【文档说明】高考数学培优专题55讲：第18讲统计与统计案例【高考】.doc，共(17)页，1.174 MB，由小赞的店铺上传

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1第十八讲统计与统计案例A组一、选择题1．某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于

女生被抽到的概率，其中说法正确的为（）A．①②③B．②③C．③④D．①④【答案】B【解析】由题意得，从男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生，该抽样应该是简单的随机抽样，其中男生被抽到的概率为

135P=，女生被抽到的概率为225P=，所以只有②③是正确的，故选B.2.如下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）。已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,xy的值分别为（）A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8【答案】C【解

析】由中位数的定义可知5=x，因8.16524930)85(=+++++y，故8=y，应选C。3．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，

提出假设0H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的结果，认为0H成立的可能性不足1%，那么2K的一个可能取值为()A．7.897B.6.635C.5.024D.3.841【答案】A【解析】由题这种血清能起到预防感冒的作用为99%的有效率，显

然06.635,k所以选A.4．下列说法正确的是（）2A．在统计学中,回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B．线性回归方程对应的直线axbyˆˆˆ+=至少经过其样本数据点),,(11y

x),,(22yx),(,33yx),(nnyx中的一个点C．在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高D．在回归分析中,相关指数2R为98.0的模型比相关指数2R为80.0的模型拟合的效果差【答案】C【解析】A．回归分析反映两

个变量相关关系的数学方法，由建立回归方程来预报变量的情况。错误；B．线性回归方程对应的直线axbyˆˆˆ+=，过其样本数据平均数点，错误；D．相关指数2R越大，则相关性越强，模型的拟合效果越好。错误；C．在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高.正确。二、填空

题5．甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次，三人的测试成绩如下表123,,xxx分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的平均数，则123,,xxx的大小关系为；123,,sss分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则123,,sss的

大小关系为．【答案】123xxx==；213sss6．某班有55人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为5的样本，已知3号、25号、47号同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号分别为和。【答案】14和36三、解答题7

．某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查10件产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：mg）：甲：131514149142191011乙：101491152123192216（Ⅰ）画出样本数据的茎叶图，并指出甲，乙两种商品重量误差的中位数；（Ⅱ）计算甲种商品重量

误差的样本方差；（Ⅲ）根据茎叶图分析甲、乙两种产品的质量．甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数46643【解析】茎叶图如图．甲，乙两种商品重量误差的中位数分别为13

.5，15.5．（Ⅱ）1315141491421111091310x+++++++++==．∴甲种商品重量误差的样本方差为()()()()222221[(1313)15131413141391310−+

−+−+−+−()()()()()222221413211311131013913]+−+−+−+−+−＝11．6（Ⅲ）由茎叶图知，乙产品的重量误差的中位数高于甲产品的重量误差的中位数，而且由茎叶图可以大致看

出乙产品的重量误差的的标准差要大于甲产品的重量误差的的标准差，说明甲产品的质量较好，而且较稳定．8．某工厂36名工人的年龄数据如下表：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本

的平均值x和方差2s；（3）求这36名工人中年龄在(),xsxs−+内的人数所占的百分比．【解析】（1）根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34，对应样本的年龄数据依次为：44，

40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由（1），得444036433637444337409x++++++++==，()()()()()()()()()22222222224440404036404340364037401100994

44043403740s−+−+−+−+−+−+==−+−+−．工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140244340441533640745842943103611311238133914431545163917381836192720432141223723

3424422537264427422834293930433138324233533437354936394（3）由（2），得1040,3xs==，∴2136,4333xsxs−=+=，由表可知，这36名工人中年龄在(),xsxs−+内共有23人，所占的百分比为23100%63.89%

36．9．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356（1）请在图中画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa=+；（3）试根据（2）求出

的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力。【解析】（1）如图所示．（2）1niiixy=＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，9,4xy==21niix=＝62＋82＋102＋122＝344，0.

7b=，abxy=−＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为ˆy＝0.7x－2.3.（3）由回归直线方程，当x＝9时，ˆy＝6.3－2.3＝4，所以预测记忆力为9的同学的判断力约为4.10．2016年全国两会，即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民政治协商会议第十二届

全国委员会第四次会议，分别于2016年3月5日和3月3日在北5京开幕．为了解哪些人更关注两会，某机构随机抽取了年龄在1575岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，其分组区间为：))))15,25,25,35,35,45,55,65,65,75．把

年龄落在区间)15,35和35,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为9：11．（1）求图中ab、的值；（2）若“青少年人”中有15人在关注两会，根据已知条件完成下面的22列联表，根据此统计结果能否有99%的把握认为“中老

年人”比“青少年人”更加关注两会？关注不关注合计青少年人15中老年人合计5050100附参考公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．临界值表：()20PKk0.

050.0100.0010k3.8416.63510.828【解析】（1）依频率分布直方图可知：()()45100.0310055100.0100.0050.005100ba+=+++=，解之，得0.0

350.015ab==，6（2）依题意可知：“青少年人”共有()1000.0150.03045+=人，“中老年人”共有100-45=55人，完成的22列联表如下：关注不关注合计青少年人153045中老年人352055合计5050100结合列联表的数据得：()()()()()()2221

00303520159.09150505545nadbcKabcdacbd−−==++++因为()26.6350.01,9.0916.635PK=，所以有超过99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关

注两会B组一、选择题1．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示;若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为()A、3

B、4C、5D、6【答案】B【解析】根据茎叶图中的数据得，成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取207435=(人)，故选B.2．从实验小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米）数据绘制成

频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为（）7A．3B．25C．30D．35【答案】C【解析】由图知，（0．035+a+0．020+0．010+0．005）×10=1，解得a=0．03∴身高在[120，130]内的学生人数在样本的

频率为0．03×10=0．3故身高在[120，130]内的学生人数为0．3×100=303．已知x与y之间的一组数据：x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为2.10.85yx=+，则m的值为（）A．1

B．0.85C．0.7D．0.5【答案】D【解析】因45.15,5.143210+==+++=myx,故将其代入2.10.85yx=+,可得5.0=m.应选D.4．在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：y1y2合计x12008001000x

2180m180+m合计380800+m1180+m最后发现，两个分类变量x和y没有任何关系，则m的可能值是（）A．200B．720C．100D．180【答案】B【解析】由独立性检验，已知使两个分类变量无关，则可得；720,800380180=+=mmm二、填空题5．为

了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是.【答案】48.【解析】设图中从左到右的第1小组的频率为x,则第2

小组的频率为2x,第3小组的频率为3x,由频率分布直方图的性质，得：230.03750.01351xxx++++=，8解得：0.125x=，第2小组的频率为20.25x=，又已知第2小组的频数为12，报考飞行员的学生人数

是：120.2548=.故答案应填：48.6．某村有2500人，其中青少年1000人，中年人900人，老年人600人，为了调查本村居民的血压情况，采用分层抽样的方法抽取一个样本，若从中年人中抽取36人，从青年人和老年人中抽取的个体数分别为,ab，则直

线80axby++=上的点到原点的最短距离为___________．【答案】3434【解析】2436900600,40369001000====ba，因此直线80axby++=上的点到原点的最短距离为34342440822

=+三、解答题7．今年的NBA西部决赛勇士和雷霆共进行了七场比赛，经历了残酷的“抢七”比赛，两队的当家球星库里和杜兰特七场比赛的每场比赛的得分如下表：第一场第二场第三场第四场第五场第六场第七场库里26

282422312936杜兰特26293326402927（1）绘制两人得分的茎叶图；（2）分析并比较两位球星的七场比赛的平均得分及得分的稳定程度.【解析】（1）如图（2）库里的平均得分28)36293122242826

(711=++++++=x分方差7130]813)6()4(0)2[(71222222221=+++−+−++−=s.杜兰特的平均得分30)27294026332926(712=++++++=x分方差7152])3()1(10)4(3)1()4[(71222222222=−+−+

+−++−+−=s.∴222121,ssxx，则这七场比赛库里的平均得分低于杜兰特，但库里的得分更稳定一些.8．100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示.9（1）估计这100名学生的数学成绩落在[50,60）中的人数；（2）求频率分布直方图

中a的值；（3）估计这次考试的中位数n（结果保留一位小数）.【解析】（1）由图可知落在[50,60）的频率为0.01×10＝0.1由频数＝总数×频率，从而得到该范围内的人数为100×0.1＝10.（2）由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1，可列如下等式：（0.01+0.015+0.03++0

.01+a）×10＝1解得a＝0.035.（3）前两个小矩形面积为0.01×10＋0.015×10＝0.25.第三个小矩形的面积为0.035×10=0.35∵中位数要平分直方图的面积．1.771.770035.025.05.070=++=—n9．甲、乙两所学校高三年级分别有1

200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校分组[70,80）[80,90）[90,100）[100,110）频数34815分组[110,120）[120,13

0）[130,140）[140,150]频数15x32乙校分组[70,80）[80,90）[90,100）[100,110）频数1289分组[110,120）[120,130）[130,140）[140,150]频数1010y3甲校乙校总计优秀非优秀总计10（1）计

算x，y的值；（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；（3）根据以上统计数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异．【解析】（1）甲校抽取110×12002200=60人，乙校抽取110×10002200

=50人，故x＝10，y＝7，（2）估计甲校优秀率为1525%60=，乙校优秀率为2050＝40%．（3）表格填写如图，甲校乙校总计优秀152035非优秀453075总计6050110k2＝2110(153020

45)60503575−≈2．83＞2．706又因为1－0．10＝0．9，故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．10．下表提供了甲产品的产量x（吨）与利润y（万元）的几组对照数据．x3456y2.5344.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性

回归方程ˆˆˆybxa=+；（2）计算相关指数2R的值，并判断线性模型拟合的效果．参考公式：1122211()()ˆˆˆ,()nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx====−−−===−−−，22121ˆ()1()niiiniiyyRyy==−=−−

【解析】（1）4.5,3.5xy==∴2244.53.563,44.581nxynx====，17.512202766.5niiixy==+++=，21916253686niix==+++=11∴122166.563ˆ0

.78681niiiniixynxybxnx==−−===−−，∴ˆˆ3.50.74.50.35aybx=−=−=∴y关于x的线性回归方程ˆ0.70.35yx=+（2）222221()(2.53.5)(33.5)(43.5)(4.53.5)2.5niiyy=−=−+−+−−=222

221ˆ()(2.52.45)(33.15)(43.85)(4.54.55)0.05niiiyy=−=−+−+−−=∴22121ˆ()0.05110.982.5()niiiniiyyRyy==−=−=−=−∴线性模型拟合的效果较好C组一、选择题1．某学校高一、高二

、高三年级分别有720、720、800人，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查．先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001，

002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为（）A．001，041，……761B．031，071，……791C．027，067，……787D．055，095，……795【答案】D【解析】由根据分层抽样可得高三年级抽取出20人，利用系统抽样

可分成40组得到的数据特征应成等差数列,经计算答案中的数据740055795=−不是40的整数倍,因此这组数据不合系统抽样得到的,故应选D.2．已知一组数据54321,,,,xxxxx的平均数是2，方差是31，那么另一

组数据23,23,23,23,2354321−−−−−xxxxx的平均数，方差是（）A．31,2B．1,2C．32,4D．3,4【答案】D12【解析】因为数据54321,,,,xxxxx的平均数是2，方差是

31，所以31)2(51,2512=−==iixx，因此数据23,23,23,23,2354321−−−−−xxxxx的平均数为：42513)23(515151=−=−==iiiixx，方差为：3319)2(519)63(51)23(515125122

51==−=−=−−===iiiiiixxxx.3．已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，由上表可得线性回归方程0.08ybx=+，若规定当维修费用12y

时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】由已知表格得：1(23456)45x=++++=，1(2.23.85.56.57.0)55y=++++=，由于线性回归直线恒过样本中心点(),xy，所以有：

540.08b=+，解得：1.23b=，所以线性回归方程^1.230.08yx=+，由12y得：1.230.0812x+解得：9.69x，由于*xN，所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9.故选C.4．在一

次实验中，采集到如下一组数据：x-2.0-1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则,xy的函数关系与下列（）类函数最接近（其中,ab为待定系数）A．yabx=+B.xyab=+C.2yaxb=+D.byax=+【答案】B【解析】由表格数据逐个验证，观察图象

，类似于指数函数，分析选项可知模拟函数为y=a+bx．13故选B．二、填空题5．一个总体中的80个个体编号为0,1,2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0,1，…，9，要用（错位）系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，即规定先在第1组随机抽取一个号码

，记为i，依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取个位数为ik+（当10ik+）或10ik+−（当10ik+）的号码，在6i=时，所抽到的第8组的号码是.【答案】73【解析】第1组抽取号码为6，第8组抽取号码为

68106973+−+=6．给出下列命题：①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②由变量x和y的数据得到其回归直线方程:lˆybxa=+，则l一定经过点(),xy；③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10

分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤在回归直线方程ˆ0.110yx=+中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量ˆy增加0.1个单位，其中真命题的序号是．【答案】②④⑤【解析】

线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错；回归直线方程一定经过样本中心点(),xy，所以②正确；③的抽样方式为系统抽样，故③错；由在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好

等于相关系数r的平方。显然，R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好，故④正确；由回归直线方程可知，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量ˆy增加0.1个单位的解释是正确的，故⑤正确；所以正确的序号为②④⑤。三、解答

题147．偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两

科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差x20151332-5-10-18物理偏差y6.53.53.51.50.5-0.5-2.5-3.5（1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程

；（2）若该次考试该数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．参考数据：()()()()()()()()()8182222222221206

.5153.5133.531.520.550.5102.5183.532420151332510181256iiiiiiixyx=====+++++−−+−−+−−==+++++−+−+−=【解析】（1）由题意，()()()2015133251018582x+++++−+−

+−==，()()()6.53.51.50.50.52.53.5988y++++−+−+−==，8122821593248128ˆ45125682iiiiixynxybxnx==−−===−−

，所以9151ˆˆ8422aybx=−=−=，故线性回归方程为11ˆ42yx=+，（2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：91.5−．而数学偏差为128-120=8，∴1191.5842−=+，解得94=，所以，可以预测这位同学的物理成绩为

94分8.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]．15（1）求图中a的值；（2）根据频率

分布直方图，估计这100名学生数学成绩的平均分；（3）若这100名学生数学成绩某些分数段的人数（x）与物理成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求物理成绩在[50,90）之外的人数．分数段[50,60）[60,70）[70,80）[80,90）x∶y1∶12∶

13∶44∶5【解析】（1）由频率分布直方图知：（2a＋0．02＋0．03＋0．04）×10＝1，解得a＝0．005（2）由频率分布直方图知这100名学生数学成绩的平均分为：55×0．005×10＋65

×0．04×10＋75×0．03×10＋85×0．02×10＋95×0．005×10＝73（分）．（3）由频率分布直方图知数学成绩在[50,60），[60,70），[70,80），[80,90）各分数段的人数依次为：0．005×10×10=5,0．04×10

×100=40,0．03×10×100＝30,0．02×10×100＝20．由题中给出的比例关系知物理成绩在上述各分数段的人数依次为：5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25．故物理成绩在[50,90）之外的人数为10

0－（5＋20＋40＋25）＝109．2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1（单位：人）．核专家为了检测当地动物受核辐

射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表（表2）．表1相关人员数抽取人数心理专家24x核专家48y地质专家726表2高度辐射轻微辐射合计身体健康30A5016身体不健康B1060合计CDE（1）求研究小组的总人数；（

2）写出表2中A、B、C、D、E的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关．【解析】（1）依题意知726＝48y＝24x，解得y＝4，x＝2.所以研究小组的总人数为2＋4＋6＝12.（2）根据列联表特

点得A＝20，B＝50，C＝80，D＝30，E＝110.可求得χ2＝()21103010502050608030−≈7.486＞6.635所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关10．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需

了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量iy（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()iix

x=−821()iiww=−81()()iiixxyy=−−81()()iiiwwyy=−−46.656.36.8289.81.61469108.8表中iiwx=，w=1881iiw=（Ⅰ）

根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；17（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问

题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)uv,22(,)uv，……，(,)nnuv,其回归线vu=+的

斜率和截距的最小二乘估计分别为：【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx=+适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.（Ⅱ）令wx=，先建立y关于w的线性回归方程，由于81821()()()iiiiiwwyydww==−−=−=108.8=6816，∴cydw=−=563-68×

6.8=100.6.∴y关于w的线性回归方程为100.668yw=+，∴y关于x的回归方程为100.668yx=+.（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值100.66849y=+=57

6.6，576.60.24966.32z=−=.（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)13.620.12zxxxx=+−=−++，∴当x=13.6=6.82，即46.24x=

时，z取得最大值.故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.