【文档说明】【精准解析】专题43空间向量及其运算-（文理通用）【高考】.docx，共(23)页，1.181 MB，由小赞的店铺上传

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专题43空间向量及其运算最新考纲1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.基础知识融会贯通1．空间向量的有关概念名称概念表示零

向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向

量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得

p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0

≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积

a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋

a22＋a23·b21＋b22＋b23【知识拓展】1．向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP

→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．重点难点突破【题型一】空间向量的线性运算【典型例题】在三棱锥P﹣ABC中，点M为线段BC的中点，，则x+y+z＝（）A．0B．C．1D．﹣1【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，点M为线段BC的中点，则（），

又，所以x＝﹣1，y，所以x+y+z＝0，故选：A．【再练一题】平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1

D1中，M为AC与BD的交点，，，，∴（）．故选：A．思维升华用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于

由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．【题型二】共线定理、共面定理的应用【典型例题】（2，m，0），（1，3，n﹣1），若∥，则m+2n＝（）A．6B

．7C．8D．9【解答】解：∵（2，m，0），（1，3，n﹣1），∥，∴，且n﹣1＝0，解得m＝6，n＝1，∴m+2n＝8．故选：C．【再练一题】已知向量（2，﹣3，1），则下列向量中与平行的是（）A

．（1，1，1）B．（﹣4，6，﹣2）C．（2，﹣3，5）D．（﹣2，﹣3，﹣1）【解答】解：向量（2，﹣3，1），则λ（2λ，﹣2λ，λ）与平行，λ＝﹣2时，λ（﹣4，6，﹣2）．故选：B．思维升华(1)证明空间三点P，A，B共线的方法①PA→＝λPB→(λ∈R)；②对空间任一

点O，OP→＝OA→＋tAB→(t∈R)；③对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法①MP→＝xMA→＋yMB→；②对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→；③对空间任

一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)；④PM→∥AB→(或PA→∥MB→或PB→∥AM→)．【题型三】空间向量数量积的应用【典型例题】已知，若，则x＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2【解答】解：∵，∴（﹣2，2，2），∵，∴（）4

+2x+4＝0，解得x＝﹣4．故选：B．【再练一题】若向量（2，﹣1，2），（﹣4，2，m），且与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为{m|m＜5，且m≠﹣4}．【解答】解：∵向量（2，﹣1，2），（﹣4，2，m），

且与的夹角为钝角，∴8﹣2+2m＜0，且，解得m＜5，且m≠﹣4，∴实数m的取值范围为{m|m＜5，且m≠﹣4}．故答案为：{m|m＜5，且m≠﹣4}．思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的

角，也可以求二面角．(3)可以通过|a|＝a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．基础知识训练1．【四川省阆中中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图，,MN分别是四面体OABC的边,OABC的中点，P是MN的中点，设,

OAa=OBb=，OCc=用,,abc表示OP，则()A．111234OPabc=++B．111244OPabc=++C．111324OPabc=++D．111444OPabc=++【答案】D【解析】依题意()()111244OPOMONOAOBOC=+=++111444abc=++，故选D

.2．如图，在平行六面体ABCD–A′B′C′D′的棱中，与向量'AA模相等的向量有A．0个B．3个C．7个D．9个【答案】C【解析】向量模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量'AA模相等的向量是：''''''',,,,,,AABBBBCCCCDDD

D，共7个.故选C.3．如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点．若ABa=，ADb=，1AAc=，则下列向量中与BM相等的向量是（）A．1122−++abcB．1122++abcC．1122−−+abcD．1122−+abc【答案】A【

解析】1111()2BMBBBMAAADAB=+=+−111()222cbaabc=+−=−++.4．【四川省南充市阆中中学2018-2019学年高二3月月考】已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是()A．(1,1,1)B．(－4,6，－2)C．(2，

－3,5)D．(－2，－3,5)【答案】B【解析】解：若b=（﹣4，6，﹣2），则b=−2（2，﹣3，1）＝﹣2a，所以a∥b．故选：B．5．【上海市金山区2018-2019学年第二学期质量监控高三（二模)】在长方体1111ABC

DABCD−中，下列计算结果一定不等于0的是（）A．11ADBCB．1BDACC．1DCADD．111BDBC【答案】D【解析】如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角

坐标系，设长方体的长宽高分别为a，b，c则A（a，0，0），B（a，b，0），C（0，b，0），D（0，0，0），B1（a，b，c），C1（0，b，c），D1（0，0，c），∴1AD=（﹣a，0，c），1BC=（﹣a，0

，﹣c），1BD=（﹣a，﹣b，c），AC=（﹣a，b，0），DC=（0，b，0），11BC=（﹣a，0，0），∴1AD•1BC=a2﹣c2，当a＝c时，1AD•1BC=0，1BD•AC=a2﹣b2，当a＝b

时，1BD•AC=0，DC•1AD=0，1BD•11BC=a2≠0，故选：D．6．【贵州省铜仁市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知()()2,1,3,1,2,1ab=−=−，若()aab⊥−，则实数的值为（）A．-2B．145C．143−D．2【答案】D【解析】

()()()2,1,3,2,2,12,3ab−=−−−=−−−,()2,1,3,a=−若()aab⊥−，则()()2212330−−+−+−=，解得2=，故选：D7．【安徽省铜陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】对于空间任意一点O

和不共线的三点A，B，C，且有(,,)OPxOAyOBzOCxyzR=++，则2x=，3y=−，2z=是P,A,B,C四点共面的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】解：空间任意一点O和不

共线的三点A，B，C，且(),,OPxOAyOBzOCxyzR=++则P,A,B,C四点共面等价于1xyz++=若2x=，3y=−，2z=，则1xyz++=，所以P,A,B,C四点共面若P,A,B,C四点共面，则1xyz++=

，不能得到2x=，3y=−，2z=所以2x=，3y=−，2z=是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件故选：B.8．【山东省山东师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知向量，且互相垂直，则的值是（）A．-1B．C．D．【答案】D【解析】∵向量（1，1，0），（﹣1，0，2）

，∴k（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），2（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，2），∵k和2互相垂直，∴（k）•（2）＝解得k．故选：D．9．【四川省三台中学实验学校2018-2

019学年高二3月月考】如图在一个60的二面角的棱上有两个点A，B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且1,2ABACBD===，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．5【

答案】C【解析】CAAB⊥，BDAB⊥；0CAAB→→=，0BDAB→→=；又CA与BD分别所在面的二面角为60，0,60ACBD→→=，即0,120CABD→→=CDCAABBD→→→→=++；22222()()()(

)()222CDCAABBDCAABBDCAABABBDCABD→→→→→→→→→→→→→=++=+++++由于1,2ABACBD===，2222()=()()()222CDCAABBDCAABABBDCABD→→→→→→→→→→+++++011400212cos120=++++

+62=−4=CD的长为210．【安徽省蚌埠市2018-2019学年高二上学期期末学业水平检测】已知()a1,2,3=−，()b1,14=−−，，()c1,3,m=−，则“m1=”是“a，b，c构成空间的一个基底”的（）A．充分

不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：①当“m1=”时，()c1,3,1=−，易得：a，b，c不共面，即a，b，c能构成空间的一个基底，即“m1=”是“a，b，c构成空间的一个基底”的充分条件，②当a

，b，c能构成空间的一个基底，则a，b，c不共面，设a，b，c共面，即cxayb=+，解得：12334xyyxxym−=−=−−=，即212xym===，即a，b，c能构成空间的一个基底时，m的取值范围为：m2，即当a，b，c能构成空间的一个基底，不能推出m1

=，即“m1=”是“a，b，c构成空间的一个基底”的不必要条件综合①②得：“m1=”是“a，b，c构成空间的一个基底”的充分不必要条件，故选：A．11．【河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期末

考试】已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使2MGGN=，用向量OA，OB，OC表示向量OG是（）A．2233OGOAOBOC=++B．122233OGOAOBOC=++C．111633OGOAOBOC=++D．

112633OGOAOBOC=++【答案】C【解析】2OGOMMGOMMN3=+=+,()()2121111OMMOOCCNOMOCOBOCOAOBOC3333633=+++=++−=++111OGOAOBOC633=++,故

选：C．12．【湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高二下学期期中联考】若{,,}abc是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）A．,2,3abcB．,,abbcca+++C．,,abcbcc+++D．2,23,39a

bbcac++−【答案】D【解析】对于:,2,3,:,,,:,,AabcBabbccaCabcbcc++++++，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，对于D：2,23,3-9abbcac++满足：()()3-932-23acabbc=++，是

共面向量，不能构成空间的一个基底，故选D13．【江苏省常州“教学研究合作联盟”2018-2019高二下学期期中】设1e,2e是两个不共线的空间向量，若122ABeke=−，1233CBee=+，12CDkee=+，且,,ABD三点共线，则实数k的值为_______．【答

案】4或-1【解析】因为,,ABD三点共线，所以存在实数使得122ABBDABeke==−，()1232BDCDCBkee=−=−−，()232kk=−−=−所以2340kk−−=，解得1k=−或4.14．已知(1,

2,2)a=−，(0,2,4)b=，则a，b夹角的余弦值为________．【答案】2515−.【解析】25cos,15ababab==−.15．【江苏省常州“教学研究合作联盟”2018-2019高二下学期期中考试】如图，在正四面体PABC−中，,

MN分别为,PABC的中点，D是线段MN上一点，且2NDDM=，若PDxPAyPBzPC=++，则xyz++的值为_______．【答案】23【解析】1111111()2323366PDPMMDPAM

NPAPNPMPAPBPC=+=+=+−=++所以11,36xyz===，所以23xyz++=.16．【江苏省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】已知直线l的方向向量为(1,1,2)e=−，平面的法向量为1(,,

1)()2nR=−，若l⊥，则实数的值为_________.【答案】12−【解析】由题意得，l⊥，所以e与n平行，则存在实数m使得=emn，即1(1,1,2)(,,1)2m−=−，可得1212mmm−===−，所以，12=−，2m=−，答案为：12−1

7．【四川省三台中学实验学校2018-2019学年高二3月月考】已知三点(413)(251)(314)ABC−−，，、，，、，，满足ABAC→→⊥，则的值________．【答案】7【解析】由题可得：=(2,6,2)AB→−−−，(1,1,17)AC→=−−−；由于

ABAC→→⊥，则=0ABAC→→，即26(1)340−−+=，解得：7=18．【湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高二下学期期中联考】如图所示,在空间四边形OABC中，,,OAaOBbOCc===,点M

在线段OA上，且2OMMA=，N为BC中点，若=MNxaybzc++，则xyz++=_____________【答案】13【解析】,,,OAaOBbOCc===点M在OA上，且2OMMA=，N为BC的中点22=33OMOAa=()111222ONOBOCbc=+=+112=

223MNONOMbca−=+−211,,322xyz=−==故21113223xyz++=−++=故答案为1319．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一)】如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，点Q在棱1AA上，且

13AQAQ=，1EFGC是面11BCCB内的正方形，且11CE=，P是面11BCCB内的动点，且P到平面11CDDC的距离等于线段PF的长，则线段PQ长度的最小值为__________.【答案】22【解析】

建立如下图所示的空间直角坐标系：过Q作1QMBB⊥,连接MP,则QMMP⊥222216PQQMMPMP=+=+,当MP最小时，PQ最小。(,4,),(1,4.3),(4,4,3),(0,4,),04,04Px

zFmNzxz因为P到平面11CDDC的距离等于线段PF的长，PNPF=222(1)(3)21(3)xxzxz=−+−−=−22222(4)(3)615(3)66MPxzxxx=−+−=−+=−+所以3x=时，2MP有最小值

6，所以2PQ的最小值为22，min()22PQ=.20．【2019年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考】已知向量(1,2,1)a=−，(2,2,0)b=−，则a在b方向上的投影为________．【答案】322−【解析】

依题意a在b方向上的投影为()222463222222abb−−−===−+−.21．【江西省南昌市第十中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】已知(3,1,0),,0,1abk=−=（），a，b的夹角为60，则

k=______．【答案】22【解析】由题意，向量(3,1,0),,0,1abk=−=（），则22,1,3abkabk==+=，又由,ab的夹角为60，所以231cos22610abkabk===+，解

得212k=，所以22k=，又由向量,ab的夹角为60，则s0co60abab=，即300kk，所以实数22k=．22．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高二年级期中质量调查】如图，在直三棱柱1

11ABCABC−中，90BAC=，11ABACAA===，已知G和E分别为11AB和1CC的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若DGEF⊥，则线段DF长度的取值范围为______．【答案】5[,1

)5【解析】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A，1(0,1,)2E，1(,0,1)2G，(,0,0)Fx，(0,,0)Dy，由于GDEF⊥，则0GDEF=，所以210xy+−=

，所以(,,0)(21,)DFxyyy=−=−+−，所以22222215415550DFxyyyy=+=−+=−++，当25y=时，线段DF长度的最小值是15，当0y=时，线段DF长度的最大值是1

，而不包括端点，故0y=不能取；故答案为：5[,1)5．能力提升训练1．【福建省厦门市2018-2019学年高二上学期期末质量检测】如图，在平行六面体中，的中点，设，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据向量的三角形法则得到.故选：

A.2．【北京师大附中2018-2019学年上学期高二年级期末考试】在三棱锥中，A．B．C．D．【答案】C【解析】,∴，故选：C.3．【陕西省西安市西安中学2018-2019学年高二上学期期末考试】已知向量，则与共线的单位向量()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，设

，则，解得，故，只有选项B满足题意。4．【浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试】已知空间向量1，，且，则A．B．C．1D．2【答案】C【解析】由题意知，空间向量1，，且，所以，所以，即，解得.故选：C．5．【广东省潮州市2018-2019学年高二上学期期末教学质量检测】设是空间不共面的

四点，且满足，则A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】B【解析】因为，所以，，故是锐角，同理，可得都是锐角，故是锐角三角形，故选B．6．【陕西省西安市西安中学2018-201

9学年高二上学期期末考试】已知平面内有一个点,平面的一个法向量是，则下列点中，在平面内的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，则，若，则，故A满足题意；若，则，故B不满足题意；若，则，故C不满足题意；

若，则，故D不满足题意。故选A.7．【四川省南充市阆中中学2018-2019学年高二3月月考】已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于________.【答案】(－2,4，－2)【解析】∵a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1

,2，－1)，∴()()()1,2112,1baba=−=−＋－，－，－=(－2,4，－2)故答案为：(－2,4，－2)8．【上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试】已知向量(1,5,5)a=−，(2,1,7)

b=，则||ab+=________【答案】13【解析】由题得(3,4,12)ab+=−rr，∴222||3(4)1213ab+=+−+=rr.故答案为：139．【四川省成都外国语学校2018-2019学年高二3月月考】已知向量()()2,1,3,1,2,1ab=−=

−，若()aab⊥−，则实数的值为______.【答案】2【解析】由题意知，向量()aab⊥−，所以()0aab−=，又由()()()()222222132112311470aabaab−=−=−++−−−++=−=，解得2=。1

0．【江苏省启东中学2018-2019学年高一（创新班)3月月考】已知(3,2,3)a=−−，(1,1,1)bx=−−，且a与b夹角为钝角，则x取值范围是_____．【答案】2x−且53x【解析】因为()3,2,3a=−−，()1,1,1bx=−−，所以()1321324abxx=−−−

−=−−因为a与12,xxR夹角为钝角，所以,cos0ababab=且a与12,xxR不反向共线，又因为a与12,xxR共线时，有323111x−−==−−，即：53x=所以24053abxx=−−

，解得：532xx−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com