【文档说明】天津市第二十五中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(20)页，1.712 MB，由小赞的店铺上传

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天津市第二十五中学2020-2021学年第一学期期中检测高二数学试卷一、单选题1.已知空间向量()1,,2an=，()2,1,2b=−，若2ab−与b垂直，则ar等于（）A.352B.532C.372D.212【答案】A【解析】【分析】先由向量的数量积运算求出52n=

，再结合向量模的运算求解即可.【详解】解：由空间向量()1,,2an=，()2,1,2b=−，若2ab−与b垂直，则(2)0abb−=，即22abb=，即249n+=，即52n=，即51,,22a=，即25144a=++

=r352，故选：A.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量模的运算，属基础题.2.如图，已知正三棱柱111ABCABC−的棱长均为2，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值是()A.32B.12C.14D.0【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合

空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则：()10,1,2A−,()3,0,0B，()13,0,2B，()0,1,0C，向量()13,

1,2AB=−,()13,1,2BC=−−，11cos,ABBC1111ABBCABBC=22222=14=.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在

考查学生的转化能力和计算求解能力.3.直线310xy++=的倾斜角是（）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.【详解】直线310xy++=的斜率为331

k=−=−，因此，该直线的倾斜角为23，故选C.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.4.已知直线1l：()3230mxmy+++=，2l：()()2220mxmy−

+++=，且12//ll，则m的值为（）A.1−B.12C.12或2−D.1−或2−【答案】A【解析】【分析】由直线平行的性质可得2m=−或1m=−，代入验证即可得解.【详解】因为直线1l：()3230mxmy+++=，2l：()()2220mxmy−

+++=，且12//ll，所以()()()3222mmmm+=+−，解得2m=−或1m=−，当2m=−时，直线1l：630x−+=，2l：420x−+=，两直线重合，不合题意；当1m=−时，直线1l：330xy−++=，2l：320xy−++=，符合题意；故1m=−.故选：A.【点睛】本题考查

了由直线平行求参数，考查了运算求解能力，属于基础题.5.ABC中，(1,5)A，高BE，CF所在的直线方程分别为20xy−=，5100++=xy，则BC所在直线的方程是（）．A.04=+yxB.528xy−=C.350xy+=D.5328xy−=【答案】C【解析】【分析】由垂直关系可得AB和AC的

斜率，进而可得AB和AC的方程，分别解方程组可得B，C的坐标，进而可得方程.【详解】解：∵两边AB，AC上的高线方程分别为5100++=xy与20xy−=，∴它们的斜率分别为15−，12，故AB和AC的斜率分别为5，2−，∴AB和AC的方程分别为()551yx−=−，()521yx−=−−，

整理为一般式可得50xy−=，270xy+−=联立方程组5020xyxy−=−=，解得00xy==，即()0,0B，同理联立2705100xyxy+−=++=，解得53xy==−

，即()5,3C−，∴BC所在直线的方程为3050yx−−=−，即350xy+=.故选：C.【点睛】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线的点斜式方程和斜率公式以及方程组的解法，属中档题.6.若两条直线l1：x+2y–6=0与l2：2x+ay+8=0平行，则l1与l2

间的距离是（）A.25B.1455C.255D.55【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，得到关于a的方程，求出a的值，再由平行线间的距离公式，得到答案.【详解】两条直线l1：x+2y–6=0与l2：2x+ay+8=0平行，则12628a−=，解得a=4．所以直线l2：2x+4y+8=0可

化为x+2y+4=0，所以两直线间的距离d2641025512−−===+．故选A．【点睛】本题考查由直线平行求参数的值，两条平行线间的距离，属于简单题.7.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3440xy++=与圆C相切，则圆C的方程为()A.22230xyx+−−=

B.2240xyx++=C.22230xyx++−=D.2240xyx+−=【答案】D【解析】【分析】设圆心坐标为(,0)(0)Caa，根据圆与直线3440xy++=相切可求出2a=，进而得到圆心和半径，

于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)Caa，∵圆C与直线3440xy++=相切，∴3042916a++=+，解得a=2．∴圆心为(2,0)C，半径为32042916r++==+，∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2

=4，即2240xyx+−=．故选D．【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．8.若圆()22:418Cxy+−=与圆()()22

2:11DxyR−+−=的公共弦长为62，则圆D的半径为（）A.5B.25C.26D.27【答案】D【解析】【分析】先由题，求出两圆的公共弦，再求得圆C的直径等于公共弦长为62，可得公共弦过圆C的圆心，可得答案.【详

解】联立()()()2222241811xyxyR+−=−+−=，得2264xyR−=−，因为圆C的直径为62，且圆C与曲线D的公共弦长为62，所以直线2264xyR−=−经过圆C的圆心()0,4，则2220644,28RR−=−=

，所以圆D的半径为27.故选D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，两圆的公共弦的求法是解题的关键，属于中档题.9.已知椭圆2222:1xyMab+=(0)ab，过M的右焦点(3,0)F作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为（）A.22196xy+=B.221

4xy+=C.221123xy+=D.221189xy+=【答案】D【解析】【分析】设,AB以及AB中点P坐标，利用“点差法”得到,ABPOkk之间的关系，从而得到22,ab之间的关系，结合()3,0F即可求解出椭圆的方程.【详解】设

()()1122,,,AxyBxy，AB的中点()2,1P，所以01132ABPFkk−===−−，又2222221122222222bxayabbxayab+=+=，所以()()2222221212bxxayy−=−−，即2121221212yyyybxxxxa−+=−−

+，而12121AByykxx−==−−，1212211222yyxx+==+，所以2212ba=，又3c=，∴22189ab==，即椭圆方程为：221189xy+=.故选：D.【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，

应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.二、填空题10.若椭圆2212xym+=的离心率为12，则m=__________.【答案】32或83【解析】【分析】分焦点在x轴和y轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解【详解】①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得2122m−=，解得32m

=；②当椭圆的焦点在y轴上时，由题意得212mm−=，解得83m=.综上所述，m=32或83故答案为：32或83【点睛】本题考查由椭圆的离心率求解参数值，属于基础题11.已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则AB与CA的夹角θ的大

小是________．【答案】120°【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得AB与CA的坐标，再利用向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则(2,1,3),(1,3,2)AB

CA=−−=−−，所以222222(2)(1)(1)33(2)1cos2(2)(1)3(1)3(2)ABCAABCA−−+−+−===−−+−+−++−,又因为[0,180]，所以120

=.故答案为：120【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.设()1,2A，()3,1B−，若直线2ykx=−与线段AB有公

共点，则实数k的取值范围是______.【答案】(),14,−−+【解析】【分析】画出图象求出定点与A、B两点连线的斜率，即可求出实数k的取值范围．【详解】解：直线2ykx=−恒过定点()0,2−，由题意平面内两点(

)1,2A，()3,1B−，直线2ykx=−与线段AB恒有公共点，如图求出定点与A、B两点连线的斜率，()122410k−−==−．()212130k−−==−−−，所以直线2ykx=−与线段AB恒有公共点，则实数k的取值范围是(),1

4,−−+，故答案为：(),14,−−+【点睛】本题考查直线斜率的求法，考查数形结合的思想的应用，考查计算能力．13.过点()10,10−且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.【答案】yx=−或11542yx=−+【解析

】【分析】分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距的关系求解出直线的方程.【详解】当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设ykx=，代入()10,10−，所以1010k−=，所以1k=−，所以直线方程为yx=−；当直线

不过坐标原点时，设()1010ykx−=+，所以横截距为1010k−−，纵截距为1010k+，所以()101041010kk−−=+，解得14k=−或1k=−（舍），所以直线方程为11542yx=−+，故答案为

：yx=−或11542yx=−+.【点睛】本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般.根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况.14.已知直线l：()20kxykR+−=是圆C：226260xyxy+−++=的一条对称轴，过点()0,Ak作圆C的一条切线，

切点为B，则线段AB的长度为_______.【答案】3【解析】【分析】根据直线l：()20kxykR+−=是圆C：226260xyxy+−++=的一条对称轴，得到圆心在直线l上，解得1k=，得到()0,1A，然后再利用切线长公式22ABACR=-求解

.【详解】圆C：226260xyxy+−++=的标准方程是()()22314xy−++=，圆心为()3,1C−，因为直线l：()20kxykR+−=是圆C：226260xyxy+−++=的一条对称轴，所以圆心在直线l上，所以3120k−−=，解得1k=，所以()0,1A，()()

2222031143ABACR=-=-++-=，故答案为：3【点睛】本题主要考查圆的对称性以及圆的切线长问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.设圆222:()0Oxyrr+=，定点(3,4)A，若圆O上存在两点到A

的距离为2，则r的取值范围是________．【答案】()3,7【解析】【分析】将问题转化为以(3,4)A为圆心，2为半径的圆为圆A与圆O相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案.【详解】解：根据题意设以(3,4)A为圆心，2为半径的圆为圆A，所以圆222:()0Oxyrr+=，圆心

为()0,0O，半径为r，则两圆圆心距为：5OA=，因为圆O上存在两点到A的距离为2，所以圆O与圆A相交，所以252rr−+，解得：37r.所以r的取值范围是：()3,7.故答案为：()3,7【点睛】本题考查圆与圆的

位置关系，考查回归转化思想，是中档题.三、解答题16.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，2PAAD==，22BD=（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求平面PCD与平面CD

B所成夹角余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离【答案】（1）证明见解析（2）4（3）233【解析】【分析】（1）只需证明BDAC⊥，PABD⊥即可证明BD⊥平面PAC；（2）通过证明,ADCDPDCD⊥

⊥可知PDA是平面PCD与平面CDB所成角的平面角，根据PAAD=可得结果；（3）利用等体积法可求得结果.【详解】（1）在直角三角形BAD中，22842ABBDAD=−=−=，所以底面ABCD为正方形，所以BDAC⊥，因为PA⊥平面ABCD，BD

平面ABCD，所以PABD⊥，因为PAACA=，所以BD⊥平面PAC.（2）因为ABCD是矩形，所以ADCD⊥，因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥，因为PAADA=，所以CD⊥

平面PAD，即CDPD⊥，所以PDA是平面PCD与平面CDB所成角的平面角，在直角三角形PAD中，因为PAAD=，所以PDA4=（3）由题意可知点C到平面PBD的距离等于点A到平面PBD的距离，设为d，由（1）可得22PBBDPD===，

所以23(22)234PBDS==△，由PABDAPBDVV−−=得1133ABDPBDPASdS=△△，即11122223323d=，所以233d=，所以点C到平面PBD的距离等于233.【点睛】关键点点

睛：第（3）问利用等体积法求点面距是解题关键.17.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面1,2ABCAAACBC===,90ACB=，,DE分别是111,ABCC的中点（1）求证：1//CD平面1ABE；（2）求直线1BC与平面1ABE所成角的正弦值；（

3）在棱1CC上是否存在一点P，使得平面PAB与平面1ABE所成二面角为60？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）36；（3）存在300,0,3P.【解析】【分

析】（1）取AB的中点F，连接DF，交1AB于点M，证得1//CDEM，利用线面平行的判定定理，即可证得1//CD平面1ABE.（2）以1,,CACBCC所在的直线为x轴、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得则1(0

,2,2)BC=−和平面1ABE的一个法向量(1,1,2)n=−−，结合向量的夹角公式，即可求解；（3）设,(02)CPaa=，求得平面PAB的一个法向量(,,2)maa=，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）取AB的中点F，连接DF，交1

AB于点M，可知M为DF的中点，连接EM，易知四边形1CDME为平行四边形，所以1//CDEM，又1CD平面1ABE，EM平面1ABE，所以1//CD平面1ABE.（2）分别以1,,CACBCC所在的直线为x轴、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得11(0,2,0),(0,0,2)

,(0,0,1),(2,0,2)BCEA，则11(0,2,2),(2,0,1),(0,2,1)BCEAEB=−==−，设平面1ABE的法向量为(,,)nxyz=，则100nEAnEB==，即2020xzyz+=−=，令1x=，可得

1,2yz=−=−，即(1,1,2)n=−−，所以1113cos,6BCnBCnBCn==−，所以直线1BC与平面1ABE所成角的正弦值为36.（3）假设在棱1CC是存在一点P，设,(02)CPaa=，可得(0,

0,)Pa，由(2,0,0),(0,2,0)AB，可得(2,0,),(0,2,)PAaPBa=−=−，设平面PAB的法向量为111(,,)mxyz=，则00mPAmPB==，即122020xazyaz−=−=，令2z=

，可得11,xaya==，即(,,2)maa=，又由平面1ABE的一个法向量为(1,1,2)n=−−，所以224cos,46mnmnmnaa−==++，因为平面PAB与平面1ABE所成二面角为60，可得2241cos60246aa==++，解得2103a=，此时303a

=，符合题意，所以在棱1CC上存在一点300,0,3P，使得平面PAB与平面1ABE所成二面角为60.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线

面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.已知直线l：2830mxym−−−=和圆C：22612200xyxy+−++=.（1）求圆C的圆心、半径（2）求证：无论m为何值，直线l总与圆C有交点；（3）

m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短？求出此时的弦长.【答案】（1）圆心(3,6)C−，半径5R=（2）证明见解析（3）16m=−时，直线l被圆C截得的弦最短，弦长为215【解析】【分析】（1）利用6,12,20DEF=−==可求得结果；（2）利用直线l经过的定

点在圆C内可证结论成立；（3）设圆心C到直线l的距离为d，直线l被圆C截得的弦为AB，根据弦长公式可知d最大即CMl⊥时，弦长最短，由此可求得结果.【详解】（1）因为6,12,20DEF=−==所以6322D−−=−=，12622E−=−=−，所以(3,6)C−，所以半径22114

3614480522RDEF=+−=+−=.（2）由2830mxym−−−=得(28)(3)0xmy−−+=，由28030xy−=+=得4,3xy==−，所以直线l经过定点M(4,3)−，因为22

(43)(36)105−+−+=，所以定点M(4,3)−在圆C内，所以无论m为何值，直线l总与圆C有交点.（3）设圆心C到直线l的距离为d，直线l被圆C截得的弦为AB，则||AB222Rd=−，则当d最大值时，弦长||AB最小，因为||dCM22(43)(

36)10=−+−+=，当且仅当CMl⊥时，d取最大值10，||AB取最小值22510215−=，此时111236343CMmk=−=−=−−+−，所以16m=−.所以16m=−时，直线l被圆C截得的弦最短，弦长为215.【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是证明直线经过的定点在圆内，第（3

）问的关键是推出CMl⊥时，弦长最短.19.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为()0,1，离心率255e=，过椭圆的右焦点F的直线l与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点（1）求椭圆的标准方程（2）当直线l的

斜率为12时，求弦长AB的值.【答案】（1）2215xy+=（2）1059【解析】【分析】（1）根据顶点坐标得到1b=，根据离心率255cea==，结合222abc=+得到25a=，则可得椭圆的标准方程；（2

）联立直线与椭圆，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为22221xyab+=(0)ab，则1b=，255ca=，所以22222515abca=+=+，解得25a=，所以椭圆的标准方程为2215xy+=.（

2）由（1）知(2,0)F，则直线:l1(2)2yx=−，联立221(2)215yxxy=−+=，消去y并整理得22009xx−=，设1122(,),(,)AxyBxy，则12209xx+=，120xx=，所以221212||1()4ABkxxxx=

++−2120149=+520105299==.【点睛】结论点睛：斜率为k的直线l与圆锥曲线交于11(,)Axy、22(,)Bxy两点，则弦长221212||1()4ABkxxxx=++−.20.已知椭圆()222210xyabab+

=的两个焦点分别为()1,0Fc−和()2(),00Fcc，过点2,0aEc的直线与椭圆相交与,AB两点，且1212//,2FAFBFAFB=.（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3

）设点C与点A关于坐标原点对称，直线2FB上有一点()(),0Hmnm在1AFC的外接圆上，且53HC=，求椭圆方程.【答案】（1）33e=.（2）23k=.（3）2212718xy+=.【解析】【分析】（1）由12FAFB，12FA

FB=2，得221112EFFBEFFA==，得到,ac的关系式，由此能求出离心率；（2）将椭圆的方程为写为222236xyc+=，设直线AB的方程为()3ykxc=−，设()11,Axy，()22Bxy，，联立方程组，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线A

B的斜率；（3）求出1x，2x，取23k=−，得()02Ac，，推导出外接圆的方程，与直线2FB的方程联立解出,mn，得，再由53HC=，解得29c=，由此能求出椭圆方程．【详解】（1）由12//FAFB且122FAFB=，得221112EFFBEF

FA==，从而2212accacc−=+整理，得223ac=，故离心率33cea==.（2）由（1）得22222bacc=−=，所以椭圆的方程可写为222236xyc+=设直线AB的方程为2aykxc=−，即()3ykxc=−.由已知设()()1122,,,AxyBxy，

则它们的坐标满足方程组()2223236ykxcxyc=−+=消去y整理，得()22222223182760kxkcxkcc+−+−=.依题意，()2248130ck=−，得3333k−.而21221823k

cxxk+=+①22212227623kccxxk−=+②由题设知，点B为线段AE的中点，所以1232xxx+=③联立①③解得2212229292,2323kcckccxxkk−+==++将1x2,x代入②中，解得23k=.（3）由（2）可知1

230,2cxx==.不妨取23k=−，得()0,2Ac，由已知得()0,2Cc−.线段1AF的垂直平分线l的方程为22222cycx−=−+，直线l与x轴的交点,02c是1AFC外接圆的圆心，因此外接圆的方程为22222ccxyc−+=+

.直线2FB的方程为()2yxc=−，于是点(),Hmn的坐标满足方程组()2229242ccmnnmc−+==−，由0m，解得53223mcnc==由225225

3233ccc=++解得29c=故椭圆方程为2212718xy+=.【点睛】本题考查椭圆的离心率、直线的斜率、椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、圆、根的判别式、韦达定理、两点间距离公式等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题.