【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第8章 第1讲　基本立体图形及其直观图 含解析【高考】.doc，共(23)页，1.521 MB，由小赞的店铺上传

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1第1讲基本立体图形及其直观图1．多面体、旋转体的定义(1)由若干个01平面多边形围成的几何体叫多面体．(2)一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的02一条定直线旋转所形成的曲面叫做03旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．2．棱柱

的概念及其分类(1)棱柱的概念有两个面04互相平行，其余各面都是05四边形，并且相邻两个四边形的公共边都06互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．(2)棱柱的分类①按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……②按侧棱是否与底面垂直侧棱垂直于底面的棱柱叫做07直棱柱，侧棱不垂直于底面

的棱柱叫做08斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做09正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做10平行六面体.3．棱锥的概念及其分类2(1)棱锥的概念有一个面是11多边形，其余各面都是有一个公共顶点的12三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥

．(2)棱锥的分类①按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做13正棱锥．4．棱台的概念及其分类(1)棱台的概念用一个14平行于棱锥底面的平面去截

棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台．(2)棱台的分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……5．圆柱、圆锥、圆台、球的概念及表示定义图形及表示圆柱以15矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形

成的面所围成的旋转体叫做圆柱，如图中圆柱表示为圆柱O′O圆锥以16直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体，如图中圆锥表示为圆锥SO圆台用17平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底

面与截面之间的部分叫做圆台，如图中圆台表示为圆台O′O3球18半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球，如图中的球表示为球O6．简单组合体(1)概念由19简单几何体

组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体20拼接而成；②由简单几何体21截去或挖去一部分而成．7．直观图(1)画法：常用22斜二测画法.(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”

坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.2．直观图与原图形面积的关系4S直观图＝24S原图形(或S原图形＝22S直观图)．1．下列结论

正确的是()A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台答案B解析底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱

锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误．故选B.2．如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一

个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱答案B解析螺栓是圆柱，螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱．故选B.3．(多选)下列说法正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆

锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥5D．圆台平行于底面的截面是圆面答案ABD解析由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直

角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错误．故选ABD.4．以下利用斜二测画法得到的结论中，正确的是()A．相等的角在直观图中仍相等B．相等的线段在直观图中仍相等C．平行四边形的直观图是平行四边形D．菱形的直观图是菱形答案C解析根据斜二

测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故A，B，D错误；对于C，根据平行性不变原则，平行四边形的直观图仍然是平行四边形，C正确．故选C．5．如图

所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．ABB．ADC．BCD．AC答案D解析△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC>AB，AC>AD，AC>BC．

故选D.6．如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一小部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是()6A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体答案C解析由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．故选C．考向一空间几何体的结构特征例

1下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点答案B解析A错误，如图1；B正确，如图2，其中PD⊥底

面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱延长后必相交于同一点．故选B.识别空间几何体的两种方法(

1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定．7(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．1.下列结论正确的是()A．各个面都是

三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线答案D解析由图1知，A错误；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得

的几何体不是旋转体，B错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确．故选D.2．(多选)(2022·山东聊城高三月考)如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水

槽中的水形成的几何体可以是()A．四棱柱B．四棱台C．三棱柱D．三棱锥答案AC解析根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱．故选AC．8考向

二平面图形与其直观图的关系例2(1)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为()A．242B．122C．482D．202答案A解析解法一：由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝

6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE×12×22＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝42，∴S▱OABC＝6×42＝242.故选A．解法二：S▱OABC＝22S矩形O′A′B′C′＝22×6×2

＝242.故选A．(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.答案22解析因为OE＝(2)2－12＝1，所以O′

E′＝12，E′F′＝24，所以直观图A′B′C′D′的面积S′＝12×(1＋3)×24＝22.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变

)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图中的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．93.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为()A．34a2B．38a2C．68a2D．616a

2答案D解析如图①②所示的平面图形和直观图．A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.故选D.4．用斜二测画法画出的某平面图形

的直观图如图，边AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴．已知四边形ABCD的面积为22cm2，则原平面图形的面积为________cm2.答案8解析解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高

为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8cm2.解法二：依题意可知，S直观图＝22cm2，故S原图形＝22S直观图＝8cm2.多角度探究突破考向三空间几何体的展开图和截面图角度空间几何体的展开图问题10例3(1)某圆

柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2答案B解析圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为EP的四等分点)如图

所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．EN＝14×16＝4，EM＝2，∴MN＝EM2＋EN2＝22＋42＝25.故选B.(2)某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一

份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字．该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图是该正方体的展开图，若图中“致”在正方体的后

面，那么在正方体前面的字是()A．最B．美C．逆D．行答案B解析由题图可知，“致”的对面是“美”，“敬”的对面是“逆”，“最”的对面是“行”．若图中“致”在正方体的后面，则“美”在前面．故选B.11角度空间几何体的截

面问题例4(1)某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，

则该球的半径是()A．2B．4C．26D．46答案B解析设截面圆的半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即23，根据截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，故由题意知R2＝r2＋(23)2，即R2＝2

2＋(23)2＝16，所以R＝4，故选B.(2)(多选)(2022·广东珠海高三质检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论，其中正确的是()A．截面形状可能是正三角形B．截面的形状可能是正方形C．截面形状可能是正五边形D．截面

面积的最大值为33答案AD解析对于A，当α截此正方体所得截面为B1CD1时满足，故A正确；对于B，由对称性得截面形状不可能为正方形，故B错误；对于C，由对称性得截面形状不可能是正五边形，故C错误；对于D，当截面为正六边形时面积

最大，为6×34×(2)2＝33，故D正确．故选AD.12(1)通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：①求几何体的表面积或侧面积；②求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．(2)求解与截面有关的问题的关键是确定截面的形状，并从几何体中获取相关的数据进行计算．(3)作

多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面．5.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．22C．4D．42答案B解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图为一个半圆

，所以2πr＝πl.所以l＝2r＝22.故选B.6．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1cm，高为5cm，若一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点，则该质点所经最短路线的长为()A．12B．13C．61D．1

513答案C解析如图所示，把侧面展开两周可得对角线最短，AA1＝62＋52＝61cm.故选C．一、单项选择题1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥答案D解析从较短的底

边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图所示．故选D.2．给出下列命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等

矩形的四棱柱一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()14A．0B．1C．2D．3答案A解析①底面是菱形的直平行六面体，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误．故选A．3．一个棱

锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥答案D解析由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱

锥．故选D.4．(2022·福建泉州高三模拟)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆

木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为()A．2丈4尺B．2丈5尺C．2丈6尺D．2丈8尺答案C解析由题意，圆

柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长的最小值为242＋102＝26(尺)，即为2丈6尺．故选C．5．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为()15A．23B

．22C．43D．82答案D解析由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，∠B′O′A′＝45°且O′B′＝22，那么在原图形中，∠BOA＝90°且OB＝42，因此，

原平面图形的面积为2×42＝82，故选D.6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点．那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案D解析通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选

D.7．(2022·湖北武汉高三月考)多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为V(顶点数)＋F(表面数)－E(棱长数)＝2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯C

60(结构图如图)是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个面为正五边形，20个面为正六边形．除C60外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有C28，C32，C50，C70，C84，C240，C54016等，则C84结构含有正六边形的个数为()A．12B．2

4C．30D．32答案D解析设分子中形状为正五边形和正六边形的面各有x个和y个，V＝84，F＝x＋y，E＝3×84÷2.由欧拉公式V＋F－E＝2，可得84＋x＋y－3×84÷2＝2，即x＋y＝44.又由多边形的边数可表示C84的棱数，即(5x＋6y)÷2＝3×84÷2，即5x

＋6y＝252，由x＋y＝44，5x＋6y＝252，解得x＝12，y＝32.故C84结构含有正六边形的个数为32.故选D.8．过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是

()A．1B．2C．32D．62答案D解析取AA1的中点E，CC1的中点F，连接BE，ED1，D1F，FB，如图所示．四边形BED1F为过棱长为1的正方体的一条体对角线BD1所作截面的面积最小的截面，且四边形BED1F是菱形，其截面面积为

12·BD1·EF＝12×3×2＝62.故选D.179．如图所示，在单位正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP＋D1P取得最小值，则此最小值为()A．2B．2＋62C．2＋2D．2＋2

答案D解析如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D1′，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1′，则AD1′＝1＋1－2×1×1×cos135°＝2＋2为所求的最小值．故选D.10．(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔

是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()18A．5－14B．5－12C．5＋14D．5＋12答案C解析如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝PE2－O

E2＝b2－a24，由题意，得PO2＝12ab，即b2－a24＝12ab，化简得4ba2－2·ba－1＝0，解得ba＝5＋14(负值舍去)．故选C．二、多项选择题11．关于简单几何体的结构特征，下列说法正确的是

()A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等答案ACD解析根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等．故选ACD.12．对如图中的组合体的

结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是()19A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的答案AB解析如图，

该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，故A，B正确．故选AB.三、填空题13．(2021·南通模拟)过年了，小张准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心．为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如

图1所示)，并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎(如图2所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1，则l1l2的值为________.答案22解析设点心盒的长为2a(a>

0)，因为点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1，所以点心盒的宽、高分别为2a，a.如题图1，绳长l1＝4×22a＋4×2a＝62a，如题图2，绳长l2＝4×2a＋4a＝12a，所以l1l2＝62a12a＝22

.14．(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印20信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它

的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.答案262－1解析先求面数，有如下两种解法．解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个

面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26个面．解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长.作中间部分的

横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝22x.又AM＋MN＋NF＝1，∴22x＋x＋2

2x＝1.∴x＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1.四、解答题15．若已知△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC21的面积．解如图所示是△ABC的直观图△A′B′C′.作C′D′∥y′轴交

x′轴于点D′，则C′D′对应△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2×2×C′O′＝22×32a＝6a.而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝12a·6a＝62a2.16．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分

别为4πcm2和25πcm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD.由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm.又由(如图所示)题意知腰长AB＝12cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝31

5(cm)．(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为lcm，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12l＝25，解得l＝20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.17．如图，圆台的上、下底面半径分别为5cm，1

0cm，母线长AB＝20cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．求：(1)绳子的最短长度；22(2)在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离．解(1)如图，绳子的最短长度为侧面展开

图中AM的长度．由OBOB＋AB＝510，得OB＝20cm，所以OA＝40cm，OM＝30cm.设∠BOB′＝θ，由2×5π＝OB·θ，解得θ＝π2.所以AM＝OA2＋OM2＝50(cm)．即绳子的最短长度为50cm.(2)过点O作OQ⊥AM于点Q，交BB′︵于点P，则PQ的长度为所求最

短距离．因为OA·OM＝AM·OQ，所以OQ＝24cm.故PQ＝24－20＝4(cm)，即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.18．(2021·新高考八省联考)北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多

面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π－3×π3＝π，故其总曲率为4π

.(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数－棱数＋面数＝2，证明：这类多面体的总曲率是常数．解(1)由题可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和．可以从整23个多面体的角度考虑，所有与顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合．由图可知，四棱锥共有5个

顶点，5个面，其中4个面为三角形，1个面为四边形．所以四棱锥的表面内角和为4个三角形，1个四边形的所有内角和，则其总曲率为2π×5－(4π＋2π)＝4π.(2)证明：设顶点数、棱数、面数分别为n，l，m，所以有n－l＋m＝2.设第i个

面的棱数为xi，所以x1＋x2＋…＋xm＝2l，所以总曲率为2πn－π[(x1－2)＋(x2－2)＋…＋(xm－2)]＝2πn－π(2l－2m)＝2π(n－l＋m)＝4π，所以这类多面体的总曲率是常数．