【文档说明】重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高一下学期阶段性检测（一）数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.127 MB，由小赞的店铺上传

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西南大学附属中学高2025届高一下阶段性检测（一）数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对

应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,

1,3,5A=−，42Bxx=−，则AB=（）A.1,1−B.3,5C.1,3D.1,3,5【答案】B【解析】【分析】先求集合B，再根据交集的定义，求AB.【详解】42242xx−−−，解得：26x

，所以26Bxx=，1,1,3,5A=−，所以3,5AB=.故选：B2.函数()223fxxx=−++的定义域是（）A.1,3−B.(),13,−−+C.3,1−D.(),31,−−+

【答案】A【解析】【分析】结合已知条件，求解不等式2230xx−++即可得到答案.【详解】由()223fxxx=−++可知，2230xx−++，即2230xx−−，解得13x−，故()fx的定义域为1,3−.故选：A.3.函数()ln47fxxx=+−的零点所

在的区间是（）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,4【答案】B【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的性质，得到()fx在()0,+为单调递增函数，且()()120ff，结合零点的存在性定理，即可求解.【详解】由题意，函数()ln47fxxx=+−，可得函

数()fx在()0,+为单调递增函数，又由()13f=−，()2ln210f=+，可得()()120ff，所以函数()fx零点所在的区间是()1,2.故选：B.4.设向量()1,sina=−，()sin2,sinb

=，则“ab⊥”是“tan2=”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先根据ab⊥，求tan的值，再判断充分，必要条件.【详解】由条件可知，2sin2s

in0ab=−=，得22sincossin0−=，化简得()sin2cossin0−=，得sin0=或2cossin0−=，即tan0=或tan2=所以“ab⊥”是“tan2=”的必要不充分条件.故选：B5.当孩子“嗖”地滑下来时，能享受到成功的喜悦.滑

滑梯为儿童体育活动器械的一种，若测得的.60OAB=，45ABO=，30PAO=，302OB=，AOOP⊥，则滑滑梯的高度OP=（）A.18B.182C.20D.202【答案】C【解析】【分析】由正弦定理得到

203OA=，进而利用三角函数值求出OP.【详解】在ABO中，由正弦定理得sinsinOBOAOABABO=，即302sin60sin45OA=，解得203OA=，因为AOOP⊥，30PAO=，所以3tan30203203OPOA===.故选：C6.平面向量a，b

满足2ba=，且3ab−=，则b与ab−夹角的余弦值的最大值是（）A.32−B.12−C.12D.32【答案】A【解析】【分析】由3ab−=两边平方得2259aba=−，根据两个向量夹角的余弦公式结合均值不等式求得结果.【详解】由3ab−=两边平方得2229a

abb−+=，又2ba=，则()2222959ababa=+−=−.()222222598cos,126babbabbabaababababbabb−−−−−−====−−2391331242aaaa−−==−+−，当3a=时取等

号.则b与ab−夹角的余弦值的最大值32−.故选：A.7.已知函数()()0.1102,11log1,111axxfxxx−=−的值域为R，则实数a的取值范围是（）A.()0,+B.1,2−

C.10,2D.10,2【答案】C【解析】【分析】判断当111x时，()0.1()=log1fxx−的取值范围，从而判断11x时，()102fxax=−的取值范围应包含(),1

−−，由此列出不等式，求得答案.【详解】由题意知当111x时，())0.1()=log11,fxx−−+，由于函数()()0.1102,11log1,111axxfxxx−=−的值域为

R，故11x时，()102fxax=−的取值范围应包含(),1−−，故此时0a，且110221,2aa−−，故102a，故选：C.8.在锐角三角形ABC中，()222sinsinsin2sinsin,2BCBCBCA

C+−+==，则AC边上的高的取值范围是（）A.()1,22B.()1,2C.()2,22D.()1,2【答案】D【解析】【分析】由题意可得π4A=，所以有3π4BC+=，3π4CB=−，由三角形ABC为锐角三角形，可得ππ42B，由正弦定理可得有12(1)(2,22)tanABB

=+，最后由π2sin42hABAB==即可得答案.【详解】解：由()222sinsinsin2sinsinBCBCBC+−+=可得:2222bcabc+−=,所以22222cos222bcabcAbcbc+−===，又因为π(0,)2A，所以π4A=，所以

3π4BC+=，3π4CB=−，又因为三角形ABC为锐角三角形，所以3ππ042π02CBB=−，所以ππ42B，在ABC中，由正弦定理可得：sinsinACABBC=，即23πsinsin()4ABBB=−，故有3π2sin()2(sincos)142(1)sin

sintanBBBABBBB−+===+，因为ππ42B，所以1tan1,01tanBB，所以1112tanB+，所以222AB，又因为AC边上的高π2sin42hABAB==，所以(1,2)h.故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分

，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各式中，其中运算结果正确的是（）A.()44π4π4−=−B.82710log9log329=C.7177bbaa=（其中0a

，0b）D.222442+=【答案】BD【解析】【分析】由对数式和指数式的运算规则，化简验证各选项结论.【详解】π40−，则()44π4π44π−=−=−，A选项错误；827232510log9log32log3log2339==，B选项正确；777bbaa−=

，C选项错误；()2222222222224222422+++−====，D选项正确.故选：BD10.已知平面向量()2,1a=r，(),3bt=−，则下列说法正确的是（）A.若//ab，则6t=−B.若1t=，则5ab=C.若3t=，则向量b在a上的投影向量

为63,55D.若向量a与b的夹角为钝角，则32t【答案】AC【解析】【分析】由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的夹角、投影向量及向量共线的坐标运算求解即可．【详解】若//ab，则()23t−=，即6t=−，A选项正

确；若1t=，()1,3b=−，则()21131ab=+−=−，B选项错误；若3t=，()3,3b=−r，则向量b在a上的投影向量为()6333632,1,555555abaaaaa−====，C选项正确；若6t=−，()()32,31,36

ba=−−−=−=，向量a与b的夹角为180，D选项结论错误.故选：AC11.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且4sincos4sincossinBCCBaA+=，且π3A=，则下列说法正确的是（）A.ABC的外接圆的半径为433B.若ABC只有

一个解，则b的取值范围为04b或833b=C.若B为锐角，则c的取值范围为4383,33D.ABC面积的最大值为43【答案】AD【解析】【分析】首先利用三角恒等变换求4a=，再根据正弦

定理判断A；根据三角形的个数，建立不等式，判断B；求角C的范围，利用正弦定理求c，并求c的取值范围，判断C；利用余弦定理，结合基本不等式求bc的最大值，即可判断D.【详解】因为4sincos4sincossinBCCBaA+=，所以()4sin4sinsinBCAaA+==，

sin0A，所以4a=，因为π3A=，所以42sin32aRA==，解得：433R=，故A正确；B.若ABC只有一个解，则sinbAa=或0ab，得833b=或04b，故B错误；C.因为角B为锐角，π0,2B，所以2π3CABB=−−=−，所以π2π

,63C，sin4sin8sinsin332aCCcCA===，所以483,333c，故C错误；D.222222cos16abcbcAbcbcbc=+−=+−=，当bc=时，等号成立，所以13sin4324ABCSbcAbc==△，所以ABC面积的最大值为4

3，故D正确.故选：AD12.对于非零向量(),axy=，定义变换()(),Faxyxy=+−以得到一个新的向量.则关于该变换，下列说法正确的是（）A.若ab⊥，则()()FaFb⊥B.存在a，b使得()()1cos,

cos,2FaFbab=+C.设点(),1Aa−（0a），O为坐标原点，()OBFOA=且点O，A，B构成等腰三角形，则1867OBAB=+D.设()05,2a=−，()01aFa=，()12aaF=，…，()20232022aFa=，则1011020232aa=【答案】ACD【解

析】【分析】由定义变换的新向量，结合向量垂直的条件验证选项A，由向量夹角的坐标运算验证选项B，由向量模的运算求出点A坐标，再求题中数量积验证选项C，由新定义向量的变换，得到周期性，求出2023a，再计算020

23aa验证选项D.【详解】(),axy=，设(),bmn=，()(),Faxyxy=+−，()(),Fbmnmn=+−，若ab⊥，则有0abmxny=+=，()()()()()()220FaFbxymnxymnmxny=+++−−=+=，则()()FaFb⊥，A选项正确；()()()

()()()()()()()2222222222cos,FaFbmxnymxnyFaFbxymnFaFbxyxymnmn++===++++−++−，2222cos,abmxnyababxymn+==++，()()cos,cos,FaFbab

=，B选项错误；设点(),1Aa−（0a），(),1OAa=−，()()1,1OBFOAaa==−+，()1,2ABa=−+，21OAa=+，()()2221122OBaaa=−++=+，()221245ABaaa=++=++，点O，A，B构成

等腰三角形，则ABOB=，即225224aaa+=++，有2430aa−−=，由0a，解得27a=+，()17,37OB=++，()1,47AB=−+，()()()1737471867OBAB=−++++=+，C选项

正确；当(),naxy=时，()()1,nnFxyxyaa+==+−，()()212,2nnaxyFa++==，22nnaa+=，()05,2a=−，()10111011101120220252,22aa==−，()()101110112023202232,72

aFa==−−，()()101110111011020235322722aa=−−+−=，D选项正确.故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.化简PMPNMN−+=______.【答案】0【解析】【分析】根据向量加

法和减法运算公式化简求值.【详解】0PMPNMNNMMN−+=+=.故答案为：014.已知函数()42xxmfx+=，若()fx为奇函数，则()2f=______.【答案】154【解析】【分析】法一：根据函数为奇函数，得到()()fxf

x−=−，求出1m=−，得到函数解析式，求出()2f；法二：根据定义在R上的奇函数满足()00f=，求出1m=−，得到函数解析式，求出()2f.【详解】法一：因为()fx为奇函数，所以()()fxfx−=−，即44

22xxxxmm−−++=−，化简得()()1220xxm−++=，解得1m=−，故()412xxfx−=，所以()224115224f−==；法二：因为()fx为定义在R上的奇函数，故()004002mf+==，解得1m=−，经检验满

足题意，故()412xxfx−=，()224115224f−==.故答案为：15415.在ABC中，2BA=，CD是C的角平分线交AB于点D，且满足34ADBD=，则sinA=______.【答案】53【

解析】【分析】在BCD△中，由正弦定理可得：sinsinCDBDBBCD=，在ACD中，由正弦定理可得：sinsinCDADAACD=，代入已知条件可得2cos3A=,根据同角的三角函数关系即可求得答案.【详解】解：如图所示：因为CD是C的角平分线，所以BCDACD=，设

BCDACD==，又因为34ADBD=，设4,3(0)ADmBDmm==，又因为2BA=，23πBAAAA+=+=，所以π03A，在BCD△中，由正弦定理可得：sinsinCDBDBBCD=，即33s

in2sin2sincossinCDmCDmAAA==①,在ACD中，由正弦定理可得：sinsinCDADAACD=，即4sinsinCDmA=②,由①②可得即2cos3A=,又因为π(0,)3A，所以25sin1cos3AA=−=.故答案为：5

316.在ABC中，O是其外心，π3A=，1AB=，4AC=.边AB，AC上分别有两动点P，Q，线段PQ恰好将ABC分为面积相等的两部分.则OPOQ的最大值为______.【答案】16223−【解析】【分析】利用余弦定理求出a，再由正弦定理求出外接圆半径AO，利用外心

定义及数量积定义计算出·AOAB、·AOAC及·ABAC的值，又,OPOAABOQOAAC=+=+，利用数量积运算表示OPOQ，利用基本不等式即可求出最值.【详解】在ABC中，由余弦定理即2222cosabcbcA=+−及π3A=，1c=，4b=.得161413a=

+−=，设(01),(01)APABAQAC==，因为线段PQ恰好将ABC分为面积相等两部分，所以1sin1212sin2APQABCAPAQASAPAQSABACABACA====，因为O是其外心，所以211cos22AOABAOABOABAB

===，21cos82AOACAOACOACAC===，由正弦定理2sinarA=得13392sin33aAOA===，的且1cos1422ABACABACCAB===，又,OPOAAPOAABOQOAAQOAAC=+=+=+=+，所以2()()OPOQOAABOAACOAAB

OAACOAABAC=++=+++213116181(8)3232OAABAOACAOABAC=−−+=−−+=−+因为01,01，且12=，所以118282222

+=，当且仅当182=时即222,8==，等号成立，此时16116(8)22323OPOQ=−+−，即OPOQ的最大值为16223−.故答案为：16223−四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.17.已知向量a与b的夹角为120°，2a=，3b=.（1）求2ab+；（2）求2ab+与b的夹角的余弦值.【答案】（1）27（2）5714【解析】【分析】（1）利用数量积公式求向量的模；（2）利用向量夹角公式，结合向量数量积公式，化简求值.【小问1详解】()22222

44ababaabb+=+=++14364232=++−27=【小问2详解】()222cos2,22abbabbabbabbabb+++==++1232957214273−+==18.记ABC的内角A，B，C的

对边分别为a，b，c，已知3a=，2c=，点D在边AC上.（1）若3b=，sinsinBDABCaC=，求BD；（2）若2ADDC=，6BD=，求CD.【答案】（1）2（2）63【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBDb=，结合已知即可求解；（2）两次应用余弦定理建立方

程求b，即可求得CD的值.小问1详解】设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得sinsin,22bcRABCCR==，因为sinsinBDABCaC=，所以22bcBDaRR=，即BDbac=．又因为3a=，2c=，3b=，所以2BD=；小问2详

解】在ABD△中，22,,63bABADBD===，由余弦定理得222224641849cos22126263bBDADABbADBbBDADb+−+−+===，在BCD△中，3,,63bBCCDBD===，由余弦

定理得2222269279cos266263bBDCDBCbCDBbBDCDb+−+−−===，因为coscosADBCDB=−，所以221842712666bbbb+−=−，整理得26b=，解得6b=，【【所以6

33bCD==．19.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2112sin22Cabc−−=.（1）求B；（2）若6b=，求ABC周长的取值范围.【答案】（1）π3B=（2）(12,18【解析】【分析】（1）已知等式结合倍角公式和余弦定理，化简

得1cos2B=，可求B；（2）结合正弦定理表示出a和c，进而将周长表示为关于角A的正弦函数，利用正弦函数性质以及A的范围即可求得答案．【小问1详解】2112sin22Cabc−−=，由倍角公式得1cos2abCc−=，由余

弦定理，222122abcabcab+−−=，化简得222acbac+−=，则2221cos22acbBac+−==，由()0,πB，得π3B=.【小问2详解】由正弦定理得︰643πsinsinsinsin3acbACB====，∴43si

naA=，43sincC=，2ππ3ACB+=−=，2π43(sinsin)43sinsin3acACAA+=+=+−3331π43sincos12sincos12sin22226AAAAA=+=+=+，由2π03A，π

π5π666A+，∴π612sin126A+，即612bc+（当且仅当π3A=时，等号成立），从而周长的取值范围是(12,1820.已知函数()()sinπ1fxax=+，0a，将()fx的图象向右平移13a个单位长度后得到函数()gx的

图象.（1）若()gx关于13x=对称，求a的最小值；（2）若12a=，求函数()()()hxfxgx=+的单调区间.【答案】（1）52（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由函数()fx的平移变换求出

()gx，再根据正弦型函数的对称轴公式求得结果；（2）当12a=时，先求出()hx并进行化简，根据正弦型函数的单调递增、单调递减区间公式求出结果.【小问1详解】已知函数()()sinπ1fxax=+，将()fx的图象向右平移13a个单位长度得到函数()gx，则()1=sinπ13gx

axa−+，即()π=sinπ13gxax−+，因为()gx关于13x=对称，所以ππππ,332akk−=+Z，即53,2akk=+Z又0a，当0k=时，a取最小，

最小值为52.【小问2详解】当12a=时，()()()πππsinsin2223hxxfxgxx==++−+π1π3π=sinsincos222222xxx+−+ππ3sin226x=−+，令ππππ2π2π,2

262xkkk−+−+Z，解得2444,33kxkk−++Z，令πππ3π2π2π,2262xkkk+−+Z，解得41044,33kxkk++Z，所以函数()hx的单调递增区间为244,4,33kkk−++Z；单调递减区间为4

104,4,33kkk++Z.21.如图，在ABC中，2ABDA=，CEEA=，直线DE与直线BC交于点F.（1）若点G满足65BGBE=，证明C，D，G三点共线；（2）设ABa=，ACb=，以,ab为基底表示DF.【答案】（1）证明见解析（

2）3344DFab=+【解析】【分析】（1）利用已知条件，结合向量的加减运算，由向量的数乘关系可证明结论；（2）由E，D，F三点共线，可得43BCBF=，结合向量的加减运算，把DF用基底表示.【小问1详解】2ABDA=，CEEA=，E为AC

中点，111123223625655565BGBEBABCBDBCBDBC+====++，523BGBDBC+=，3223BGBDBCBG=−−，23DGGC=，DG与GC共线，又DG与GC有公共点G，所以C，D，G三点共线.【小问2详解】设BCB

F=，由2ABDA=，CEEA=，E为AC中点，()11232BEBABCBDBF++==，E，D，F三点共线，1123+=，43=，43BCBF=，()443332ACABDFDBDFAB−=−=−，

()333444DFACABab=+=+.22.将二次函数2yx=的图象在坐标系内自由平移，且始终过定点()2,Ptt，则图象顶点A也随之移动，设顶点(),Axy所满足的表达式为二次函数()yfx=.例如，当1t=时，()22fxxx=−+；当2t=时，()24

fxxx=−+.（1）当2t=，图象平移到某一位置时，且P与A不重合，有OPPA⊥，其中O为坐标原点，求PA的坐标；（2）记函数()()21gxfxx−=+在区间2,4上的最大值为()Mt，求()Mt的表达式；（3）对于常数（0），若无论图象如何平移，当A，P不重合时，总能在图象上找到两

点B，C，使得BCPA=，且直线BC与()fx无交点，求的取值范围.【答案】（1）11,24−（2）()274,238,22,tMtttt−+=−+−+3535ttt（3）R【解析】【分析】（1）当2t=时，()24fxxx=−+

，设点()2000,4Axxx−+，()2,4P，通过坐标表示向量，并通过OPPA⊥建立等式关系求出0x的值，进而求得结果；（2）由题意确定二次函数顶点的表达式()22fxxtx=−+，进而求出()()2221gxxtx=−+−+，由函数区间定轴

动的思想进行求解；（3）联立22ykxbyxtx=+=−+无解，证得直线BC与()fx无交点，设()()1122,,,BxyCxy，2121yykxx−=−，通过化简式子发现BCPA=恒成立，进而求得的取值范围.【小问1详解

】当2t=时，()24fxxx=−+，设点()2000,4Axxx−+，()2,4P()20002,44PAxxx=−−+−，因为OPPA⊥，所以()()20022420OxxPPA=−−+−=，解得：02x=或052x=，则()2,4A或515,24A，当

点A的坐标为()2,4A时，A与P重合，不合题意，所以515,24A，11,24PA=−.【小问2详解】设二次函数2yx=的图象在坐标系内平移之后的解析式为()2yxab=−+，(),ab为二次函数的顶点

，因为函数过定点()2,Ptt，则22baat=−+，即()22fxxtx=−+，()()22221221gxxtxxxtx=−+−+=−+−+，对称轴为1xt=−，当12t−时，即3t≤，()gx在区间2,4上单调递减，()()max274gxgt==−+；当14t−时

，即5t，()gx在区间2,4上单调递增，()()max4238gxgt==−+；214t−时，即35t，()gx在区间2,1t−上单调递增，在区间(1,4t−上单调递减，()()

2max122gxgttt=−=−+.所以()274,238,22,tMtttt−+=−+−+3535ttt.【小问3详解】设直线:BCykxb=+，则联立22ykxbyxtx=+=−+，()22

0xktxb+−+=无解，()2240ktb=−−，则直线BC与()fx无交点；设()()1122,,,BxyCxy，()()12221,,−−=−=−=BCPAxtxyyytx()2121

222−=−−−=−−=−−yytxytyttkytxtkxxx，=BCPA恒成立，的取值范围为R.