【文档说明】【精准解析】2020北京市高考压轴卷 数学 Word版含解析.doc，共(16)页，4.843 MB，由小赞的店铺上传

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2020北京高考压轴卷数学一、选择题（本大题共10小题.每小题45分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足13izz，则||z（）A．1010B．55C．5D．102．设集合1,0

,1,2,3A，2{|20},Bxxx则()RABð（）A．1,3B．0,1,2C．1,2,3D．0,1,2,33．已知定义域为R的奇函数()fx满足(2)()fxfx，且当01x时，3()fxx，则52f

（）A．278B．18C．18D．2784．函数21cos1xfxxe图象的大致形状是（）A．B．C．D．5．已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆223449xy相切

，则满足条件的直线l有（）条A．1B．2C．3D．46．函数()sin(2)6fxx的单调递增区间是（）A．2,,63kkkZB．,,2kkkZC．,,36kkkZD．,,2kkkZ

7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．20B．10C．30D．608．已知点(2,3)A在抛物线C：22ypx的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．43B．1C．

34D．129．已知1a，则“()aab”是“1ab”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件10．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是()A．存在x，y∈(0，1)，E(ξ)>12B．

对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤14C．对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ)D．存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>14二．填空题（本大题共5小题.每小题5分，共25分）11．已知曲线212fxxx的一条切线的斜率是3，则该切

点的横坐标为____________.12．函数2cos2sinyxx的最小正周期等于_____.13．在△ABC中，若30B，23AB,2AC,求△ABC的面积14．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1

，a3＝100，则{an}的通项公式an＝_____；设数列{lgan}的前n项和为Tn，则Tn＝_____.15．已知函数，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）①是奇函数；②在上是单调递增函数；③方程有且仅有1个实数根；④

如果对任意，都有，那么的最大值为2.注：本题给的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其他得3分.三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数()logkfxx（k

为常数，0k且1k）．（1）在下列条件中选择一个________使数列na是等比数列，说明理由；①数列nfa是首项为2，公比为2的等比数列；②数列nfa是首项为4，公差为2的等差

数列；③数列nfa是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当2k时，设12241nnnabn，求数列nb的前n项和nT.17．在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，//ADBC，A

DAB，2PAAD，1ABBC，Q为PD中点．（1）求证：PDBQ；（2）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．18．已知函数22lnRfxaxxaxa.（Ⅰ）求函数fx的单调区间；（Ⅱ）当0a时，若fx在1,e上有零点，求实数

a的取值范围.19．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下20,3030,4040,5050,6060,7070以上使用人数31217642

0未使用人数003143630（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在30,50且未使用自由购的概率；（Ⅱ）从被抽取的年龄在50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在50,60的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，

该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.20．已知椭圆22:24Cxy（1）求椭圆C的标准方程和离心率；（2）是否存在过点0,3

P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足2PBPA．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：111212122212nnnnnnnnaaaaaaAaaa，其中对任意的1≤i

≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij＝1；当i不能整除j时，aij＝0．设121nijjjnjitjaaaa．（Ⅰ）当n＝6时，试写出数阵A66并计算61jtj；（Ⅱ）若[x]表示不超过

x的最大整数，求证：11nnjintji；（Ⅲ）若11njfntjn，11ngndxx，求证：g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．2020北京高考压轴卷数学Word版含解析参考答案1．【答案

】A【解析】13izz，1131313101010izii，10||10z.故选:A.2．【答案】B【解析】由220xx，得0x或2x，即{|0Bxx或2}x，={|02}RBxxð，又1,0,1,2,3A()={

0,1,2}RABð.故选：B.3．【答案】B【解析】由()fx满足(2)()fxfx，所以函数的周期2T，又因为函数()fx为奇函数，且当01x时，3()fxx，所以51112228fff

.故选：B4．【答案】B【解析】21e1coscos1e1exxxfxxx，1ecos()1exxfxxe1cose1xxx()fx，故()fx为奇函数，排除选项A、C；又1e(1)cos101ef

，排除D，选B.故选：B.5．【答案】A【解析】显然直线l有斜率，设l：ykxb，则221bk，即2241bk，①又直线l与圆相切，23471kbk，②联立①②，34k，52b，所以直线l的方程为3542yx.故选：A6．【答案】C【解析】令222

262kxk因此36kxk故函数()sin(2)6fxx的单调递增区间是,,36kkkZ故选：C7．【答案】B【解析】由三视图可得几何体直观图如下图

所示：可知三棱锥高：4h；底面面积：1155322S三棱锥体积：1115410332VSh本题正确选项：B8．【答案】C【解析】试题分析：由已知得，抛物线22ypx的准线方程为2px，且过点(2,3)A，故22p，则4p，(2,0)F，则直线AF的斜率3

03224k，选C．9．【答案】C【解析】由()aab，则2()00aabaab又1a，所以1ab若1ab，且1a，所以20aab，则()aab所以“()aab”是“1ab”的充要条件故选：C10．【答案】C【解析】依题意

可得2Exy，222222222212121212Dxxyyyxyxyxyxyxyxxyyx因为1xy所以21222xyxy即12E故A，B错误；2222211

21212Dxxxyyxxxyyxxyx01xQ1211x20211xDyx即12DE，故C成立；2211244xyDxyxxy故

D错误故选：C11．【答案】2【解析】由于212fxxx，则1fxx，由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，曲线21()2fxxx的一条切线斜率是3，令导数13fxx，可得

2x，所以切点的横坐标为2.故答案为：2．12．【答案】π【解析】因为函数21cos231cos2sincos2cos2222xyxxxx故最小正周期等于π.故答案为：π13．【答案】23或3【解析】在ABC中

，设BCx，由余弦定理可得24124330xxcos，2680xx，2x，或4x．当2x时，ABC的面积为111233222ABBCsinBx，当4x时，ABC的面积为1112323222ABBCsi

nBx，故答案为3或23．14．【答案】10n﹣112nn【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题知q＞0.∵a1＝1，a3＝100，∴q31aa10，∴an＝10n﹣1；∵lgan＝lg10n﹣1＝n﹣1，∴Tn

12nn.故答案为：(1).10n﹣1(2).12nn15．【答案】①②④【解析】根据题意，依次分析四个命题：对于①中，，定义域是，且是奇函数，所以是正确的；对于②中，若，则，所以的递增，所以是

正确的；对于③中，，令，令可得，，即方程有一根，，则方程有一根之间，所以是错误的；对于④中，如果对于任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，所以是正确的，综上可得①②④正确.16．【答案】（1）②，理由见解析；（2）21nnTn【解析】（1）①③不能使

na成等比数列.②可以：由题意4(1)222nfann，即log22knan，得22nnak，且410ak，2(1)22122nnnnakkak.常数0k且1k，2k为非零常数，数列na是以4k

为首项，2k为公比的等比数列．（2）由（1）知14222nknakkk，所以当2k时，12nna.因为12241nnnabn，所以2141nbn，所以1111(21)(21)22121nbnnnn，

12111111L1L23352121nnTbbbnn11122121nnn.17．【答案】（1）详见解析；（2）23．【解析】（1）由题意在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，ADAB，

以A为原点，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,2,0D，002P,,．因为Q为PD中点，所以0,1,1Q，所以0,

2,2PD，1,1,1BQ，所以0,2,21,1,10PDBQ，所以PDBQ．（2）由（1）得1,1,2PC，1,1,21,1,12PCBQ，6P

C，3BQ，2,3PCBQCOSPCBQPCBQ，所以PC与BQ所成角的余弦值为23．18．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）51e1,2【解析】（Ⅰ）函数fx的定义域为0,，2222axaxaaxxfxxx.由0fx得xa

或2ax.当0a时，0fx在0,上恒成立，所以fx的单调递减区间是0,，没有单调递增区间.当0a时，,,xfxfx的变化情况如下表：所以fx的单调递增区间是0,a，单调递减区间是,a.当0a时，,,xfxf

x的变化情况如下表：所以fx的单调递增区间是0,2a，单调递减区间是,2a.（Ⅱ）当0a时，fx的单调递增区间是0,a，单调递减区间是,a.所以fx在1,e上有零点的必要条件是0fa，即2ln0aa，所以1a.而

11fa，所以10f.若1a，fx在1,e上是减函数，10f，fx在1,e上没有零点.若1a，10f，fx在1,a上是增函数，在,a上是减函数，所以fx在1,e上有零点等价于e01efa，即22e

e01eaaa，解得51e12a.综上所述，实数a的取值范围是51e1,2.19．【答案】17100；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200【解析】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)

且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P．（Ⅱ）X所有的可能取值为1,2,3，124236CC115CPX,214236CC325CPX,

304236CC135CPX.所以X的分布列为X123P153515所以X的数学期望为1311232555EX.（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为

4450002200100.20．【答案】（1）22142xy，22e；（2）存在，7x﹣14y+314＝0或7x+14y﹣314＝0【解析】（1）由22142xy，得2,2ab，进而422c，2

2cea；（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足2PBPA，可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程x2+2y2＝4，可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞

0，即m2＜47，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝2262mm，y1y2＝22942mm，①由2PBPA，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②将②代入①可得3y1﹣3＝2262mm，y1（2y1﹣3）＝

22942mm，消去y1，可得22232mm•22322mm＝22942mm，解得m2＝2747，所以147m，故存在这样的直线l，且方程为7x﹣14y+314＝0或7x+14y﹣314＝0．21．【答案】（Ⅰ）

66111111010101001001000100000010000001A，6114jtj．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）依题意可得，661111110101010010010

00100000010000001A，6112232414jtj．（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，可得1njtj是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．

对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，nii．得数阵Ann的第i行中有ni个1，其余是0，即第i行的和为ni．从而得到结果．（Ⅲ）由[x]的定义可知，1nnniii＜，得111nnniiinnnniii

＜．进而11111?nniifnii＜．再考查定积分11ndxx，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．【详解】（Ⅰ）依题意可得，66111111010101001001000100000010000001A

．6112232414jtj．（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此1njtj是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n，不超

过n的倍数有1i，2i，…，nii．因此数阵Ann的第i行中有ni个1，其余是0，即第i行的和为ni．所以11nnjintji．（Ⅲ）证明：由[x]的定义可知，1nnniii＜，所以111nnnii

innnniii＜．所以11111?nniifnii＜．考查定积分11ndxx，将区间[1，n]分成n﹣1等分，则11ndxx的不足近似值为21nii，11ndxx的过剩近似值为111nii．所以1211111nn

niidxixi＜＜．所以111nii＜g（n）11nii＜．所以g（n）﹣111111?nniifnii＜＜＜g（n）+1．所以g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．