【文档说明】浙江省衢州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 含解析【精准解析】.doc，共(18)页，1.222 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年浙江省衢州市高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）1．已知集合M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2＜x

＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜﹣1}D．{x|1＜x＜2}2．抛物线x2＝2y的焦点坐标是（）A．（，0）B．（0，）C．（1，0）D．（0，1）3．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条

件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设角θ的终边经过点P（，﹣），那么2sinθ+cosθ等于（）A．B．C．1D．﹣15．若变量x，y满足，则z＝2x+y的最大值是（）A．2B．4C．5D．66．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．B．C．D．7．函数f（

x）＝，则不等式f（x）＞2的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）C．（5，+∞）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）8．点P，Q分别在圆和椭圆上，则P，Q两点间的最大距离是（）A．

B．C．D．9．长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，BB1＝2，点P在长方体的侧面BCC1B1上运动，AP⊥BD1，则二面角P﹣AD﹣B的平面角正切值的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知等差数列{an}满足：|a1|+|a2|

+⋯+|an|＝|a1﹣|+|a2﹣|+⋯+|an﹣|＝|a1+|+|a2+|+⋯+|an+|＝72，则n的最大值为（）A．18B．16C．12D．8二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分，把正确答案填在答题卷中的横线上）1

1．已知直线l1：3x+4y﹣8＝0和l2：3x﹣ay+2＝0，且l1∥l2，则实数a＝，两直线l1与l2之间的距离为．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，b＝7，B＝120°，则c＝；△ABC的面积为．

13．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为，体积为．14．已知正实数a，b满足：a+b＝1，则ab的最大值为；的

最小值为．15．斜率为的直线l经过双曲线的左焦点F1，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若线段F1B的垂直平分线经过右焦点F2，则双曲线的离心率为．16．平面向量，满足，，向量，的夹角为θ，则cos2θ的最小值为．17．已知a，b∈R，若对于任

意的x∈[﹣1，1]，不等式|x2+3|x﹣a|+b|≤3恒成立，则a2+b2的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数，若f（x）的图象上相

邻的两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求ω的值，并写出f（x）在（0，π）上的一条对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，a＝3，求b+c的最大值．19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，四边形CDEF为矩形，平面CDEF

⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：ED⊥BC；（Ⅱ）若BC＝2AD＝2，AB＝CF＝，求直线BF与平面ABE所成角的正弦值．20．设数列{an}的前n项和为Sn，2an﹣Sn＝1（n∈N°），{bn}是等差数列，b1＝1，公差d≠0，

且b2，b5，b14成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{cn}的前n项和为Tn.若对任意的n∈N*，恒成立，求实数m的取值范围．21．已知椭圆C：的右焦点为，离心率．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ

）过点P（0，1）的直线l交椭圆C于A、B两点，直线l'：x﹣2y＝0与椭圆C在第一象限的交点为Q，若2S△AQB＝tan∠AQB，求直线l的方程．22．已知函数f（x）＝x2﹣ax+b（a，b∈R*）．（Ⅰ）若函数f（x）在

区间[2，3]上不单调，求a的取值范围；（Ⅱ）当a＝3，b＝1时，求函数的值域；（Ⅲ）设a＞c＞0，若关于x的方程|f（x）|＝cx恰有三个不等实根，且函数g（x）＝|f（x）|+cx的最小值为，求的值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40

分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|﹣2＜x

＜﹣1}D．{x|1＜x＜2}解：M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜1}．故选：B．2．抛物线x2＝2y的焦点坐标是（）A．（，0）B．（0，）C．（1，0）D．（0，1）解：根据抛物线的性质可得，x2＝2y的焦点坐标（0，）故选：B．3．已

知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：①因为直线l⊂α，且l⊥β，根据面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．所以由判断定理得α⊥β．∴充分性成立，②若α⊥β，直

线l⊂α，则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交不垂直，∴必要性不成立，所以l⊥β是α⊥β的充分不必要条件．故选：A．4．设角θ的终边经过点P（，﹣），那么2sinθ+cosθ等于（）A．B．C．1D．﹣1解：利用任意角三角函数的定义，si

nθ＝＝﹣，cosθ＝＝，∴2sinθ+cosθ＝2×（﹣）+＝﹣1．故选：D．5．若变量x，y满足，则z＝2x+y的最大值是（）A．2B．4C．5D．6解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y

＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5．故选：C．6．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（）A．B．C．D．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝＝f（x），f（

x）为偶函数，在区间（0，）上，sinx＞0，2﹣x﹣2x＜0，则f（x）＜0，不符合题意；对于B，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝﹣f（x），f（x）为奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝﹣f（x），f（x

）为奇函数，不符合题意；对于D，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝＝f（x），f（x）为偶函数，在区间（0，）上，cosx＞0，则f（x）＞0，符合题意；故选：D．7．函数f（x）＝，则不等式f（x）＞2的解集是（）A

．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）C．（5，+∞）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）解：因为函数f（x）＝，当x≤2时，f（x）＝x2﹣4x﹣3＞2，即x2﹣4x﹣5＞0，解得x＜﹣1或x＞5，故x＜﹣1；当x＞2时，f（x）＝log2（x﹣1）＞

2，即log2（x﹣1）＞log24，解得x＞5，故x＞5．综上所述，不等式f（x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．故选：B．8．点P，Q分别在圆和椭圆上，则P，Q两点间的最大距离是（）A．B．C．D．解：如图，由圆，得圆心坐标为C（0，），半径为．设

Q（x，y）是椭圆上的点，∴|QC|＝＝＝，∵﹣1≤y≤1，∴y＝﹣时，Q与圆心C的距离的最大值为2．∴P，Q两点间的距离的最大值2+＝3．故选：C．9．长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝1，BB1＝2，点P在长方体的侧面BCC1B1上运动，AP⊥BD1，则二面角P﹣AD﹣

B的平面角正切值的取值范围是（）A．B．C．D．解：以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设点P（x，1，z），B（1，1，0），D1（0，0，2），A（1，0，0），所以，因为，则，故点P在平面BB1C1C上的轨迹为由点C到BB1的四等分点（靠近B点）的一条线段，

点P在点C到BB1的四等分点（靠近B点）移动的过程中，二面角P﹣AD﹣B逐渐增大，所以当点P与点C重合时，二面角P﹣AD﹣B最小，此时正切值为0，当点P在BB1的四等分点（靠近B点）时，二面角P﹣AD﹣B

最大，因为AD⊥平面ABB1A1，又AP⊂平面ABB1A1，所以AD⊥AP，又AD⊥AB，所以∠PAB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，则tan∠PAB＝．综上可得，二面角P﹣AD﹣B的平面角正切值的取值范围是．故选：

B．10．已知等差数列{an}满足：|a1|+|a2|+⋯+|an|＝|a1﹣|+|a2﹣|+⋯+|an﹣|＝|a1+|+|a2+|+⋯+|an+|＝72，则n的最大值为（）A．18B．16C．12D．8解：由题意可得：此等差数列

{an}不为常数列，且项数为偶数2k（k∈N*），一定存在k使得ak＞0，ak+1＜0，或ak＜0，ak+1＞0．不妨设a1＜0，d＞0，即ak＜0，ak+1＞0．且ak﹣＜0，ak+≤0，得ak≤﹣．又ak+1﹣≥0，∴d≥

2．∵ak+1﹣a1＝……＝a2k﹣ak＝kd，∴72＝|a1|+|a2|+⋯+|an|＝﹣a1﹣a2﹣……﹣ak+ak+1+……+a2k＝k2d，∴k2≤＝36，∴k≤6，∴n的最大值为12．故选：C．二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，

单空题每小题6分，共36分，把正确答案填在答题卷中的横线上）11．已知直线l1：3x+4y﹣8＝0和l2：3x﹣ay+2＝0，且l1∥l2，则实数a＝﹣4，两直线l1与l2之间的距离为2．解：∵直线l1：3x+

4y﹣8＝0和l2：3x﹣ay+2＝0，且l1∥l2，∴＝≠，求得a＝﹣4．两直线l1与l2之间的距离为＝2，故答案为：﹣4；2．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，b＝7，B＝120°，则c＝5；△AB

C的面积为．解：由余弦定理知：b2＝a2+c2﹣2accosB，即72＝32+c2﹣2×3c•cos120°＝9+c2+3c，即（c﹣5）（c+8）＝0，故c＝5或c＝﹣8（舍去）．所以S△ABC＝acs

in120°＝×3×5×＝．故答案是：5；．13．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为，体积为2．解：根据三视图转换为几何体的直观图：该几何体为底面腰长为，的等腰直角三角

形，高为2的直三棱柱；如图所示：所以；．故答案为：6+4；2．14．已知正实数a，b满足：a+b＝1，则ab的最大值为；的最小值为2．解：∵正实数a，b满足：a+b＝1，∴1＝a+b≥2，∴ab≤，当且仅当“a＝b＝”时，“＝”成立，∴ab的最大

值为；∵正实数a，b满足：a+b＝1，∴a+1+b＝2，∴＝＝≥＝2，当且仅当a+1＝b＝1，即时，“＝”成立．∴的最小值为2．故答案为：；2．15．斜率为的直线l经过双曲线的左焦点F1，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若线段F1B的垂直平分线经过右焦点F2，则双曲线的离心率为

3．解：∵线段F1B的垂直平分线经过右焦点F2，∴|BF2|＝|F1F2|＝2c，其中c为双曲线的半焦距，由双曲线的定义知，|BF1|﹣|BF2|＝2a，∴|BF1|＝2a+2c＝2（a+c），设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＝，∴cos

θ＝，∴cosθ＝＝＝，∴c＝3a，即离心率e＝＝3．故答案为：3．16．平面向量，满足，，向量，的夹角为θ，则cos2θ的最小值为．解：由，，得，整理得，由△＝64cos2θ+64×（4cos2θ﹣1）≥0，解得co

s2θ≥．∴cos2θ的最小值为．故答案为：．17．已知a，b∈R，若对于任意的x∈[﹣1，1]，不等式|x2+3|x﹣a|+b|≤3恒成立，则a2+b2的取值范围为[1，+∞）．解：依题意，对任意的x∈[﹣1，1]，不等式恒成立，即当x∈[﹣1，1]时，函数y＝|x﹣a|与函数的纵向距

离恒小于等于1，而函数y＝|x﹣a|是开口向上且对称轴为x＝a的一个V型函数，函数是开口向下且对称轴为x＝0的二次函数，则只需，即，作出上述约束条件的可行域如右图阴影部分所示，由图可知，当（a，b）取（0，﹣1）时，a2+b2的值最小，且最小为1，

则a2+b2的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数，若f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求ω的值，并写出f（x）在（0，π）上的一

条对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，a＝3，求b+c的最大值．解：．（1）若f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为．∴，∴ω＝2，则对，由，k∈Z，得对称轴为，k∈Z，∵x∈（0，π），∴（任选一个）．（2）∵，∴，k∈Z，得A＝

kπ+，k∈Z，∵0＜A＜π，∴k＝0时，．∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣9＝bc，、∵，∴b+c≤6，∴b+c的最大值为6．19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，四边形CDEF为矩形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：ED⊥BC；（Ⅱ）若BC＝2AD

＝2，AB＝CF＝，求直线BF与平面ABE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，又∵矩形CDEF，∴ED⊥CD，∴ED⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．（2）解：取BC中点H，以D为坐

标原点建立空间直角坐标系D﹣AHE．A（1，0，0），，，，，，，设平面ABE的法向量为，则，令z＝1，则，∴，即直线BF与平面ABE所成角的正弦值为．20．设数列{an}的前n项和为Sn，2an﹣Sn＝1（n∈N°），{bn}是等差数列，b1＝1，公差d≠0，且b2，b5

，b14成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{cn}的前n项和为Tn.若对任意的n∈N*，恒成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）n＝1时a1＝1，n≥2时，∴．由，∵d≠0，

∴d＝2，所以bn＝2n﹣1，∴，bn＝2n﹣1．（Ⅱ），，，令，，∴f（1）＞f（2）＜f（3）＜f（4）＜⋯，∴，∴实数m的取值范围为．21．已知椭圆C：的右焦点为，离心率．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（0，1）的直线l交椭圆C于A、B两点，直线l'：x﹣2y＝0与

椭圆C在第一象限的交点为Q，若2S△AQB＝tan∠AQB，求直线l的方程．解：（1）由题意，，得到，，所以椭圆方程为．（2）由由，直线l'：x﹣2y＝0与椭圆C在第一象限的交点为Q，由2S△AQB＝tan∠AQB得|QA|⋅|QB|

⋅sin∠AQB＝tan∠AQB，即|QA|⋅|QB|⋅cos∠AQB＝1，可得，①当l垂直x轴时，，不成立．②当l不垂直x轴时，设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+1，联立，消去y得：（1+2k2）x2+4kx﹣4＝0，则，，代入可得：（x1﹣2，y1﹣1）⋅（x2﹣

2，y2﹣1）＝1，代入y1＝kx1+1和y2＝kx2+1得：，化简得解得，经检验满足题意，综上所述，直线l的方程为．22．已知函数f（x）＝x2﹣ax+b（a，b∈R*）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[2，3]上不单调，求a的取值范围；（Ⅱ）当a＝3

，b＝1时，求函数的值域；（Ⅲ）设a＞c＞0，若关于x的方程|f（x）|＝cx恰有三个不等实根，且函数g（x）＝|f（x）|+cx的最小值为，求的值．解：（Ⅰ）函数f（x）的对称轴为，∵函数f（x）在区间[2，3]上不单调，∴，∴4＜a＜6．（Ⅱ）当a＝3

，b＝1时，f（x）＝x2﹣3x+1，g（x）的定义域为，当时，＝，∵在上单调递增，且h（x）＜0，∴，∴；当时，g（x）在上单调递增，∴；∴g（x）的值域为．（Ⅲ）由题意，y＝x2﹣ax+b有两个正的零点m，n（m＜n），且y＝﹣x2+

ax﹣b与直线y＝cx相切，即x2+（c﹣a）x+b＝0中△＝0，故，g（x）＝|x2﹣ax+b|+cx可以看成是t（x）＝|x2﹣ax+b|与h（x）＝﹣cx图象的纵向距离，由h（x）＝﹣cx与y＝x

2﹣ax+b相切可知，当x＝m时，纵向距离最小，即g（x）最小，即，而由m2﹣am+b＝0，可知，∵m，n（m＜n）是方程的两根，∴由根与系数的关系可得m+n＝a，，即，，∴，即，则，又a＞c，故．