【文档说明】吉林省长春市2023届高三三模数学试题 含解析.docx，共(28)页，2.475 MB，由小赞的店铺上传

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长春市2023届高三质量监测（三）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知aR，i为虚数单位，若3aii−+为实数，则a＝（）A.

-3B.13C.3D.13−【答案】A【解析】【分析】先进行分母实数化，化简3aii−+，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.【详解】因为()(3)31(3)31(3)3(3)(3)101010aiaiiaaiaaiiii−−−−−+−+===−++−为实

数，则(3)010a+−=，即30a+=，所以3a=−.故选：A.2.如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若21,,4Axxnnn==+N，2,3,4,5,6,7B

=，则AB=（）A.2,4,6,1B.2,4,6,9C.2,3,4,5,6,7D.1,2,4,6,9【答案】D【解析】【分析】分析可知()(),ABxxABxAB=，求出集合A、AB、AB，即可得集合AB.【详解】由韦恩

图可知，()(),ABxxABxAB=，因为21,,41,3,5,7,9Axxnnn==+=N，2,3,4,5,6,7B=，则1,2,3,4,5,6,7,9AB=，3,5,7AB=，因此，1,2,4,6,9AB=.故选：D.3.已知随机变量()22,

XN，且()40.84PX=，则()04PX=≤（）A.0.84B.0.68C.0.34D.0.16【答案】B【解析】【分析】利用正态分布的对称性求概率即可.【详解】由题设2=，而(04)(02)(24)PXPXPX=+，又(02)(24)(4)(2)0.3

4PXPXPXPX==−=，所以(04)0.68PX=.故选：B4.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，异面直线1AD与1DC所成的角为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C【解析】【分析】将1DC平移到与1AD相交，求

所成的角，即异面直线所成的角.【详解】正方体中，11//ABDC，所以1AD与1AB所成的角即异面直线1AD与1DC所成的角，因为1ABD为正三角形，所以1AD与1AB所成的角为π3，所以异面直线1AD与1DC所成的角为π3.故选：C.5.已知等比数列na的公比为q（0q

且1q），若614388aaaa+=+，则q的值为（）A.14B.12C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根据等比数列通项的运算性质可求得公比的值.【详解】已知等比数列na的公比为q（0q且1q），若614388a

aaa+=+，则643188aaaa−=−，所以()33136431318qaaaaqaaaa−−===−−，解得2q=.故选：C.6.已知函数()π2cos13fxx=−+，（0）的图象在区间()0,2π内至多

存在3条对称轴，则的取值范围是（）A.50,3B.25,33C.57,36D.5,3+【答案】A【解析】【分析】根据()0,2πx，0，得到πππ,2π

333x−−−，数形结合得到ππ2π,3π33−−，求出答案.【详解】因为()0,2πx，0，所以πππ,2π333x−−−，画出2cos1yz=+的图象，要想图象在区间()0,2π内至多存在3条对称

轴，则ππ2π,3π33−−，解得50,3.故选：A7.已知对于每一对正实数x，y，函数()fx满足：()()()1fxfyfxyxy+=+−−，若()11f=，则满足()()Nfnnn+=的n的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】

A【解析】【分析】利用递推式判断()fx在*Nx上的符号及单调性，并得到()222(1)2fxfxx+=++，即可判断n的个数.【详解】令1210xxxx+==且均属于*N，则()()()21211fxffxx+=−−，所以()()12220fx

fxx−=+，故()()2122(1)2fxfxfxx+==++，又(1)1f=，故()0fx在*Nx上恒成立，且()fx在*Nx上单调递增，所以，满足()()Nfnnn+=仅有()11f=，即n仅有1个.故

选：A8.已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆2216xy+=上的动点，定点()3,2A−，现将坐标平面沿y轴折成2π3的二面角，使点A翻折至A，则,AP两点间距离的取值范围是（）A.13,35B.413,7−

C.413,35−D.13,7【答案】B【解析】【分析】当P与A位于同一半圆时，可知当,,OAP三点共线时取得最小值，当P位于()0,4M−时，取得最大值；当P与A分别在两个半平面中时，作出二面角的平面角及A在平面xOy上的投影点C，设()4cos,4sin

P，利用勾股定理和三角恒等变换知识，结合三角函数值域求法可求得PA所处的范围；综合两种情况可得结果.【详解】由圆的方程知：圆的半径为4；当P与A位于同一半圆时，作出该半圆所在的平面图如下图所示，()22432413PAOPOA−=−−+=−（当且仅当,,OAP三点共线时取等

号），当P位于图中P处时，PA取得最小值413−；又当P位于图中()0,4M−处时，PA取得最大值()()2232435AM=−++=；当P与A分别两个半平面中时，作AC⊥平面xOy，垂足为C，作AEy⊥轴，垂足为E，连接CE

，则,,ACE三点共线，设F为延长线上的点，则AEF即为翻折后的二面角的平面角，2π3AEF=，π3AEA=，3AE=，33sin2ACAEAEA==，3cos2CEAEAEA==，3,22C−

；P为圆2216xy+=右半圆上的点，可设()4cos,4sinP，ππ,22−，()2223894cos4sin216sin12cos24PC=++−=−+，()()2222944sin3cos2920sinPAPC

AC=+=−−=−+（其中3tan4=−，在π,02−），ππ,2+−，当π2+=−，即()sin1+=−时，2max49PA=，则max7PA=；又()sin1+，

229209PA−=，即3PA；综上所述：,AP两点间的距离的取值范围为413,7−.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查空间中两点间距离的取值范围的求解问题，解题关键是能够分别讨论两点位于同一半平面和不同两个半平面中两种情况；尤其当两点位于不同半平面中时，能够结

合二面角平面角的定义和投影点，利用勾股定理表示出所求距离.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.在ABC中，若tansin2ABC+=，则下

列论断正确的是（）A.tan1tanAB=B.sinsin2AB+≤C.22sincos1AB+=D.222coscossinABC+=【答案】BD【解析】【分析】由tansin2ABC+=化简得到90C=，再逐项判断.【详解】解：由cos12t

ansintan2sincos22222tansin22CABCCCCCC+=−===，因为cos02C，所以2212sin12sin0cos09022CCCC=−===，所以1tantan2tanBAA=−=，2tantanta

nAAB=不一定为1，A错；因为()sinsinsincos2sin45ABAAA+=+=+，0904545135AA+，∴()()2sin45112sin4522AA++，从而有0sinsin2AB+，所以B正确，又coscossin2B

AA=−=，所以222sincos2sinABA+=也不一定等于1，C错；而22222coscoscossin1sinABAAC+=+==，D正确；故选：BD10.阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为()122131112

kkkQPQQPQQPQQPQ−−++++，其中()1,2,,,3iQikk=≥为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面12QPQ，平面23QPQ，…，平面1kkQPQ−和平面1kQPQ为多面体M的所有以P为

公共点的面．”解答问题：已知在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为菱形，1AAAB=，则下列结论正确的是（）A.直四棱柱1111ABCDABCD−在其各顶点处的离散曲率都相等B.若ACBD=，则直四棱柱1111ABCDABCD−在顶点A处的离散曲

率为14C.若四面体1AABD在点1A处的离散曲率为712，则1AC⊥平面1ABDD.若直四棱柱1111ABCDABCD−在顶点A处的离散曲率为13，则1BC与平面1ACC的夹角为π4【答案】BC【解析】【分析】

根据题意求出线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理及性质即可得出答案.【详解】对于A，当直四棱柱1111ABCDABCD−的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱1111ABCDABCD−的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处

的离散曲率不相等，故A错误；对于B，若ACBD=，则菱形ABCD为正方形，因为1AA⊥平面ABCD，,ABAD平面ABCD，所以1AAAB⊥，1AAAD⊥，所以直四棱柱1111ABCDABCD−在顶点A处的离散曲率为1πππ112π2224−++=，故B正确；对于C，在四面

体1AABD中，1AAAB⊥，1AAAD⊥，1AAABAD==，所以11π4AABAAD==，所以四面体1AABD在点1A处的离散曲率为11ππ712π4412BAD−++=，解得1π3BAD=，易知112

ABADAB==，所以2BDAB=，所以ABAD⊥，所以直四棱柱1111ABCDABCD−为正方体，因为11CD⊥平面11ADDA，1AD平面11ADDA，所以111CDAD⊥，又111111111,,,ADADADCDDADCD⊥=平面11ACD，所以1AD⊥平面11ACD，又1AC平面

11ACD，所以11ACAD⊥，同理1BDAC⊥，又11,,ADBDDADBD=平面1ABD，所以1AC⊥平面1ABD，故C正确，对于D,直四棱柱1111ABCDABCD−在顶点A处的离散曲率为11

12223DAB−++=,则3DAB=,即DAB是等边三角形,设ACBDO=,则1BCO即为1BC与平面1ACC的所成角,112sin2ABBCOAB==24,故D错误;故选：BC.【点睛】关键

点睛：本题解决的关键是充分理解离散曲率的定义，从而结合立体几何的知识求解即可．11.定义在R上的函数()432241fxxxxax=++++，则（）A.存在唯一实数a，使函数()fx图象关于直线12x=−对称B.存在实数a，使函数()fx为单调函数C.任意实数a，函数()fx都存在最小值D.任意

实数a，函数()fx都存在两条过原点的切线【答案】ACD【解析】【分析】根据对称性先用特殊值求得a的值，再判断对称性是否对所以自变量均成立即可判断A；根据导函数的性质即可判断B，C；根据导数的几何意义求解切线方程，代入原点判断方程的实根个数即可判断D.【详解】对于A，若函数()

fx图象关于直线12x=−对称，则()()1fxfx=−−恒成立所以()()01ff=−且()()12ff=−，所以148172aaa=−+=−，解得3a=，且当3a=时，()()()2432224311311fxxxxx

xxxx=++++=++++，则()()()()()()()()22221111311111311fxxxxxxxxxfx−−=−−−−++−−−−++=++++=，所以存在唯一实数a，使函数()fx图象关于直线12x=−对称，故A正确；对于B，()32468fxxxxa=+++，xR，

则()Rfx，所以函数()fx不是单调函数，故B不正确；对于C，由于()32468fxxxxa=+++，又令()()32468hxfxxxxa==+++，则()2211212812502hxxxx=++=++恒成立，所以()fx在xR上单调递增，且()(),0;,0

xfxxfx→−→+，故()fx存在唯一的零点0x，使得()00fx=，所以当()0,xx−时，()0fx，函数()fx单调递减，当()0,xx+时，()0fx¢>，函数()fx单调递增，

故对任意实数a，函数()fx都存在最小值，故C正确；对于D，由于()32468fxxxxa=+++，设曲线()yfx=上的切点坐标为()()11,xfx，则()321111468kfxxxxa==+++，()43211111241fxx

xxax=++++所以切线方程为()()()4323211111111241468yxxxaxxxxaxx−++++=+++−，当切线过原点时，有()()()4323211111111241468xxxaxxxxax−+++

+=+++−整理得43211134410xxx++−=，方程在实数范围内有两个根，故D正确.故选：ACD.12.已知直线:lykxm=+与椭圆22:134xyC+=交于A、B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是（）A.当1m=时，kR，使得3FAF

B+=B.当1m=时，kR，使2FAFB+C.当1k=时，mR，使得52FAFB+=D.当1k=时，mR，65FAFB+【答案】BC【解析】【分析】对于A，将直线l的方程与椭圆方程联立，求出AB的取值范围，可求得FAFB+的取值范围，可

判断A选项；求出线段AB中点的轨迹方程，可求得FAFB+的取值范围，可判断B选项；将直线l的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式结合0可求得FAFB+的取值范围，可判断C选项；求出线段AB中点的轨迹方程，可求得FAFB+的最小值，可判断D选项.【详解】在椭圆C中，2a=，3b=，221

cab=−=，由题意可得()0,1F−，上焦点记为()01F,，对于A选项，设点()11,Axy、()22,Bxy，联立2214312ykxxy=++=可得()2234690kxkx++−=，()()22236363414410kkk=++=+，由韦达定理可得122634kxxk+=

−+，122934xxk=−+，()()22221212222121636141343434kkABkxxxxkkkk+=++−=+−+=+++)2443,434k=−+，所以，(484,5FAFBaABAB+=−=−，A错；对于B选项，设线段AB的中点为()

,Mxy，由题意可得22112222134134xyxy+=+=，两式作差可得22221212034xxyy−−+=，因为直线AB的斜率存在，则12xx，所以，121212122423yyyyykxxxxx−+==−−+，整理可得43kyx=−

，又因为1ykx=+，消去k可得224330xyy+−=，其中0y，所以，()()()()11221212,1,1,22,22FAFBxyxyxxyyxy+=+++=+++=+，所以，()222222441448433484FAFBxyxyyyyyy

+=++=+++=−+++21142yy=++，B对；对于C选项，当1k=时，直线l的方程为yxm=+，即xym=−，联立224312xymxy=−+=可得22784120ymym−+−=，()()22264284121

62130mmm=−−=−，解得77m−，由韦达定理可得1287myy+=，2124127myy−=，()222221111111113132124224422yyyyFAxyyyy=++=−+++=++=+=+

，同理222yFB=+，所以，1244747444,42777yymFAFB++=+=+−+，因为547474,4277−+，所以，当1k=时，mR，使得52FAFB+=，C对；对于D选项，设线段AB的中点为(),M

xy，由B选项可知，121212122423yyyyyxxxxx−+==−−+，即43yx=−，即430xy+=，由22434312yxxy=−+=可得377x=，故点M的横坐标的取值范围是373777−

，，而点F到直线430xy+=的距离为2233543d==+，由430314xyyx+==−可得123737,2577x=−，当且仅当点1216,2525M−时，FAFB+取最小值65，D错.故选：BC.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知

的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.若1cos42

−=，则sin2=__________.【答案】12−【解析】【分析】先化简sin2cos(2)cos2()24=−=−22cos()14=−−，再代值计算即可【详解】解：因为1cos42−=，所以sin2cos(2)cos2()24=−=−

22cos()14=−−2112122=−=−，故答案为：12−14.已知单位向量1e，2e的夹角为60°，若12axeye=+，则记作,axy=．已知向量1,2m=，1,1n=−，则mn+=___________．【答案】7【解析】【分析】由数量积公式

计算,mn，mn，再由模长公式计算mn+.【详解】因为()22222221212122axeyexeyexyeexyxy=+=++=++所以1427,1111mn=++==+−=，()()221212112211221222mneeee

eeee=+−=+−=+−=−()22227117mnmnmnmn+=+=++=+−=故答案为：715.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，

桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为_________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标．．．为___________.

【答案】①.()236145xy−=−②.14013【解析】【分析】根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为22xpy=−，溢流孔ABC所在方程为()21:142(0)Cxpyp−=−，运用待定系数法，求得p，p，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求.【详解】设桥拱所在抛物线

方程22xpy=−，由图可知，曲线经过()20,5−，代入方程()22025p=−−，解得：40p=，所以桥拱所在抛物线方程280xy=−；四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线()21:142Cxpy−=−，由图抛物线1C经过点()20,5A−，则()()2201425p

−=−−，解得185p=，所以()2136:145Cxy−=−，点A即桥拱所在抛物线280xy=−与()2136:145Cxy−=−的交点坐标，设(),,714Axyx由()228036145714xyxyx=−

−=−，解得：14013x=所以点A的横坐标为14013.故答案为：()236145xy−=−；14013【点睛】关键点点睛：此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解，根据待定系数法，及平移抛物线后方程的形式即可.16

.将圆分成()*2,nnnN个扇形，每个扇形用红、黄、蓝、橙四色之一涂色，要求相邻扇形不同色，设这n个扇形的涂色方法为na种，则na与1na−的递推关系是______．【答案】1143nnnaa−−

=−（3n）【解析】【分析】假设第1个扇形与第n个扇形不相邻，对这两个扇形颜色相同和不同进行分类计算即可.【详解】如上图所示，由题意，将圆分成()*2,nnnN个扇形，涂色方法有na种，若假设第1个扇形

与第n个扇形不相邻，如下图所示：则为第1个扇形涂色，有4种方法，为第2个扇形涂色，有3种方法，为第3个扇形涂色，有3种方法，…，为第n个扇形涂色，有3种方法，故由分步乘法计数原理，涂色方法共有143n−种，其中，包括了第1个扇形与第n个扇形颜色不同方法

na种，与第1个扇形与第n个扇形颜色相同的方法x种，即143nnax−=+，而第1个扇形与第n个扇形颜色相同的涂色方法x种，可以看作将第1个扇形与第n个扇形合并为一个扇形，如下图所示：的即n1−个扇形的涂色方法1nax−=（为使1na−满足题意，需使1

2n−，即3n），综上所述，1143nnnaa−−=+（3n），∴na与1na−的递推关系是1143nnnaa−−=−（3n）.故答案为：1143nnnaa−−=−（3n）.【点睛】本题解题的关键，是将环形涂色问题断开，转换为带

形涂色问题进行解决.四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.从下列条件中选择一个条件补充到题目中：①()22234Sbca=+−，其中S为ABC的面积，②sinsinsinabcbCAB+−=−，③3sincoscbCCa++=．在ABC

中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，_______________．（1）求角A；（2）若D为边AB的中点，23CD=，求bc+的最大值．【答案】（1）π3A=（2）47【解析】【分析】（1）选①，利用余弦定理可得2222cosbcabcA

+−=，再结合面积公式1sin2SbcA=，可得tan3A=，进而求解；选②，由sinsinsinabcbCAB+−=−结合正弦定理可得222bcabc+−=，再结合余弦定理可得1cos2A=，进而求解；选③，由3s

incoscbCCa++=结合正弦定理可得3sinsincossinsinsinCACACB+=+，进而得到π2sin16A−=，进而求解.（2）在ACD中，设ADC=，由正弦定理可得4sinAC=，2π4sin3AD

=−，进而得到()8sin43cos47sinbc+=+=+，进而求解.【小问1详解】选①，由余弦定理得：2222cosbcabcA+−=，又1sin2SbcA=，所以13sin2cos24bcAbcA=，得tan3A=，因为0πA，所以π3A=．选②，因为

sinsinsinabcbCAB+−=−，由正弦定理得：abcbcab+−=−，整理得：222bcabc+−=，由余弦定理得：2221cos22bcaAbc+−==，因为0πA，所以π3A=．选③，因

为3sincoscbCCa++=，由正弦定理得：sinsin3sincossinCBCCA++=，即3sinsincossinsinsinCACACB+=+，又因πACB+=−，所以()sinsinsincossincosBACACCA=+=+，所以3sinsin

sincossinCACAC−=，因为0πC，所以sin0C，所以π3sincos2sin16AAA−=−=，因为0πA，所以πππ5666A−−，为所以ππ66A−=，即π3A=．【小问2详解】在ACD中，设ADC=，由正

弦定理得2342πsin3sin32ACAD===−，所以4sinAC=，2π4sin3AD=−，∴()2π4sin8sin8sin43cos47sin473bc+=+−=+=+，其中3tan2=，当π2+=时取等号

，所以bc+的最大值是47．18.如图，平面五边形ABCDE中，△ADE是边长为2的等边三角形，//CDAE，CDAE=，2πBADABC==，将△ADE沿AD翻折，使点E翻折到点P．（1）证明：PCBC⊥；（2）若3PC=，求直线P

B与平面PCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）21070【解析】【分析】（1）在平面图形中取AD中点O，连接OC，OE，由等边三角形性质、三角形全等有OPAD⊥、OCAD⊥，再应用线面垂直的判定、性质证结论；（2）首先证,,ADOMOC两两垂直

，再构建空间直角坐标系并确定相关点坐标，求直线PB的方向向量、平面PCD的法向量，进而求线面角的正弦值.【小问1详解】在平面图形中取AD中点O，连接OC，OE，∵△ADE是边长为2的等边三角形，∴OEAD⊥，1OD=，故翻折后有O

PAD⊥，又//CDAE，则π3CDODAE==，2CDAE==，OAOD=，所以△AOE△COD，即π2AOEDOC==，则OCAD⊥，由OPOCO=，OP、OC平面POC，故AD⊥平面POC，∵2πBADABC==，则//ADBC，∴BC⊥平面POC，又PC

平面POC，∴BCPC⊥．【小问2详解】在面POC内作OMOC⊥，交PC于M，由AD⊥平面POC，,OMOC平面POC，所以,ADOMADOC⊥⊥，故,,ADOMOC两两垂直，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OM为z轴

，建立空间直角坐标系，由（1）得，四边形OABC为矩形，在△POC中3OCOP==，3PC=，由余弦定理得1cos2POC=−，故2π3POC=，所以()1,0,0A，()1,0,0D−，()1,3,0B，()0,3

,0C，330,,22P−，所以3331,,22PB=−，3330,,22PC=−，()1,3,0DC=，设平面PCD的一个法向量(),,nxyz=，则33302230nPCy

znDCxy=−==+=，令1y=，则()3,1,3n=−，设直线PB与平面PCD所成角为，则3333321022sin70279131344nPBnPB−+−===++++．19.在正项数列na中，112a=，()222

2212122nnnnaan−−=+≥．（1）求na；（2）证明：111122niiiia+=+−．【答案】（1）2nnna=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由()2222212122nnnnaan−−=+≥，可得22

2221221nnnnaa−−−=，令222nnnba=，则()112nnbbn−−=，可得nb为首项为1，公差为1的等差数列，可得()222111nnann=+−=，进而求解；（2）根据裂项相消求和，进而即可得证.【小问1详解】由()2

222212122nnnnaan−−=+≥，得222221221nnnnaa−−−=，令222nnnba=，则()112nnbbn−−=，且21141ba==，∴nb为首项为1，公差为1等差数

列，∴()222111nnann=+−=，又0na，的∴2nnna=．【小问2详解】证明：12231111122311112222222222niinnniinnna+++=+++−=−+−++−=−

．20.国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为23、答对第二题的概率为12，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一

题；②若第()1,2,3,,1iin=−号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第1i+号同学继继续比赛；③若第()1,2,3,,1iin=−号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结枣；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第1i+号同学继续答第二

题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束．（1）令随机变量nX表示n名同学在第nX轮比赛结束，当3n=时，求随机变量3X的分布列；（2）若把比赛规则③改为：

若第()1,2,3,,1iin=−号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第1i+号同学重新从第一题开始作答．令随机变量nY表示n名挑战者在第nY轮比赛结束．①求随机变量()*N,2nYnn的分布列；

②证明：()nEY单调递增，且小于3．【答案】（1）分布列见解析（2）①分布列见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）由题设有，3X可取值为1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值对应的概率，即可得分布列；（2）①应用二项分布概率公式求nY取值1，2，…，n对应概率，

即可得分布列；②由①分布列得()1111212333knnnkEYkn−−−==+（*Nn，2n），定义法判断()nEY单调性，累加法、等比数列前n项和公式求()nEY通项公式，即

可证结论.【小问1详解】由题设，3X可取值为1，2，3，()32111323PX===，()32111215232233218PX==+=，()31573131818PX==−−=，因此3X的分布列为3X123P13518718【小问2详解】①nY可取值为1，2，…

，n，每位同学两题都答对的概率为211323p==，则答题失败的概率均为：2121323−=，所以()*11,NnYkknk=−时，()12133knPYk−==；当nYn=时()123nnPYn−==，故nY的分布列为：nY123…n1−nP13

213322133…22133n−123n−②由①知：()1111212333knnnkEYkn−−−==+（*Nn，2n）．()()()111212221033333nnnnnnEYEYnnn−−+

−=++−=，故()nEY单调递增；由上得()253EY=，故()()()()()()()()232431nnnEYEYEYEYEYEYEYEY−=+−+−++−，∴()222311

22133522252323233333313nnnnEY−−−−=++++=+=−−，故()()()()()23

453nEYEYEYEYEY．21.已知双曲线C上的所有点构成集合()()22,10,0Pxyaxbyab=−=和集合()()22,010,0Qxyaxbyab=−，坐标平面内任意点

()00,Nxy，直线00:1laxxbyy−=称为点N关于双曲线C的“相关直线”．（1）若NP，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：NQ；（3）若点NQ，点M在直线l上，直

线MN交双曲线C于A，B，求证：MAMBANBN=．【答案】（1）直线l与双曲线C相切，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）联立220011axbyaxxbyy−=−=消去y，根据NP，得到220020axaxxax−+−=，

由根的判别式判断直线l与双曲线C相切；（2）结合（1）中的方程，根据0得到22001axby−，结合202220010byabyax−−−得到220001axby−，证明出()00,NxyQ；（3）设出,,MAN

的坐标及MAAN=，MBBN=，得到、是()222220011110axbytaxby−−+−−=的两根，求出0+=，证明出结论.【小问1详解】直线l与双曲线C相切．理由如下：联立方程组220011axbyaxxbyy−=−=，∴()222220000210abyaxxaxx

by−+−−=①，∵NP，∴22001axby−=，即22001axby−=，代入①得，220020axaxxax−+−=，∴222200440axax=−=，∴直线l与双曲线C相切．【小问2详解】由（1）知()222220000210abyaxxaxxby−+−−=，∵直线l

与双曲线C的一支有2个交点，则2220020222000Δ010abyaxbyabyax−−−−，∴()()()22222222000000044141axabyaxbyabybyax=−−−−=+−，∴22001axby−，∵()220022222

0000110bybyabyaxaaxby−−+=−−，∴220001axby−，∴()00,NxyQ．【小问3详解】设()11,Mxy，(),Axy，设MAAN=，MBBN=，∵()00,Nxyl，∴1−，则101011xxx

yyy+=++=+，代入双曲线22:1Caxby−=，利用M在l上，即01011axxbyy−=，整理得()222220011110axbyaxby−−+−−=，同理得关于的方程()222220011110axbyaxby−−+−−=

．即、是()222220011110axbytaxby−−+−−=的两根，∴0+=，∴MAMBANBN=．【点睛】方法点睛：判断直线与圆锥曲线位置关系，通常处理方法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，化为关于x或y的一元二次方程，利用根的判别

式的正负或等于0进行判断的22.已知函数()2esin1xfxax−=−+，()fx是()fx的导函数，且()00f=．（1）求实数a的值，并证明函数()fx在0x=处取得极值；（2）证明()fx在每一个区间()π2

π,2π2kkk+N都有唯一零点．【答案】（1）12a=−，证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，根据()00f=求出a的值，再通过计算导函数的正负情况说明函数的单调性，计算出极值点.（2）由()()esin

1ee1sin1xxxfxxx−−=−−+=−−，令()()e1sin1xhxx=−−，利用导数分析可得()hx在区间()π2π,2π2kkk+N单调递减，由()2π2πe10khk=−，π2π102hk+=−，即可得证.【小问1详解】∵()2esin1

xfxax−=−+，∴()2ecosxfxax−=−−．∵()00f=，∴()0210fa=−−=，即12a=−．∴()esin1xfxx−=−−+，()()ecose1ecosxxxfxxx−−=−=−，当0x时，e1cosxx−，∴()0fx¢>，当π0

4x时，令()1ecosxgxx=−，∵()()esincos0xgxxx=−，即()gx在π0,4单调递减，∴()()00gxg=，∴()0fx，所以函数()fx在0x=处取得极大值.【小问2详解】

由()()esin1ee1sin1xxxfxxx−−=−−+=−−，令()()e1sin1xhxx=−−，则()()πe1sincose12sin4xxhxxxx=−−=−+，当()π2π,2π2x

kkk+N时，π2sin42x+，∴()0hx，∴()hx在区间()π2π,2π2kkk+N单调递减，又∵()2π2πe10khk=−，π2π102hk+=−

，∴()hx在每一个区间()π2π,2π2kkk+N有唯一零点，故()fx在每一个区间()π2π,2π2kkk+N有唯一零点．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com