【文档说明】新疆哈密市第八中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试卷（理科） 含解析.doc，共(16)页，903.500 KB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年新疆哈密八中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．复数z满足（1+i）z＝i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．曲线y＝sinx在x＝处

的切线的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．3．已知函数f（x）＝3x2+2，则f′（5）＝（）A．15B．30C．32D．774．＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．

（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）6．已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．37．曲线y＝x2和y＝2x+3围成的封闭面积是（）A．B．C．10D

．8．已知直线l经过（﹣1，0），（0，1）两点，且与曲线y＝f（x）切于点A（2，3），则的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．29．曲线y＝x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A．30

°B．45°C．60°D．120°10．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于（）A．B．C．2D．11．复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a的取值是（）A．3B．﹣2C．﹣1D．112．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1

B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B所成的角为θ，则tanθ的最大值为（）A．B．C．2D．二．填空题（每小题5分）.13．复数的虚部是．14．若函数f（x）＝在x＝1处取极值，则a＝．15．直线l的一个方向向量为，直线

n的一个方向向量为，则l与n的夹角为．16．若2xlnx＞﹣x2+ax﹣3对一切x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围为．三．解答题17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q为A

D的中点，PA＝PD，BC＝AD＝1，CD＝．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若异面直线AB与PC所成角为60°，求PA的长；（3）在（2）的条件下，求平面PQB与平面PDC所成锐二面角的余弦值．18．已知函数．

（Ⅰ）求f（x）的减区间；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的值域．19．如图，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，DE＝2CF，BE与平面ABCD所成的角为45°．（1）求证：平面BEF⊥平面BDE；（2）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．20

．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣与x＝1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3．D是线

段BC的中点．（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）2﹣x+lnx（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若1＜a＜e，

试判断f（x）的零点个数．参考答案一、选择题（共12小题）.1．复数z满足（1+i）z＝i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由（1+i）z＝i，得，∴z在复平面内对应的点

为，在第一象限，故选：A．2．曲线y＝sinx在x＝处的切线的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．解：y＝sinx的导数为y′＝cosx，可得在x＝处的切线的斜率为cos＝，故选：D．3．已知函数f（x）＝3x2+2，则f′（5）＝（）A．15B．30C．32D．77解

：∵f′（x）＝6x，∴f′（5）＝30．故选：B．4．＝（）A．B．C．D．解：＝．故选：A．5．函数f（x）＝的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）解：x≠0时

，，∵在（﹣1，0），（0，1）上单调递减，∴f（x）在（﹣1，1）上单调递增，即f（x）的单调递增区间是（﹣1，1）．故选：B．6．已知f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．3解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数∴f′（

x）＝3x2﹣a≥0在[1，+∞）上恒成立．即a≤3x2∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立∴a≤3∴a的最大值是3故选：D．7．曲线y＝x2和y＝2x+3围成的封闭面积是（）A．B．C．10D．解：根据题意，，解可得x1＝﹣1，x2＝3，则曲线y＝x2和y＝2x+3围成的封闭面积S＝（2x+

3﹣x2）dx＝（x2+3x﹣）＝；故选：A．8．已知直线l经过（﹣1，0），（0，1）两点，且与曲线y＝f（x）切于点A（2，3），则的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2解：∵直线l经过（﹣1，0），（0，1）两点，可得l：y＝x+1，直线与曲

线y＝f（x）切于点A（2，3），可得曲线在x＝2处的导数为：f′（2）＝1，又根据导数的定义：f′（2）＝＝1，故选：C．9．曲线y＝x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A．30°B．45

°C．60°D．120°解：y′＝3x2﹣2，切线的斜率k＝3×12﹣2＝1．故倾斜角为45°．故选：B．10．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于（）A．B．C．2D．解：∵点

B是点A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影∴B点的坐标是（0，2，3）∴|OB|等于，故选：B．11．复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a的取值是（）A．3B．﹣2C．﹣1D．1解：∵z＝（a2﹣1）+（a+1）i是纯虚数∴a2﹣1＝0且a+1≠0，解之得

a＝1故选：D．12．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B所成的角为θ，则tanθ的最大值为（）A．B．C．2D．解：以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，设P（x，3，z），则＝（x﹣3，3，z），＝（﹣3，﹣3，4），∵AP⊥BD1，∴＝，∴﹣3（x﹣3）﹣3×3+4z＝0，∴z＝，∴|BP|＝＝＝≥，∴tanθ＝≤，∴tanθ的最大值为．故选：B．

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数的虚部是﹣2．解：∵＝，∴复数的虚部是﹣2．故答案为：﹣2．14．若函数f（x）＝在x＝1处取极值，则a＝3．解：f′（x）＝＝．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）＝0的根，将x＝

1代入得a＝3．故答案为315．直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，则l与n的夹角为．解：∵直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，，∴l与n的夹角为．故答案为：．16．若2xlnx＞﹣x2+ax﹣3对一切x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围为（﹣∞，4）．解：2

xlnx＞﹣x2+ax﹣3对一切x∈（0，+∞）恒成立，可得a＜2lnx+x+恒成立，设g（x）＝+1﹣＝，x＞0，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增；0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减，可得x＝1处g（x）取得极小值，且为最小值

4，可得a＜4．故答案为：（﹣∞，4）．三．解答题17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q为AD的中点，PA＝PD，BC＝AD＝1，CD＝．（1）求证：平面PQB

⊥平面PAD；（2）若异面直线AB与PC所成角为60°，求PA的长；（3）在（2）的条件下，求平面PQB与平面PDC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ，∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，

∴QB⊥AD，又∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BQ⊥平面PAD，∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．解：（2）∵PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD

，∴PQ⊥底面ABCD，以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，设PQ＝a，则Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，a），B（0，，0），C（﹣1，，0），∴＝（﹣1，，0

），＝（1，﹣，a），设异面直线AB与CD所成角为θ，∵异面直线AB与PC所成角为60°，∴cosθ＝|cos＜，＞|＝＝，解得PQ＝a＝2，∴在Rt△PQA中，PA＝＝＝．（3）平面PQB的法向量＝（1，0，0），D（﹣1，0，0），＝（﹣1，0，﹣2），＝（﹣1，，﹣2），设平面PDC的法

向量＝（ax，y，z），则，取x＝2，得＝（2，0，﹣1），设平面PQB与平面PDC所成锐二面角为α，则cosα＝＝＝．∴平面PQB与平面PDC所成锐二面角的余弦值为．18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的减区间；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的值域．解

：（I）根据题意，函数，其导数f'（x）＝x2+2x当f'（x）＝x2+2x＜0，解得x∈（﹣2，0）即f（x）的减区间（﹣2，0）；（II）当f'（x）＝x2+2x＞0，解得x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）即f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，

则f（0）＝0，f（1）＝+1＝，f（﹣1）＝﹣+1＝，则f（x）的值域．19．如图，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，DE＝2CF，BE与平面ABCD所成的角为45°．（1）求证：

平面BEF⊥平面BDE；（2）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：因为ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD和△BCD都是边长为2的正三角形，因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DC、DE⊥BD，又因为BE与平面ABCD

所成的角为45°，所以∠EBD＝45°，所以ED＝BD＝2，取DE中点G，连接GF、DF，又因为CF∥DE，DE＝2CF，所以四边形DCFE为矩形，于是CF⊥平面ABCD，FG⊥DE，EF＝DF＝，又因为BF＝＝，取BE中点M，连接MF、MD，因为EF＝BF，所以MF⊥BE，因为ED

＝BD，所以DM⊥BE，所以∠DMF为平面BEF与平面BDE构成二面角的平面角，又因为DM＝，MF＝＝，DF＝，所以DF2＝MF2+DM2，所以∠DMF＝90°，所以平面BEF⊥平面BDE．（2）解：取DC中点N，连接NB，过N作NH⊥EF于H，连接BH，因为DE⊥平面ABCD，所以平面EDC

F⊥平面ABCD，又因为平面EDCF∩平面ABCD＝CD，所以BN⊥平面EDCF，于是NH为BN在平面EDCF内的射影，所以EF⊥BH，所以∠BHN为二面角B﹣EF﹣D的平面角，设其大小为θ，因为BH＝＝，BN＝2•sin60°＝，所以sinθ＝＝，cos

θ＝＝，故二面角B﹣EF﹣D的余弦值为．20．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣与x＝1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【解答】解；

（1）f（x）＝x3+ax2+bx+c，f'（x）＝3x2+2ax+b由解得，f'（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：x（﹣∞，﹣）﹣（﹣，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑所以函数f（x）的递增区间是（﹣

∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x＝﹣时，f（x）＝+c为极大值，而f（2）＝2+c，所以f（2）＝2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）＝2+c．解得c＜﹣

1或c＞2．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3．D是线段BC的中点．（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．解：

（1）因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC所以分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），因为

D是BC的中点，所以D（1，2，0），…因为，设平面A1C1D的法向量，则，即，取，所以平面A1C1D的法向量，而，所以，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为；…（2），，设平面B1A1D的法向量，则，即，取，平面B1A1D的法向量，所以，二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余

弦值．…22．已知函数f（x）＝（x﹣1）2﹣x+lnx（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若1＜a＜e，试判断f（x）的零点个数．解：（1）∵f（x）＝（x﹣1）2﹣x+lnx（a＞0），定

义域（0，+∞），∴f′（x）＝a（x﹣1）﹣1+＝，①当0＜a＜1时，令f′（x）＞0可得，x＞或x＜1，令f′（x）＜0可得，，∴函数f（x）单调递增区间（），（0，1），单调递减区间（1，）；②a＝1时，f°（x

）＞0恒成立，故函数在（0，+∞）上单调递增；③当a＞1时，令f′（x）＞0可得，0＜x＜或x＞1，令f′（x）＜0可得，，∴函数f（x）单调递增区间（1，+∞），（0，），单调递减区间（，1）；（2）若1＜a＜e，由（1）知函数f（x）在（1，+∞），（0，）单调递增，在（，1）单调递减，∵f（

1）＝﹣1＜0，f（）＝，令g（a）＝，1＜a＜e，则＝＞0恒成立，∴g（a）在（1，e）上单调递增，∴g（1）＜g（a）＜g（e）＜0，即f（）＝＜0，∵x→0，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→+∞，∴函数的图象与x轴只有一

个交点即f（x）的零点个数为1．