【文档说明】湖南省四大名校名师团队2021届高三下学期5月高考猜题卷（A）数学试题 含答案.docx，共(14)页，1014.723 KB，由小赞的店铺上传

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2021年高考湖南四大名校名师团队猜题卷（A）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合3,2,1,0,1,2A=−−−，

2,Bxxx=Z，则AB=（）A．3−B．1,1−C．1,0,1−D．3,2,1,0,1−−−2．若12izi−=．则z=（）A．2i+B．2i−C．2i−+D．2i−−3．

一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈

葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（）A．第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状一百零八

塔全景4．一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（）种．A．36B．48C．72D．1205．将函数sincosyxx=−的图象向左平

移4个单位，得到函数()yfx=的函数图象，则下列说法正确的是（）A．()yfx=是奇函数B．()yfx=的图象关于直线x=对称C．()yfx=的周期是D．()yfx=在区间,66−上单调递减6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越

轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为55，33，2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学7．有两条互相垂直的直线XX和YY

，有一条定长的线段AB，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点P是AB上的一个确定点，即点P到点A和点B的距离的比值是一个定值．那么，随着线段AB的运动，点P的运动轨迹及焦距长为（）A．椭圆，焦距长

为ABB．椭圆，焦距长为222PAPB−C．双曲线，焦距长为2PAPB−D，双曲线，焦距长为222PAPB+8．设函数:f→RR满足()01f=−，且对x，yR，都有()()()()()2121fx

yfyfxx++=−．令集合()()()2020**1,6,,2Atxttfxtx=−=NN，则集合A中的元素个数为（）A．2020B．2021C．4040D．4042二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（）A．如果采用系统抽样的方法抽取，

不需要先剔除个体B．如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C．如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D．如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等10．设实数a、b、c满足2643bcaa+=−+，244cbaa−=−+，则

下列不等式成立的是（）A．cbB．1bC．baD．ac11．设正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点F在线段11AC上运动，则下列说法正确的是（）A．若点F为线段11AC的中点时，1ACCF⊥B．若点F与点A重合时，异面直线CF与11BD所成角的大小为3C

．若11114AFAC=时，二面角1FABA−−的正切值为14D．若F与点1C重合时，三棱锥CBDF−外接球的表面积为312．已知函数()xfxeex=−，()2gxxx=−，若关于x的方程()()fxagx=的解(

)00,1x，则实数a的可能取值为（）A．e−B．1−C．0D．1三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量()1,2a=，()1,1b=−，设2cab=+，c=______．14．已知()()*

332,112nxnn+N的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值______．15．已知等比数列na中，22a=，514a=，则满足12231212nnaaaaaa++++成立的最大正整数n的值为______．16．双曲线()222210,0xy

abab−=的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点()2,0F为该双曲线的右焦点，若过点F的直线与直线OA、OC的分别相交于M、N两点，则OMN△内切圆半径的最大值为______．四．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）

已知等比数列na的各项均为正数，6a，32，7a成等差数列，且512a=．（1）求数列na的通项公式；（2）设lognanba=（0a且1a），求数列nb的前n项和nS的最值．18．（本小题满分12分）某市一湿地公园建设项

目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在A、B、C、D四个位置建四座观景台，在凸四边形ABCD中，3AB=千米．1ADBCCD===千米．（1）用cosA表示cosC；（2）现要在A、C两处连接一根

水下直管道，已知3cos6A=，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，//ABCD，90ABC=，1AB=，2BC=，PDC△是边长为2的等边三角形，平面PDC⊥平面AB

CD，E为PC中点．（1）设平面PAD平面PBCl=，证明：DEl⊥（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感

染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性．2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是()01pp．在进行核酸检测时，可以

逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性

，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若0.01p=，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实

际意义（不要求证明）．（附：20.990.98，30.990.97，40.990.96．）21．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20Cxpyp=的焦点为F，点(),1m在抛物线C上，该点到原点

的距离与到C的准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且与以焦点F为圆心2为半径的圆交于M，N两点，点B，N在y轴右侧．①证明：当直线l与x轴不平行时，AMBN②过点A，B分别作抛物线C的切线1l，2l，1l与2l相

交于点D，求DAM△与DBN△的面积之积的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()()ln1lnxfxaexa=−++．（1）当1a=时，求函数()yfx=的单调区间；（2）当)1,a+时，求证：()fx总存在唯一的极小值点0x

，且()01fx．2021年普通高校招生统一考试湖南四大名校名师团队猜题卷（A）数学参考答案1．C2．D【解析】()21212221iiiiziii−−+====−−−．3．C【解析】因为13355724+++++=，故编号为26的佛塔在

第7行，呈室瓶状．4．B【解析】先排高一年级学生，有22A种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有24A种排法；②若高一学生中间无高三学生，有111223CCC种排法，所以共有()221112422348AACCC+=种排法．5．A【解析】函数sincos2sin4yx

xx=−=−的图象向左平移4个单位，得到函数2sinyx=的图象，2sinyx=为奇函数，故选A．6．C【解析】()10255525==，()1052232==．∵2532．∴552．又∵()633339==，()6

3228==，∴332．∴有53523．又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．7．B【解析】此题为椭圆规画椭圆的原理．在两条互相垂直的直线XX和YY上建立平面直角坐标系，当点P在第一象限时，设AB与X轴的夹角为，则P的坐标为（cosPB，sin

PA），从而可知，点P在椭圆22221xyPBPA+=上，点P的轨迹是四分之一个椭圆，当点P在其它几个象限或坐标轴上时，点P的坐标满足方程22221xyPBPA+=，所以点P的轨迹是一个椭圆，焦距长为222PAPB−．8．

D【解析】令0y=，则有()()()()()200121fffxx++=−，又()01f=−，∴()21fxx=−−．从而集合A中，()()2021162ttfx−=可化为()202112162ttx+

+=．即()202020212020212623ttx++==．∵*tN，*xN，∴t，21tx++必定为一奇一偶．若t为偶数时，t的取值可以为20212，202123，2021223，…，2021202023，共有2021个(),tx．若21tx++为偶数时，同理也有202

1个(),tx．∴集合A中的元素个数共有202124042=（个）．9．AD【解析】由题中数据可知，无论是运用系统抽样还是分层抽样，都不需要先剔除个体，A正确，B错误．系统抽样确定起始号时需要用到简单随机抽样，C错误．分层抽样时，所有个体被抽到的机会均等

，D正确．10．BD【解析】∵2264344bcaacbaa+=−+−=−+①②，−①②得2222ba=+，即21ba=+∴1b．又22131024baaaa−=+−=−+，

∴ba．而()224420cbaaa−=−+=−．∴cb，从而cba．∴选BD．11．ACD【解析】正方体1111ABCDABCD−中，易证11ACBC⊥，111ACBD⊥，又111BCBDB=，所以有1AC⊥面1

1BDC，当F为11AC中点时，CF面11BDC，∴1ACCF⊥，A正确；对于B，∵1111BDAC⊥，111BDAA⊥，∴11BD⊥面11AACC，1CA面11AACC，∴111BDCA⊥．若F与1A重合时，异面直线CF与11BD所成

角为2，B错误；对于C，当11114AFAC=时，过F作11FHAD⊥，垂足为H，则//FHAB，1114AHAA=．易证BA⊥面11AADD，从而由1BAAA⊥，BAAH⊥可得二面角1FABA−−的平面角为1AAH．∴11tan4AAH=，C正确．对于D，点F与1C重合时，三棱

锥CBDF−的外接球即正方体1111ABCDABCD−的外接球，其直径23R=．∴其表面积2S43R==，D正确．12．AB【解析】易证xeex，∴()0xfxeex=−恒成立，所以C错误．令()()()hxfxagx=−．若1a=，则()0,1x时，()20xx−−，此时(

)0hx恒成立．显然D错误，对于A、B，()10h=，()()21xhxeeax=−−−．()2xheax=−，当0a时，()hx在（0，1）上恒为正，故()xh在（0，1）上单调递增．又因为()010hea=−+，()10

ha=−．∴()xh在（0，1）上存在唯一零点0x，()00,xx，()0hx；()0,1xx，()0hx．∴()hx在()00,x上单调递减，在()0,1x上单调递增．∴()()010hxh=，而()010h=，故()hx在()00,x上存在唯一零点，A、B正确．13．2

6【解析】()1,5c=，26c=．14．n取6，8，9，10，11中任意一个值均可．【解析】()332nx+的展开式的通项为()()3123CrnrrrrnTx−+=，rn，rN．若系数为有理数，则2rZ，且3nr−Z．当3n=时，

0r=；4n=时4r=；5n=时2r=；6n=时0r=，6；7n=时r无解；8n=时2r=，8；9n=时0r=，6；10n=时4r=，10；11n=时2r=，8，12n=时0r=，6，12．所以n可取6，8，9，10，11中的任意一个值．15．3【解析】已知na为等比数列，设其

公比为q，由352aaq=得，3124q=，318q=，解得12q=，又22a=．∴14a=．易得数列1nnaa+也是等比数列，其首项为128aa=，公比为14．∴()1223132211432nnnaaaaaa−++++=−，从而有11464n．∴3n．故m

ax3n=．16．22−【解析】由题意得45AOFCOF==，过M、N向x轴作垂线，垂足分别为1M，1N．设OMm=，ONn=，则122MMm=，122NNn=．112122222222OMNSmnmn==+△，所以有mnmn=+．又2mnmn+，

有4mn．（当且仅当mn=时等号成立）．RtOMN△的内切圆半径()2222222mnmnmnOMONMNmnmnr−−+−+−+===令tmn=，4t，则222122211ttttrtttt−−===+−+−在)4,+

上单调递减．∴当4t=时，r有最大值为22−．17．【解析】（1）设等比数列的首项为1a，公比为0q，由4156111,23,aqaqaq=+=得1132a=，2q=．所以62nna−=

．（2）()log6log2nanaban==−．数列nb是首项为5log2a−，公差为log2a的等差数列．方法一：当01a时，log20a，数列nb是首项为正的递减等差数列．由0nb，得6n，()5

6max15log2naSSS===−，nS没有最小值．当1a时，log20a，数列nb是首项为负的递增等差数列．由0nb，得6n，所以()56min15log2naSSS===−，nS没有最大值．方法二：利用等差数列求和公式得()21115

log2log2log222naaannnnSn−−=−+=．当1a时，log20a，此时()56min15log2naSSS===−，nS没有最大值．当01a时，log20a，此时()56max

15log2naSSS===−，nS没有最小值．18．【解析】（1）连结BD．在ABD△中，2222cos423cosBDABADABADAA=+−=−．在BCD△中，2222cos22cosBDBCCDBCCDCC=+−=−，故有423cos22cosAC−=−，从而cos3cos1C

A=−．（2）因为3cos6A=，所以由（1）可得1cos2C=−，()0,C，所以23C=，而CDCB=，故6CDB=．此时()2222232cos3123136BDABADABADA=+−=+−=．

从而ABBD=，所以ABD△为等腰三角形．3coscos6ADBA==，33sin6ADB=，()33331333coscoccos6626212ADCADBBDCADB−=+=+=−=．所以2222cosACADCDADCDA

DC=+−2233393311211126−+=+−=．从而9336AC+=千米19．【解析】（1）证明：因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC平面ABCDDC=．BCCD⊥，所以BC⊥平面

PDC．又BC平面PBC．从而平面PDC⊥平面PBC．已知PDC△为等边三角形，E为PC中点，所以DEPC⊥，故平面PDC平面PBCPC=，故DE⊥平面PBC．由已知l平面PBC，所以DEl⊥．（2）方法一

：设DC中点为O，则PODC⊥，因为平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间坐标系，由已知有()2,0,0A，()0,0,3P，()0,1,0D−，()2,1,0B，()0,1,0C．设平面PAD的法向量()111,,mxyz

=，因为mPA⊥，mPD⊥，()2,0,3PA=−，()0,1,3PD=−−，所以11111111323023032xzxzyzxz=−=−−==，令12z=，则()3,6,2m=−设平面PBC的法向量()222,,nxyz=，∵nPB⊥，nPC⊥，()2,

1,3PB=−，()0,1,3PC=−，222222220230330xxyzyzyz=+−==−=，令21z=，则()0,3,1n=，因为()3,6,2m=−，()0,3,1n=，所以18222cos,113

6231mn−+==+++．所以平面PAD和平面PBC所成二面角的余弦值为2211．方法二：设CB与DA相交于点F，PF即平面PAD与平面PBC的交线．过E设EHPF⊥，垂足为H．连结DH．由（1）知DE⊥平面PBC，所以PFDE⊥，从而PF⊥平

面DEH．所以PHDH⊥，故DHE是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．由已知易得3DE=，且222CFCB==，由（1）知PCF△为直角三角形，C为直角，从而()222222223PFPCCF=+=+=，所以11222sin222323CFEHEPCPFCPPF=

===，故()2222211333DHDEEH=+=+=，所以2223cos11113EHDHEDH===．20．【解析】（1）记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件A，则(

)1122224413CCAPAA==．（2）当0.01P=时，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99．若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行13400X=次核酸检测．若选择方式二，记每个4口之家检测次数为2，则2可能取值为2，4，6，其分布列为2246P40.

99()122210.990.99C−()2210.99−()()24122222220.99410.990.99610.99640.992.08EC=+−+−=−=．故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望228501768EXE==次．若选

择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为3，则3可能取值为1，5．其分布列为312P40.99410.99−故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为()444310.99510.99540.991.16E=+−=−故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检

测总次数期望为38501.16986EX=次．显然321EXEXEX由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测

成本．21．【解析】（1）由题意可得222112mppm=+=+，解得4p=，所以抛物线C的方程为28xy=．（2）由（1）知，圆F方程为：()2221xy+−=，由已知可设:2lykx=+，且()11,Axy，()22,Bxy，由228ykxxy=+=得2816

0xkx−−=，设()00,Qxy是抛物线C上任一点，则()()()22220000028222QFxyyyy=+−=+−=+，故抛物线与圆相离．①证明：当直线l与x轴不平行时，有0k，方法一：由抛物线定义知，12AFy=+，22BFy=+．所以(

)()22AMBNAFBF−=−−−()()121222AFBFyykxkx=−=−=+−+()21212124kxxkxxxx=−=+−()2264416810kkkk=−−=+，所以AMBN方法二：因为A、

M、N、B四点共线，M、N中点为()0,2F，若AMBN=，则必有AB中点与M、N中点重合，即120xx+=，因为1280xxk+=，所以AMBN．②由（1）知抛物线方程为218yx=．所以14yx=．所以过点A的切线()2111111:84lyxxxx−=−，即2111148yxx

x=−．同理可得，过点B的切线2l为2221148yxxx=−．由1l，2l方程联立，得222112211188xyxyxxxx−=−+，解之，得12128Dyxx==−，又得()()22212111048xxxxx−−−=，所以1242Dxxxk+==．()

4,2Dk−到:2lykx=+的距离()22422411kkdkk−−+==++，()()22AMBNAFBF=−−()()122222yy=+−+−()222121212148864xxyyxx====，从而1122QAMQBNSSAMdBNd=△△()222141

61164ddk===+．22．【解析】（1）函数()yfx=的定义域为()1,−+．当1a=时，()()ln1xfxex=−+，所以()11xfxex=−+，易知()fx在()1,−+上单调递增，且()00f=．则在()1,0

−上()0fx，在()0,+上()0fx，从而()fx在()1,0−上单调递减，在()0,+上单调递增．（2）证明：()()ln1lnxfxaexa=−++，所以()11xfxaex=−+，且1a．设()()gxf

x=，则()()2101xgxaex=++，所以()gx在()1,−+上单调递增，即()fx在()1,−+上单调递增，由()101xfxaex=−=+即()11xxea=+，设()()1xhxxe=+()()20xhxxe=+，则()hx在)1,−

+上单调递增且()10h−=．则当)1,a+时，都恰有一个01x−，使得()000101xfxaex=−=+，且当()01,xx−时()0fx，当()0,xx+时()0fx，因此()fx总有唯一的极小值点0x．所以0011xae

x=+，从而()00lnln1axx=−+−，极小值()()()0000001ln1ln2ln11xfxaexaxxx=−++=−++−+由()00lnln1axx=−+−，可得当)1,a+时，()00ln10xx−+−即()00ln10xx++，()00ln1xx++随

0x增大而增大，易得(01,0x−．令01tx=+，则(0,1t，设()12ln1tttt=−+−+，()11=()()2210ttt+=−，所以()t在(0,1上单调递减，且()11=，从而()1t．即()

01fx．