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专题1-4椭圆与双曲线22类常考题型汇总知识点梳理模块一：椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭圆与双曲线的定义与概念【题型2】双曲线的渐近线相关计算【题型3】求焦点三角形面积【题型4】定义法求轨迹【题型5】设点运算求轨迹方程【题型6】光学性质【题

型7】椭圆与双曲线共焦点问题模块二：最值问题【题型8】坐标轴上的点与椭圆距离最短【题型9】直线与椭圆距离最短【题型10】线段和差最值问题【题型11】焦点弦的最小值【题型12】焦半径的最小值问题【题型13】利用基本不等式求最值模块三：求离

心率与其它值【题型14】结合余弦定理求焦半径【题型15】余弦定理用2次【题型16】构造齐次化方程【题型17】双焦点三角形模型：导边【题型18】利用几何性质求离心率【题型20】与向量结合【题型21】其它计算求值问题【题型22

】求离心率范围知识点梳理一、椭圆的基本量1.如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径．图(1)图(2)2.如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为____

____．3.椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________．4.设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值________．1.2b2a2.b2·tanθ23.a＋ca－c4.－b2a2二、直线与椭圆1.直线与圆锥曲

线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：①Δ>0直线与圆锥曲

线________；②Δ＝0直线与圆锥曲线________；③Δ<0直线与圆锥曲线________．2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝________．答案：1.(1)①相交②相切

③相离2.1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|三、双曲线的基本量运算1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．2.如图，P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1P

F2的面积为________．3.焦点到渐近线的距离为________．4.设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为________．答案：1.2b2a2.

b2tanθ23.b4.b2a2四、点差法椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆()2222=10xyabab+上任意2点，且弦AB不平行x轴，M为线段AB中点，则有222=1ABOMbkkea=−−证明（点

差法）：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则1212,22xxyyM++，1212OMyykxx+=+，1212AByykxx−=−，22122212ABOMyykkxx−=−∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得221122=1xyab+①222222=1xy

ab+②两式相减得：2222121222=0xxyyab−−+，整理得2221222212=yybxxa−−−OxyABMABOMkk=？∴222=1ABOMbkkea=−−五、第三定义那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还

是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点1(,0)Aa−，2(,0)Aa的斜率乘积等于常数21e−的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的

顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时2221bea−=−；当常数大于0时为双曲线，此时2221bea−=．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点()Amn，，()Bmn−−，的斜率乘积等于常数21e−的点的轨迹叫做椭圆或双曲线

．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时2221bea−=−；当常数大于0时为双曲线，此时2221bea−=．【证明】,AB是椭圆()2222=10xyabab+上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有222=1PAPBbkkea=−−证明（点差法）：设()11,Pxy，

22(,)Axy，22(,)Bxy−−，OxyABPOxyABPOxyABPPAPBkk=？1212PAyykxx−=−，1212PByykxx+=+，22122212PAPByykkxx−=−∵P，A在椭圆上，代入坐标得221122=1xya

b+①222222=1xyab+②两式相减得：2222121222=0xxyyab−−+，整理得2221222212=yybxxa−−−∴22221222212=1PAPByybkkexxa−==−−−法二：通过椭圆的垂径定理转换中点弦和第三定义本质上是一样的

222=1PAPBOMPBbkkkkea==−−OxyABPM模块一：椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭圆与双曲线的定义与概念1．已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线

的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．

3．（2023佛山·高二期末）（多选）已知曲线的方程为，则可能是（）A．半径为的圆B．焦点在上的椭圆，且长轴长为C．等轴双曲线D．焦点在上的双曲线，且焦距为4．（2023上·广东惠州·高二统考期末）（多选）已知曲线，则下列判断正确

的是（）A．若，则是圆，其半径为B．若，则是双曲线，其渐近线方程为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是两条直线5．（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（）A．当或时，曲线是双曲线B．当时，曲线是椭圆220AxByCxyDx

EyF+++++=ABCDEF22:135xyCkk+=+−yk()3,1−()1,5()3,5−()1,3C221259xykk+=−+C17x25k−y2216k−22:1xyCab−=0ab=−Ca0ab

Cbyxa=0ab−Cx1ab==C22162xymm+=−−C6m2mC26mCC．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则6．（2023上·江苏徐州·高二统考期末）（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．若是椭圆，则其长轴长为B．若，则是双曲线C．C

不可能表示一个圆D．若，则上的点到焦点的最短距离为7．（多选）已知曲线，（）A．若，则C的离心率是B．若，则C的离心率是C．若，则C是双曲线D．若，则C是椭圆8．（2023·广东汕头·统考二模）（多选）已知曲线，，则下列结论正确的是（）A．曲线C可能是圆

，也可能是直线B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为9．（2023宝安中学期中）若方程表示椭圆，则m的取值范围是.（易错

）【题型2】双曲线的渐近线相关计算10．（2023·深圳高二统考期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A．B．C．D．11．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（）Cy6mCx24m

222:11xyCmm+=+C2m0mC1m=C2222:1Cmxny+=0mnmnm−0mnmnn−0mn0mn22:cos1Cxy+=[0,π]y222113xymm+=−−22221(0,

0)xyabab−=32yx=3yx=22yx=32yx=Cy2yx=CA．B．C．D．12．已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A．B．C．D．13．（2023上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）若双曲线的渐近线方程

为，且过点，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．14．（2023上·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（）A．1B．C．D．【题型3】求焦点三角形面积15．已知点P在

椭圆221164xy+=上，1F与2F分别为左、右焦点，若1223FPF=，则12FPF△的面积为（）A．43B．63C．83D．13316．已知P是双曲线22221(,0)xyabab−=上的点，1F，2F是其焦点，双曲线的离心率是54，且120P

FPF=，若12PFF△的面积为9，则ab+的值为__________.17．已知椭圆22192xy+=的焦点分别为12FF，点P在椭圆上，若1||4PF=，则三角形12FPF的面枳为A．32B．3

C．23D．435223522221(0,0)xyabab−=233π6π4π35π12()222210,0yxabab−=32yx=()22,322168yx−=22186yx−=22134yx−=2

2143yx−=2213xy−=2OFPF=OPF△32221218．已知1(4,0)F−､2(4,0)F是双曲线()22:104xyCmm−=的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且1260FMF=，12FMF△的面为________19．已知12FF，为

双曲线C：221164xy−=的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF=，则四边形12PFQF的面积为________．【题型4】定义法求轨迹20．如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半

径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（）A．圆B．射线C．长轴为4的椭圆D．长轴为2的椭圆21．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（）A．B．C．D．22

．（2023上·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为.23．（2023上·广东深圳·高二校考期末）如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M，求点M的

轨迹方程.2AB=12,FF22:19xEy+=P12PFF2291xy+=2291(0)xyy+=221819xy+=221(0)819xyy+=()221:39++=Cxy()222:31Cxy−+=1C2C()212:216Cxy++=(

)2,0QPQ1CP2C【题型5】设点运算求轨迹方程24．已知点A在曲线22:186xyC+=上，O为坐标原点，若点B满足2OAOB=，记动点B的轨迹为Γ，求Γ的方程25．已知22:4Oxy+=交x轴于,AB两点，P为O上位于x轴上方的动点，将O上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到

曲线C，求曲线C的方程26．已知P是圆C：2212xy+=上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足2PQPM=，记点M的轨迹为E，求E的方程27．在平面直角坐标系xOy中，已知动点C到定点(1,0)F的距离与它到直线:4lx=的距离之比为12，求动点C的轨迹方程28．已知(22,0),(

22,0)AB−，直线,PAPB的斜率之积为34−，记动点P的轨迹为曲线C,求C的方程29．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为．30．已知双曲线()2222Γ:1,0xyabab+=，经过双曲线上的点(

)2,1A作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的()50A−，()50B，PPAPB1625−PAB斜率都存在且它们的乘积为14−,求双曲线的方程【题型6】光学性质31．椭圆的光学性质，

从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：()2221024xybb+=，12,FF为其左、右焦点．M是C上的动点，点()0,3N，若1MNMF+的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点

1F关于直线l的对称点()11,Pxy，113424Sxy=+−，则椭圆C的离心率为；S的取值范围为．32．已知椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，过2F的直线与E交于点A、B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M.由椭圆的光学性质知，1F、A

、M三点共线.若ABa=，1157BFMF=，则21BFAF=.33．圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分

，AP是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是BC，若120PFB=，90FBC??，则该双曲线的离心率等于．34．圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线

的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线C的右焦点2F发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点1F．已知入射光线2FP的斜率为2−，且2FP和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线C的渐近线方程为．35．双曲线具有

光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左､右焦点分别为12,FF，从2F发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且5cos,013BACABBD=−=

，则E的离心率为（）A．173B．375C．102D．5【题型7】椭圆与双曲线共焦点问题36．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F，2F，P，Q分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QFP=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，则22

1231ee+等于()A．4B．23C．2D．337．已知1F、2F为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点，1260FPF=，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（）A．23B．1C．32D．2模块二：最值问题【题型8】坐标轴上

的点与椭圆距离最短38．已知点P在椭圆22193xy+=上运动，点Q在圆225(1)8xy−+=上运动，则||PQ的最小为()A．2B．102C．1024−D．104【题型9】直线与椭圆距离最短39．（2023上·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上

，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．【题型10】线段和差最值问题40．（2023上·福建福州·高二校联考期末）已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于.41．（2023上·广东佛

山·高二统考期末）已知是双曲线：的右焦点，Р是的左支上一动点，，若周长的最小值为10，则的渐近线方程为.42．已知椭圆22143xyC+=：的左、右焦点分别为1F，2F，M为C上任意一点，N为圆22(5)(4)1Exy−+−=：上任意一点，则1MNMF−的最小值为．【题型11

】焦点弦的最小值43．（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为8，过的直线与该椭圆交于M，N两点，若的最小值为，则周长为.【题型12】焦半径的最小值问题44．（2023·深圳一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值

是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为．45．（2023·温州一模）已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为．1yx=+22xy=−1424221822:13yCx−=1F(0,23)QPC1PFPQ+FC()222103xyaa−=C()0

,23AAPFC1F2F()222210xyabab+=1FMN1852FMN1F2F12MFMF【题型13】利用基本不等式求最值46．函数3(0,1)xyaaa−=的图象恒过定点A，若点A在双曲线221(0,0)xymnmn−=上，则mn

−的最大值为()A．6B．4C．2D．147．已知函数log(1)1(0ayxa=−+，且1)a的图象恒过定点A，若点A在椭圆221xymn+=上，则mn+的最小值为()A．12B．10C．9D．848．设O为坐标原点，直线xa=

与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的两条渐近线分别交于A，B两点，若C的焦距为12，则OAB面积的最大值为()A．72B．36C．18D．9模块三：求离心率与其它值【题型14】结合余弦定理求焦半径49．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知和是双曲线：的左、右焦点

，是上一点，当时，，则的离心率为（）A．B．C．D．50．已知1F，2F为双曲线2222:1(0,0)xyCbab−=的左、右焦点，过2F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，若22212||||2PFPFc−=，则双曲线离心率的值为()A．2B．3C．2D．351．已知椭圆2222:1(0

)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，点P为C上一点，12120FPF=，△12FPF的内切圆与外接圆的半径分别为1r，2r，若216rr=，则C的离心率为()A．32B．154C．1920D．91052．已知F是椭圆2222:1(0)xyEab

ab+=的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若||3||PFQF=，且120PFQ=，则椭圆E的离心率为()1F2FC()222210,0xyabab−=PC1260FPF=5OPb=C3262

52A．74B．12C．34D．32【题型15】余弦定理用2次53．椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过点1F的直线l交椭圆C于A，B两点，若122||||FFAF=，112AFFB=，则椭圆C的离心率为（

）A．57B．22C．53D．1354．已知椭圆22221(0)xyCabab+=：的两个焦点为12FF，，过1F作直线与椭圆相交于,AB两点，若112AFBF=且2BFAB=，则椭圆C上的离心率为（）A．13B．14C．33D．6355．设12FF，分别为椭圆22221(0)

xyCabab+=：的左、右焦点，点AB，均在C上，若122FAFB=，1125FBFA=，则椭圆C的离心率为（）A．22B．53C．64D．105【答案】B56．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，

2F，过点2F作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且22||3||AFBF=．若1||||ABAF=，则双曲线C的离心率为()A．32B．2C．15D．457．已知椭圆C的焦点为1(1,0)F−，2(

1,0)F，过2F的直线与C交于A，B两点．若22||3||AFBF=，12||5||BFBF=，则椭圆C的方程为()A．2212xy+=B．22132xy+=C．22143xy+=D．22154xy+=【题型16】构造齐次化方程58．（2023上·广东湛江·高二统考期末）是

椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．59．双曲线2222:1(0xyCaab−=，0b的左、右焦点分别为1F，2F，P是双曲线C上一点，2PFx⊥轴，123tan4PFF=，则双曲线的离心率为()A．43B．

2C．3D．260．（2023上·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．61．已知点

P为双曲线()2222:10,0xyCabab−=右支上一点，12,FF分别为C的左，右焦点，直线1PF与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若114PFHF=，则该双曲线的离心率为（）A．153B．213C．53D．73【题型17】双焦

点三角形模型：导边62．已知椭圆22221(0)xyabab+=，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线2AF交椭圆于另一点P，若1PFPA=，则椭圆的离心率为63．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直

线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若，则的面积为．P22221(0)xyabab+=AFPFx⊥1tan2PAF=e32512−3312xOy()2222:10,0xyCabab−=12,FFA1AFyB2ABF△C233233321F2F()222:103xyEa

a−=1F22::5:12:13BFABAF=2ABF△64．已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为.65．1F、2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点，过点1F的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点

，若2ABF是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A．2B．3C．5D．766．已知点1F、2F分别为双曲线2222:1(0,0)xyTabab−=的左、右焦点，过2F的直线与双曲线T的左、右两支分别交

于A、B两点，若11||:||:||5:5:4AFBFAB=，则双曲线T的离心率为()A．462B．46C．27D．7【题型18】利用几何性质求离心率67．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与的左支交

于、两点，若，则的离心率为（）A．B．C．D．68．（2023上·福建福州·高二校联考期末）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点22221xyab−=()0,0ab1F2FAB2F,AB1ABAF

⊥222AFFB=()2222:10,0xyCabab−=1F2F12FFCMN12π3MFN=C312+331+2322xa22ybF作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．69．（2023上·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为F，

过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为．【题型20】与向量结合70．过双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点F作圆222xya+=的切

线FM，交y轴于点P，切圆于点M，若1233OMOFOP=+，则双曲线的离心率是()A．5B．3C．2D．271．（2023·深圳二模）设椭圆C：22221xyab+=(0)ab的左、右焦点分别为1F，2F，直线l过点1F.若点2F关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且211212FFFPa=

，则C的离心率为（）A．13B．23C．12D．25【题型21】其它计算求值问题72．若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A．4B．5C．6D．773．已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（）A．3B．4C．5D．674．（

2023上·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点是和的一个交点.若点满足是正三角形且，则.75．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂222xyb+=12222

3632222:1(0)xyCabab+=222xyb+=31F2F()2222:10xyCabab+=PC12PFPF⊥12PFF△b221:19xCy+=2:C22221xyab−=()0,0ab1F2FP1C2CQ1PQF△26QF=b=1F2F22221(0)xy

abab+=2MF直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为．【题型22】求离心率范围76．在椭圆22221(0)xyabab+=中，1F，2F分别是其左右焦点，P是椭圆

上一点，若12||2||PFPF=，则该椭圆离心率的取值范围是()A．1(,1)3B．1[,1)3C．1(0,)3D．1(0,]377．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的两个焦点为12,FF．点,PQ为C上关于坐标原点对

称的两点，且12PQFF=，2PFQ△的面积218SPQ，则C的离心率的取值范围为．78．已知F是椭圆C：()222210xyabab+=的右焦点，A是C的上顶点，直线l：340xy−=与C交于M，N两点．若6MFNF+=，A到l的距离不小于85，则C的离心

率的取值范围是（）A．5,13B．50,3C．30,2D．3,1279．已知12FF、是双曲线22221(0)xyabab−=的左右焦点，以2F为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线

交于A，B两点，若122FFAB，则双曲线的离心率的取值范围是______．80．已知双曲线22:1xyCmm−=+（其中0,0m），若0，则双曲线C离心率的取值范围为（）A．()1,2B

．()2,+C．()1,2D．()2,+1MF14MNFN=