【文档说明】8.6.2 直线与平面垂直-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx，共(18)页，969.469 KB，由管理员店铺上传

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8.6.2直线与平面垂直一、直线与平面垂直的定义1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直2、符号语言：l⊥α3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足4、图形语言：5、画法：画直线与平面垂直时，通

常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.6、点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点到垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做叫做这个点到该平面的距离。【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.二、直线与平面垂直的判定定理1、文字语言：如果一条直

线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α3、图形语言：5、作用：证明线面垂直三、直线与平面垂直的性质定理1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.2、符号语言：a⊥αb⊥α⇒a∥b3、图形语言：4、作用：

①线面垂直⇒线线平行②作平行线5、推论：（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/（4）垂直于同一条直线的两个平行

平行.四、直线和平面所成的角1、有关概念：（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO2、直线与平面

所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角3、取值范围：[0°，90°]五、三心问题结论设P是三角形ABC所在平面α外一点

，O是P在α内的射影（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点．（2）若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．（3）若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内

心．题型一对判定定理和性质定理的理解【例1】下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条

直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．【答案】②【解析】因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．由线面垂直的定义可得，故②正确．因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．如图，l与α

不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确．【变式1-1】下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是()A．①④B．②③C．①②D．③④【答案】B【解析

】过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.【变式1-2】若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC【答

案】C【解析】∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.【变式1-3】如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是__

______(填序号)．【答案】①③④【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．故填①③④.题型二线面垂直的判断【例2】如果直线

,lm与平面,,满足l=?，l，m，m⊥，那么必有（）A.⊥且lm⊥B.P且mC.m且lm⊥D.∥和⊥【答案】A【解析】∵,mm蘜，∴⊥.∵,ml^?，∴ml⊥，故

选A.【变式2-1】设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列判断正确的是()A.若n⊥，m⊥，则mn⊥B.若∥，m⊥，则m⊥C.若⊥，l=，ml⊥，则m⊥D.若mn，m，则n【答案】B【解

析】A选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得mn；B选项正确，若∥，则存在,,abab，在平面内存在',',''aabbab∥∥，由m⊥，可得,','mambmamb⊥⊥⊥⊥，由线面垂直的判定定理可得m⊥；C选项不正确，因为根据面面垂直的

性质定理，需要加上“m在平面内或者平行于”这个条件，才能判定m⊥；D选项不正确，直线n可能在平面上．【变式2-2】直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是()A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【答案】D【解析】以如图所示的正方体ABCD－A1

B1C1D1为模型．A1A⊥平面ABCD，A1A⊥A1B1，AA1⊥AB，A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，故选D．【变式2-3】下列命题①a⊥αb⊂α⇒a⊥b；②a⊥αa∥b⇒b⊥α；③a⊥αb∥α⇒a⊥b;④a⊥ba⊥bb

⊂αc⊂α⇒a⊥α；⑤a∥αa⊥b⇒b⊥α；⑥a⊥αb⊥a⇒b∥α．其中正确命题的个数是()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】因为a⊥α，则a与平面α内的任意直线都垂直，∴①正确．又若b∥α，a⊥α，由线面平行的性质及空间两直线所成角的定

义知，a⊥b成立，∴③对；两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也垂直于这个平面；∴②正确；由线面垂直的判定定理知④错；a∥α，b⊥a时，b与α可以平行相交(垂直)也可以b⊂α，∴⑤错．当a⊥α，b⊥a时，有b∥α或b⊂α，∴⑥错．【变式2-4】如图已知四棱锥P－ABC

D中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，CD⊥AD，又PA⊥BC，PA⊥CD，PA∩AB＝A，PA∩AD＝A，∴BC⊥面PAB

，CD⊥面PAD，∴BC⊥PB，CD⊥PD，∴直角三角形为：Rt△PAB，Rt△PAD，Rt△PBC，Rt△PDC共4个．题型三线面垂直的证明【方法小结】利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤：（1

）在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线；（3）根据判定定理得出结论。【例3】在正方体中ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心．求

证：B1O⊥平面PAC．【解析】如图所示，连接AB1、CB1、B1D1、PB1、PO.设AB＝a，则AB1＝CB1＝B1D1＝2a，AO＝OC＝22a，∴B1O⊥AC．∵B1O2＝OB2＋BB21＝22

a2＋a2＝32a2，PB21＝PD21＋B1D21＝12a2＋(2a)2＝94a2，OP2＝PD2＋DO2＝12a2＋22a2＝34a2，∴B1O2＋OP2＝PB21，∴B1O⊥OP.又PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC．【变式3-1】如图，在四面

体A­BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝2.求证：BD⊥平面ACD.【解析】取CD的中点为G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.∵EF＝2，∴

EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.【变式3-2】如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．（1）求证：AN⊥平面

PBM.（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.【解析】（1）∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.（2）由（1）知AN⊥平面P

BM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.【变式3-3】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．证明：A

1D⊥平面A1BC；【答案】见解析【解析】设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE

＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.【变式3-4】如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC．

【解析】H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC．∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC．又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC．又AH∩PA＝A，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥PH.同理AB⊥PH，∴PH⊥平面A

BC．【变式3-5】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC．【解析】∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面A

BCD，∴BD⊥PA．∵∠BAD和∠ABC都是直角，∴tan∠ABD＝ADAB＝33，tan∠BAC＝BCAB＝3，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC

．题型四线面垂直证明线线垂直【方法小结】若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线

的有关性质；【例4】如图，已知正方体A1C.（1）求证：A1C⊥B1D1.（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.【解析】（1）如图，连接A1C1.∵C

C1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1.∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又∵CC1∩A1C1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.（2）如图，连接B1A，AD1.∵B1

C1∥AD，B1C1=AD，∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，∴MN⊥平面AB1D1.由（1）知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1＝B1，

∴A1C⊥平面AB1D1，∴A1C∥MN.【变式4-1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1【解析】∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝

D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.【变式4-2】如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，EF与以异面直线AC,A1D都垂直相交，求证：EF//BD1.【解析】连接AB1，B1C，BD，B1D1，BD1，因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以D

D1⊥AC，又AC⊥BD，所以AC⊥平面BDD1B1，故AC⊥BD1.同理B1C⊥BD1，所以BD1⊥平面AB1C.又EF⊥A1D，A1D∥B1C，又EF⊥AC，所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1.【变式4-3】如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB

＝CD，点E为棱PB的中点，PB＝PD.求证：PC⊥BD；【解析】取BD的中点O，连接CO，PO，因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO又PO∩CO＝O，PO，

CO⊂平面PCO，所以BD⊥平面PCO因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD；题型五线面垂直证明线线平行【例5】如图在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别是N、M，求证：MN⊥SC．【解析】∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，

∴BC⊥平面SAB，∴AN⊥BC，又AN⊥SB，∴AN⊥平面SBC，∴AN⊥SC，又AM⊥SC，∴SC⊥平面AMN，∴MN⊥SC．【变式5-1】如图，正四棱锥S－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长的2倍，O为底面对角线的交点，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥

SD；（2）F为SD的中点，若SD⊥平面PAC，求证：BF∥平面PAC．【解析】（1）如图，连接SO.∵SA＝SC，O为AC的中点，∴SO⊥AC，又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SD.（2）如图，连接OP.∵SD⊥平面PAC，PO⊂平面P

AC，∴SD⊥OP.∵正方形ABCD的边长为a，∴BD＝2a.又∵SB＝2a，∴SB＝BD.又∵F为SD的中点，∴SD⊥BF.又∵BF⊂平面SBD，OP⊂平面SBD，∴BF∥OP.又OP⊂平面PAC，BF⊄平面PAC，∴BF∥平面PAC．【变式5-2】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点

，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB.【解析】（1）如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴B

G⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.（2）如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG

，∴AD⊥PB.【变式5-3】如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证：AE⊥SB.【解析】∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC．又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.∵S

C⊥平面AEFG，∴SC⊥AE.又∵BC∩SC＝C，∴AE⊥平面SBC．∴AE⊥SB.【变式5-4】如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.【解析】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.

又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.【变式5-5】如

图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.【解析】∵在正方形ABCD中，AD⊥AE，DC⊥CF，∴折起之后的几何体中，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F＝A′，∴A′

D⊥平面A′EF，∴A′D⊥EF.