2240heeee−−−=+−+=+−，∴当20a−不等式（1）也成立，所以，22a−时不等式（1）成立.此时22a−，不等

式（2）也成立，而当2a−时，2a−，由函数()ha的性质知，不等式（2）不成立.综上所述，不等式组的解为22a−.又∵0a，∴实数a的取值范围为[2,0)(0,2]−.【点睛】本题考查讨论函数的单调性，构造函数证明不等式，关键在于

从所证的不等式出发，构造合适的函数，运用求导运算，分析函数的单调性，得出函数的最值或零点，属于难度题.（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22.在直角坐标系xOy中，曲线

1C的参数方程为11cos:sinxCy=+=(为参数)，曲线222:12xCy+=.（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C，2C的极坐标方程；（2）若射线((0)6=与1C的异于极点的交点为A，与2C的交点为B，求AB.【答案】（1）2cos=，(

)222cos2sin2+=；（2）21035-.【解析】【分析】（1）由曲线1C：1cossinxy=+=(为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得1C，2C的极坐标方程；（2）分别求得点

,AB对应的的极径21253,10pr==，根据极经的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线1C：1cossinxy=+=(为参数)可化为普通方程：()2211xy−+=，由cossinxy==可得曲线1C的极坐

标方程为2cos=，曲线222:12xCy+=的极坐标方程为()222cos2sin2+=.（2）射线(0)6=与曲线1C的交点A的极径为1236cospr==，射线(0)6=与曲线2C的交点B的极

径满足22126sinpr骣琪琪桫+=，解得22105r=，所以1221035ABrr=-=-【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于

基础题.23.已知关于x的不等式231xxm−−++有解，记实数m的最大值为M.（1）求M的值；（2）正数abc，，满足2abcM++=，求证：111abbc+++.【答案】（1）4M=；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得235xx−−+，所以15m+，

解这个不等式可求得4M=.（2）由（1）得214abc++=，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为1.试题解析：（1）()()23235xxxx−−+−−+=,若不等式231xxm−−++有解，则满足15m+，解得64m−，∴4M=.（2）由（

1）知正数abc，，满足24abc++=，∴()()111114abbcabbcabbc+=++++++++124bcababbc++=++++1224bcababbc+++++1=.当且仅当ac=，2ab+=时

，取等号.