【文档说明】陕西省宝鸡市长岭中学2021届高三上学期期中考试理科数学试卷【精准解析】.doc，共(19)页，1.625 MB，由小赞的店铺上传

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长岭中学2020-2021学年度第一学期期中考试高三数学(理科)试题一､选择题1.设全集U=R,集合2|log2,|(3)(1)0AxxBxxx==−+则UCBA（）A.(,1]−−B.|103xxx−或C.[0,3)D.(0,3)【答案

】D【解析】【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【详解】解：集合(2{|12}0,4Axogx==„，(){|(3)(1)0},13,Bxxx=−+=−−+…，()1,3UB=−ð，()()0,3UBA=ð，故选：D．

【点睛】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义，属于基础题．2.已知a为实数，若复数()21(1)izaa=−++为纯虚数，则2020i1ia+=+（）A.1B.0C.1i+D.1i−【答案】D【解析】【分析】结合纯虚数的定义，可得

21010aa−=+，从而可求出a的值，进而求出2020i1ia++的值即可.【详解】因为复数()21(1)izaa=−++为纯虚数，所以21010aa−=+，解得1a=.所以()()()()5054202020205051i21ii1i11111

i1i1i1i1i1i1i1ia+−++++======−++++++−.故选：D【点睛】本题考查纯虚数，考查学生对基础知识的掌握.3.已知,2且1sin23+=−，则()tan+=（）A.22−B.22C.24−D.24

【答案】A【解析】【分析】由条件可得1cos3=−，然后可得22sin3=，然后()sintantancos+==，即可算出答案.【详解】因为1sincos23+==−，,2，所以22sin3=所以(

)sintantan22cos+===−故选：A4.“2211ogaogb”是“11ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由2211ogaogb

可推出ab，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】若2211ogaogb，则0ab，所以110ab，即“2211ogaogb”不能推出“11ab”，反之也不成立，因此“2211ogaogb”是“11ab”的既不充分也不必要条件.故选D【点睛】本题主

要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.5.由直线0,,2yxeyx===及曲线2yx=所围成的封闭图形的面积为（）A.3B.32ln2+C.223e−D.e【答案】A【解析】如图所示，曲边四边形O

ABC的面积为11121212ln12(lnln1)1232eedxxex+=+=+−=+=.故选A.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图

；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．6.已知向量a，b满足1a=，ab⊥，则向量2−ab在向量a方向上的投影为（）A.0B.1C.2D.1−【答案】B【解析】【分析】根据||1a=，ab⊥，再

结合投影的定义即可求得答案.【详解】根据向量的投影公式可知，向量2ab−rr在向量a方向上的投影为2(2)()1||||abaaaa−==,故选B.【点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的概念以及投影公式运算即可

，属于常考题型.7.设函数1()ln1xfxxx+=−，则函数的图像可能为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数为偶函数排除,AC，再计算11()22ln30f=排除D得到答案.【详解】1()ln1xfxxx+=−定义域为：(1,1)−11()lnln()11

xxfxxxfxxx−+−=−==+−，函数为偶函数，排除,AC11()22ln30f=，排除D故选B【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.8.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为

“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）A.176升B.72升C.11366升D.10933升【答案】A【解析】【分析】由题得123

478934aaaaaaa+++=++=再利用等差数列性质可得解.【详解】自上而下依次设各节竹子的容积分别为129aaa，，，，依题意有123478934aaaaaaa+++=++=，因为2314798=+2+=+aaaaaaa，，故2383417++=+=236aaa故

选：A.【点睛】本题考查等差数列前项和公式基本量的计算，利用性质：等差数列中，若=mnpq++则mnpqaaaa+=+快速得解,属于基础题.9.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为,,abc，且满足sin3coscAaC=，则sinsinAB+的最大值是（）A.1B.2C

.3D.3【答案】C【解析】∵csinA=3acosC，∴由正弦定理可得sinCsinA=3sinAcosC，∴tanC=3，即C=3，则A+B=23，∴B=23﹣A，0＜A＜23，∴sinA+sinB=sinA+sin（23﹣A）=sinA+31cosA

sinA22+=32sinA+32cosA=3sin（A6+），∵0＜A＜23，∴6＜A+6＜56，∴当A+6=2时，sinA+sinB取得最大值3，故选C10.已知函数()cosfxx=与()sin(2)(0)gxx

=+„的图象有一个横坐标为3的交点，若函数()gx的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍后，得到的函数在[0,2]有且仅有5个零点，则的取值范围是()A.2935,2424B.2935,2424C.2935,2424D.2935,24

24【答案】A【解析】【分析】根据题意，2cossin33=+，求出6π=，所以()sin26gxx=+，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围.【详解】已知()cosfxx=与()sin(2)(0)gxx=+„的图象有一个

横坐标为3的交点，则2cossin33=+，225,333+，2536+=，6=，()sin26gxx=+，若函数()gx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍，则si

n26yx=+，所以当[0,2]xÎ时，2,4666x++，()fx在[0,2]有且仅有5个零点，5466+„，29352424„.故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数

的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.11.设()fx是定义在R上的函数，其导函数为'()fx，若()'()1fxfx−，(0)4f=则不等式()31xfxe+的解集为（）A.(,0)(0,)−+B.(0,)+C.(3,)+D.(,

0)(3,)−+【答案】B【解析】【分析】设()()xxgxefxe−−=−，利用导数性质得()ygx=在定义域上单调递增，从而得到()(0)gxg，由此能求出()31xfxe+（其中e为自然对数的底数）的解集．【详解】解：设()()xx

gxefxe−−=−，则()()()[()()1]xxxxgxefxefxeefxfx−−−−=−++=−−−，()()1fxfx−，()()10fxfx−−，()0gx，()ygx=在定义域上单调递增，()31xfxe+

，()3gx，00(0)(0)(0)1413gefef−−=−=−=−=，()(0)gxg．0x，()31xfxe+（其中e为自然对数的底数）的解集为(0,)+．故选：B．【点睛】本题考查函数单调性的应用，结合

已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．12.已知函数()213ln2fxxxax=−+−在区间（1，3）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A.111,22−B.1,52−C.111,22D

.1,52【答案】A【解析】【分析】先求导21232()xaxfxx−+−+=，令21()232gxxax=−+−+，由函数21()3ln2fxxxax=−+−在区间（1，3）上有最大值，则21()232gxxax=

−+−+在区间（1，3）上有零点，则必需(1)0(3)0gg，解出即可得出.【详解】解：2123312()22xaxfxxaxx−+−+=−+−=.令21()232gxxax=−+−+

，由韦达定理可得若函数()gx有零点，则必有一个负零点和一个正零点，又由函数21()3ln2fxxxax=−+−在区间（1，3）上有最大值，则21()232gxxax=−+−+在区间（1，3）上有零点，由零点存在性定理可得1(1)23023(3

)183302gaga=−+−+=−+−+，解得11122a−.∴实数a的取值范围是111,22−.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，关键是零点存在性定理的应用，属于中档题.二､填空题13.设等比数列na的前n项和为nS，且

满足12131,3aaaa+=−−=−，则4S=_______.【答案】-5【解析】【分析】先设公比为q，再由已知列方程组121(1)1(1)3aqaq+=−−=−，解方程组，然后结合等比数列前n项和公式求解即可.【详解】解:因为数列

na为等比数列,设公比为q，由12131,3aaaa+=−−=−，则有121(1)1(1)3aqaq+=−−=−，解得112aq==−，所以441(2)51(2)S−−==−−−，故答案为-5.【点睛】本题考查了等比数列1

,aq的运算及等比数列前n项和公式，重点考查的方程思想，属基础题.14.ABC中，2AC=，45B=，若ABC有2解，则边长BC长的范围是__________．【答案】(2,22)【解析】∵在△ABC中,,2BCxAC=

=,B=45，且三角形有两解，∴如图：452xsinx，解得222x，∴x的取值范围是()2,22.故答案为()2,22.15.在同一个平面内，向量,,OAOBOC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为，且tan7,O

B=与OC的夹角为45，若(),OCmOAnOBmnR=+，则mn+=_________．【答案】3【解析】【详解】以OA为x轴，建立直角坐标系，则()1,0A，由OC的模为2与OA与OC的夹角为，且tan7=知，272cos,10

10sin==，可得17,,55C()()()cos45,45Bsin++，34,55B−，由OCmOAnOB=+可得13173455,,,74555555mnmnnn=−

=−=57,44mn==，3mn+=，故答案为3.【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则

是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．16.已知函数()()21,122,1axxfxxax−+=

−，若函数()1yfx=−恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是________.【答案】)3,6【解析】【分析】本题首先可根据函数解析式得出函数()1yfx=−在区间(),1−和)1,+上均有两个零点，然后根据在区间(),1−上

有两个零点得出26a，最后根据函数()1yfx=−在区间)1,+上有两个零点解得3a，即可得出结果.【详解】当1x时，令()10fx−=，得1102ax−+−=，即112ax+=−，该方程至

多两个根；当1x时，令()10fx−=，得()2210xa−−=，该方程至多两个根，因为函数()1yfx=−恰有4个不同的零点，所以函数()1yfx=−在区间(),1−和)1,+上均有两个零点，函数()1yfx=−

在区间(),1−上有两个零点，即直线12ay=−与函数1yx=+在区间(),1−上有两个交点，当1x−时，110yxx=+=−−；当11x−时，11yxx=+=+，此时函数的值域为)0,2，则0122a

−，解得26a，若函数()1yfx=−在区间)1,+上也有两个零点，令()2210xa−−=，解得112ax−=，212ax+=，则112a−，解得3a，综上所述，实数a的取值范围是)3,6，故答案为：)3,6.【点睛】本题考查根据函

数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，考查函数最值的应用，考查推理能力与计算能力，考查分类讨论思想，是难题.三､解答题17.（1）已知()1,2a=r，()3,2b=−，当k为何值时，kab+与3ab−垂直；（2）已知向量()3,4OA=−，

()6,3OB=−，()5,3OCmm=−−−.若点A、B、C能构成三角形，求实数m满足的条件；（3）已知向量()3,3a=，求向量b，使2ba=，并且a与b的夹角为3.【答案】（1）19k=；（2）12m；（3）()0,43b=或

()6,23b=−.【解析】【分析】（1）首先算出()3,22kabkk+=−+，()310,4ab−=−，然后可建立方程求解；（2）首先算出AB、AC的坐标，然后由条件可得AB、AC不共线，即可建立不等式求解；（3）设(),bmn=，根据条件建立方程组求解即可.【详解】（1）因为()

1,2a=r，()3,2b=−，所以()3,22kabkk+=−+，()310,4ab−=−因为kab+与3ab−垂直，所以()()1034220kk−−+=，解得19k=（2）因为()3,4OA=−，()6,3OB=−，()5,

3OCmm=−−−所以()3,1ABOBOA=−=，()2,1ACOCOAmm=−=−−若点A、B、C能构成三角形，则点A、B、C不共线，即AB、AC不共线所以()312mm−−，解得12m（3）设(),bmn=，因为()3,3a=，所以2223343ba==+=所以

2248mn+=因为a与b的夹角为3，所以1332343122abmn=+==解得0,43mn==或6,23mn==−，即()0,43b=或()6,23b=−18.已知函数()sin3fxAx=+

，xR，0A，02.()yfx=的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为()1,A.（1）求()fx的最小正周期及的值；（2）若点R的坐标为()1,0，23PRQ=，求A的值；（3）在（2）的条件下

，若1,2x−，求函数()fx的值域.【答案】（1）6，6；（2）3；（3）33,2−.【解析】【分析】（1）由周期公式可求得()fx的最小正周期，把P点坐标代入即可求出的值；（2）先求出向量MP，MQ的

坐标，根据已知代入即可求出A的值．（3）先判断()3sin36fxx=+在1,1−上递增，在1,2上递减，利用单调性求最值可得结果.【详解】（1）利用公式可知：22623T===．P点的横坐标为1，32+

=，6=．（2）M的坐标为(1,0)，2||cos3MPMQAMQ=又Q点的坐标为(4,)A−，(0,)MPA=，(3MQ=．)A−22||cos3MPMQAAMQ=−=又22||

3MQA=+即可求得：3A=．（3）()3sin36fxx=+在1,1−上递增，在1,2上递减，所以()max13yf==，()min312yf=−=−【点睛】本题主要考查了三角函数的图象、周期性单调性最值，考查了数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．19.已知等差数

列na满足13a=，当2n…时14nnaan−+=.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足1*12(22)nnnbbbnanN−+++=，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）21nan=

+（2）147142nnnS−+=−【解析】【分析】(1)代入2n=可求得25a=,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21nan=+,再利用前n项和与通项的关系求解nb的通项公式,再利用错位相减求解nS即可.【详解】（1）因为14nnaan−+=,则128aa+=,又13a

=,则25a=.所以等差数列na的公差212daa=−=,又因为13a=,所以21nan=+.（2）因为）11222nnnbbbna−+++=,则121122(1)nnnbbbna+++++=+,两式相减得112(1)nnnnbnana++=+−(1)(23)(21)43nnnnn=++−+=

+,所以当2n…时,1412nnnb−−=.经检验,13b=也符合该式,所以nb的通项公式是1412nnnb−−=.因为11137(41)22nnSn−=+++−,则211111137(45)(41)22222nnnSnn−=+

++−+−两式相减,得211111134(41)22222nnnSn−=++++−−11147341(41)7222nnnnn−+=+−−−=−所以

147142nnnS−+=−.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.20.在平面四边形ABCD中，已知26AB=，3AD=，2ADBABD=，3BCD=.（1）求BD；（2

）求BCD周长的最大值.【答案】（1）5BD=（2）15【解析】【分析】（1）设BDx=,ABD=,则2ADB=,利用正弦定理求出6cos3=,在利用余弦定理26249cos32263x+−==,5

x=或3x=,最后检验即可得出结果.（2）设CBD=,利用正弦定理有2sinsinsin33BDBCCD==−,从而得出BC和CD的表示方法,然后10sin106BCCD+=+,即可得出BCD周长最大值.【详解】解:（1）由条件即求BD的长,在AB

D中,设BDx=,ABD=,则2ADB=,∵sin2sinABAD=,∴6cos3=,∴26249cos32263x+−==整理得28150xx−+=,解得5x=或3x=.当3x=时可得22ADB==,与222ADBDAB+矛

盾,故舍去∴5BD=（2）在BCD中,设CBD=,则2sinsinsin33BDBCCD==−∴1032sin33BC=−,103sin3CD=∴10333sincos10sin103226B

CCD+=+=+∴BCD周长最大值为15.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查三角形周长的最大值,是中档题.21.已知函数2()lnfxxax=−．（Ⅰ）试判断函数()fx的单调性

；（Ⅱ）当0a时，若对任意的1(,)+xe，2()exfxxa−+恒成立，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）当0a时，()fx在(0,)+上单调递增；当0a时，()fx在20,2a上单调递减，在2[,)

2a+上单调递增；（Ⅱ）(0,)e.【解析】【分析】（Ⅰ）求出()'fx，分两种情况讨论a的范围，在定义域内，分别令()'0fx求得x的范围，可得函数()fx增区间，()'0fx求得x的范围，可得函数()fx的减区间；（Ⅱ）对任意的1(,)+xe，2()exf

xxa−+恒成立，等价于对任意的1(,)+xe，e1lnxax+恒成立，令e()1lnxgxx=+，利用导数求出e()1lnxgxx=+的最小值，进而可得结果.【详解】（Ⅰ）由题可知函数()fx的定义域为(0,)+，22()2axafxxxx−=−=．当0a

时，()0fx恒成立，函数()fx在(0,)+上单调递增；当0a时，令()0fx，可得202ax，令()0fx，可得22ax，所以函数()fx在20,2a上单调递减，在2[,)2a+上单调递增．综上，当0a时，函数()fx在(0,)+上单调递增；当0a

时，函数()fx在20,2a上单调递减，在2[,)2a+上单调递增．（Ⅱ）2()exfxxa−+即e(1ln)xax+，因为1(,)+xe，所以1ln0x+，所以当0a时，对任意的1(,)+xe，

e1lnxax+恒成立．令e()1lnxgxx=+，则2e(ln1)()(1ln)xxxxg'xxx+−=+，令()ln1hxxxx=+−，则()2lnh'xx=+，因为1(,)+xe，所以2ln

0x+，所以函数()hx在1(,)e+上单调递增，显然(1)1ln110h=+−=，所以当11xe时，()'0gx，当1x时，()'0gx，所以函数()gx在1(,1)e上单调递减，在[1,)+上单调递增，所以()(1)gxge=，所以0ae，故a的

取值范围为(0,)e．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立(()maxafx即可)或()afx恒成立（()mina

fx即可）；②数形结合(()yfx=图象在()ygx=上方即可)；③讨论最值()min0fx或()max0fx恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立

极坐标系.已知曲线的极坐标方程为22cos30−−=，直线的参数方程为11232xtyt=−+=(t为参数)．（I）分别求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（II）设曲线C和直线l相交于,AB两点，求弦长A

B的值．【答案】（I）C：22(1)4xy−+=；l：330xy−+=；（II）2.【解析】【分析】（I）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程，消去参数，即求解直线的普通方程．（II）将直线的参数

方程代入圆22(1)4xy−+=，利用直线的参数t的几何意义，即求解．【详解】（I）由题意，曲线的极坐标方程为22cos30−−=，由cossinxy==，则22230xyx+−−=，即22

(1)4xy−+=；又由直线的参数方程为11232xtyt=−+=(t为参数)，消去参数可得330xy−+=，所以曲线的直角坐标方程为22(1)4xy−+=，直线的普通方程为330xy−+=．（II）将11232xty

t=−+=代入圆22(1)4xy−+=得：220tt−=，解得：120,2tt==由直线的参数t的几何意义知：弦长122ABtt=+=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理使用直

线参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．