【文档说明】广东省东莞市光明中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题含答案.docx，共(11)页，214.434 KB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年度第二学期高二年级第一次月考数学科试卷命题人：一、选择题（每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项）1.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑥+1，若𝑙𝑖𝑚𝛥𝑥→0𝑓(1+𝛥�

�)−𝑓(1)𝛥𝑥=3，则实数𝑎的值为A．1B．2C．−1D．2−2.已知𝑖为虚数单位，复数z满足𝑧(1+𝑖)=𝑖，则复数z所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥𝑓

′(1)，则𝑓′(2)=A．1B．2C．4D．84.已知曲线𝑦=𝑥3+3𝑥在点P处的切线与直线𝑦=15𝑥+3平行，则点P的坐标为A.(2,14)B.(−2,−14)C.(2,14)或(−2,−14)D.以上都不对5.若𝑓(𝑥)=

−12𝑥2+𝑏𝑙𝑛(𝑥+2)在(−1,+∞)上是减函数，则b的取值范围是A.[−1,+∞)B.(−1,+∞)C.(−∞,−1]D.(−∞,−1)6.𝑓(𝑥)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足𝑥𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)<0，对任意正数a，b，若𝑎<𝑏，则必有A.

𝑎𝑓(𝑏)<𝑏𝑓(𝑎)B.𝑏𝑓(𝑏)<𝑎𝑓(𝑎)C.𝑏𝑓(𝑎)<𝑎𝑓(𝑏)D.𝑎𝑓(𝑎)<𝑏𝑓(𝑏)7.函数𝑓(𝑥)=𝑥3e𝑥+1的图象大致是A.B.C.D.8.已知函数𝑓(𝑥)={𝑥𝑒𝑥,

𝑥≤0−𝑥2+1,𝑥>0，要使函数𝑓(𝑥)=𝑘有三个解，则k的取值范围是A.−1𝑒<𝑘<1B.−1𝑒<𝑘≤0C.−1𝑒≤𝑘<0D.−1𝑒<𝑘<0二、不定项选择题（每题5分，共20分，部分选对得3分，选错不得分）29.

已知函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)的图像如图，则下列叙述正确的是A.函数𝑓(𝑥)只有一个极值点B.函数𝑓(𝑥)满足𝑓(−4)<𝑓(−1)，且在𝑥=−4处取得极小值C.函数𝑓(𝑥)在𝑥=2处取得极大值D.函数𝑓(𝑥)在(−∞

,−4)内单调递减10.已知𝑖为虚数单位，以下四个说法中正确的是A.𝑖+𝑖2+𝑖3+𝑖4=0B.3+𝑖>1+𝑖C.若𝑧=(1+2𝑖)2，则复平面内𝑧对应的点位于第四象限D.已知复数z满足|𝑧−1|=|𝑧+1|，则

z在复平面内对应的点的轨迹为直线11.下列函数在定义域上为增函数的有A．𝑓(𝑥)=2𝑥4B．𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥C．𝑓(𝑥)=𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥D．𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒−𝑥−2𝑥12.已知函数𝑓(

𝑥)=𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥，下列结论中正确的是A.函数𝑓(𝑥)在𝑥=𝜋2时，取得极小值−1B.对于∀𝑥∈[0,𝜋]，𝑓(𝑥)≤0恒成立C.若0<𝑥1<𝑥2<𝜋，则𝑥1𝑥2<𝑠𝑖𝑛𝑥1𝑠𝑖𝑛

𝑥2D.若𝑎<𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥对于∀x∈(0,π2)恒成立，则𝑎的最大值为2𝜋三、填空题（每题5分，共20分；16题第一空2分，第二空3分）13.设函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥+𝑎．若𝑓′(1)=𝑒4，则a=_________．14.将原油精

炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热．若在第xh时，原油的温度(单位：℃)为𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑥+13(0≤𝑥≤6)，则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为__℃/ℎ．15

.等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=2，𝑎8=4，函数𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥−𝑎1)·(𝑥−𝑎2)…(𝑥−𝑎8)，则𝑓′(0)等于______．16.定义方程𝑓(𝑥)=𝑓′(𝑥)的实数根𝑥0叫做函数𝑓(𝑥)的“新驻点”．(1)设𝑓(𝑥)

=sin𝑥，则𝑓(𝑥)在(0,𝜋)上的“新驻点”为_________．(2)如果函数𝑔(𝑥)=ln(𝑥+1)与ℎ(𝑥)=𝑥+𝑒𝑥的“新驻点”分别为𝛼、𝛽、那么𝛼和𝛽的大小关系是________．四

、解答题（共70分,17题10分，其余每题各12分）17.已知复数𝑧=6−4𝑚i1+i(𝑚∈𝑅,i是虚数单位)．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）设𝑧是z的共轭复数，复数𝑧−2𝑧在复平面上对应的点位于

第二象限，求实数m的取值范围．318.已知函数321()213fxxx=−++.（1）求𝑓(𝑥)的单调区间；（2）求函数𝑓(𝑥)在区间[−1,2]上的最大值与最小值.19.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎

𝑥2的图象在点(1,𝑓(1))处的切线斜率为𝑒−2.（1）求实数𝑎的值；（2）已知函数𝑓(𝑥)的导函数是()fx，记()()gxfxx=+，求𝑔(𝑥)的极小值.20.某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端

电动摩托车.经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车x万台需投入资金𝑃(𝑥)万元，且𝑃(𝑥)={𝑚𝑥2+2600𝑥,0<𝑥<45001𝑥2−5010𝑥+25𝑥,𝑥≥4，生产1万台该款电动摩托车需投入资金

3000万元；当该款电动摩托车售价为5000(单位：元/台)时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完．(1)求𝑚的值，并写出2021年该款摩托车的年利润𝐹(𝑥)(单位：万元)关于年产量𝑥(单位：万台)的函数解析式；(2)当20

21年该款摩托车的年产量x为多少时，年利润𝐹(𝑥)最大？最大年利润是多少？(年利润=销售所得−投入资金−设备改造费)21.已知函数𝑓(𝑥)=12𝑙𝑛𝑥−𝑚𝑥(𝑚∈𝑅)，𝑔(𝑥)=𝑥−𝑎𝑥(𝑎>0)．（1）求函数𝑓(𝑥)的单调区

间．（2）若212me=，对∀𝑥1,𝑥2∈[2,2𝑒2]都有𝑔(𝑥1)≥𝑓(𝑥2)成立，求实数𝑎的取值范围．22.已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥+1,𝑎∈𝑅过点(1,0)(1)求曲线在(1,0)处的切线方程;(2)求证：𝑙𝑛2+𝑙𝑛

3+𝑙𝑛4+⋯+𝑙𝑛𝑛>1+12+13+⋯+1𝑛−𝑛(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗).42020-2021学年度第二学期高二年级第一次月考数学科试卷答案三、选择题（每小题5分，共40分，每个小题

只有一个正确选项）1.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑥+1，若𝑙𝑖𝑚𝛥𝑥→0𝑓(1+𝛥𝑥)−𝑓(1)𝛥𝑥=3，则实数𝑎的值为A．1B．2C．−1D．2−【答案】B2.已知i为虚数单位，复数z满足𝑧(1+𝑖)=𝑖，则复数z所对应的点在A.第一象限B.第二象

限C.第三象限D.第四象限【答案】A3.已知𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥𝑓′(1)，则𝑓′(2)=（）A．1B．2C．4D．8【答案】A4.已知曲线𝑦=𝑥3+3𝑥在点P处的切线与直线𝑦=15𝑥+3平行，则

点P的坐标为A.(2,14)B.(−2,−14)C.(2,14)或(−2,−14)D.以上都不对【答案】C5.若𝑓(𝑥)=−12𝑥2+𝑏𝑙𝑛(𝑥+2)在(−1,+∞)上是减函数，则b的取值范围是A.[−1,+∞)B.

(−1,+∞)C.(−∞,−1]D.(−∞,−1)【答案】C6.𝑓(𝑥)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足𝑥𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)<0，对任意正数a，b，若𝑎<𝑏，则必有A.𝑎𝑓(𝑏)<�

�𝑓(𝑎)B.𝑏𝑓(𝑏)<𝑎𝑓(𝑎)C.𝑏𝑓(𝑎)<𝑎𝑓(𝑏)D.𝑎𝑓(𝑎)<𝑏𝑓(𝑏)【答案】B7.函数𝑓(𝑥)=𝑥3e𝑥+1的图象大致是A.B.C.D.【答案】D8.已知函数𝑓(𝑥)={𝑥𝑒𝑥,𝑥≤0−𝑥

2+1,𝑥>0，要使函数𝑓(𝑥)=𝑘有三个解，则k的取值范围是5A.−1𝑒<𝑘<1B.−1𝑒<𝑘≤0C.−1𝑒≤𝑘<0D.−1𝑒<𝑘<0【答案】D解：要使函数𝑓(𝑥)=𝑘有三

个解，则𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑘图象有三个交点，因为当𝑥≤0时，𝑓(𝑥)=𝑥e𝑥，所以𝑓′(𝑥)=(𝑥+1)𝑒𝑥，可得𝑓(𝑥)在(−∞,−1)上递减，在(−1,0)递增，所以，𝑓(𝑥)=𝑥e𝑥有最小值𝑓(−1)=−1𝑒，且𝑥<0时，𝑓

(𝑥)<0，当x趋向于负无穷时，𝑓(𝑥)趋向于0，但始终小于0，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=−𝑥2+1单调递减，所以要使函数𝑓(𝑥)=𝑘有三个零点，则−1𝑒<𝑘<0，故选D．四、不定项选择题（每题5分，共20分，部分选对得3分）9.已知函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓′

(𝑥)的图像如图，则下列叙述正确的是A.函数𝑓(𝑥)只有一个极值点B.函数𝑓(𝑥)满足𝑓(−4)<𝑓(−1)，且在𝑥=−4处取得极小值C.函数𝑓(𝑥)在𝑥=2处取得极大值D.函数𝑓(𝑥)在

(−∞,−4)内单调递减【答案】AC10.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是A.𝑖+𝑖2+𝑖3+𝑖4=0B.3+𝑖>1+𝑖C.若𝑧=(1+2𝑖)2，则复平面内𝑧对应的点位于第四象限D.已知复数z满足|𝑧−1|=|𝑧+1|，则z在复平

面内对应的点的轨迹为直线【答案】AD11.下列函数在定义域上为增函数的有A．𝑓(𝑥)=2𝑥4B．𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥C．𝑓(𝑥)=𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥D．𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒−𝑥−2𝑥【答案】CD解：A．函数𝑓(

𝑥)=2𝑥4定义域为R，𝑓′(𝑥)=8𝑥3，当0x时，𝑓′(𝑥)<0，当𝑥>0时，𝑓′(𝑥)>0，所以𝑓(𝑥)在定义域为R不是增函数；B．函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥定义域为R，𝑓′(𝑥)=(𝑥+1)𝑒𝑥，当𝑥<−1时，

𝑓′(𝑥)<0，当1x−时，𝑓′(𝑥)>0，所以𝑓(𝑥)在定义域为R不是增函数；C．函数𝑓(𝑥)=𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥定义域为R，𝑓′(𝑥)=1+𝑠𝑖𝑛𝑥≥0，所以𝑓(𝑥)在定义域为R是增函数；D．函数

𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒−𝑥−2𝑥定义域为R，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥−2≥2√𝑒𝑥⋅𝑒−𝑥−2=0，当且仅当𝑒𝑥=𝑒−𝑥，即𝑥=0时，等号成立，所以𝑓(𝑥)在定义域为R是增函数；故选CD.12.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−

𝑠𝑖𝑛𝑥，下列结论中正确的是6A.函数𝑓(𝑥)在𝑥=𝜋2时，取得极小值−1B.对于∀𝑥∈[0,𝜋]，𝑓(𝑥)≤0恒成立C.若0<𝑥1<𝑥2<𝜋，则𝑥1𝑥2<𝑠𝑖𝑛𝑥1𝑠𝑖𝑛𝑥2

D.若𝑎<𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥对于∀x∈(0,π2)恒成立，则𝑎的最大值为2𝜋【答案】BCD解：A．𝑓′(𝑥)=−𝑥sin𝑥，，所以𝑥=𝜋2不是𝑓(𝑥)的极值点，故A错误；B.𝑓′(𝑥)=−𝑥sin𝑥，𝑥∈(0,𝜋)，

𝑓′(𝑥)<0，即𝑓(𝑥)在[0,𝜋]上递减，𝑓(𝑥)max=𝑓(0)=0，故B成立；C.记ℎ(𝑥)=sin𝑥𝑥，ℎ′(𝑥)=𝑥cos𝑥−sin𝑥𝑥2，由B知，𝑥∈(0,𝜋)时，𝑓(𝑥)<0，所以ℎ′(𝑥)<0，ℎ(𝑥)在(0,𝜋)上递减，若0<

𝑥1<𝑥2<𝜋，则sin𝑥1𝑥1>sin𝑥2𝑥2，即𝑥1𝑥2<sin𝑥1sin𝑥2，故C正确；D.由C知，ℎ(𝑥)=sin𝑥𝑥在(0,𝜋2)上递减，，若𝑎<sin𝑥𝑥对于∀𝑥∈(0,𝜋

2)恒成立，所以，故D正确．故选BCD．三、填空题（每题5分，共20分；16题第一空2分，第二空3分）13.设函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑥+𝑎．若𝑓′(1)=𝑒4，则a=_________．【答案】114.将原油精炼为汽油、柴

油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热．若在第xh时，原油的温度(单位：℃)为𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑥+13(0≤𝑥≤6)，则在第2h时，原油温度的瞬时变化率为__℃/ℎ．【答案】−115.等比数列{𝑎𝑛}中，

𝑎1=2，𝑎8=4，函数𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥−𝑎1)·(𝑥−𝑎2)…(𝑥−𝑎8)，则𝑓′(0)等于________．【答案】409616.定义方程𝑓(𝑥)=𝑓′(𝑥)的实数根𝑥0叫做函数𝑓(𝑥)的“新驻点”．(1)设𝑓(𝑥)=sin𝑥，则𝑓(𝑥

)在(0,𝜋)上的“新驻点”为_________．(2)如果函数𝑔(𝑥)=ln(𝑥+1)与ℎ(𝑥)=𝑥+𝑒𝑥的“新驻点”分别为𝛼、𝛽、那么𝛼和𝛽的大小关系是________．【答案】(1)；(2)．解：(1)，，令，即，得，，解得，所以，函数在上

的“新驻点”为；(2)，，则，，7令，则对任意的恒成立，所以，函数在定义域上为增函数，，，由零点存在可得，令，可得，即𝛽=1，所以，．故答案为：(1)；(2)．四、解答题（共70分,17题10分，其余每题各12分）17.（本题10分）已知复数𝑧=6−4𝑚i1+

i(𝑚∈𝑅,i是虚数单位)．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）设𝑧是z的共轭复数，复数𝑧−2𝑧在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．解：(1)𝑧=(6−4𝑚i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−2𝑚−(3+2𝑚)i，---

---2分因为z为纯虚数，所以{3−2𝑚=03+2𝑚≠0，解得𝑚=32-------5分（2）因为𝑧是z的共轭复数，所以𝑧=3−2𝑚+(3+2𝑚)i，----6分所以𝑧−2𝑧=2𝑚−3+(9+6𝑚)i-----7分因为复

数𝑧−2𝑧在复平面上对应的点位于第二象限，所以{2𝑚−3<09+6𝑚>0，----8分解得−32<𝑚<32．-----10分18.（本题12分）已知函数321()213fxxx=−++.（1）求𝑓(𝑥)的单调区间；（2）求函数𝑓(𝑥)在区间[−1,2]

上的最大值与最小值.解：(1)函数𝑓(𝑥)的定义域是R，2()4fxxx=−+，----2分令𝑓′(𝑥)≥0，解得04x---3分8令𝑓′(𝑥)<0，解得𝑥>4或0x，-----4分所以𝑓(𝑥)的单调递增区间为[0,4]，单调减区间为(−∞,0)和(4,+∞)；

----6分(2)由(1)𝑓(𝑥)在[−1,0)单调递减，在[0,2]单调递增，所以()()min01fxf==,---8分而𝑓(2)=−83+8+1=193，---9分𝑓(−1)=13+2+1=10

3，---10分故最大值是𝑓(2)=193.---12分19.（本题12分）已知函数2()exfxax=−的图象在点(1,(1))f处的切线斜率为e2−.（1）求实数a的值；（2）已知函数()fx的导函数是()fx，记()()gxfxx=+，求()gx的极小值.解:(1)()2xfx

eax=−.-----1分(1)22feae=−=−-----2分解得1a=----3分（2）由（1）知()2xfxex=−，----4分(),xgxex=−---5分()1,xgxe=−令()0,gx=得0x=，--

-6分当(,0)x−时，()0,gx()gx单调递减；---8分当(0,)x+时，()0,gx()gx单调递增；---10分故当0x=时，()gx取极小值(0)1g=．----12分20.

（本题12分）某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车.经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车x万台需投入资金𝑃(𝑥)万元，且9𝑃(𝑥)={𝑚𝑥2+2600𝑥,0<𝑥<45001

𝑥2−5010𝑥+25𝑥,𝑥≥4，生产1万台该款电动摩托车需投入资金3000万元；当该款电动摩托车售价为5000(单位：元/台)时，当年内生产的该款摩托车能全部销售完．(1)求𝑚的值，并写出2021年该款摩托车的年利润𝐹

(𝑥)(单位：万元)关于年产量𝑥(单位：万台)的函数解析式；(2)当2021年该款摩托车的年产量x为多少时，年利润𝐹(𝑥)最大？最大年利润是多少？(年利润=销售所得−投入资金−设备改造费)解：(1)由题意𝑃(1)=𝑚×12+2600=3000，所以𝑚=400，----1分当0

<𝑥<4时，𝐹(𝑥)=5000𝑥−(400𝑥2+2600𝑥)−1000=−400𝑥2+2400𝑥−1000；---3分当𝑥≥4时，𝐹(𝑥)=5000𝑥−5001𝑥2−5010𝑥+25𝑥

−1000=−𝑥2+4010𝑥−25𝑥，---5分所以𝐹(𝑥)={−400𝑥2+2400𝑥−1000,0<𝑥<4−𝑥2+4010𝑥−25𝑥,𝑥≥4．---6分(2)当0<𝑥<4时，𝐹(𝑥

)=−400(𝑥−3)2+2600，所以当𝑥=3时，𝐹(𝑥)𝑚𝑎𝑥=2600．--8分当𝑥≥4时，𝐹(𝑥)=−𝑥2+4010𝑥−25𝑥=−𝑥−25𝑥+4010=−(𝑥+25𝑥)+4010，因为𝑥≥4，所以�

�+25𝑥≥2√25=10，当且仅当𝑥=253时，即𝑥=5时等号成立，---10分所以𝐹(𝑥)≤−10+4010=4000，所以当𝑥=5时，𝐹(𝑥)𝑚𝑎𝑥=4000，因为2600

<4000，---11分所以，当2021年该款摩托车的年产量为5万台时，年利润𝐹(𝑥)最大，最大年利润是4000万元---12分21.（本题12分）已知函数𝑓(𝑥)=12𝑙𝑛𝑥−𝑚𝑥(𝑚∈𝑅)，𝑔(𝑥)=𝑥−𝑎𝑥(𝑎>0)．（1）求函数𝑓(𝑥)的单调区间．（2

）若212me=，对∀𝑥1,𝑥2∈[2,2𝑒2]都有𝑔(𝑥1)≥𝑓(𝑥2)成立，求实数𝑎的取值范围．解：（1）𝑓(𝑥)=12𝑙𝑛𝑥−𝑚𝑥(𝑚∈𝑅),𝑥>0，所以𝑓′(𝑥)=12𝑥−𝑚，当𝑚≤0时，𝑓′(𝑥)>0，�

�(𝑥)在(0,+∞)上单调递增．---2分10当𝑚>0时，由𝑓′(𝑥)=0得𝑥=12𝑚；---3分由{𝑓′(𝑥)>0𝑥>0得0<𝑥<12𝑚；由{𝑓′(𝑥)<0𝑥>0得𝑥>12𝑚．---4分综上所述，当𝑚≤0时，𝑓(𝑥)的单调递增区间为(0,+∞)；当𝑚>

0时，𝑓(𝑥)的单调递增区间为(0,12𝑚)，单调递减区间为(12𝑚,+∞)．---5分（2）若212me=，则𝑓(𝑥)=12𝑙𝑛𝑥−12𝑒2𝑥．对∀𝑥1,𝑥2∈[2,2𝑒2]都有𝑔(𝑥1)≥𝑓(𝑥2)成立，等价于对∀𝑥1,𝑥2

∈[2,2𝑒2]都𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛≥𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥，---6分由（1）知在[2,𝑒2]上单调递增，在[𝑒2,2𝑒2]上单调递减，所以𝑓(𝑥)的最大值为𝑓(𝑒2)=12，----8分𝑔′(𝑥)=1+𝑎�

�2>0(𝑎>0)，𝑥∈[2,2𝑒2]，----9分函数𝑔(𝑥)在[2,2𝑒2]上是增函数，𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(2)=2−𝑎2，---10分所以2−𝑎2≥12，解得𝑎≤3，又𝑎>0，所以𝑎∈（0,3].---11分所以实数𝑎的取

值范围是（0,3]．---12分22.（本题12分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥+1,𝑎∈𝑅过点(1,0)(1)求曲线在(1,0)处的切线方程;(2)求证：𝑙𝑛2+𝑙𝑛3+𝑙𝑛4+⋯+𝑙𝑛𝑛>1+12+13+⋯+1𝑛−𝑛

(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗).解：(1)因为函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥+1，𝑎∈𝑅过点(1,0)，所以−𝑎+1=0，解得𝑎=1，---1分所以𝑓(𝑥)=ln𝑥−1𝑥+1，𝑓′(𝑥)=1𝑥+1𝑥2=𝑥

+1𝑥2(𝑥>0)，所以𝑓′(1)=2，----3分所以曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,0)处的切线方程为𝑦=2(𝑥−1)，即𝑦=2𝑥−2．---4分(2)证明：当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=ln𝑥−1𝑥+1，---6分�

�′(𝑥)=1𝑥+1𝑥2=𝑥+1𝑥2>0，---8分∴𝑓(𝑥)在[1,+∞)上是增函数，∴𝑥>1时，𝑓(𝑥)>𝑓(1)=0，---9分11∴𝑥>1时，ln𝑥−1𝑥+1>0，ln𝑥>1𝑥−1，∴ln2>12−1，ln3>13−1，…，l

n𝑛>1𝑛−1，∵𝑙𝑛1=1−1，∴ln1+ln2+ln3+⋯+ln𝑛>1+12+13+⋯+1𝑛−𝑛(𝑛≥2)，---11分即ln2+ln3+⋯+ln𝑛>1+12+13+⋯+1𝑛−𝑛(𝑛≥2)．---12分