【文档说明】云南省丽江市第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试市统测模拟考试数学（理）试卷 含解析.doc，共(18)页，1.706 MB，由小赞的店铺上传

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2021年丽江市一中市统测模拟考试（一）理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选

涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知U＝R，A＝2xx，B＝14xx−，则(UðA)B＝（）A.(﹣1，2)B.(−，﹣2]C.(

2，4)D.[2，4)————D分析：化简集合A，根据补集、交集运算即可.解答：因为A＝2xx＝(﹣2，2)，所以UðA＝(−，﹣2][2，+)，因为B＝14xx−，所以(UðA)B＝[2，4).故选：D2.命题“1x，20xx−”的否定

是（）A.01x，2000xx−B.1x，20xx−C.01x，2000xx−D.1x，20xx−————C分析：根据全称命题的否定是特称命题直接写出结果.解答：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“1x，20xx−”的否

定是：“01x，2000xx−”，故选C.点拨：本题考查了全称命题与特称命题的形式，考查了全称命题的否定，是基础题．3.已知命题p：直线5xy−=与直线3xy+=−垂直，q：原点到直线210xy−−=的距离为55，则（）A.pq为假B.pq为真

C.pq为真D.pq为真————B分析：根据两直线垂直,斜率乘积为1−,可判断命题p是真命题；利用点到直线距离公式求解,可判断q是真命题,进而判断出正确的选项解答：因为直线5xy−=的斜率为1

,直线3xy+=−的斜率为1−,由于()111−=−,所以两直线垂直,故p为真命题；因为原点到直线210xy−−=的距离()2215512d−==+−,所以q为真命题,所以pq为真故选B点拨：本题考查判断命题的真假,考查逻辑联结词,属于基础题4.

已知向量(1,1,0),(1,0,2)ab==−，且kab+与2ab−互相平行，则k的值是（）A.2−B.43C.53D.75————A分析：求得kab+与2ab−的坐标，根据向量平行，得到方程组，即可求得k的值．

解答：解：(1a=，1，0)，(1b=−，0，2)，(1kabk+=，1，0)(1+−，0，2)(1k=−，k，2)，22(1ab−=，1，0)(1−−，0，2)(3=，2，2)−，又kab+与2ab−互相平行，所以存在，使得()2kabab+=−，即()()1,,23,2

,2kk−=−，所以13222kk−===−，解得12k=−=−故选：A．5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项

式为()54322341fxxxxxx=+−+−+，用秦九韶算法求这个多项式当2x=时3v的值为（）A.12B.13C.14D.15————C分析：由秦九韶算法可得()()()()()23411fxxxxxx=+−+−+，当2x=时，即可求得0v，

1v，2v，3v的值，即可得答案.解答：多项式变形为()()()()()23411fxxxxxx=+−+−+，01v=，1021224vvx=+=+=，2134235vvx=−=−=，32452414vvx=+=+=，故选：C．6.“ab”

是“lglgab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件————B分析：“lglgab”充要条件是“0ab”，即可得出结论.解答：由lglgab，得0

ab.取2a=，3b=−，此时满足ab，但是不满足lglgab.综上，“ab”是“lglgab”的必要不充分条件.故选:B.点拨：本题考查必要不充分条件的判断，属于基础题.7.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE

的中点，则AF=A.3144ABAD+B.1344ABAD+C.12ABAD+D.3142ABAD+————D【分析】由平面向量基本定理和向量运算求解即可解答：根据题意得：1()2AFACAE=+，又ACAB

AD=+，12AEAB=，所以1131()2242AFABADABABAD=++=+.故选D.点拨：本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题.8.已知()2sin3−=，则()sin2cos+=

（）A.43−B.34−C.43D.34————A分析：根据诱导公式化简得2sin3=，结合诱导公式和倍角公式化简代值计算即可.解答：解：2sin()3−=，2sin3=，sin(2)sin22sincos42sincoscoscos3+−−===−

=−．故选：A.9.过双曲线C：()222210,0xyabab−=的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若C的右焦点到点A，O距离相等且长度为2，则双曲线的方程为()A.2213yx−=B.2212yx−=C.22143xy−=D.22132xy−=——

——A分析：2FO=，故2c=，不妨设渐近线方程为byxa=，则(),Aab，根据勾股定理计算得到答案.解答：2FO=，故2c=，不妨设渐近线方程为byxa=，则(),Aab.故()22222ba=+−，解得1,3ab==，故双曲线方程为2213yx−=.

故选：A.点拨：本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10.在等差数列na中，24639aaa++=，161127aaa++=，则数列na的前9项的和等于（）．A.297

B.144C.99D.66————C分析：根据等差数列的性质可求出4a和6a的值，代入等差数列求和公式即可求出9S.解答：因为：2464161163=393=27aaaaaaaa++=++=，解得：46=13=9aa.194699()9()9(139)9

9222aaaaS+++====故选：C点拨：本题主要考查等差数列的性质和求和公式，熟记性质和公式是解决本题的关键，属于简单题.11.设1F、2F是椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右焦点，P为直线2axc=上一点，若21FPF是底角为30的等腰三角形，则

椭圆E的离心率为（）A.12B.22C.34D.45————B分析：设直线2axc=交x轴于点M，推导出222PFFM=，可得出关于a、c的等式，由此可解得该椭圆的离心率.解答：设直线2axc=交x轴于

点M，21FPF△是底角为30的等腰三角形，260PFM=，2122PFFFc==，在2RtPFM中，290PMF=，230MPF=，222PFFM=，P为直线2axc=上一点，222accc−=，即222a

c=，22cea==．故选：B．点拨：方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解

；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12.将函数()sin2cos2(0)fxaxbxa=+的图象向右平移6个单位，得到函数()gx的图象，若()gx为奇函数，则关于函数()fx，下列结论正确的是（）A.()fx的最大值为2aB.()

fx的图象的一条对称轴为6x=C.()fx的图象的一个对称中心为,06D.()fx的一个递增区间为5,1212−————A【分析】根据题意可得()()6fxgx−=，由()gx为奇函数，推出()06f−=，即3ba=，进而可得()2sin(2)3fxa

x=+，(0)a．分别结合三角函数的性质，求()fx的最值，对称轴，对称中心，单调区间，即可得出答案．解答：解：因为()fx向右平移6个单位长度，得到()gx的图象，所以()()6fxgx−=，因为()gx为奇函数，所以(0)0g=

，即()06f−=，所以sin(2())cos(2())066ab−+−=，即31022ab−+=，所以3ba=，所以()sin2cos2sin23cos2fxaxbxaxax=+=+132(sin2cos2)2sin(2

)223axxax=+=+，(0)aA．因为0a，所以当sin(2)13x+=时，()2maxfxa=，故A正确，B．令2()32xZ+=+kk，所以122x=+k，()Zk，当0k=时，12x=；当1k=时，712x=，所以6x=不是对

称轴，故B不正确，C．令2()3xkkZ+=，所以()62kxkZ=−+，当1k=时，623x=−+=，所以(6，0)不是()fx的一个对称中心，故C错误，D．令3222()232kxkkZ+++

剟，所以7()126kxkkZ++剟，当0k=时，[12x，7]12，所以[12，7]12为()fx的一个单调递减区间，故D不正确．故选：A．点拨：本题主要考查三角函数的图象和性质，解题

中需要熟悉三角函数的性质．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数,xy满足不等式组242332xyxyxy+−+，则目标函数21yzx+=+的最小值为__________．

————12分析：作出不等式组表示的平面区域，目标函数21yzx+=+的几何意义为可行域内的点()xy，与定点()12−−，连线的斜率，数形结合即可判断；解答：解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示：是一个以点

()()()021121−，，，，，为顶点的三角形区域(含边界)，目标函数21yzx+=+的几何意义为可行域内的点()xy，与定点()12−−，连线的斜率，数形结合可知，点()11−，与点()12−−，连线的斜率最小，故min121112

z−+==+，故答案为：12．14.已知抛物线C：22(0)ypxp=的焦点为F，P为C上一点，若4PF=，点P到y轴的距离等于3，则点F的坐标为______________.————()1,0分析：利用抛物线方程及定义进行

求解.解答：由题意可得312pPF=−=，所以2p=，所以F点坐标为()10，．故答案为：()10，．【点晴】结合抛物线定义是解题关键点.15.已知a、b为实数，若关于x的不等式220axbx++的解集为()1,2−，则ab−=______．————2−

分析：由题意可知，关于x的方程220axbx++=的两根，利用韦达定理可求得a、b的值，由此可求得结果.解答：不等式220axbx++的解集是()1,2−，方程220axbx++=的两根为11x=−，22x=，则121bxxa+=−=，1222xxa==−，即1a=−，1b=

，2ab−=−，故答案为：2−．16.已知点O为圆锥PO底面的圆心，圆锥PO的轴截面为边长为2的等边三角形PAB，圆锥PO的外接球的表面积为______.————163分析：由题意知圆锥PO的轴截面为外接球的最大截面，即过球心的截面且球心在PO上，由等

边三角形性质有RtAOO△，即222OAAOOO=+求得外接球的半径为R，进而求外接球的表面积.解答：设外接球球心为O，连接AO，设外接球的半径为R，依题意可得1AO=，3PO=，在RtAOO△中，有222OAAOOO=+，即()22213RR=+−，解得23R=，故外接球的表面

积为24164433SR===.故答案为：163.点拨：本题考查了求圆锥体的外接球面积，由截面是等边三角形，结合等边三角形的性质求球半径，进而求外接球面积，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题

，共70分）17.已知命题p：方程2212xym+=表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：xR,不等式22230xmxm+++恒成立.（1）若“q”是真命题，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为假

命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围.————（1）(,1][3,)−−+；（2）()1,02,3−.分析：（1）先求出命题q的等价条件，根据“q”是真命题，即可求出实数m的取值范围．（2）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则,pq只有一个为真命题，即可求实数m的取值范

围．解答：（1）因为xR,不等式22230xmxm+++恒成立，所以244(23)0mm=−+，解得13m−，又“q”是真命题等价于“q”是假命题．所以所求实数m的取值范围是(),13,−−+（2）方程2212xym+=表示焦点在x轴上的椭圆，02m“pq”为假命

题，“pq”为真命题，,pq一个为真命题，一个为假命题，当p真q假时，则021,3mmm−，此时无解．当p假q真时，则0,213mmm−，此时10m−或23m综上所述，实数m的取值范围是()1,02,3−点拨：本题考查命题的真假以及根

据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题．18.ABC中，角A，B,C的对边分别是,,abc且满足(2)coscosacBbC−=（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为为334且3b=，求ac+的值；——

——(1)π3B=.⑵a＋c＝23．试题分析：（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A，∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）co

sB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=12，又0＜B＜π，则π3B=；（2）∵△ABC的面积为334，sinB=sin3=32，∴S=12acsinB=34ac=334，

∴ac=3，又b=3，cosB=cos3=12，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-9=3，∴（a+c）2=12，则a+c=23．考点：考查主要考查正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角

和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值．点评：中档题，本题综合考查了正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值．其中（2）将sinB及已知面

积代入求出ac的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2-2accosB，再利用完全平方公式整理后，按整体思想求出a+c的值．19.设等比数列{an}满足124aa+=，318aa−=．（1）求{an}的通项公式；（2）记nS为数列{log3an

}的前n项和．若13mmmSSS+++=，求m．————（1）13−=nna；（2）6m=.分析：（1）设等比数列na的公比为q，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log}na的通项公式，利用等差数列求和公式求得nS，根据已知列出

关于m的等量关系式，求得结果.解答：（1）设等比数列na的公比为q，根据题意，有1121148aaqaqa+=−=，解得113aq==，所以13−=nna；（2）令313loglog31nnnban−===−，所以(01)(

1)22nnnnnS+−−==，根据13mmmSSS+++=，可得(1)(1)(2)(3)222mmmmmm−++++=，整理得2560mm−−=，因为0m，所以6m=，点拨：本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.20.如图所示四

棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD⊥，//BCAD，2PAABBC===，4=AD，E为PD的中点，F为PC中点.（1）求证：//BF平面ACE；（2）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值.————（1）证明见解析；（2）105.分析：（1）证法一：连接BD

，交AC于O，取PE中点G，连接BG、FG、EO，证明平面//BFG平面ACE，即可证得//BF平面ACE；证法二：连接BD，交AC于O，取PE的中点G，连接FD交CE于H，连接OH，证明//BFOH，即可证得//BF平面ACE；（2）证明出CD⊥平面PAC，确定DPC为直线PD与平面

PAC所成的角，在RtPCD中，即可求得直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．解答：（1）证法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG、FG、EO，则在PCE中，//FGCE，又CE平面ACE，FG平面ACE，所以//FG

平面ACE，因为//BCAD，所以12BOBCGEODADDE===，则//OEBG，又OE平面ACE，BG平面ACE，所以//BG平面ACE，又BGFGG=，所以平面//BFG平面ACE，因为BF平面BFG，所以//BF平面ACE；证法二：连接BD，交AC于O，取

PE的中点G，连接FD交CE于H，连接OH，在DFG中，//HEFG，则12GEFHDEDH==，在底面ABCD中，//BCAD，所以12BOBCODAD==，FHBODHOD=，故//BFOH，又OH平面ACE，BF平面ACE

，所以//BF平面ACE；（2）因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥，在直角梯形ABCD中，ABAD⊥，//BCAD，则ABBC⊥，2222ACABBC=+=，又2ABAC==，ABC∴为等腰三角形，且

45BAC=，45CAD=o，由余弦定理得222222cos84222482CDACADACADCAD=+−=+−=，222ACCDAD+=，则CDAC⊥，又PAACA=QI，CD\^平面PAC，所以，DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在RtPCD中，22CD=，

22222425PDPAAD=+=+=，2210sin525CDDPCPD===，因此，直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为105.点拨：本题考查线面平行的证明，考查线面角正弦值的计算，解题的关键是掌握线面平行的判定方法，正确找出线面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题

.21.设有关于x的一元二次方程2220xaxb++=．()1若a是从0,1,2三个数中任取的一个数,b是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率；()2若a是从区间0,2任取的一个数,b是从区间0,3任取的

一个数,求上述方程有实数的概率．————（1）12；（2）13．分析：首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的

全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．解答：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（

1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）（2，0）（2，1）（2，2）（2，3）其中第一个数表示a的取值

，第二个数表示b的取值．事件A中包含6个基本事件，∴事件A发生的概率为P61122==；（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|

0≤a≤2，0≤b≤3，a≥b}∴所求的概率是12212233=．点拨：本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．22.已知椭圆()222210xyCabab+=：的离心率为22，右顶点到右焦点的距离为2

22−．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．————（1）22184xy+=；（2）证明见解析.分析：（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆

的方程；（2）设直线l：ykxb=+，()00kb，，()11Axy，，()22Bxy，，()，MMMxy，联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解OMk，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.解答：（1）椭圆C：22221(0)xyabab+=，的离心率22，可得22ca=

，222ac−=−，以及222abc=+，解得28a=，24b=，所求椭圆C方程为22184xy+=．（2）证明：设直线l：ykxb=+，()00kb，，设()()()1122MMAxyBxyMxy，，，

，，，把直线ykxb=+代入22184xy+=可得()222214280kxkbxb+++−=，故1222221Mxxkbxk+−==+，221MMbykxbk=+=+，于是在OM的斜率为：12MOMM

ykxk==−，即1·2OMkk=−，直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值12−．点拨：关键点点睛：设出直线的方程ykxb=+，联立直线与椭圆的方程求出点M的坐标，将OM的斜率用k表示.