【文档说明】天津市经济技术开发区第一中学2021届高三上学期第三次月考数学试卷 含解析.doc，共(17)页，1.665 MB，由小赞的店铺上传

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天津开发区第一中学2020—2021学年度第一学期高三年级数学测试（12月）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1.已知集合2Axx=R，|1Bxx=R，则AB=（）A.(,2−B.1,2C.2,2−

D.2,1−————D分析：求出集合A，再与集合B取交集即可.解答：由题意，222Axxxx==−R，|1Bxx=R，所以AB21xx=−.故选：D.点拨：本题考查集合的交集，考查不等式的解法，属于基础题.2.“2a=”是“直线41axy

+=平行于直线1xay+=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件————A分析：根据两条直线平行的条件以及充分而不必要条件的概念可得结果.解答：当2a=时，直线24

1xy+=与直线21xy+=平行，当直线41axy+=平行于直线1xay+=时，24010aa−=−，解得2a=，所以“2a=”是“直线41axy+=平行于直线1xay+=”的充分而不必要条件.故选：A点拨：结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对

应集合互不包含．3.函数2()1xxfxe=−的图象大致是（）A.B.C.D.————A分析：由函数值的正负排除B，由函数的奇偶性排除C，由函数在0x时的变化趋势排除D．从而得正确选项．解答：由题意()0fx

，排除B；又2()1xxfxe−−=−，()fx不是偶函数也不是奇函数，排除C；当x→+时，()0fx→，排除D．故选：A．点拨：本题考查函数函数解析式选取函数图象，解题方法是排除法，通过研究的性质，函数值的正负，变化

趋势等排除错误选项，后可得正确选项．4.与340xy+=垂直，且与圆22(1)4xy−+=相切的一条直线是（）A.436xy−=B.436xy−=−C.436xy+=D.436xy+=−————B分析：设与直线340xy+=垂直的直线方程为:430lxym−+=，求出圆的圆心坐标与半径

，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线l的方程．解答：设与直线340xy+=垂直的直线方程为:430lxym−+=，直线与圆()2214xy−+=相切，则圆心1,0（）到直线的距离为半径2，即4265mm+==或14m=−，所以4360xy−+=，或43140xy

−−=，由选项可知B正确，故选B.点拨：本题是基础题,考查直线的垂直,直线与圆的位置关系,考查计算能力,注意直线的设法,简化解题过程.5.将函数cos2yx=的图象向左平移4个单位，得到函数()cos

yfxx=的图象，()fx的表达式可以是（）A.()2sinfxx=−B.()2sinfxx=C.()2sin22fxx=D.()()2sin2cos22fxxx=+————A解答：试题分析：将函数cos2yx=的图象向左平移4个单位得cos2cos2sin242yxx

x=+=+=−()sin22sincosxfxxx−==−考点：三角函数图像平移6.若1312a=，13log2b=，12log3c=，则a，b，c三者的大小关系是（）A.bcaB.cabC.abcD.acb————C分析：

直接利用指数函数和对数函数的单调性比较判断.解答：因为131012a=，133log2log2b==−，又30log21，则10b−，122log3log3c==−，又2log31，则1c−，所以abc，故选：C7.如图，在长方体1111ABCDABCD−

中，11,2AAABAD===，E、F分别是AB、BC的中点，则直线1CD与平面11ACFE所成的角的正弦值大小是（）A.155B.1515C.33D.105————B分析：以D为原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用空间

向量可求得结果.解答：以D为原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系：则1(2,0,1)A，(2,1,0)E，1(0,2,1)C，1(0,0,1)D，(0,2,0)C，所以1(0,2,1)CD=−，1(0,1,1)AE=−，11(2,2,0)AC=−，设平面11ACFE的一个法

向量为(,,)nxyz=，则11100nAEnAC==，得0220yzxy−=−+=，取1z=，则1y=，1x=，所以(1,1,1)n=，所以直线1CD与平面11ACFE所成的角的正弦值为11||||||CDnCDn|21|1515041111−+==++

++.故选：B点拨：关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解题关键.8.已知函数()sin3cos(0)fxxx=+，()()062+=ff，且()fx在区间(,)62上递减，则=（）A.3B.2C.6D

.5————B解答：试题分析：∵()fx在(,)62上单调递减，且()()062+=ff，∴62()02f+=，∵()sin3cos2sin()3fxxxx=+=+，∴62()()2sin()02333ffx+==+=，∴33

+=，∴2=.考点：两角和的正弦公式、三角函数的单调性.9.已知函数32,0()ln,0xxxfxxx−=−，若函数()()gxfxxa=−−有3个零点，则实数a的取值范围是（）A.[0,2)B.[0,1)C.(,2]

−D.(,1]−————A分析：化为()afxx=−有3个实根，设()()hxfxx=−，利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果.解答：因为函数()()gxfxxa=−−有3个零点，所以()afxx=−有3个实根，设()()hxfx

x=−，当0x时，3()3hxxx=−，2()33hxx=−，当10−x时，()0hx，当1x−时，()0hx，所以()hx在(,1)−−上递增，在(1,0)−上递减，所以()hx在1x=−时取得极大值(1)2h−=，当0x时，()lnhxxx=−−为减函数，作出函数()

hx的图象如图：由图可知，02a.故选：A点拨：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而

构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10.已知i是虚数单位，则复数(1i)(2i)z=+−的实部是_____.————3

分析：根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.解答：∵复数()()12zii=+−∴2223ziiii=−+−=+∴复数的实部为3.故答案为：3.点拨：本题考查复数的基本概念，是基础题．11.已知圆C经过点(2,1)A−，和直线1xy+=相切，且圆心在直

线2yx=−上.则圆的方程为_________.————22(1)(2)2xy−++=分析：设圆C的方程为222()(2)xayar−++=，根据题设条件，列出方程组，求得a的值.解答：由题意，圆C的圆心在直线2yx=−，可设圆心坐标

为(,2)Caa−，则圆C的方程为222()(2)xayar−++=，又由圆C经过点(2,1)A−，和直线1xy+=相切，可得()()222222122111aaraar−+−+=−−=+，整理得2210aa−+=，解得1,2ar==，所以圆的方程为22(1)(2)2x

y−++=.故答案为：22(1)(2)2xy−++=12.过点(1,1)M作斜率为12−的直线与椭圆C：22221(0)xyabab+=相交于,AB，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_____．————22解答：试题分析：设A()11,xy，B()

22,xy，则2211221xyab+=①，2222221xyab+=②，∵M是线段AB的中点，∴12121,122xxyy++==，∵直线AB的方程是()1112yx=−−+，∴()121212yyxx−=−−

，∵过点M（1，1）作斜率为12−的直线与椭圆C：22221xyab+=（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得22221212220xxyyab−−+=，即22212022abcbab+−=

==22cea==．考点：椭圆的简单性质13.已知圆C的圆心与点P(2,1)−关于直线对称，直线与圆C相交于A、B两点，且6AB=，则圆C的方程为______．————解答：设圆心坐标C(a，b)

∵圆心与P关于直线y=x+1对称∴直线CP与y=x+1垂直∵y=x+1的斜率为1∴直线CP的斜率为-1∴化简得：a+b+1=0①∵CP的中点在直线y=x+1上∴化简得：a-b-1=0②联立①②得到：a=

0，b=-1∴圆心的坐标为：(0，-1)∵圆心C到直线AB的距离d=,∴根据勾股定理得到半径=18∴圆的方程为.14.设正实数满足,,xyz满足22340xxyyz−+−=，则当zxy取最小值时，2xyz+−的最大值为_____．————2解答：试题分析：上式变形为2234zxxyy

=−+，得2234443231zxxyyxyxyxyxyyxyx−+==+−−=，当且仅当2xy=时取等号．2222222[(2)64]24xyzyyyyyyy+−=+−−+=−+，当1y=时取得最大值为2．考点：基本不等式、函数的最值15.在平面直角坐标系xOy中，已知3(0)2P

，，A，B是圆C：221()362xy+−=上的两个动点，满足PAPB=，则△PAB面积的最大值是__________．————105分析：根据条件得PCAB⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.解答：PAPBPCAB=⊥Q设圆心C到直线AB距离为d，

则231||=236,||144ABdPC−=+=所以2221236(1)(36)(1)2PABSdddd−+=−+V令222(36)(1)(06)2(1)(236)04ydddydddd=−+=+−−+==（负值舍去）当04d时，0y；当46d时，0y

，因此当4d=时，y取最大值，即PABS取最大值为105，故答案为：105点拨：本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ABC的面积为1315,2,c

os4bcA−==−．(1)求a和sinC的值；(2)求cos(2)6A+的值．————（1）8a=，15sin8C=（2）157316−分析：（1）由面积公式可得24,bc=结合2,bc−=可求得解得6,4.bc==再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值

;（2）直接展开求值.解答：（1）△ABC中,由1cos,4A=−得15sin,4A=由1sin3152bcA=,得24,bc=又由2,bc−=解得6,4.bc==由2222cosabcbcA=+−,可得a=8.由sinsinacAC=,得

15sin8C=.（2）()2πππ3cos2cos2cossin2sin2cos1sincos6662AAAAAA+=−=−−,157316−=点拨：本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,

考查基本运算求解能力.17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD//QA，π2PDA=，平面ADPQ⊥平面ABCD，且22ADPDQA===.（Ⅰ）求证：//QB平面PDC；

（Ⅱ）求二面角CPBQ−−的大小；（Ⅲ）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7315，求线段DH的长.————（1）证明见解析；（2）56；（3）32.分析：（Ⅰ）推导出//ABCD，从而平面//ABQ平面DCP，由此能证明//QB平面PDC．

（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角CPBQ−−的大小．（Ⅲ）设DHt=，利用向量法能求出线段DH的长．解答：（Ⅰ）证明：四边形ABCD是正方形，//ABC

D，四边形ADPQ是梯形，//PDQA，ABQAA=，CDPDD=，平面//ABQ平面DCP，QB平面ABQ，//QB平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则(0C，2，0)，(0P，0，2)，(2B，2，0)，(2Q，0，1)，(

2PB=，2，2)−，(0PC=，2，2)−，(2PQ=，0，1)−，设平面PBC的法向量(nx=，y，)z，则2220220nPBxyznPCyz=+−==−=，取1y=，得(0n=，1，1)，设平面PBQ

的法向量(mx=，y，)z，则222020mPBxyzmPQxz=+−==−=，取1x=，得(1m=，1，2)，设二面角CPBQ−−的大小为，由图形得为钝角，则||33cos2||||26mnmn=−==−，56\=，二面角CPBQ−−的大小为56．（Ⅲ）

点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7315，设DHt=，则(0H，0，)t，(2A，0，0)，(2AH=−，0，)t，(2PB=，2，2)−，2||4273|cos,|15||||412AHPBtAHPBAHPBt+

===+，解得32t=，线段DH的长为32．点拨：方法点睛：本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，对于空间中角的问题，往往建立空间直角坐标系，运用空间向量的方法求解.18.已知椭圆()222210xyabab+=的左、

右焦点分别为1F、2F，且()11,0F−，椭圆经过点31,2.（1）求椭圆的方程；（2）直线l过椭圆右顶点B，交椭圆于另一点A，点G在直线l上，且GOBGBO=.若12GFAF⊥，求直线l的斜率．————（1）2

2143xy+=；（2）31010.分析：（1）利用椭圆的定义可求得a的值，利用22bac=−可求得b的值，进而可求得椭圆的方程；（2）设直线l的方程为()20xtyt=+，将该直线的方程与椭圆的方程联立，求出点A的坐标，由题中条件求出点G的坐标，由12GFAF⊥得出120FG

FA=，据此计算出实数t的值，进而可求得直线l的斜率.解答：（1）易知点()21,0F，由椭圆的定义得22221233220422aPFPF=+=+++=，2a=，2222213bac=−=−=，因此，椭圆的方程为22143xy+=；（2）由题意可知

，直线l的斜率存在，且斜率不为零，设直线l的方程为()20xtyt=+，设点()00,Axy，联立2223412xtyxy=++=，消去x得()2234120tyty++=，则021234tyt=−+，2028634txt−=+，所以，点A的坐

标为2228612,3434tttt−−++，GOBGBO=，则1Gx=，可得1Gyt=−，所以，点G的坐标为11,t−，12GFAF⊥，则120FGFA=，112,FGt=−，22224912,3434ttFAtt−=−++，所以，

21222018034tFGFAt−==+，解得103t=，因此，直线l的斜率为131010t=.点拨：本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用直线垂直求直线的斜率，考查计算能力，属于中等题.19.已知数列na满足：1211,2aa==，且23(1)2(1)10,nnnnaan

N++−−+−−=.（Ⅰ）求5346,,,aaaa的值及数列na的通项公式；（Ⅱ）设212nnnbaa−=，求数列nb的前n项和nS.————（Ⅰ）3456112,,3,48aaaa====,21,21.2nnnna

n+=为奇数为偶数（Ⅱ）222nnnS+=−分析：（Ⅰ）分别令1,2,3,4nnnn====可求得5346,,,aaaa的值，分n为奇数和偶数讨论，可得奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，根

据等差、等比数列的通项公式可得结果；（Ⅱ）求出nb后，根据错位相减法可求得结果.解答：（Ⅰ）在23(1)2(1)10nnnnaa++−−+−−=中，令1n=，得312220aa−−=，所以3

112aa=+=，令2n=，得42420aa−=，所以4211112224aa===，令3n=，得532220aa−−=，所以5313aa=+=，令4n=，得64420aa−=，所以6412aa=111248==，当n为奇数时，2

2220nnaa+−−=，即21nnaa+−=，令21nk=−，*kN，则2111(1)12nknaaakk−+==+−==，当n为偶数时，2420nnaa+−=，即212nnaa+=，令*2,nkkN=，则12211122

2nkknaa−===，所以21,21.2nnnnan+=为奇数为偶数.（Ⅱ）212nnnbaa−=2221111222nnnn−+==,所以2311111232222nnS

n=++++，23411111112322222nnSn+=++++，所以231111111222222nnnnSSn+−=++++−，所以111(1)112212212nnnSn+−=−−，所以1112122nnnSn+=−−，所以222nnnS+=−.点拨：关键点点睛

：分n为奇数和偶数讨论，得到奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，再根据等差、等比数列的通项公式求解是解题关键.20.已知函数()44()ln1,fxxxaxaR=−−.（Ⅰ）求曲线()yfx=在点()()1

,1f处的切线方程；（Ⅱ）若当1x时，()0fx恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）()fx的极小值为()a，当0a时，求证：114141()04aaeea−−−.（2.71828e=为自然对数的底）————（Ⅰ）(14)(1)yax=−−（Ⅱ）14a（Ⅲ）证明见解

析分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义可求得结果；（Ⅱ）求导后，分140a−和140a−讨论可求得结果；（Ⅲ）利用导数求出()a，再利用导数可证114141()04aaeea−−−成立

.解答：（Ⅰ）34331()4ln4(4ln14)fxxxxaxxaxx=+−=+−，(1)f=14a−，(1)0f=，所以曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为(14)(1)yax=−−.（Ⅱ）由（Ⅰ）

知3()(4ln14)fxxax=+−，当140a−，即14a时，因为1x，所以4ln0x，所以3(4ln14)0xax+−，即()0fx，所以()fx在[1,)+上为增函数，所以()(1)0fxf=，当140

a−，即14a时，因为1x，令()0fx，得4ln140xa+−，得141axe−，所以()fx在14[1,)ae−上递减，所以当14(1,)axe−时，()(1)0fxf=，不合题意，综上所述：实数a的取值范围是14a.（Ⅲ）令3()(4ln14)fxxax=+

−0=，得1ln4xa=−，得14axe−=，当140axe−时，()0fx，当14axe−时，()0fx，所以()fx在14(0,)ae−上递减，在14(,)ae−+上递增，所以()fx的极小值为14()()aafe−==4141

1()(1)4aaeaae−−−−−4114aae−=−，41411()1414aaaee−−=−=−，当104a时，()0a，当14a时，()0a，所以()a在1(0,)4上递增，在1(,)4+上递减，所以1414111()()0444ae−=

−=，当0a时，要证114141()4aaeea−−−，转化为证1141414111444aaaeeae−−−−−，转化为证1144aae−，转化为证1ln(4)14aa−，转化为证1ln(4)104aa+−，令1()ln(4)14gaaa=+−，则221141()444

4agaaaa−=−=，当104a时，()0ga，()ga为减函数，当14a时，()0ga，()ga为增函数，所以1()()ln11104gag=+−=，即1ln(4)104aa+−，所以114141()4aaeea−−−，所以1

14141()04aaeea−−−.点拨：关键点点睛：将所证不等式等价转化后，构造函数，利用导数证明不等式成立是解题关键.