【文档说明】【精准解析】福建省普通高等学校招生全国统一考试2020届高三模拟考试数学（理）试题.doc，共(24)页，5.233 MB，由小赞的店铺上传

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2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z满足2zizi（i为虚数单位），则z在复平面内

对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数的除法运算可整理得到z，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【详解】由2zizi得：2121313111222iiiiziiii

，z对应的点的坐标为13,22，位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.2.已知全集UR，集合{|lg(1)}Axyx，1|Bxyx

则UABð（）A.(1,)B.(0,1)C.(0,)D.[1,)【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,AB，由补集和交集定义可求得结果.【详解】10,1Axx，

0,B，1,UAð，1,UABð.故选：D.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.3.已知3sin24，则1tantan（）A.83B.43C.83D.43【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式求

得sincos，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果.【详解】3sin22sincos4，3sincos8，221sincossincos18tan3tancossinsincos38.故选：A.【点睛】本题

考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题.4.中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革

”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A.314B.1114C.114D.27【答案】B【解析】【分析】分别求得所有基本事

件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422CC种取法；所求概率22112814p.故选：B

.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.5.已知不同直线l、m与不同平面、，且l，m，则下列说法中正确的是（）A.若//

，则l//mB.若，则lmC.若l，则D.若，则m【答案】C【解析】【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于A，若//，则,lm可能为平行或异面直

线，A错误；对于B，若，则,lm可能为平行、相交或异面直线，B错误；对于C，若l，且l，由面面垂直的判定定理可知，C正确；对于D，若，只有当m垂直于,的交线时才有m，D错误.故选：C.【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命

题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.6.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若coscos4caBbA，则2222abc（）A.32B.12C.14D.18【

答案】D【解析】【分析】利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】由余弦定理得：222222224acbbcacabacbc，整理可得：2224cab，222128abc.故选：D.【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.7.已知2log3a，4

.12b，13827c，则（）A.cbaB.cabC.bcaD.acb【答案】C【解析】【分析】根据指数运算法则、指数函数函数和对数函数单调性，可通过临界值比较出大小关系.【

详解】134.102238221log22log3227，bca.故选：C.【点睛】本题考查指数幂、对数值的大小关系的问题，关键是熟练掌握指数函数和对数函数的单调性.8.已知边长为4的菱形ABCD，60DAB

，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点，若ANNM，则AMAN（）A.16B.14C.12D.8【答案】B【解析】【分析】取AM中点O，可确定0AMON；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2AM，利用AMANA

MAOON可求得结果.【详解】取AM中点O，连接ON，ANNM，ONAM，即0AMON.60DAB，120ADM，22222cos416828AMDMDADMDADMDAADM

，则21142AMANAMAOONAMAOAMONAM.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.9.已知()y

fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，2()3fxxx．若0x，则()0fx的解集是（）A.[2,1]B.(,2][1,0]C.(,2][1,0)D.(,2)(1,0]【答案】B【解析】【分析】

利用函数奇偶性可求得fx在0x时的解析式和0f，进而构造出不等式求得结果.【详解】fx为定义在R上的奇函数，00f.当0x时，0x，23fxxx，fx为奇函数，230fxfxxxx，由0230xxx

得：2x≤或10x；综上所述：若0x，则0fx的解集为,21,0.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x处有意义时，00f的情况.10.将函数()cosfxx的图象先向

右平移56个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)倍，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，若函数()gx在3(,)22上没有零点，则的取值范围是（）A.228(0,][,]939B.2(0,]9C.28

(0,][,1]99D.(0,1]【答案】A【解析】【分析】根据y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出56x的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】函数()cosfxx的图象先向右平移56个单位长度，可得5cos6

yx的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos6gxx的图象，∴周期2T，若函数()gx在3(,)22上没有零点

，∴553526626x，∴35526262T，21，解得01，又522635226kk，解得34

12323k，当k=0时，解2839，当k=-1时，01，可得209，228(0,][,]939.故答案为：A.【点睛】本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及

零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.11.在三棱锥PABC中，ABBP，ACPC，ABAC，22PBPC，点P到底面ABC的距离为2，则三棱锥PABC外接球的表面积为

（）A.3B.32C.12D.24【答案】C【解析】【分析】首先根据垂直关系可确定OPOAOBOC，由此可知O为三棱锥外接球的球心，在PAB中，可以算出AP的一个表达式，在OAG中，可以计算出AO的一个表达式

，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．【详解】取AP中点O，由ABBP，ACPC可知：OPOAOBOC，O为三棱锥PABC外接球球心，过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，连接AH交BC于G，

连接OG，HB，HC，PBPC，HBHC，ABAC，G为BC的中点由球的性质可知：OG平面ABC，OG//PH，且112OGPH．设ABx，22PBQ，211822AOPAx，1222AGBCx，在OAG中，222AGOGOA，即2222

11822xx，解得：2x，三棱锥PABC的外接球的半径为：2221122422322xAO，三棱锥PABC外接球的表面积为2412SR．故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，

求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.12.已知抛物线2:4(0)Cypxp的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点S，与准线l交于点T，且||2||FAAS，则||||FBTS（）A

.25B.2C.72D.3【答案】B【解析】【分析】过点A作准线的垂线，垂足为M，与y轴交于点N，由2FAAS和抛物线的定义可求得TS，利用抛物线的性质1122AFBFp可构造方程求得BF，进而求得结果.【详解】过点A作准线的垂线，垂足为M，AM与y轴交

于点N，由抛物线解析式知：,0Fp，准线方程为xp.2FAAS，13SASF，133pANOF，43AMp，由抛物线定义知：43AFAMp，1223ASAFp，2SFp，2TSSFp.由抛物线性质11212AFBFpp得：3114pBFp

，解得：4BFp，422FBpTSp.故选：B.【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.若变量x，y满足约束条件20300xyxyxy

，则32zxy的最大值为__________．【答案】32【解析】【分析】根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322zyx在y轴截距最大的问题的求解，通过数

形结合的方式可确定过13,22B时，z取最大值，代入可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将32zxy化为322zyx，则z最大时，直线322zyx在y轴截距最大；由直线32yx平移可知，当322zy

x过B时，在y轴截距最大，由2030xyxy得：13,22B，max13332222z.故答案为：32.【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在

y轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.14.甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是_________

_．【答案】815【解析】【分析】分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果.【详解】甲被录取的概率1433545p；乙被录取的概率2211323p；只有一人被录取的概率12213212811533515ppppp.故

答案为：815.【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.15.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为(3,0)F，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为H，BF的中点为K，HK的中点为G，

若|HK|=2|OG|，且直线AB的斜率为24，则||AB__________，双曲线的离心率为__________．【答案】(1).23(2).62【解析】【分析】设00,Axy，00,Bxy，根据中点坐

标公式可得,HK坐标，利用0OHOK可得到A点坐标所满足的方程，结合直线斜率可求得2200,xy，进而求得AB；将A点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得,ab，进而得到离心率.【详解】左焦点为3,0F，双曲线的半焦距3c．设00,Axy

，00,Bxy，003,22xyH，003,22xyK，2HKOG，OHOK，即0OHOK，22003044xy，即22003xy，又直线AB斜率为24，即0024yx，2083x，2013y，22004423ABxy

，A在双曲线上，2200221xyab，即2281133ab，结合2223cab可解得：2a，1b，离心率62cea==.故答案为：23；62.【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的

求解问题；关键是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.16.已知函数ln()lnxxeaxexfxxax，若在定义域内恒有()0fx，则实数a的取值范围是__________．【答案】1,ee【解析】【分析】

根据指数函数xye与对数函数lnyx图象可将原题转化为ln0xeaxxax恒成立问题，凑而可知yax的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定a的取值范围.【详解】由指数函数xye与对数函数lnyx

图象可知：lnxex，0fx恒成立可转化为0lnxeaxxax恒成立，即ln0xeaxxax恒成立，lnxeaxx，即yax是夹在函数xye与lnyx的图象之间，yax的图象在过原点且与两函数相切的两条

切线之间.设过原点且与lnyx相切的直线与函数相切于点,lnmm，则切线斜率11lnmkmm，解得：11meke；设过原点且与xye相切的直线与函数相切于点,nne，则切线斜率

2nneken，解得：21nke；当1ae时，1ln0xxe，又ln0xax，1ae满足题意；综上所述：实数a的取值范围为1,ee.【点睛】本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点

的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列na的公差2d，且1a，2a，4a成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设12nanb

，求数列nnab的前n项和nS．【答案】（1）2nan；（2）211343nnSnn.【解析】【分析】（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a，由等差数列通项公式可求得结果；（2

）由（1）可得nb，可知nb为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）124,,aaa成等比数列，2214aaa，即21113adaad，

211126aaa，解得：12a，2212nann.（2）由（1）得：2111224nannnb，114nnbb，114b，数列nb是首项为14，公比为14的等比数列

，123123nnnSaaaabbbb2322111124444nnn211343nnn．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n项和的问题

；关键是能够根据通项公式证得数列nb为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.18.在四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD为正方形，ACBDO，1AO平面ABCD．（1）证明：1//AO平面11BCD；（2）若1ABAA，求二面角

111DABA的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）155.【解析】【分析】（1）连接11AC，设11111BDACO，可证得四边形11AOCO为平行四边形，由此得到11AO//OC，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以O为原点建

立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1）连接11AC，设11111BDACO，连接1OC，在四棱柱1111ABCDABCD中，1,OO分别为11,ACAC的中点，11//OCAO，四边形11AOCO为平行四边形，11AO//OC，1AO

平面11BCD，1OC平面11BCD，1//AO平面11BCD．（2）以O为原点，1,,OBOCOA所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系Oxyz．设1OA，四边形ABCD为正方形，12ABAA，11

OA，则0,1,0A，10,0,1A，11,1,1B，11,1,1D，11,2,1AB，112,0,0BD，111,1,0AB，设1111,,nxyz为平

面11ABD的法向量，2222,,nxyz为平面11AAB的法向量，由1111100nABnBD得：11112020xyzx，令11y，则10x，12z，由2121100nABnAB得：22222200

xyzxy，令21x，则21y，21z，10,1,2n，21,1,1n，1212121215cos,553nnnnnn，二面角111DABA为锐二面角，二面角111DABA的余弦值为155.【点睛】本题考查立体几何中线面平

行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.19.金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会

从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从

这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X，写出X的分布列，并求()EX．附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，其中nabcd．20PKk0.050.010.0010k3.8416.63510.828【答案】（1）有99%把

握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）计算得到6.635k，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.【详解

】（1）∵2K的观测值2160604040203210.6676.6358080100603k，有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：男生有31065人，女生有2

1045人，选取的10人中，男生有6人，女生有4人．则X的可能取值有0,1,2,3，306431020101206CCPXC，()216431060111202CCPXC====，()126431036321

2010CCPXC====，036431041312030CCPXC，X的分布列为：X0123P16123101301131601236210305EX．【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是

能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.20.已知函数2ln2fxaxxxx．（1）当2ae（e为自然对数的底数）时，求函数fx的极值；（2）fx

为yfx的导函数，当0a，120xx时，求证：1212112222xxxxfxfxfxfx．【答案】（1）极大值21e，极小值2e；（2）详见解析.【解析】【分析】首先确定函

数的定义域和fx；（1）当2ae时，根据fx的正负可确定fx单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；（2）通过分析法可将问题转化为证明12112221ln1xxxxxx，设121xtx，令21ln1thttt，利

用导数可证得0ht，进而得到结论.【详解】由题意得：fx定义域为0,，121122xxafxaxxx，（1）当2ae时，21xxefxx，当0,1x

和,e时，0fx；当1,xe时，0fx，fx在0,1，,e上单调递增，在1,e上单调递减，fx极大值为121221fee，极小值为2

2212feeeeee.（2）要证：1212112222xxxxfxfxfxfx，即证：1212122xxfxfxfxx

，即证：2211222211ln2ln2axxxxaxxxx12121222axxaxxxx，化简可得：1212122lnaxxxaxxx．0a，

1212122lnxxxxxx，即证：12112221ln1xxxxxx，设121xtx，令21ln1thttt，则22101thttt，ht在1,上单调

递增，10hth，则由12112221ln1xxxxxx，从而有：1212112222xxxxfxfxfxfx.【点睛】本题考查导数在研究函数中的

应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.21.如图，椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为1A，2A，上、下顶点分别为1B，2B，且1()0

,1B，112ABB为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C在y轴右侧的部分交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求四边形21BMNB面积的取值范围．【答案】（1）2213xy；（2）36,123.【解析】【分析】（1）根据1B坐标和112ABB为等边三

角形可得,ab，进而得到椭圆方程；（2）①当直线MN斜率不存在时，易求,MN坐标，从而得到所求面积；②当直线MN的斜率存在时，设方程为1ykx，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定k的取值范围；利用21NOBOMNMOBSSSS△△△，代入韦达定理

的结论可求得S关于k的表达式，采用换元法将问题转化为3423Smm，23,23m的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.【详解】（1）10,1B，1b，112ABB为等边三角形，33a

b，椭圆的标准方程为2213xy．（2）设四边形21BMNB的面积为S．①当直线MN的斜率不存在时，可得61,3M，61,3N，1266211233S

．②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为1ykx，设11,Mxy，22,Nxy，联立22131xyykx得：2222316330kxkxk，2122631kxxk，2122333

1kxxk，212122232131kkyykxxk．10x，20x，120xx，1k，面积121212111122OMNMONOBBSSSSxxyy△△△222223

3||213131313kkkkkk2213213kk．令212tk，则2331tSt，2,3t，令3mt，则23234mSmm3423mm，23,23m，

Sm在定义域内单调递减，36123S．综上所述：四边形21BMNB面积的取值范围是36,123．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题

；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线C的参数方程为22cos2sinxy（为参数），直线l经过点1,33M且倾斜角为.（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于,AB，满足A为MB的中点，求tan.【答案】（1）4cos，1cos33tsinx

ty；（2）3.【解析】【分析】（1）由曲线C的参数方程消去参数可得曲线C的普通方程，由此可求曲线C的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程

，代入曲线C的普通方程224xyx，整理得263sincos320tt，利用韦达定理，根据A为MB的中点，解出即可.【详解】（1）由22cos2sinxy（为参数）消去参数，可得2224x

y，即224xyx，已知曲线C的普通方程为224xyx，cosx，222xy，24cos，即4cos，曲线C的极坐标方程为4cos，直线l经过点1,33M，且倾斜角为，直

线l的参数方程：1cos33sinxtyt（t为参数，0）.（2）设,AB对应的参数分别为At，Bt.将直线l的参数方程代入C并整理，得263sincos320tt，63

sincosABtt，32ABtt.又A为MB的中点，2BAtt，23sincos4sin6At，8sin6Bt，232sin326ABtt，即2sin()16，0，766

6，62，即3，tan33.【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.23.设函数121fxxxa．（1）当1a时，解不等式6fx；（2）设12a，且当21ax时，不

等式26fxx有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）[2,3]；（2）12,2.【解析】【分析】（1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；（2）将不等式整理为3ax，根据能成立思想可知max3ax，由此构造不等式求得结果.【详解】（1

）当1a时，6fx可化为125xx，21,2123,1212,1xxxxxxx由2215xx，解得23x；由1235x，解得12x；由1125xx，解得21x．综上所述：所以

原不等式的解集为2,3．（2）21ax，26fxx，12126xxax，3ax，26fxx有解，31a，即2a，又21a，12a，实数a的取值范围是12,2．【点睛】本题考查绝对值

不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.