【文档说明】【精准解析】河南省鹤壁市高级中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题.doc，共(22)页，1.977 MB，由小赞的店铺上传

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鹤壁高中高三年级文科数学模拟考试一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合60Axax=−=，2N1log2Bxx=，且ABB=，则实数a的所有值构成的集合是（

）A.2B.3C.2,3D.0,2,3【答案】D【解析】因为ABB=，所以AB，又因为集合60Axax=−=，2N1log22,3Bxx==，当0a=时，集合A为空集，符合题意，集合A不是空集时，660Axaxa=−==

由62a=，63a=，可得2a=,3a=,所以实数a的所有值构成的集合是0,2,3，故选D.2.复数z满足13zii=−+，则z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得3zi=+，即可得解.【详解】∵13zii=−+

，∴()13133iiiziiii−+−+===+，∴z对应的点的坐标为()3,1，位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算和几何意义，属于基础题.3.如图，正三角形ABC内的图形来自中国古代的太

极图.正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称.在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.29B.318C.239D.5318【答案】B【解析】【分析】设正三角形边长为2，计算出黑色部分的面积与总面积的比即可得解.【详解】设正三角形边长为2，则内切圆

的半径为33，正三角形的面积为3，圆的面积为3.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型的概率计算公式，得此点取自黑色部分的概率是1323183=.故选：B.【点睛】本题考

查了面积型几何概型概率的计算，属于基础题.4.设e是椭圆2218xyk+=的离心率，且1e,12，则实数k的取值范围是（）A.(0,6)B.32(0,6),3+C.16(0,3),3+D.(0,2

)【答案】B【解析】【分析】由题意和椭圆性质可得当8k时，1812kk−；当08k时，18128k−.解不等式后即可得解.【详解】由1e,12，22eccaa==，222cab=−可得：当8k时，28ck=−，由条件知1

812kk−，解得323k；当08k时，28ck=−，由条件知18128k−，解得06k.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了分类讨论思想，属于基础题.5.设实数,xy满足3260,3260,0,xyxyy−++−，则731xy+−的最小值为（）

A.15−B.13−C.11−D.9−【答案】A【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最小值即可．【详解】先根据实数x，y满足326032600xyxyy−++−，画出可行域，A（﹣2，0），B（0，3），

C（2，0），当直线z＝7x+3y﹣1过点A时，目标函数取得最小值，7x+3y﹣1最小是：﹣15，故选A．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可

行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（axby+型）、斜率型（ybxa++型）和距离型（()()22xayb+++型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．6

.各项均为正数的等比数列na的前项和为nS，若32,14nnSS==，则4nS=（）A.80B.16C.26D.30【答案】D【解析】由等比数列的性质可得23243,,,nnnnnnnSSSSSSS−−−成

等比()223•nnnnSSSS−=32243464221630nnnnnnSSSSSS=−=−===，故选D.7.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定

平行于另一个平面；③若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】根据空间中的直线与平面以及平面与平面

的平行与垂直关系，对题目中的命题判断正误即可．【详解】对于①，若一个平面内的两条(相交)直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，①错误；对于②，若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线平行于另一个平面(或

在这个平面内)，②错误；对于③，若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和一个平面垂直，③正确；对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，④正确；综上所述，真命题的序号是③④，共2个．

故选B．【点睛】本题考查了空间中的直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直关系的应用问题，是基础题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入

特殊图形，进行直观判断.8.函数()e1()e1xxfxx+=−（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】对比函数和选项图像的定义域、奇偶性，即可排除错误答案，即可得解.【详解】由题意得函数()fx的定义域为(,0)(0,)−+，可

排除B、C，∵()()()11()()1111xxxxxxeeefxfxxexexe−−++−==−==−−+−−，∴函数()fx为偶函数，可排除选项A.故选：D.【点睛】本题考查了函数图像的识别，属于基础题.9.

已知函数2()23sincos2cos1(0)222xxxfx=+−的周期为，当0,2x时，方程()fxm＝恰有两个不同的实数解1x，2x，则()12fxx+=（）A.2B.1C.﹣1D

.﹣2【答案】B【解析】【分析】对()fx进行化简，利用周期为，求出2=，根据()fx在0,2x上的图象，得到12xx+的值，再求出()12fxx+的值.【详解】2()23sincos2co

s1222xxxfx=+−3sincos2sin6xxx=+=+由2T==，得2=．()2sin26fxx=+．作出函数()fx在0,2x上的图

象如图：由图可知，123xx+=，()1212sin221362fxx+=+==．故选B项．【点睛】本题考查正弦型函数的化简及其图像与性质，属于简单题.10.如图，M，N是焦点为F的抛物线24yx=上的两个不同的点

，且线段MN的中点A的横坐标为3，直线MN与x轴交于B点，则点B的横坐标的取值范围是（）A.(3,3−B.(,3−C.(6,3)−−D.(6,3)(3,3]−−−【答案】A【解析】【分析】当直线MN的斜率

不存在，易得点B的坐标为(3,0)；若直线MN的斜率存在，设(3,)At（0t），()11,Mxy，()22,Nxy，由点差法得2MNkt=即232Btx=−，联立方程组由可得212t，即可得解.【详解】①若直线MN的斜率不存在，则

点B的坐标为(3,0).②若直线MN的斜率存在，设(3,)At（0t），()11,Mxy，()22,Nxy，则由21122244yxyx==得()2212124yyxx−=−，∴()1212124yyyyxx−+=−，即2MNkt=，∴直线MN的方程

为2(3)ytxt−=−，∴点B的横坐标232Btx=−，由22(3),4ytxtyx−=−=消去x，得2222120ytyt−+−=，由得212t.又0t，∴23(3,3)2Btx=−−.综上，点B的横坐标

的取值范围为(3,3−.故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了点差法的应用，属于中档题.11.设定义在R上的函数()yfx=满足任意tR都有1(2)()+=ftft，且(0,4]x

时，()'()fxfxx，则6(2017)f，3(2018)f，2(2019)f的大小关系是（）A.6(2017)3(2018)2(2019)fffB.3(2018)6(2017)2(2019)fff

C.2(2019)3(2018)6(2017)fffD.2(2019)6(2017)3(2018)fff【答案】A【解析】【分析】函数f（x）满足f（t+2）=()1ft，可得f（x）是周期为4的函数．6

f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令g（x）=()fxx，x∈（0，4]，则g′（x）=()()2'xfxfxx−＞0，利用其单调性即可得出．【详解】函

数f（x）满足f（t+2）=()1ft，可得f（t+4）=()12ft+=f（t），∴f（x）是周期为4的函数．6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令g（x）=()fxx，x∈（0，4]，则g′

（x）=()()2'xfxfxx−，∵x∈（0，4]时，()()'fxfxx＞，∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]递增，∴f（1）＜()22f＜()33f，可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即6f（2017）＜3

f（2018）＜2f（2019）．故答案为：A【点睛】本题考查了函数的周期性单调性、利用导数研究函数的单调性、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(2)解答本题的关键有两点，其一是求出函数的周期是4，其二是构造函数g（x）=()fxx，x∈（0，4]，并求出函数的单调性.12.已

知函数()(3sin4cos)cosfxxxx=−在0xx=处取得最大值，则0sin2x=（）A.45B.35C.45−D.35-【答案】D【解析】【分析】根据cos0x、cos0x分类即可求出()f

x的最大值为92.此时5()cos(2)22fxx=++，其中4cos5=，3sin5=（为锐角），可得022xk=−，即可求出0sin2x.【详解】当cos0x时，2()3sincos4cosfxxxx=−3sin22cos222xx=−−，∴22max31(

)(2)222fx=+−−=；当cos0x时，2()3sincos4cosfxxxx=−+3sin22cos222xx=−++，5()cos(2)22fxx=++，其中4cos5=，3sin5=（为锐角）∴22max391()22222fx=−++=，此

时，022xk+=，022xk=−，∴03sin2sin(2)sin5xk=−=−=−.故选：D【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(2,7)a=，(,3)bx=

，且a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为______.【答案】2166,,277−+【解析】【分析】根据题意令0ab，再排除a与b同向时的情况即可得解.【详解】由2210abx=+，得212x−.当a与b同向时，670x−=，则67x=.故x的取值范围为

212x−且67x.故答案为：2166,,277−+【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于基础题.14.设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和.已知124,,SSS成等比数列，

且35a=，则数列na的通项公式为________.【答案】21nan=−【解析】【分析】根据等差数列前n项和关系，得2(103)(52)(202)ddd−=−−，结合35a=解方程组即可得解.【详解】设等差数列na的公差为()

,0dd，则152Sd=−，2103Sd=−，4202Sd=−，因为2214SSS=，所以2(103)(52)(202)ddd−=−−，整理得25100dd−=，∵0d，∴2d=，3(3)52(3)21naandnn=+−=+−=−.故答案为：21nan=−

【点睛】此题考查根据等差数列相关关系求解通项公式，考查基本运算，属于简单题目.15.已知0a，函数2()(2)xfxxaxe=−，若()fx在[1,1]−上是单调减函数，则实数a的取值范围是________________

_．【答案】3[,)4+【解析】试题分析：在上上是单调减函数，，1,1−，设，，则.考点：导数的应用，一元二次方程的根的分布.16.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，//ADBC

，2ABDCAD===，4BC=，PAD为等边三角形且平面PAD⊥平面ABCD，则球O的表面积为______.【答案】523【解析】【分析】转化条件得球心O在过BC的中点F且垂直于平面ABCD的直线上，设FOx=，可得方程()()222223

3xx+=+−，解方程求出x后即可得解.【详解】如图，取BC的中点F，AD的中点E，连接FE、PE，2ABDCAD===，4BC=，2FAFBFCFD====，3FE=,球心O在过点F且垂直于平面ABCD的直线上，又PAD为等边三角形且平面PAD⊥平面AB

CD，PE⊥平面ABCD且3PE=，设FOx=，过点O作OGPE⊥,易知3OGFE==,GEFOx==，则()()2222233xx+=+−，解得33x=，球O的半径为393，球O的表面积为23952433=

.故答案为：523.【点睛】本题考查了立体图形外接球半径的求法，考查了空间想象能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()sincosacB

B=+.(1)求ACB的大小；（2）若=ACBABC，点A、D在BC的异侧，2DB=，1DC=，求平面四边形ABDC面积的最大值.【答案】(1)4C=（2）524+【解析】【分析】(1)由正弦定理将()sincosacBB=+化为()sin

sinsincosACBB=+，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；(2)先由余弦定理求出BC的长，将平面四边形ABDC的面积转化为两三角形ABC与BCD面积之和，即可求解.【详解】（1）因为()sincosacBB=+，且sinsinacAC=，所以()s

insinsincosACBB=+在ABC中，()sinsinABC=+所以()()sinsinsincosBCCBB+=+所以sincoscossinsinsinsincosBCBCCBCB+=+所以sincossinsinBCCB=因为在ABC中，sin0B

所以cossinCC=因为C是ABC的内角所以4C=.（2）在BCD中，2222cosBCBDCDBDCDD=+−54cosD=−因为ABC是等腰直角三角形，所以22115cos244ABCSABBCD===−1sinsin2BCDSB

DCDDD==所以平面四边形ABDC的面积S=ABCS+BCDS5cossin4DD=−+52sin44D=+−因为0D，所以3444D−−所以当34D=时，sin14D−=，此时平面四边形ABDC的面积有最大值524+【点

睛】本题主考查解三角形，属于基础题型.18.某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a，若某住户某月用电量不超过a度，则按平价（即原价）0.5（单位：元/度）计费；若某月

用电量超过a度，则超出部分按议价b（单位：元/度）计费，未超出部分按平价计费.为确定a的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值

作代表）.（1）若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，求临界值a；（2）在（1）的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达a度的住户用电量保持不变；月用电量超过a度的住户节省“超出部分”的60

%，试估计全市每月节约的电量；（3）在（1）（2）条件下，若出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，求议价b.【答案】（1）80；（2）480000度；（3）1.25b=【解析】【分析】（1）计算出每组的频率，找出满足题意的分组后样本估计总体即可得解；（2）由题意计算出样本中10

0户住户每月共节电度数，乘以200000100后即可得解；（3）由题意，仅对样本中“超出部分”对应的总电费进行考虑即可：“超出部分”由400度变为240度，计算即可得解.【详解】（1）由频率分布直方图，可算得各组数据对应的频率

及频数，如表：分组)0,20)20,40)40,60)60,80)80,100100,120频率0.040.120.240.300.250.05频数4122430255由表可知，区间)0,80内的频率总和恰为0.7，由

样本估计总体，可得临界值a的值为80.（2）由（1）知，月用电量在)0,80内的70户住户在“阶梯电价”出台前后用电量不变，节电量为0度；月用电量在)80,100内的25户住户，平均每户用电90度，超出部分为10度，根据题意，每户每月节电106

0%6=度，25户每月共节电625150=（度）；月用电量在100,120内的5户住户，平均每户用电110度，超出部分为30度，根据题意，每户每月节电3060%18=（度），5户每月共节电18590=（度）.故样本中100户住户每月共节电15090240+=（度），用样本估计总体，

得全市每月节电量约为200000240480000100=（度）.（3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不发生改变，故“超出部分”对应的总电费也不变，由（1）（2）可知，在100户住户组成的样本中，每月用电量的“超出部分”共计102530

5400+=（度），实行“阶梯电价”之后，“超出部分”节约了240度，剩余160度，因为“阶梯电价”前后电费总额不变，所以4000.5160b=，解得1.25b=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.19.在如图所示的五面体ABCDE

F中,四边形ABCD为菱形,且60,22,//,DABEAEDABEFEFABM=====为BC中点.(1)求证:FM∕∕平面BDE;(2)若平面ADE⊥平面ABCD,求F到平面BDE的距离.【答案】(1)见解析(2)155【解析】【详解】(1)取BD中点O,连接,OMOE,因为,OM分

别为,BDBC的中点,所以//OMCD,且12OMCD=,因为四边形ABCD为菱形,所以//,CDABCD又平面,ABFEAB平面ABFE,所以//CD平面ABFE.因为平面ABFE平面,CDEFEFCD=平面CDEF,所以CDEF∕∕.又2ABCD==,所以12EFC

D=.所以四边形OMFE为平行四边形，所以//MFOE.又OE平面BDE，且MF平面BDE,所以//MF平面BDE.(2)由(1)得//FM平面BDE,所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离.取AD的中点H,连接,EHBH,因为四边形ABCD为菱形,且60,2DABEAEDA

BEF====,所以,EHADBHAD⊥⊥,因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE平面ABCDAD=,所以EH⊥平面,ABCDEHBH⊥,因为3EHBH==,所以6BE=,所以22161562222BDES=−=,设F到平面BDE的距离为h,又因为

113342242BDMBCDSS===,所以由EBDMMBDEVV−−=,得1311533232h=,解得155h=.即F到平面BDE的距离为155．20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左右焦点分别为12,FF，P是椭圆

短轴的一个顶点，并且12PFF是面积为1的等腰直角三角形.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线1:1lxmy=+与椭圆E相交于,MN两点，过M作与y轴垂直的直线2l，已知点3(,0)2H,问直线NH与2l的交点的横坐标

是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2212xy+=；（2）NH与2l交点的横坐标为定值2，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题中的条件，写出椭圆的焦点的坐标，利用等腰直角三角形的条件，得出,,abc的关系，从而求得其值，从而

得出椭圆的方程，得到结果；（2）设出直线与椭圆的两个交点的坐标，联立方程组，利用韦达定理得到12122221,22myyyymm−−+==++，写出直线HN的方程：223()322yyxx=−−，令1yy

=，整理得出其横坐标，从而证得其为定值，得到结果.【详解】（1）由已知得12(,0),(,0)FcFc−，设(0,)Pb12PFF是面积为1的等腰直角三角形，1,2bca===椭圆E的方程为2212xy+=（2）设1122(,),(,)MxyNxy22112xmyxy=++=

得22(2)210mymy++−=12122221,22myyyymm−−+==++直线HN的方程：223()322yyxx=−−令1yy=1221212222221313()2()()322222

2myyyyxymyymxyyy−−++−−++=+==22222222mmymmy−++++==NH与2l交点的横坐标为定值2.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与

椭圆的交点问题，两直线的交点问题，属于中档题目.21.已知函数2()ln(0,)axfxxaaRxa=++（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设1()2axgxxaa=+−+，当0a时，证明：()()fxgx.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析

】【分析】（1）首先对函数求导，对式子进行因式分解，结合函数的定义域，对参数的范围进行讨论，从而利用导数的符号确定出函数的单调区间；（2）构造新函数1()()()ln2aFxfxgxxxa=−=++−，对函数求导，得到

函数的单调性，从而得到函数的最值，根据函数的最小值大于等于零，从而证得结果.【详解】（1）22121(2)()()axaxafxxxaax+−=−+=当0a时，()0fxxa，()00fxxa当0

a时，()002fxxa−，()02fxxa−∴0a时，()fx在(0,)a上递减，在(,)a+递增0a时，()fx在(0,2)a−上递增，在(2,)a−+递减（2）设1()()()l

n2aFxfxgxxxa=−=++−则221()(0)axaFxxxxx−=−=0a，(0,)xa时，()0Fx，()Fx递减(,)xa+，()0,Fx()Fx递增，1()()ln1FxFaaa=+−设1()ln1hxxx=+−，(0)x,则22111()(

0)xhxxxxx−=−=1x时，()0,hx时，()hx递增，01x时，()0hx，()hx递减()(1)0hxh=，()()0Faha=()0Fx，即()()fxgx【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到

的知识点有应用导数研究函数单调性，注意分类讨论思想的应用，应用导数证明不等式恒成立，注意构造新函数，结合最值得到结果.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.22.在

直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cos3sin,sin3cosxy=+=−（为参数）．坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos3

6−=．（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（2）设射线:3OM=与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段AB的长．【答案】（1）224xy+=2=（2）232−【解析】【分析】（1）结合三角函数的基本关

系消去参数可得普通方程，结合公式cosx=，siny=可得极坐标方程；（2）分别联立极坐标方程，求得交点的极径，从而可得线段AB的长．【详解】解：（1）由题意得2222(cos3sin)(sin3cos)4xy+=++−=，∴曲线C的普通方程为224xy+=．∵co

sx=，siny=，∴代入可得曲线C的极坐标方程为2=．（2）把3=代入cos36−=中，可得cos336−=，解得23=﹐即B点的极径23B=，由（1）易得2A=，∴||232ABAB=−=−．【点睛】本题主要

考查参数方程与极坐标方程，参数方程化为普通方程一般是消去参数，普通方程化为极坐标方程主要利用cosx=，siny=来实现，侧重考查数学运算的核心素养.23.己知0a，函数()fxxa=−.（1）若2a=，解不等式()()35fxfx++；（2）若函数()()()2gxfxfxa=−+，

且存在0xR使得()202gxaa−成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）|23xx−；（2）(0,4]【解析】【分析】（1）零点分段解不等式即可（2）等价于()2max2gxac−，由2x

axaxaxaa−−+−−−=，得不等式即可求解【详解】（1）当2a=时，()()12,13213,1221,2xxfxfxxxxxx−−++=−++=−−，当1x−时，由125x−，解得21x−−；当12x−时，由35，解得12x−；当2x时，由21

5x−，解得23x.综上可知，原不等式的解集为|23xx−.（2）()()()2gxfxfxaxaxa=−+=−−+.存在0xR使得()202gxaa−成立，等价于()2max2gxaa−.又因为2xaxaxaxaa−−+−−−=，所以222aaa−，

即240aa−.解得04a，结合0a，所以实数a的取值范围为(0,4.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题