【文档说明】2023届数学一轮复习函数与导数：9 .函数同构【高考】.docx，共(4)页，146.010 KB，由小赞的店铺上传

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19.同构型双变量问题.这一部分主要分为两个方面，一是利用单调性同构，另一个是函数结构同构.下面分别举例说明.（1）单调性同构.例1.若对任意的1x，)22,0x−，12xx，122112xxxexeaxx−−恒成立，则a的最小值为（）A．23e−B

．22e−C．21e−D．1e−【分析】将不等式122112xxxexeaxx−−转化为121122xxeaeaxxxx++，构造函数()xeafxxx=+，只需使()fx在)2,0−上递减，则()()210xexafxx−−=在)2,0−恒成立，只需()1xexa−恒成立，

然后求解a的取值范围.【详解】因为12xx，所以120xx−，则122112xxxexeaxx−−可化为()122112xxxexeaxx−−，整理得122211xxxeaxxeax++，因为120xx，所以121

122xxeaeaxxxx++，令()xeafxxx=+，则函数()fx在)2,0−上递减，则()()210xexafxx−−=在)2,0−上恒成立，所以()1xexa−在)2,0−上恒成立，令()(

)1xgxex=−，则()()10xxxgxexexe=−+=在)2,0−上恒成立，则()()1xgxex=−在)2,0−上递减，所以()()232gxge−=−，故只需满足：23ae−.故选：A.（2）结构同构

主要原理：若0)(xF能够变形成)]([)]([xhfxgf，然后利用)(xf的单调性，如递增，转化为)()(xhxg，即为同构变换.2例如：xexxxexxeexexeexexxxxxxxxxxxlnln,lnln,,,lnlnln=−=+===−

−+....例2.已知函数()lnxfxx=，()xgxxe−=.若存在()10,x+，2xR使得()()()120fxgxkk==成立，则221kxex的最大值为（）A．2eB．eC．24eD．21e【详解】()lnxfxx=，()()lnxxxxxegxfeee===，由

于()111ln0xfxkx==，则11ln001xx，同理可知，20x，函数()yfx=的定义域为()0,+，()21ln0xfxx−=对()0,1x恒成立，所以，函数()yfx=在区间()0,1上单调递增，同理可

知，函数()ygx=在区间(),0−上单调递增，()()()212xfxgxfe==，则21xxe=，()22221xxxgxkxe===，则2221kkxekex=，构造函数()2khkke=，其中0k

，则()()()222kkhkkkekke=+=+.当2k−时，()0hk，此时函数()yhk=单调递增；当20k−时，()0hk，此时函数()yhk=单调递减.所以，()()2max42hkhe=−=.故选：C.练习题1.若对0x,恒有xxxe

aaxln)1(2)1(++，则实数a的最小值为_______.2.已知函数)0()ln()(+−−=aaaaxaexfx，若关于x的不等式0)(xf恒成立，则实数a的取值范围为________.

33.若0x，不等式0lnln22+−axaex恒成立，则实数a的最小值为_______.练习.已知函数33)1ln()(−−+=xxmxf，若不等式xemxxf3)(−在),0(+上恒成立，则实数m的取值范围为_______.4.已知函数1ln)(−−=xaexfx，证明：当ea1

时，0)(xf.5.已知0x是函数2ln)(22−+=−xexxfx的零点，则=+−02ln0xex_______.6.若函数0,4)(,1ln)(−=+−=axaxexgxxxfx，证明：)2ln(ln2)(2)(−−axfxg.46.已知函数axxxexfax−−=

−ln)(1，若0)(,0xfx，则实数a的最小值为_____.