【文档说明】考点44 双曲线（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）.docx，共(12)页，457.008 KB，由管理员店铺上传

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考点44双曲线一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准

方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质标准方程x2a2－

y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)顶点顶

点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚

半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识理解四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)

＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．例：由Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直

线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置

关系是平行或重合．考向一双曲线的定义【例1-1】（2021·浙江省德清县第三中学）已知双曲线22:14xGy−=的左､右焦点分别为1F､2F，若点P在G的右支上，且21PF=，则1PF=（）A．3B．5C．251−D．

251+【例1-2】．（2020·河北张家口市）已知12(6,0),(6,0)FF−，动点P满足21|PFPFa−=∣，当a分别为4和12时，点P的轨迹分别为（）A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线【例1-3】．

（2021·全国课时练习）已知F1，F2分别为双曲线C：221xy−=的左､右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________.考向分析【举一反三】1．（2021·上海普陀区）设P是双曲线221169xy−=上的点，若

1F，2F是双曲线的两个焦点，则12PFPF−=（）A．4B．5C．8D．102．（2021·上海市）已知两点()3,0M−和()3,0N，动点P满足6PMPN−=，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．一条射线D．双曲线的右支3．（2021·浙江省宁海中学高三月考）在平面直角坐标系中，()1

2,0F−，()22,0F，12PFPFa−=(aR)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是（）A．()0,4B．(0,4C．()4,+D．()()0,44,+4．（2021·全国高三专题练习）已知1F、2F为双曲线22:13xCy−=的左、右焦点，点P在C上，12

60FPF=，则12PFF△的面积为____________考向二双曲线的标准方程【例2-1】（2021·福建龙岩市）“11m−”是“方程22112xymm+=+−表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也

不必要条件【例2-2】．（2021·全国课时练习）过点(1,1)，且2ba=的双曲线的标准方程是（）A．22112xy−=B．22112yx−=【方法总结】双曲线定义(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题

，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．C．22112yx−=D．22112xy−=或22112yx−=【举一反三】1．（2021·海原县第一中学）

根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）焦点在x轴上，2a=离心率52e=，求双曲线的标准方程；（2）11ac+=，3ca−=，焦点在y轴上，求双曲线的标准方程．2．（2021·浙江）已知曲线22:1()1

2xyEmmm−=−−R，（）A．若E表示双曲线，则2mB．若12m，则E表示双曲线C．若E表示椭圆，则2mD．若12m且32m，则E表示椭圆3．（2021·江苏南通市）命题:p“34m”是命题:q“曲线22135xymm−=−−表示双曲线”的（）A．充要条件B．必要不充分条

件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考向三直线与曲线的位置关系【例3】（2021·全国课时练习）若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，求实数k的取值范围．【举一反三】1．（2021·徐汇区·上海中学）已知直线

()1ykxk=+R与双曲线2231xy−=，则k为何值时，直线与双曲线有一个公共点？2．（2021·江苏南通市）直线34ykxk=−+与双曲线221169xy−=有且只有一个公共点，则k的取值有（）个A．1B．2C．3D．43．（2021·陕西宝鸡市）如果直线1ykx=−与双曲

线224xy−=只有一个交点，则符合条件的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条考向四弦长【例4】（2020·全国高三专题练习）直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为（）A．143B．2143C．273D．7【举一反三】1．（2

020·辽宁朝阳市·高三月考）直线0xy−=与双曲线2222xy−=有两个交点为A，B，则AB=（）A．2B．22C．4D．422．（2021·全国高三专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：22x－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段

AB的中点，则|AB|＝（）A．22B．23C．33D．43考向五离心率与渐近线【例5】（2021·浙江湖州市）双曲线2214yx−=的离心率是_______，渐近线方程是_______．（两条都写出）【举一反三】1．（

2021·浙江杭州市·学军中学）双曲线22143xy−=的渐近线方程是___________；离心率为___________.2．（2021·湖北高三一模）已知12,FF分别是双曲线C的左､右焦点，若双曲线C上存在一点M满足1212:

:12:13:5MFMFFF=，则该双曲线的离心率为___________.3．（2020·河北张家口市）已知椭圆221259xy+=和双曲线22221(0,0)xyabab−=有共同焦点12,,FFP是它们的一个交点，且123FPF=，则双

曲线的离心率为_____________.强化练习1．（2021·甘肃高三一模（文））设1F，2F是双曲线()222106xyaa−=的左、右焦点，一条渐近线方程为62yx=，P为双曲线上一点，且213PFPF

=，则12PFF△的面积等于（）A．6B．12C．610D．3102．（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））点P为双曲线2221(0)9xyaa−=右支上一点，12FF、分别是双曲线的左、右焦点，若127,3PFPF==，则双曲线的一条渐进方程是（）A．230xy+=B．

490xy+=C．320xy−=D．940−=xy3．（2021·云南高三其他模拟（理））设双曲线C：()22221024xyaaa−=的左､右焦点分别为1F，2F，若P为C右支上的一点，且12PFPF

⊥，则21tanPFF=（）A．43B．74C．2D．1254．（2021·江西赣州市·高三期末（理））已知双曲线22212xyaa−=−的离心率为2，则实数a的值为（）A．1B．C．2−D．1或2−5．（2021·定远县育才学校）已知方程2212

1xykk+=−−的图像是双曲线，那么k的取值范围是（）A．1kB．2kC．1k或2kD．12k6．（2021·陕西省黄陵县中学）若方程22126xymm+=−−表示双曲线，则m的取值范围是（）A．2m或6mB．26mC．6m−或2m−D．

62m−−7．（2021·全国单元测试）焦距为10，且43ba=的双曲线的标准方程为（）A．221916xy−=B．221916yx−=C．2219100xy−=D．221916xy−=或221916yx−=8．（2021·江西上）已知椭圆2211612xy+=的

长轴端点和焦点分别是双曲线C的焦点和顶点，则双曲线C的方程为（）A．22179xy−=B．22197yx−=C．221412xy−=D．221124yx−=9．（2021·安徽）已知双曲线C：2214xym−=经过点()2,2，则C的渐近线方程为

（）A．2yx=B．12yx=C．2yx=D．22yx=10．（2021·安徽淮南市）已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为3yx=，则双曲线的标准方程是（）A．2213xy−=B．22

13yx−=C．2213yx−=D．2213xy−=11．（2021·宁夏银川市·银川一中）已知两定点12(5,0),(5,0)FF−，曲线上的点P到12,FF的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）

A．221916xy−=B．221169xy−=C．2212536xy−=D．2213625xy−=12．（2021·全国高三月考（理））已知双曲线22221xyab−=的一个顶点坐标为(3,0)−，且该双曲线的离心率是103，则b=（）A．1B．2C．D．213．（202

1·全国高三月考（文））若双曲线22221xyab−=的离心率等于103，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3yx=B．12yx=C．13yx=D．2yx=14．（2021·浙江高三其他模拟）已知双曲线()222:1016xyCbb−=的焦距为10，则双曲

线C的渐近线方程为（）A．916yx=B．169yx=C．43yx=D．34yx=?15．（2021·湖北黄石市·黄石二中）已知直线l的方程为1ykx=−，双曲线C的方程为221xy−=.若直线l与双曲线C的右支相交

于不同的两点，则实数k的取值范围是（）A．(2,2)−B．[1,2)C．[2,2]−D．(1,2)16．（2020·全国高三专题练习）过点(4,3)P与双曲线221169xy−=只有一个公共点的直线有（）条．A．1B．2C．3D．417．（多选）（2020·江苏）关于x、

y的方程22221232xymm+=+−（其中223m）对应的曲线可能是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线18．（多选）（2021·广东东莞市）已知曲线22:173xyCmm+=−−，则下列选项正确的是（）A．()0,3m

，曲线C表示椭圆B．()3,5m，曲线C表示椭圆C．()5,7m，曲线C表示双曲线D．()7,m+，曲线C表示双曲线19．（多选）（2021·福建漳州市·龙海二中高三月考）已知直线yx=与双曲线22221(0,0)xyabab−=无公共点，则双曲线离心率可能为（）

A．1B．2C．62D．320．（多选）（2020·武冈市第二中学）已知直线l过点(3,0)，且与双曲线2213xy−=仅有一个公共点，则直线l的方程可能为（）A．3x=B．3x=−C．313yx=−D．313yx=−+21．（2021·全国高三专题练习）已知双曲线2

22:1(0)4xyCbb−=的离心率为52，则（）A．C的焦点在y轴上B．C的虚轴长为2C．直线5x=与C相交的弦长为1D．C的渐近线方程为2yx=22．（2021·广西玉林市）已知双曲线22:1169xyC−=的左､右焦

点分别是1F，2F，点M关于1F，2F对称的点分别是A，B，线段MN的中点在双曲线C的右支上，则ANBN−=___________.23．（2021·赣州市赣县第三中学）若曲线22:122xyCmm+=+−是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围

___________.24．（2021·湖北高三月考）写出一个渐近线的倾斜角为60且焦点在y轴上的双曲线标准方程___________.25．（2020·北京人大附中高三月考）若直线l：1ykx=−与双曲线C

：2214xy−=有两个公共点，则实数k的取值范围是__________．26．（2021·全国课时练习）求双曲线2214yx−=被直线1yx=+截得的弦长______________．27．（2021·河南新乡市）过双曲线M：2

213xy−=的右焦点F作圆C：221(1)2xy++=的切线，此切线与M的右支交于A，B两点，则||AB=___________.28．（2020·全国课时练习）已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的一条渐近线方程是2yx=，过

其左焦点()3,0F−作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长AB=________.29．（2020·全国高三专题练习）过双曲线2213yx−=的左焦点F1，作倾斜角为6的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝_____.30．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高三期中）

倾斜角为4的直线过双曲线22:13xCy−=的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则AB=_________.31．（2021·北京海淀区·高三期末）已知双曲线2212yx−=的左右焦点分别为1F，2F，点()3,4M−，则双曲线的渐近线方程为__________；12MFMF−=__

________.32．（2021·全国课时练习）已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△

AOB的面积为2，求实数k的值．33．（2021·六安市裕安区新安中学）已知双曲线22:2Cxy−=及直线:1lykx=−．（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围．（2）若l与C交于A，B两点，且线段

AB中点的横坐标为23−，求线段AB的长．34．（2020·福建福州）双曲线C：2213yx−=，过点()2,1P，作一直线交双曲线于A、B两点，若P为AB的中点．（1）求直线AB的方程；（2）求弦AB的长35．（2021·全国高三专题练习）过双曲线22142xy−=的右焦点F

作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点.（1）求双曲线的离心率和渐近线；（2）求AB的长.