【文档说明】北京市昌平区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(12)页，578.186 KB，由小赞的店铺上传

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北京市昌平区2020-2021学年高二上学期期末数学试题数学2021.1本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。第一部分（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在

每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）已知直线l过点2,1（）和点4,0（），则直线l的斜率为（A）2−（B）12−（C）12（D）2（2）下列命题正确的是（A）若1,2,1（）−−a=,2,4,2（）−b=,则//ab（B）若1,2,1（）−−a=,2,4,2

（）−b=，则⊥ab（C）若1,2,2（）−a=，2,4,1（）−b=，则//ab（D）若1,2,2（）−a=，2,4,1（）−b=,则⊥ab（3）经过点0,1（）且与直线210xy+−=垂直的直线的方程为（A）220xy+−=（B）2

20xy−+=（C）210xy−+=（D）210+−=xy（4）某高校要从经济学院的6名优秀毕业生中选3人分别到西部三个城市参加中国西部经济开发建设，要求每人去一个城市，每个城市去一人，那么不同的分配方案种数为（A）2

0（B）60（C）120（D）240（5）在空间直角坐标系中，(0,0,0),(2,5,1),(2,2,4),(1,4,5)−−−OABC，则ABOC的值是（A）0（B）1（C）2（D）3（6）小王同学在完成了高中必修课程的学习后，准备在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门

课程中选择三门来学习，他已经选择了物理，那么他选择另外两门的不同选法种数为（A）10（B）15（C）20（D）30（7）甲、乙两个车间生产同一种产品的合格率分别为90%,80%，检验员每天都要按照3:

2的比例分别从甲、乙两个车间抽取部分产品进行检验.从被抽检的产品中任选一件，则选到合格品的概率为（A）84%（B）86%（C）88%（D）90%（8）某班要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一人参加学校的投篮比赛，根据以往的数据，得到这四名同学在连续5次投篮中，投中

次数X的概率分布可以分别用下列四个图直观表示如果从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，应该选择参加比赛的同学为（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁（9）过抛物线22(0)=ypxp焦点的直线交抛物线于,AB两点，交准线于点．若，则直线AB的斜率为（A）3（B）3（C）2（D）2（10）在棱长为1的

正方体1111−ABCDABCD中，若点P是棱上一点，则满足1||||2+=PBPD的点P的个数为（A）2（B）4（C）6（D）8第二部分（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)在射击训练中，某射击运动员一次射击命中的概率为910，连续两次射击命中的概率为4

5.已知他第一发子弹命中，则他第二发子弹命中的概率为________.(12)已知(31)−nx的展开式中所有项的系数和为64，则=n______;展开式中2x的系数是_______(13)某社区5名工作人员要到4个小区进行“爱分类”活

动的宣传，要求每名工作人员只去一个小区，每个小区至少去一名工作人员，则不同的安排方法共有_______种.（14）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线222()410xbyb−=的一条渐近线方程为3yx

=，则该双曲线的离心率是_________．FlC2CBBF=uuruuurD1C1B1A1DCBA乙甲3450.60.20.80.1543PXXP（15）已知长方体1111−ABCDABCD，12,1,3===ABA

DAA.在所有的面对角线所在直线中，与平面11ABBA所成的角为6的面对角线可以是直线___________.(写出符合题意的一条直线即可)（16）在平面直角坐标系中，动点(,)Mxy到两坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)

的距离．记动点M的轨迹为曲线E.给出下列四个结论：①曲线E关于坐标原点对称；②曲线E关于直线y=x对称；③曲线E与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12．④曲线E上不存在横坐标大于1的点.其中，所有正确结论的序号是_______．三、解答题

(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（17)（本小题满分14分）已知两点(4,2),(3,0)DM及圆22:(2)(3)5−+−=Cxy.l为经过点M的一条动直线.（Ⅰ）若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；（II）若直线l与圆C相交于两点,,AB从

下列条件中选择一个作为已知，求ABD的面积．条件①：直线l平分圆C；条件②：直线l的斜率为3−．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．D1C1B1A1DCBA(18)（本小题满分14分）已知在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABAD⊥

,//ABCD，112PAADCDAB====.(Ⅰ)求证：CDPD⊥；(Ⅱ)求二面角APBC−−的余弦值；(Ⅲ)求点A到平面PBC的距离.(19)（本小题满分14分）近年来，随着青年志愿服务活动蓬勃发展

，越来越多的大学生参加到志愿服务中来，大学生志愿者已经发展成为青年志愿者队伍中最活跃、最积极、最有影响力的一个群体.大学生志愿服务的范围主要包括：帮困扶贫、支教扫盲、社区建设、环境保护、普法宣传、大型赛会、应急救助、海外服务等.为了解A，B，C，D，E，F

这六所高校的大学生志愿者参加帮困扶贫的情况，从这六所高校随机抽取了部分志愿者，统计数据如下：学校高校A高校B高校C高校D高校E高校F志愿者人数4005002008001000600帮困扶贫志愿者所占百分比10%8%5%12%6%11%（Ⅰ）从被抽样的志愿者中任选1人，求此人是来自“高校E

”的帮困扶贫志愿者的概率;（Ⅱ）从被抽样的来自“高校B”和“高校E”的帮困扶贫志愿者中任选2人接受采访.①设X为这2个志愿者中来自“高校E”的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；②假设表格中六所高校的帮

困扶贫志愿者所占百分比均提高1%，记Y为这2个志愿者中来自于“高校E”的志愿者人数，试比较随机变量,XY的数学期望()EX和()EY的大小.（只需写出结论）PABCD(20)（本小题满分14分）已知在

三棱柱111−ABCABC中，1⊥AA平面ABC，ABAC⊥,且1ABAC==,13AA=,点D是BC的中点.(Ⅰ)求证：1//AB平面1ACD；(Ⅱ)在棱1CC上是否存在一点M,使1⊥BM平面1ACD？若存在，指出点M的位置并证明，若不存在，说明理由.(21)（本小

题满分14分）已知椭圆G：2221(2)4+=xyaa的离心率为5.3设过点(1,0)的直线l交椭圆G于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（II）若直线l的斜率为2，求||MN；（III）设A为椭圆的左顶点，AM,AN分别交y轴于点,

PQ，在x轴上是否存在点,T使得以PQ为直径的圆恒过点T？如果存在，求出点T的坐标；如果不存在，说明理由．C1B1A1DCBA北京市昌平区2020-2021学年高二上学期期末数学试题参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分

，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号12345678910答案BACCDABABC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.8912.6；13513.24014.21

5.1BC(答案不唯一)16.②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（17)（本小题满分14分）解：根据题意，圆心(2,3)C,半径5r=．..….2分（Ⅰ）法一：若直线l经过点D，由(4,2)D满足22:(2)(3)5Cxy−+−=，可知，点D

在圆C上.直线l的斜率202312,,143422llCDCDkkkk−−====−=−−−，所以⊥lCD.所以直线l与圆C相切...…8分法二：若直线l经过点D,则直线l的方程为260xy−−=.圆心(2,3)C到直线l的距离为2|2236|5,21r−−==+所以直线l

与圆C相切...…8分（II）选择条件①：直线l平分圆C，此时，直线l过圆心(2,3)C，方程为390,225.xyABr+−===点(4,2)D到直线l的距离|3429|10,210h+−==所以，11105225.2222ABDSABh===..…14分选择条件②：直线

l的斜率为3−,直线l的方程为390,xy+−=此时，圆心C在直线l上，225.ABr==zyxDCBAP点(4,2)D到直线l的距离|3429|10,210h+−==所以，11105225.2222ABDSABh===..…14分（18）（本

小题满分14分）解：(Ⅰ)法一：因为PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD⊥.因为ABAD⊥,//ABCD,所以CDAD⊥.因为PAADA=,所以CD⊥平面PAD.因为PD平面PAD,所以CDPD⊥...…5分法二:因为PA⊥平面ABCD，,ABAD平面ABCD所以,PA

ABPAAD⊥⊥.因为ABAD⊥,如图建立空间直角坐标系Axyz−则(0,0,0),(2,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)ABCDP.(I)(1,0,0),(0,1,1),=−=−CDPD10010(1)0=−+

+−=CDPD,所以CDPD⊥...…5分(II)(1,1,0),(2,0,1),=−=−BCPB平面PAB的一个法向量为(0,1,0)m=.设平面PBC的一个法向量为(,,)nxyz=,所以20,0nPBxznBCxy=−==−+=所以,2y

xzx==.令1=x，则1,2yz==，所以(1,1,2)n=.所以16cos,6||||6mnmnmn===.由图知二面角APBC−−为锐角,所以二面角APBC−−的余弦值为66...…10分(Ⅲ)设点A到平面PB

C的距离为d,(2,0,0)AB=.由(Ⅱ)知平面PBC的一个法向量为(1,1,2)n=,所以||263||6ABndn===.所以点A到平面PBC的距离为63...…14分(19)（本小题满分14分）解

：（Ⅰ）被抽样的志愿者共40050020080010006003500+++++=(人),来自“高校E”的帮困扶贫志愿者10006%60=(人)，设“从被抽样的志愿者中任选1人，此人是来自‘高校E’

的帮困扶贫志愿者”为事件M,则603()3500175PM==...…5分（Ⅱ）①被抽样的“高校B”的帮困扶贫志愿者5008%40=（人）,被抽样的“高校E”的帮困扶贫志愿者10006%60=（人）,一共100人.X的所有可能取值为0,1,2.026040210026(0)165CCPXC

===,11604021001680(1)33165CCPXC====,206040210059(2)165CCPXC===.所以随机变量X的分布列为X012P261658016559165EABCDA1B1C1zyxABCDA1B1C12680591986()0121651651

651655EX=++==.或由(100,2,60)XH得606()21005==EX...…12分②()()EXEY...…14分(20)（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：法一：连接1AC交1AC于点E，连接ED.在三棱柱111AB

CABC−中,因为四边形11AACC是平行四边形，所以点E是1AC的中点.因为点D是BC的中点，所以1//ABED.因为1AB平面1ACD，ED平面1ACD，所以1//AB平面1ACD...…7分法二：因为1AA⊥平面ABC，ABAC⊥，如图建立空间直角坐标系Axyz−,则(0,0,0)A，

(1,0,0)B,(0,1,0)C,1(0,0,3)A,1111(0,1,3),(,,0),(1,0,3)22CDB.所以1(1,0,3)=−AB,111(,,0),(0,1,3)22==ADAC.设平面1ACD的一个法

向量为(,,)nxyz=，则有1110,2230=+==+=nADxynACyz.令3=x得3,1=−=yz.所以(3,3,1)=−n.所以1130(3)(3)10=+−+−=ABn.

所以1ABn⊥.因为1AB平面1ACD，所以1//AB平面1ACD...…7分(Ⅱ)假设在棱1CC上存在一点M,使1⊥BM平面1ACD.设(0,1,)[0,3]，=M,则1(1,1,3)=−−BM.由第（I）问知，平面1ACD的法向量为

(3,3,1)=−n，要使11平面⊥BMACD，则1//BMn.所以113133−−==−.解得23[0,3]3=,即23(0,1,)3M=，且123CMCC=.所以在棱1CC上存在一点M,且满足123=CMCC，使1⊥BM

平面1ACD...…14分（21）（本小题满分14分）解：（I）设椭圆G的半焦距为,c根据题意，225,34ceaac==−=解得229,5ac==.所以椭圆G的方程为22194xy+=...…4分(II)直线l的方程2(1)=−yx.由222(1)

,194yxxy=−+=消去y，得22436(1)360xx+−−=，即2590−=xx.解得110,2==−xy或229,585xy==.所以22212195||()().5MNx

xyy=−+−=..…9分（III）若满足题意的定点T存在，设(,0)(0)Ttt.直线l斜率为0时，不满足题意；设l的方程为1+=myx，联立方程组221,194xmyxy=++=，化简得0328)94(22=−++myym.0)9

4(324)8(22++=mm恒成立.设),(11yxM，),(22yxN,则948221+−=+mmyy，9432221+−=myy.直线AM的方程为)3(311++=xxyy，令0=x，得)33,0

(11+xyP,同理得)33,0(22+xyQ.若以PQ为直径的圆恒过点T，则TPTQ⊥，即133332211−=−+−+txytxy，又111+=myx，122+=myx，化简得2212122116)(49tyymyymyy−=+

++.把21yy+，21yy代入得29(32)=32+4()+16(4)22----89+tmmmm，整理得22−=−t，得2=t.所以以PQ为直径的圆恒过定点(2,0)T...…14分法二当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x=，则)324,1(M

，)324,1(−N，可得)2,0(P，)2,0(−Q，以PQ为直径的圆与x轴的交点为)0,2(；所以如果以PQ为直径的圆过x轴上的定点，则定点只能是)0,2(；下面进行验证定点为T)0,2(.设l的方程为)1(−=xky；1493622y=k(x-),x+y=，消去y得49-

189-3602222(+k)xkx+k=，0)94)(369(4)18(2222+−−=kkk恒成立.设),(11yxM，),(22yxN，则22219418kkxx+=+，222194369kkxx+−=直线)3(3:11++=xxyyAM，令0=x，得)33,0(

11+xyP，同理得：)33,0(22+xyQ；只需验证：1TPTQkk=−；即92)3)(3(2121−=++xxyy；而.9214432813654)369(9418)369（9)(31)()3)(3()1)(1(2222222212121212212

12−=−=+++−++−−=+++++−=++−−kkkkkkkxxxxxxxxkxxxxk综上，以PQ为直径的圆恒过点(2,0)T...…14分