【文档说明】【精准解析】山东省泰安市东平高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题.doc，共(23)页，1.868 MB，由小赞的店铺上传

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高二下学期期中检测数学试题考试时间120分钟，满分150分★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题：卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必领用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.一、单项选择题：在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数3izi+=，则z的共轭复数z=()A.13i−B.13i+C.13i−−D.13i−+【答案】B【解析】【分析】先计算z，由

共轭复数概念即可得z.【详解】∵()()23313iiiziii+−+===−−，∴13zi=+.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除数运算，共轭复数的概念，考查学生对基本概念的理解.2.在61(2)xx−的展开式中，常数项为（）A.120

−B.120C.160−D.160【答案】C【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项.【详解】61(2)xx−展开式的通项2616(1)2kkkkkTCx-+=-，令260,3kk-==常数项333316(1)2=160

TC+=--故选：C．【点睛】本题考查二项定理.二项展开式问题的常见类型及解法:(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k+项，再由特定项的特点求出k值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k+项，

由特定项得出k值，最后求出其参数．3.已知()fxx=，则()8f等于（）A.0B.22C.28D.1−【答案】C【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式求出()fx，再求()8f.【详解】由()fx

x=，得()11-1-?2211=x=x22fx，∴()()12128828f−==，故选C【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，若()a*fx=xaQ（）,则()a-1=axfx.4.已知某篮球队员在比赛中每次罚

球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为2125，则该队员每次罚球的命中率p为（）A.45B.35C.25D.15【答案】B【解析】【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出该队员每次罚球的命中率p．【详解】解：某篮球队员在比赛中每次罚球

的命中率相同，该队员每次罚球的命中率为p，且在两次罚球中至少命中一次的概率为2125，212(1)2521pCpp+−=，解得35p=或75p=（舍去）该队员每次罚球的命中率p为35．故选：B．【点睛】本题

考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．5.已知函数()323fxxaxaxb=+++的图象在点()()1,1f处的切线方程为12yxm=−+，

若函数()fx恰有三个不同的零点，则实数b的取值范围是（）A.()5,27−B.5,27−C.(1,3−D.1,3−【答案】A【解析】【分析】先根据函数在()()1,1f处的切线为12yxm=−+得到一个关于a，b的关系，然后再根据()fx恰有三个不同的零

点，列出关于b的不等式．【详解】解：2()323fxxaxa=++，因为函数在()()1,1f处的切线方程为12yxm=−+所以()13512fa=+=−，3a=−，2()369fxxx=−−．令()0fx=，得11x=−，23x=．当1x−或3x时，()0

fx，()fx是增函数；当13x-<<时，()0fx，()fx是减函数．所以1x=−时，()fx有极大值(1)5fb−=+；当3x=时，()fx有极小值()327fb=−．所以，若函数()fx恰有三个不同的零点，则50270bb+−，解得527b−．故

选：A．【点睛】本题考查导数的几何意义，应用导数求函数的极值和零点，同时考查学生的运算能力，属于基础题．6.若()4234012341xaaxaxaxax−=++++.则1234aaaa+++的值为（）A.1B.1−C.0D.2

【答案】B【解析】【分析】令0x=得01a=，令1x=得012340aaaaa++++=，从而计算可得；【详解】解：因为()4234012341xaaxaxaxax−=++++令0x=得01a=令1x=得012340aaaaa++++=所以12341aaaa+++=−故选：B【点睛】本题考查

利用赋值法求二项式展开式的系数和，属于基础题.7.为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（）A.18B.24C.30D.3

6【答案】C【解析】【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的

排列数，即可得到答案.【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：2343CA种

；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A种，所以不同的分配方法种数有：23343336630CAA−=−=故选：C【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一

般题.8.已知函数()212eexxfxmx+−=−−在R上为增函数，则m的取值范围为（）A.(,4e−B.)4e,+C.(,2e−D.)2e,+【答案】A【解析】【分析】函数()212eexxfxmx+−=−−在R上为增函数,等价于()

2122e2e0xxfxm+−=+−对xR恒成立，然后分离变量，得2122e2exxm+−+，求出2122e2e+−+xx的最小值，就能确定m的取值范围.【详解】因为函数()212eexxfxmx+−=−−在R上

为增函数，所以()2122e2e0xxfxm+−=+−对xR恒成立，即2122e2exxm+−+对xR恒成立，又因为2122122e2e22e2e4exxxx+−+−+=，所以4em．故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，

分离变量是解决本题的关键.二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.关于()9ab−的说法，正确的是（）A.展开式中的二项式系数之和为512B.展开式中只有第5项的二项式系数最大C.展开式中第5项和第6项的

二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小【答案】ACD【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式及其性质即可判断出正误．【详解】解：二项式()9ab−展开式的通项为()9191rrrrrTCab−+=−对于A：二项式系数之和为9

2512=，故A正确；对于B、C：展开式共10项，中间第5、6项的二项式系数最大，故B错误，C正确；对于D：展开式中各项的系数为9(1)kkC−，0k=，1，，9当5k=时，该项的系数最小．故D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查了二项式展开式二项

式系数的性质、以及系数与二项式系数的关系，需要熟记公式才能解决问题．同时考查了学生的计算能力和逻辑推理能力．10.已知函数()32fxxaxbxc=+++，则（）A.0b时，函数()yfx=一定存在极值B.0xR，使()00f

x=C.若0x是()fx的极值点，则()00fx=D.若0x是()fx的极小值点，则()fx在区间()0，x−单调递减【答案】BC【解析】【分析】求导得到()232fxxaxb=++，根据函数的极值和函数单调性的关系，零点性质，依次判断每个选项得

到答案.【详解】()32fxxaxbxc=+++，则()232fxxaxb=++，取0ab==，函数单调递增，无极值点，A错误；当x→+时，()fx→+，当x→−时，()fx→−，故0xR，使(

)00fx=，B正确；若0x是()fx的极值点，则()00fx=，C正确；取0a=，3b=−，得到()233fxx¢=-，则函数在(),1−−上单调递增，在()1,1−上单调递减，在()1,+上单调递增，1是()fx的极小

值点，故D错误.故选：BC.【点睛】本题考查了函数的极值点，零点，单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用，取特殊值排除是解题的关键.11.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，则下列说法正确的是（）A.AC⊥面11ABDB.点1A到面11A

BD的距离为33C.1AA与面11ABD的夹角的余弦值为63D.二面角111ABDA−−的大小为4【答案】BC【解析】【分析】AC不垂直于1AB，A错误，利用等体积法计算B正确，据B知3sin3=，C正确，1AOA为二面角111ABDA−−的平面角，1tan2AOA=，D错误，得到答案.

【详解】易知1ABCV为等边三角形，故AC不垂直于1AB，故AC不垂直平面11ABD，A错误；111111111326AABDV−==，111111111312233226AABDABDVShh−===△，解得33h=，B正确；设1AA与面11ABD的夹角的余弦值为，据B知

3sin3=，故6cos3=，C正确；O为11BD中点，易知111AOBD⊥，11AOBD⊥，故1AOA为二面角111ABDA−−的平面角，1tan2AOA=，D错误.故选：BC.【点睛】本题考查了

线面垂直，点面距离，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12.已知函数()2lnfxxx=+，则以下结论正确的是（）A.函数()fx的单调减区间是(0,2)B.函数()yfxx=−有且只有1个零点C.存在正实数k

，使得()fxkx成立D.对任意两个正实数1x，2x，且12xx，若()()12fxfx=则124xx+【答案】ABD【解析】【分析】A选项，对函数求导，解对应不等式，可判断A；B选项，令()2lnxxxxg+=−，对其求导，研究单调性，根据零点存在

定理，可判断B；C选项，先由()fxkx得到22lnxkxx+，令()22lnxhxxx=+，用导数的方法判断其单调性，即可判定C；D选项，令()0,2t，则()20,2t−，令()()()22gtftft=+

−−，对其求导，判定其单调性，得到()()22ftft+−，令122xt=+，根据题中条件，即可判定出D.【详解】A选项，因为()2lnfxxx=+，所以()22212xfxxxx−=−+=，由()0fx得，2x；由()0fx得，02x，因此函数()fx在(0,2)

上单调递减，在(2,)+上单调递增；故A正确；B选项，令()2lnxxxxg+=−，则()22222172122014xxxxxxxgx−+−++=−−−==−显然恒成立；所以函数()2lnxxxxg+=−在()0,+上

单调递减；又()ln112110g=−=+，()212ln21ln20g=−=−+，所以函数()2lnxxxxg+=−有且仅有一个零点；故B正确；C选项，若()fxkx，可得22lnxkxx+，令()22lnxhxxx=+，则()42341lnln4xxxxxhxxxx−−−−=

+=，令()ln4uxxxx=−−，则()1ln1lnuxxx=−−=−，由()0ux得01x；由()0ux得1x；所以函数()ux在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减；因此()()130uxu=−；所以()3ln40xxxhxx−−=恒成立，即函数()2

2lnxhxxx=+在()0,+上单调递减，所以函数()22lnxhxxx=+无最小值；因此，不存在正实数k，使得()fxkx成立；故C错；D选项，令()0,2t，则()20,2t−，则22t+；令()()()()()2224222ln2ln2ln2242ttgtftfttttttt+=

+−−=++−−−=++−−−，则()()()()222222241624802244tttgttttt−−−=+=−+−−−，所以()gt在()0,2上单调递减，则()()00gtg=，即()()22ftft+−，令122xt=+，由()()()12

2fxfxft=−，得22xt−，则12224xxtt+−++=，当14x时，124xx+显然成立，所以对任意两个正实数1x，2x，且12xx，若()()12fxfx=则124xx+.故D正确.故选：ABD.【点睛】

本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的性质即可，属于常考题型.三、填空题：13.用0，1，2，3，4，5这6个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为______.（用

数字作答）【答案】108【解析】【分析】按个位数是0和5分类计数后可得所求的个数.【详解】若四位数的个位数为0，则没有重复数字的四位数的个数为3554360A==，若四位数的个位数为5，则没有重复数字的四位数的个数为24444348A=

=，故能被5整除的数的个数为108.故答案为：108.【点睛】本题考查排数问题，此类问题关键是特殊元素特殊处理，本题属于基础题.14.在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布()29810N,，现任取一名学生，则他的数学成绩在区间()108

,118内的概率为______.（附：若()2~XN，，则()0.6826PX−+=，()220.9544PX−+=.）【答案】0.1359【解析】【分析】本题首先可根据题意得出()

88108PX以及()78118PX的值，然后结合正态分布的对称性即可得出结果.【详解】因为所有学生的数学成绩服从正态分布()29810N,，所以()881080.6826PX=，()781180.9544PX=，所以根据正态分布的对称性可知，()

0.95440.68261081180.13592PX−==，故答案为：0.1359.【点睛】本题考查正态分布的相关性质，考查根据正态分布求概率，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.15.已知箱中装有10个不同的小球，其

中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是_____；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E（ξ）为_____．【答案】(1).950(2).35【解析】【分析】基本事件总数n＝103＝1000，3个小球颜色互不相同

包含的基本事件个数m＝103﹣（23+33+53222222333283755CCC+++）＝180，由此能求出3个小颜色互不相同的概率；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n，210），由此能求出ξ的数学期望E（ξ）．【详解】箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、

3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，基本事件总数n＝103＝1000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数：m＝103﹣（23+33+53222222333283755CCC+++）＝180，则3个小球颜色互不相同的概率是P1809

100050mn===；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～（n，210），∴ξ的数学期望E（ξ）＝323105=．故答案为：950，35．【点睛】本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项

分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题．16.函数()()23xfxxe=−，关于x的方程()()210fxmfx−+=恰有四个不同的实数解，则正数m的取值范围为______.【答案】3366eme+【解析】【分析】先利用导数求出函数()fx的单调区间和

极值，令()fxt=，由题意可知，方程210tmt−+=有两个不同的实数根1t，2t，根据数形结合和韦达定理可知，一个根在36,e内，一个根在36,e内，再令()21gttmt=−+，因为()010g=，所以只需360ge

，由此即可求出m的取值范围．【详解】解：()()()()22331xxxxexfexx=+−=+−，令()0fx=得，3x=−或1，当3x−时，()0fx，函数()fx在(),3−−上单调递增，且()0fx，当31x−时，()0f

x，函数()fx在()3,1−上单调递减，当1x时，()0fx，函数()fx在()1,+上单调递增，所以()()363fxfe=−=极大值，()()12fxfe==−极小值，令()fxt=，因

为关于x的方程()()210fxmfx−+=恰有四个不同的实数解，所以方程210tmt−+=有两个不同的实数根1t，2t，且一个根在360,e内，一个根在36,e+内，或者两个根都在

()2,0e−内，或者一根为36e，另一根在()2,0e−内；因为m为正数，所以121tt=，120ttm+=，所以1t，2t都为正根，所以两个根不可能在()2,0e−内，也不可能一根为36e，另一根在()2,0e−内；所以实数根1t，2t，且一个根在3

60,e内，一个根在36,e+内，令()21gttmt=−+，因为()010g=，所以只需360ge，即6336610mee−+，得3366eme+，即m的取值范围为：336,6ee++.故答案为：336,6ee++.

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．四、解答题：解箸应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.函数()1xfxex=−+()xR;(1)求()fx在点()()1,1f处的切线方程;(2)求()fx的极值.【答案】（1）()11y

ex=−+（2）极小值2【解析】【分析】（1）求出1,(1)1,))((1xefefefx−=−==，用直线的点斜式公式，即可求解；（2）由()0,0fxx==，求出()fx在(,0),(0,)−+上的单

调区间，即可求出结论.【详解】解:(1)()'1xfxe=−设所求切线方程的斜率为k,则()'11kfe==−又()1fe=,故所求切线方程为:()()11yeex−=−−即()11yex=−+(2)因为()'1xfxe=−令()'0fx,则0x;令()'0fx,

则0x,故函数()fx在(),0−单调递减,在()0,+单调递增0x=时,函数()fx有极小值()02f=【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的极值，属于基础题.18.一饮料店制作了一款新饮料，为了

进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如下表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2

）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）附：线性回归方程ˆˆybxa=+中斜率和截距最小二乗法估计计算公式：1221ˆniiiniixynxybxnx==−=−，ˆˆaybx=

−，51=4195iiixy=，521=453.75iix=.【答案】（1）ˆ32394yx=−+（2）单价应该定为10元【解析】【分析】（1）首先求出x、y，然后再求出ˆb、ˆa，即可求解.（2）设定价为x元，利润函数为()()3

23948yxx=−+−，利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：（1）由表中数据，()18.599.51010.59.55x=++++=()1201101590706090y++++==，则12221419559.590ˆ32453.

7559.5niiiniixynxybxnx==−−===−−−，ˆˆ90329.5394aybx=−=+=，所以y关于x的线性相关方程为ˆ32394yx=−+.（2）设定价为x元，则利润函数为()()323948yxx=−+−

，其中8x，则2326503152yxx=−+−，所以()65010232x=−−（元），为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10元.【点睛】本题考查了线性回归方程、二次函数的性质，考查了计算求解能力，属

于基础题.19.已知三棱柱111ABCABC−，1AA⊥平面ABC，90ABC=，11AAABBC===.（1）求异面直线1AB与1BC所成的角；（2）求二面角1CABC−−的大小.【答案】（1）60；（2）45.【解析】【分析】（1）本题首先可根据题意构造

空间直角坐标系，然后写出()11,0,1AB=−与()10,1,1BC=，最后根据向量的数量积公式即可得出结果；（2）本题首先可以求出平面1ABC的法向量n以及平面ABC的法向量m，然后求出两法向量的夹角的余弦值，最后结合图像，即可得出结果.【详解】因为1AA⊥平面ABC，90ABC

=所以如图，以BA为x轴、BC为y轴、1BB为z轴建立空间直角坐标系，因为11AAABBC===，所以()1,0,0A，()0,0,0B，()10,0,1B，()10,1,1C（1）因为()11,0,1AB=−，()10,1,1BC=，所以11111111,222ABBCc

osABBCABBC===，所以异面直线1AB与1BC所成的角为60，（2）()10,1,1BC=，()1,0,0BA=，设平面1ABC的法向量为(),,nxyz=则100nBAnBC==，化简得00xyz=+=，取()

0,1,1n=−r，设平面ABC的法向量为()0,0,1m=，12,22nmcosnmnm===，由图形可知二面角为锐角，故二面角1CABC−−的大小为45.【点睛】本题考查异面直线所成角以及二面角的求法，可通过构造空间直角坐标系的方式求解，考查向量的数

量积公式，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.20.2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X（40≤X＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如

表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）[160，200）天数255010025若将频率视为概率，试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；（2）该物流公司拟一次

性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流

公司应一次性租赁几辆货车？【答案】（1）485512；（2）3．【解析】【分析】（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P（A）38=，由此能求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬

菜量小于120件的概率．（2）由题意得每天配送蔬菜量X在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为11118428，，，，设物流公司每天的营业利润为Y，若租赁1辆车，则Y的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取

值为4000，1600，若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，分别求出相应的数学期望，推导出为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车

．【详解】（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P（A）38=，∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：p22120333335355485()()()88888512CCC=++=．（2）由题意得每天配送

蔬菜量X在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为11118428，，，，设物流公司每天的营业利润为Y，若租赁1辆车，则Y的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，16

00，P（Y＝4000）78=，P（Y＝1600）18=，∴Y的分布列为：Y40001600P7818∴E（Y）＝400071160086+=3700元．若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，P（Y＝6000）5

8=，P（Y＝3600）14=，P（Y＝1200）18=，∴Y的分布列为：Y600036001200P581418∴E（Y）511600036001200848=++=4800元，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，P（Y＝8000）18

=，P（Y＝5600）12=，P（Y＝3200）14=，P（Y＝800）18=，∴Y的分布列为：Y800056003200800P18121418∴E（Y）11118000560032008008248=+++=

4700，∵4800＞4700＞3700＞2000，∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车．【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算

求解能力，是中档题．21.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAC⊥平面ABCD，PAPC=，ABCD∥，ABAD⊥，且244CDADAB===.（1）过BD作截面与线段PC交于点H，使得//AP平面BDH，试确定点H的位置，并给出证明；（2）在（1）的条件下，若二面角H

BDC−−的大小为4，试求直线DA与平面BDH所成角的正弦值.【答案】（1）H为线段PC上靠近点P的五等分点，即5PCPH=，证明见解析；（2）1010【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点E．证明APEH∥，即可证明A

P∥平面BDH．（2）以DA，DC为x，y轴的正方向，过点D作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面BDH的法向量，利用空间向量的数量积求解直线DA与平面BDH所成角的正弦值即可．【详解】（1）如图，连接BD交AC于点E，由ABCD∥，易知A

EB△相似于CED.∴14AEABECCD==，又AP∥平面BDH，平面APC平面BDHEH=，∴APEH∥，∴14PHAEHCEC==，即H为线段PC上靠近点P的五等分点，即5PCPH=.（2）由12ABADADCD==，RtAED△相似于RtCED，可得ACBD⊥，∵平面PAC⊥

平面ABCD，且平面PAC平面ABCDAC=，∴BD⊥平面PAC，∴HEC为二面角HBDC−−的平面角，∵EHPA∥，∴4PACHEC==，又PAPC=，∴PCPA⊥，PCEH⊥，又易知PCBD⊥，∴PC⊥平面BDH，即CP是平面BDH的法向量，如图，以DA，D

C为x，y轴的正方向，过点D作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()2,0,0A，()0,4,0C，()1,2,5P，∴()2,0,0DA=，()1,2,5CP=−，∴10sin10DACPDACP==，直线DA与平面BDH所成角的正弦值为

1010.【点睛】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．22.设函数()22cosfxxx=+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若0x，

不等式()1fxkx+恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）在区间(),0−上是减函数，在区间()0,+上是增函数；（2）(,0−【解析】【分析】（1）利用导函数的正负讨论函数的单调性；（2）不等式()1fxkx

+化为2210xkxcosx−−+，结合（1）的结论，分析函数单调性，讨论函数最值，根据不等式恒成立求参数的取值范围.【详解】解：（1）()()()2222,2222120fxxcosxsinxxsinxfxcosxc

osx=−=−=−=−所以()fx为增函数，又因为()00f=所以，当0x时，()0fx；当0x时，()0fx所以，函数()fx在区间()0−，上是减函数，在区间()0+，上是增函数（2）不等式()1fxkx

+化为2210xkxcosx−−+设()221gxxkxcosx=−−+，()022xgxxksinx=−−，由（1）可知()gx是)0+，上的增函数，因为()0gk=−，所以，当()000kg时，，函

数g(x)在区间)0+，上的增函数所以()()20100gxgcos=−+=，所以当0k时符合题意.当0k时，()/00gk=−，所以存在00x，使得()/00gx=；并且当()000xxgx时，；当()00

xxgx时，；所以函数()gx在区间)00x，上是减函数，在区间()0x，+上是增函数最小值为()()000gxg=，不等式不恒成立综上，使得命题成立的实数k的取值范围是(0，−【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性，解决不

等式恒成立求参数的取值范围，涉及分类讨论.