【文档说明】北京市昌平区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(12)页，578.186 KB，由小赞的店铺上传

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北京市昌平区2020-2021学年高二上学期期末数学试题数学2021.1本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。第一部分（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每

小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）已知直线l过点2,1（）和点4,0（），则直线l的斜率为（A）2−（B）12−（C）12（D）2（2）下列命题正确的是（A）若1,2,1（）−−a=,2,4,2（）−b=,则//ab（

B）若1,2,1（）−−a=,2,4,2（）−b=，则⊥ab（C）若1,2,2（）−a=，2,4,1（）−b=，则//ab（D）若1,2,2（）−a=，2,4,1（）−b=,则⊥ab（3）经过点0,1（）且与直线210xy+−=垂直

的直线的方程为（A）220xy+−=（B）220xy−+=（C）210xy−+=（D）210+−=xy（4）某高校要从经济学院的6名优秀毕业生中选3人分别到西部三个城市参加中国西部经济开发建设，要求每人去一个城市，每个城市去一人，那么不同的分配方案种数为（A）20（B）6

0（C）120（D）240（5）在空间直角坐标系中，(0,0,0),(2,5,1),(2,2,4),(1,4,5)−−−OABC，则ABOC的值是（A）0（B）1（C）2（D）3（6）小王同学在完成了高中必修课程的学习后，准备在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课程中选择三门来学习

，他已经选择了物理，那么他选择另外两门的不同选法种数为（A）10（B）15（C）20（D）30（7）甲、乙两个车间生产同一种产品的合格率分别为90%,80%，检验员每天都要按照3:2的比例分别从甲、乙两个车

间抽取部分产品进行检验.从被抽检的产品中任选一件，则选到合格品的概率为（A）84%（B）86%（C）88%（D）90%（8）某班要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一人参加学校的投篮比赛，根据以往的数据，得到这四名同学在连续5次投篮中，投中次数X的概率分布可以分

别用下列四个图直观表示如果从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，应该选择参加比赛的同学为（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁（9）过抛物线22(0)=ypxp焦点的直线交抛物线于,AB两点，交准线于点．若，则直线AB的斜率为（A）3（B）3（C）2（D）2（

10）在棱长为1的正方体1111−ABCDABCD中，若点P是棱上一点，则满足1||||2+=PBPD的点P的个数为（A）2（B）4（C）6（D）8第二部分（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)在射击训

练中，某射击运动员一次射击命中的概率为910，连续两次射击命中的概率为45.已知他第一发子弹命中，则他第二发子弹命中的概率为________.(12)已知(31)−nx的展开式中所有项的系数和为64，则=n______;展开式中2x的系数是_______(13)某社区5名工作人员要到4个小区

进行“爱分类”活动的宣传，要求每名工作人员只去一个小区，每个小区至少去一名工作人员，则不同的安排方法共有_______种.（14）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线222()410xbyb−=的一条渐近线方程为3yx=，则该双曲线的离心率是_________．FlC2CBBF=uuruuur

D1C1B1A1DCBA乙甲3450.60.20.80.1543PXXP（15）已知长方体1111−ABCDABCD，12,1,3===ABADAA.在所有的面对角线所在直线中，与平面11ABBA所成的角

为6的面对角线可以是直线___________.(写出符合题意的一条直线即可)（16）在平面直角坐标系中，动点(,)Mxy到两坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离．记动点M的轨迹为曲线E.给出下列四个结论：①曲线E关于坐标原点对称；②曲

线E关于直线y=x对称；③曲线E与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12．④曲线E上不存在横坐标大于1的点.其中，所有正确结论的序号是_______．三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（17)（本小题满分14分）已知两点(4,

2),(3,0)DM及圆22:(2)(3)5−+−=Cxy.l为经过点M的一条动直线.（Ⅰ）若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；（II）若直线l与圆C相交于两点,,AB从下列条件中选择一个作为已知，求

ABD的面积．条件①：直线l平分圆C；条件②：直线l的斜率为3−．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．D1C1B1A1DCBA(18)（本小题满分14分）已知在四棱锥PABCD−中，PA⊥平

面ABCD，ABAD⊥,//ABCD，112PAADCDAB====.(Ⅰ)求证：CDPD⊥；(Ⅱ)求二面角APBC−−的余弦值；(Ⅲ)求点A到平面PBC的距离.(19)（本小题满分14分）近年来，随着青

年志愿服务活动蓬勃发展，越来越多的大学生参加到志愿服务中来，大学生志愿者已经发展成为青年志愿者队伍中最活跃、最积极、最有影响力的一个群体.大学生志愿服务的范围主要包括：帮困扶贫、支教扫盲、社区建设、环境保护、普法宣传、大型赛会、应急

救助、海外服务等.为了解A，B，C，D，E，F这六所高校的大学生志愿者参加帮困扶贫的情况，从这六所高校随机抽取了部分志愿者，统计数据如下：学校高校A高校B高校C高校D高校E高校F志愿者人数40050020080010

00600帮困扶贫志愿者所占百分比10%8%5%12%6%11%（Ⅰ）从被抽样的志愿者中任选1人，求此人是来自“高校E”的帮困扶贫志愿者的概率;（Ⅱ）从被抽样的来自“高校B”和“高校E”的帮困扶贫志愿者中任选2人接受采访.①设X为这2个志愿者中来自“高校E”的人数，求随机变量X的分布列及数学

期望；②假设表格中六所高校的帮困扶贫志愿者所占百分比均提高1%，记Y为这2个志愿者中来自于“高校E”的志愿者人数，试比较随机变量,XY的数学期望()EX和()EY的大小.（只需写出结论）PABCD(20)（本小题满分14分）已知在三棱柱111−ABCA

BC中，1⊥AA平面ABC，ABAC⊥,且1ABAC==,13AA=,点D是BC的中点.(Ⅰ)求证：1//AB平面1ACD；(Ⅱ)在棱1CC上是否存在一点M,使1⊥BM平面1ACD？若存在，指出点M的位置并证明，若不存在，说明理由.(21)（本小题满分14分）

已知椭圆G：2221(2)4+=xyaa的离心率为5.3设过点(1,0)的直线l交椭圆G于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（II）若直线l的斜率为2，求||MN；（III）设A为椭圆的左顶点，AM,AN分别交y轴于点,PQ，在x轴上是否存在点,T使得以PQ为直径的

圆恒过点T？如果存在，求出点T的坐标；如果不存在，说明理由．C1B1A1DCBA北京市昌平区2020-2021学年高二上学期期末数学试题参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题

列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号12345678910答案BACCDABABC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.8912.6；13513.24014.215.1BC(答案不唯一)16.②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解

答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（17)（本小题满分14分）解：根据题意，圆心(2,3)C,半径5r=．..….2分（Ⅰ）法一：若直线l经过点D，由(4,2)D满足22:(2)(3)5Cxy−+

−=，可知，点D在圆C上.直线l的斜率202312,,143422llCDCDkkkk−−====−=−−−，所以⊥lCD.所以直线l与圆C相切...…8分法二：若直线l经过点D,则直线l的方程为260xy−−=.圆

心(2,3)C到直线l的距离为2|2236|5,21r−−==+所以直线l与圆C相切...…8分（II）选择条件①：直线l平分圆C，此时，直线l过圆心(2,3)C，方程为390,225.xyABr+−===点(4,2)D到直线l的

距离|3429|10,210h+−==所以，11105225.2222ABDSABh===..…14分选择条件②：直线l的斜率为3−,直线l的方程为390,xy+−=此时，圆心C在直线l上，2

25.ABr==zyxDCBAP点(4,2)D到直线l的距离|3429|10,210h+−==所以，11105225.2222ABDSABh===..…14分（18）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)法一：因为PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,

所以PACD⊥.因为ABAD⊥,//ABCD,所以CDAD⊥.因为PAADA=,所以CD⊥平面PAD.因为PD平面PAD,所以CDPD⊥...…5分法二:因为PA⊥平面ABCD，,ABAD平面ABCD所以,PAABPAAD⊥⊥.因为ABAD⊥,如图建立空间直角坐标系Axyz−

则(0,0,0),(2,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)ABCDP.(I)(1,0,0),(0,1,1),=−=−CDPD10010(1)0=−++−=CDPD,所以CDPD⊥...…5分(II)(1,1,0)

,(2,0,1),=−=−BCPB平面PAB的一个法向量为(0,1,0)m=.设平面PBC的一个法向量为(,,)nxyz=,所以20,0nPBxznBCxy=−==−+=所以,2yxzx==.令1=x，则1,2yz==，所以(1,1,2)n=.所以16c

os,6||||6mnmnmn===.由图知二面角APBC−−为锐角,所以二面角APBC−−的余弦值为66...…10分(Ⅲ)设点A到平面PBC的距离为d,(2,0,0)AB=.由(Ⅱ)知平面PBC的一个法向量为(1,1,2)n=,

所以||263||6ABndn===.所以点A到平面PBC的距离为63...…14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）被抽样的志愿者共40050020080010006003500+++++=(人),来自“高校E

”的帮困扶贫志愿者10006%60=(人)，设“从被抽样的志愿者中任选1人，此人是来自‘高校E’的帮困扶贫志愿者”为事件M,则603()3500175PM==...…5分（Ⅱ）①被抽样的“高校B”的帮困扶贫志愿者5008%4

0=（人）,被抽样的“高校E”的帮困扶贫志愿者10006%60=（人）,一共100人.X的所有可能取值为0,1,2.026040210026(0)165CCPXC===,11604021001680(1)33165CCPXC====,206040210059(2)1

65CCPXC===.所以随机变量X的分布列为X012P261658016559165EABCDA1B1C1zyxABCDA1B1C12680591986()0121651651651655EX=++==.或由(100,2,60)XH得606(

)21005==EX...…12分②()()EXEY...…14分(20)（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：法一：连接1AC交1AC于点E，连接ED.在三棱柱111ABCABC−中,因为四边形11AACC是平行四边形，所以点E是1AC的中点.因为点D是BC的中点，所以1//ABED.

因为1AB平面1ACD，ED平面1ACD，所以1//AB平面1ACD...…7分法二：因为1AA⊥平面ABC，ABAC⊥，如图建立空间直角坐标系Axyz−,则(0,0,0)A，(1,0,0)B,(0,1,0)C,1(0,0,3)A,1111(0,1,3),(,,0)

,(1,0,3)22CDB.所以1(1,0,3)=−AB,111(,,0),(0,1,3)22==ADAC.设平面1ACD的一个法向量为(,,)nxyz=，则有1110,2230=+==+=nADxynACyz

.令3=x得3,1=−=yz.所以(3,3,1)=−n.所以1130(3)(3)10=+−+−=ABn.所以1ABn⊥.因为1AB平面1ACD，所以1//AB平面1ACD...…7分(Ⅱ)假设在棱1CC上存在一点M,使1⊥B

M平面1ACD.设(0,1,)[0,3]，=M,则1(1,1,3)=−−BM.由第（I）问知，平面1ACD的法向量为(3,3,1)=−n，要使11平面⊥BMACD，则1//BMn.所以113133

−−==−.解得23[0,3]3=,即23(0,1,)3M=，且123CMCC=.所以在棱1CC上存在一点M,且满足123=CMCC，使1⊥BM平面1ACD...…14分（21）（本小题满分14分）解：（I）设椭圆G的半焦距为,c根据题

意，225,34ceaac==−=解得229,5ac==.所以椭圆G的方程为22194xy+=...…4分(II)直线l的方程2(1)=−yx.由222(1),194yxxy=−+=消去y，得22436(1)360x

x+−−=，即2590−=xx.解得110,2==−xy或229,585xy==.所以22212195||()().5MNxxyy=−+−=..…9分（III）若满足题意的定点T存在，设(,0)(0)T

tt.直线l斜率为0时，不满足题意；设l的方程为1+=myx，联立方程组221,194xmyxy=++=，化简得0328)94(22=−++myym.0)94(324)8(22++=mm恒成立.设),(11yxM，),(22yxN,则948221+−=+mmyy，94322

21+−=myy.直线AM的方程为)3(311++=xxyy，令0=x，得)33,0(11+xyP,同理得)33,0(22+xyQ.若以PQ为直径的圆恒过点T，则TPTQ⊥，即133332211−=−+−+txytxy，又111+=my

x，122+=myx，化简得2212122116)(49tyymyymyy−=+++.把21yy+，21yy代入得29(32)=32+4()+16(4)22----89+tmmmm，整理得22−=−t

，得2=t.所以以PQ为直径的圆恒过定点(2,0)T...…14分法二当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x=，则)324,1(M，)324,1(−N，可得)2,0(P，)2,0(−Q，以PQ为直径的

圆与x轴的交点为)0,2(；所以如果以PQ为直径的圆过x轴上的定点，则定点只能是)0,2(；下面进行验证定点为T)0,2(.设l的方程为)1(−=xky；1493622y=k(x-),x+

y=，消去y得49-189-3602222(+k)xkx+k=，0)94)(369(4)18(2222+−−=kkk恒成立.设),(11yxM，),(22yxN，则22219418kkxx+=+，222194369kkxx+−=直线)3(3:11++=xxyyAM，令0=x，得)33

,0(11+xyP，同理得：)33,0(22+xyQ；只需验证：1TPTQkk=−；即92)3)(3(2121−=++xxyy；而.9214432813654)369(9418)369（9)(31)()3)(3()1)(1(22222222121

2121221212−=−=+++−++−−=+++++−=++−−kkkkkkkxxxxxxxxkxxxxk综上，以PQ为直径的圆恒过点(2,0)T...…14分