【文档说明】四川省仁寿县2024-2025学年高三上学期一模诊断数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，1.018 MB，由envi的店铺上传

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高三诊断考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（不考解析几何）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()()170Axxx=−+，()()170Bxxx=+−，则AB=（）A.()7,7−B.()1,1−C()7,1−D.()1,7−【答案】A【解析】【分析】先求出集合,AB，再根据并集定义求解即可.【详解】因为(

)()17071Axxxxx=−+=−，()()17017Bxxxxx=+−=−，所以()7,7AB=−.故选：A.2.在平行四边形ABCD中，AB=（）A.ADAC−B.ACAD−C.2ACAD+D.ACAD+【答案】B【解析】【分析】根据平面向

量的线性运算即可结合选项逐一判断..的【详解】在平行四边形ABCD中，ABDC=，而ADACCD−=，ACADDC−=，()2223ACADABADADABADAB+=++=+，2ACADABADADABADAB+

=++=+.故选：B.3.若某圆台的上、下底面的半径分别为1，3，且该圆台的体积为26π，则该圆台的高为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】【分析】根据圆台的体积公式即可求解.【详解】由题可知，该圆台上底面圆的面积为21π1πS==，下底面圆的面积为22π39πS=

=，设该圆台的高为h，则该圆台的体积为()121213VhSSSS=++，即()126ππ9ππ9π3h=++，解得6h=.故选：D.4.函数()2211xxfxx+−=−的部分图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析

】根据函数单调性的性质可排除BC；根据𝑥∈(−1,1)时，()fx的奇偶性可排除D.【详解】()()()2221011110,1111xxxxfxxxxxxx=+−==+=+−−−，当𝑥∈(1,+∞)和()

,1−−时，yx=单调递增，1yx=单调递减，()111fxxx=+−在(1,+∞)，(),1−−上单调递减，可排除BC；当𝑥∈(−1,1)时，()()211xfxfxx−=−−，∴𝑓(𝑥)图象不关于y轴对称，可排除D.故选：A.5.已知正项等比数

列na的前3项和为21，且123111712aaa++=，则2a=（）A.32B.2C.6D.4【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质可得13213211aaaaa++=，进而结合题设求解即可.【详解】由题意知，正项等比数列na的前3项和为2

1，且131321313211aaaaaaaaa+++==，则131232221232222111121712aaaaaaaaaaaa+++++=+===，解得26a=.故选：C.6.曲线()21exyx

=−在点()1,0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A.e2B.2e2C.2e3D.2ee2−【答案】B【解析】【分析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.【详解】由()21exyx=−，得()()222e12e12exxxyxx=−−

+=−，则21exy==−，所以曲线()21exyx=−在点()1,0处的切线方程为()2e1yx=−−，令0x=，得2ey=；令0y=，得1x=，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为221e1e22=.故选：B.7.已知()22220xyxyx

y+=，则221169xy−−的最大值为（）A.48−B.49−C.42−D.35−【答案】A【解析】【分析】由题意知22111xy+=，然后根据基本不等式即可求解.【详解】因为()22220xyxyxy+

=，所以22111xy+=，所以()22222211169169xyxyxy+=++222291625yxxy=++222291625249yxxy+=，当且仅当2222916yxxy=，即2277,43xy==时

，等号成立，所以221169xy−−的最大值为14948−=−.故选：A.8.若1.13log9a=，0.5log0.2b=，0.404c=，则（）A.abcB.bacC.cabD.acb

【答案】B【解析】【分析】结合指数函数和对数的运算性质易得2.2a=，2log5b=，2c，进而分析比较2.22与5的大小，进而比较112与55的大小，进而判断即可.【详解】1.13321.log9lo91g2.a===，50.4010.24

424c===，0.512221log0.2loglog5log425b====，则ac，bc，下面比较a与b的大小，即比较2.22log22.2=与2log5的大小，即比较2.22与5大小，即比较112与55的大小，而115220485312

5==，则ab，所以bac.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数1z，2z是方程28170xx−+=的两个根，则（）A.12zz−为纯虚数B.1217zz=

C.115z=D.12zz=【答案】ABD【解析】【分析】解方程28170xx−+=得12,zz，通过计算逐一验证选项即可.【详解】方程28170xx−+=，()2418740−=−=−，方程28170xx−+=的根为82i2，即方程28170

xx−+=的根为4i+，4i−，不妨设14iz=+，24iz=−，则122izz−=为纯虚数，故A正确；()()2124i4i16i17zz+−=−==，故B正确；2214117z=+=，故C错误；的24iz=+

，则12zz=，故D正确.故选：ABD.10.已知函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，其中()1,0M，()5,0N，则（）A.π4=B.π4=−C.()fx在6,8上单调递增D.()fx在0,40上恰有10个

零点【答案】ABD【解析】【分析】先根据图象求出函数()fx的解析式，即可判断AB；再利用整体代入的思想结合正弦函数的性质判断CD.【详解】由图可知，23A=，5142T=−=，即8T=，又2π8T==，则π4=，故A

正确；此时()π23sin4fxx=+，又()π123sin04f=+=，且π2，则π4=−，故B正确；此时()ππ23sin44fxx=−，当6,8x时，,ππ5π7π4444x−，因为函数sinyx=在5π7π

,44上不单调，所以()fx在6,8上不单调，故C错误；当0,40x时，πππ39π,4444x−−，因为函数sinyx=在π39π,44−上有10个零点，所以()fx在[]0,40上恰有10个零点，故D正确.故选：ABD.11.在体积为83的

正四棱锥PABCD−中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为66，则（）A.5PC=B.二面角PCDA−−的余弦值为55C.正四棱锥PABCD−的外接球的表面积为9πD.直线BC与平面PCD所成角的正切值为2

【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断A；根据二面角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断B；利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可判断C

；根据直线与平面所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断D.【详解】取CD的中点E，设O为正方形ABCD的中心，连接OE，PE，则PECD⊥.因为ABCD∥，所以异面直线PC与AB所成的角即PCE，则6cos6CEPCEPC==.设CEa=，则2

CDa=，2OCa=，6PCa=，则222POPCOCa=−=，所以正四棱锥PABCD−的体积为()2318822333aaa==，解得1a=，所以6PC=，故A错误.在正方形ABCD中，由于OCOD=，E为CD的中点，所以OECD⊥，则PEO为二面角PC

DA−−的平面角，所以15cos55OEPEOPE===，故B正确.设正四棱锥PABCD−的外接球的球心为M，且OMh=，又2PO=，由PMCM=，得()2222hh+=−，解得12h=，所以正四棱锥PABCD−的外接球的表面积为24π29πh−=，故C正确.因为OEBC∥

，所以直线BC与平面PCD所成的角即直线OE与平面PCD所成的角.过点O作OHPE⊥，垂足为H，因为⊥PO平面ABCD，且CD平面ABCD，所以POCD⊥，又OECD⊥，且,POOE平面POE，所以CD⊥平面P

OE，又OH平面POE，所以CDOH⊥，又PECDE=，且,PECD平面PCD，所以OH⊥平面PCD，则OEH为直线BC与平面PCD所成的角，则tan2POOEHOE==，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：

求解立体几何中空间角的问题，往往有两种方法，一种是利用定义先找到角的位置，再求解；另一种是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若钝角满足5tan12=−，则tan2=______.【答

案】5【解析】【分析】根据为钝角易得tan02，进而结合正切的二倍角公式求解即可.【详解】由题意，π,π2，则ππ,242骣琪Î琪琪桫，所以tan02，由22tan52tan

121tan2==−−，解得tan52=.故答案为：5.13.已知()1fx+是奇函数，当1x时，()2fxx=，则()3f−=______.【答案】25−【解析】【分析】由()1fx+是奇函数，得函数()fx关于()1,0对称，进而结合()()35ff−=−代值计算即可.【详

解】由()1fx+是奇函数，得函数()fx关于()1,0对称，又当1x时，()2fxx=，则()()235525ff−=−=−=−.故答案为：25−.14.在如图所示的55方格表中选5个方格，则这5个方格的数中恰有2个11的概率为______，若要求每行和每列都恰有1个方格被选中，则被选方格

的5个数之和的最大值为______.10213041501120304049101929405111203139501123324352【答案】①.223②.157【解析】【分析】根据古典概型可得第一空；观察

题表可发现每列数字最大值都在最后一行出现，可计算出每一列中每个数字与此列最大值的差的绝对值，若要使得被选中数字的和最大，则只需差的绝对值之和最小即可，再通过观察法即可解决.【详解】由题知表中共有25个数，其中包含3个11，所以任选5个方格，

其中恰有2个11的概率为23322525CC2C23=.根据题表知每列数字最大值都在最后一行出现，根据题表可得出每列数字与此列中最大数的差的绝对值，如下表：1222203233143310314200000按要求每行和每列都恰有1个方

格被选中，若被选方格的5个数之和最大，则差的绝对值之和最小，所以要使得5个数之和最大，则这5个数可以为11，23，31，41，51，此时和为1123314151157++++=，即和的最大值为157.故答案为：223；157.四、解答题：本题共5小题，共

77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin:sin:sin3:53:129ABC=.（1）求C的大小；（2）若ABCV的面积为153，求ABCV外接圆的直径.【答案】（1）5π6（2）4129【解析】【分析】（1

）由正弦定理得::3:53:129abc=，设3,53,129axbxcx===，0x，进而结合余弦定理即可求解；（2）结合题意，由三角形的面积公式可得603ab=，进而（1）所设，求出2129c=，进而结合正弦定理求解即可.【小问1详解】因

为sin:sin:sin3:53:129ABC=，由正弦定理得，::3:53:129abc=，不妨设3,53,129axbxcx===，0x，则由余弦定理得，2222229751293cos222353abcxxxCabxx+−+−===−，又()0,πC，则5π6C=.【小问2详解】设

ABCV外接圆的半径为R，由题意，111sin153222ABCSabCab===V，即603ab=，由（1）知，设3,53,129axbxcx===，0x，则353603abxx==，解得2x=，则2129c=，所以2129412921sin2cRC===，则ABCV外接圆的直径为4129

.16.如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且3AE=，2DF=，1BG=，M，N分别是EG，BC的中点.（1）证明：//FM平面ABCD.（2）若2AB=，求点N到平面AMF的距离.【答案】（1）证明见详解（2）566【解析】【分析】（1）取AB的中

点H，连接MH，DH，根据题意可得FMDH∥，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）建系标点，求平面AMF的法向量，利用空间向量求点到面的距离.【小问1详解】因为AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，则AEBGDF∥∥.取AB的中点H，连接MH，DH，则

MHAE∥，且22AEBGMH+==，所以MHDF∥且MHDF=，所以四边形DFMH为平行四边形，可得FMDH∥，且FM平面ABCD，DH平面ABCD，所以//FM平面ABCD.【小问2详解】连接AN.以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，则𝐴(2,0,0)，()0,0,2F，()2,1,2M，()1,2,0N，可得()1,2,0AN=−，()0,1,2AM=，()2,0,2AF=−.设平面AMF的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,�

�)，则20220AMnyzAFnxz=+==−+=，取1x=，得2y=−，1z=，可得()1,2,1n=−.故点N到平面AMF的距离1405666ANndn−−+===.17.在递增的等差数列

na中，38250aa=，5635aa+=.（1）求na的通项公式；（2）求数列2nana的前n项和nT.【答案】（1）31nan=+（2）14286484949nnnT++=−【解析

】【分析】（1）根据等差数列通项公式性质转化为3835aa+=，进而求得381025aa==，3d=，即可得出na的通项公式；（2）先表示出()2628nannan=+，再用错位相减法即可求解【小问1详解】设na的公差为()0dd，因为数列na是

等差数列，所以563835aaaa+=+=，由383835250aaaa+==解得381025aa==，所以8335aad−==，所以()3331naandn=+−=+.【小问2详解】由（1

）可得()()312312628nannnann+=+=+，则()()123188148208648628nnnTnn−=++++−++①，()()2341888148208648628nnnTnn

+=++++−++②，①-②得()()2317646888628nnnTn+−=++++−+()()21118186442864662881877nnnnn−++−+=+−+=−−则14286484949nnnT++=−.18.某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在

购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为T4567P0.30.20.40.1.X表示2台设备使用期间需更换的

零件个数，n代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.（1）求X的分布列；（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在10n=和11n=中，应选择哪一个?【答案】（1）答案见解析（2）应选10n=【解析】【分析】（1

）由每台设备需更换零件个数的分布列求出X的所有可能值，并求出对应的概率即可得解；（2）分别求出10n=和11n=时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答.【小问1详解】由题意，X的可能取值为8，9，10，11，12，13，14，则(8)0.30.30.09PX==

=，(9)20.30.20.12PX===，(10)20.30.40.20.20.28PX==+=，(11)20.30.120.20.40.22PX==+=，(12)20.20.10.40.40.2PX==+=，(13)20

.40.10.08PX===，(14)0.10.10.01PX===，则X的分布列为：X891011121314P0.090.120.280.220.20.080.01【小问2详解】记1Y为当10n=时购买零件所需费用，1Y的可能取值为2000，2320，2640，2960，328

0，则()12000(10)0.090.120.280.49PYPX===++=，()12320(11)0.22PYPX====，()12640(12)0.2PYPX====，()12960(13)0.08PYPX====，()13280(14)0.01PYP

X====，则()120000.4923200.2226400.229600.0832800.012288EY=++++=.记2Y为当11n=时购买零件所需费用，2Y的可能取值为2200，2520，2840，3160，则()22200(11)0.090.120.280.220

.71PYPX===+++=，()22520(12)0.2PYPX====，()22840(13)0.08PYPX====，()23160(14)0.01PYPX====，()222000.7125200.228400.0

831600.012324.8EY=+++=，显然()()12EYEY，所以应选择10n=.19.若存在有限个0x，使得()()00fxfx−=，且()fx不是偶函数，则称()fx为“缺陷偶函数”，0x称为()fx的

偶点.（1）证明：()5hxxx=+为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.（2）对任意x，yR，函数()fx，()gx都满足()()()()22fxfygxgyxy++−=+.①若()gxyx=是“缺陷偶函数”，证明：函数()()Fxxgx=有2个

极值点.②若()32g=，证明：当1x时，()()21ln12gxx−.参考数据：15ln0.4812+，52.236.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据()()hxhx=−，即可解方程求解，（2）①根据()()()()22fx

gxxfygyya+−=−++=，取yx=，可得()223xxagx−+=，即可对()()Fxxgx=求导，根据导函数的正负确定函数单调性，结合极值定义求证，②利用放缩法，先证明故234xxx−−，构造()

()2334ln12pxxx=−−−，求导，确定函数的最值即可求解.【小问1详解】由()5hxxx=+可得()()55hxxxxx−−=−+−=−，由()()hxhx=−可得()554210xxxxxx+=−−+=，解得0x=，所以()5hxxx=+为“缺陷偶函数”，且偶

点唯一，且为0，【小问2详解】由()()()()22fxfygxgyxy++−=+可得()()()()22fxgxxfygyy+−=−++对任意x，yR，恒成立，所以存在常数a，使得()()()()22fxgxxfygyya+−=−++=,令yx=，则()(

)2fxgxxa+−=，且()()2fxgxxa−++=，解得()223xxagx−+=，①()2133gxyxxxa+=−=，则()2133gxxxax−=−−−−，由于()gxyx=“缺陷偶函数”，故21213333xaxaxx−+−=−−，即233xax=−，即()220xax=−，

则20a−，得0a，()()()3222322,33FxxxxxgxFxaxxa===−+−+，由于4240a=−，所以()0Fx=有两个不相等的实数根12,xx，不妨设12xx，当1xx或2xx时，()0Fx，()Fx单调递增，

当12xxx时，()0Fx，()Fx单调递减，所以()()Fxxgx=有两个极值点12,xx.②若()32g=，即()932622333gaa−+=+==，则0a=，故()23xxgx−=，当1x时，要证()()21ln12gxx−，只需要证.(

)223ln12xxx−−，是因为()()223420xxxx−−−=−，故234xxx−−，只需证()2334ln12xx−−，令()()()()22223333334ln1,31211pxxxxxxxxxpx−−−−−−

==−−=，当()()511,0,2xpxpx+单调递减，当()()51,0,2xpxpx+单调递增，故()()()2min351351513513514ln14ln2222222pxp+++++==−−−=−−

33.236340.4810.132522−−=，所以()min0px，从而()0px，故()2334ln12xx−−，1x时，()()21ln12gxx−得证.【点睛】法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数()hx；(3)

利用导数研究()hx的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．