【文档说明】高二数学专题手册 专题06 两直线的交点坐标及两点间的距离公式【高考】.docx，共(11)页，369.625 KB，由小赞的店铺上传

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1专题06两直线的交点坐标及两点间的距离公式要点一两条直线的交点坐标1．求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．2．应用：可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系．一般地，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋

C2＝0的位置关系如表所示：方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数_1_个无数多个_0_个直线l1和l2的位置关系相交重合平行【方法技巧】两直线相交的

条件：①将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2，B2≠0)．③

若两直线斜率都存在，设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.要点二两点间的距离公式两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|＝_(x2－x1)2＋(y2－y1)2特例若

O(0,0)，P(x，y)，则|OP|＝x2＋y2【方法技巧】对两点间距离公式的理解：①公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，利用此公式可以将几何问题代数化．②当直线P1P2平行于坐标轴时距离

公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：法一：直线P1P2平行于x轴时|P1P2|＝|x2－x1|；法二：直线P1P2平行于y轴时|P1P2|＝|y2－y1|.【基础自测】1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是()A．(2,2)B．(1,1)C．(1,2)

D．(2,1)2【答案】C【解析】由x＝1，y＝2得交点坐标为(1,2)，故选C.2．已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为()A．5B.5C．3D.29【答案】B【解析】由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝(3－2)2＋(7－5)2＝5

.3．已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为()A．4B．－4或2C．－2D．－2或4【答案】D【解析】(a－1)2＋(6－2)2＝5，∴a＝4或－2.题型一两直线的交点问题【探究1】判断两直线是否相交例】分别判断下列

直线是否相交，若相交，求出它们的交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.【解析】(1)方程组2x－

y－7＝0，3x＋2y－7＝0的解为x＝3，y＝－1.因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组2x－6y＋4＝0，4x－12y＋8＝0有无数个解，这表明直线l1和l2重合．

(3)方程组4x＋2y＋4＝0，2x＋y－3＝0无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.【方法技巧】两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．【探究2】

过两直线交点的直线方程【例2】求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．3【解析】方法一解方程组2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0，得x＝－35，y＝－75

，所以两直线的交点坐标为(－35，－75).又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋75＝－3(x＋35)，即15x＋5y＋16＝0.方法二设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ

(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112，代入(*)式得(2＋112)x＋(112

－3)y＋(2×112－3)＝0，即15x＋5y＋16＝0.【变式探究】本例中若将“平行”改为“垂直”【解析】设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，由

于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.【方法技巧】过两条直线交点的直线方程的求法1．常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标

，再结合其他条件写出直线方程．2．特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．【变式训练】1若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky

＝0相交于一点，则k的值为()A．－2B．－12C．2D.12【答案】B【解析】易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入x＋ky＝0，得k＝－12.故选B.2.直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－

y－1＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0B．2x－y＝0C．x＋2y＝0D．x－2y＝04【答案】(2)B【解析】(2)设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x

＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.故选B.题型二两点间的距离公式的应用【例3】已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC的形状．【解析】方法一∵|AB|＝(3＋3)2

＋(－3－1)2＝213，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝7－11－(－3)＝32

，kAB＝－3－13－(－3)＝－23，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．【方法技巧】1．判断三角形的形状，要采用数形结合

的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．【变式训练】(1)已知点A(－3,4)，B(2，3)，在x轴上

找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；(2)已知点M(x，－4)与点N(2,3)间的距离为72，求x的值．【解析】(1)设点P的坐标为(x,0)，则有|PA|＝(x＋3)2＋(0－4)2＝x2＋6x＋25，|PB

|＝(x－2)2＋(0－3)2＝x2－4x＋7.由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－95.故所求点P的坐标为(－95，0).|PA|＝－95＋32＋(0－4)2＝21095.(2)由|MN|＝72，得|MN|＝(x－2)2＋(－4－3)2＝72，5

即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5.题型三运用坐标法解决平面几何问题【例4】在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．【证明】设BC所在边为x轴，以D为原

点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)．∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋

b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．【方法技巧】利用坐标法解平面几何问题常见的步骤1．建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；2．用坐标表示有关的量；3．将几何关系转化为坐标运算；4．把代数运算结果“翻译”成几何关系．【变式训练】已知：等腰梯形ABCD中，AB∥

DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.【证明】如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)∴|AC|＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，|BD|＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.故|AC|＝|BD|

.【易错辨析】应用直线系方程漏解引发的错误【例5】过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交点，且到原点的距离为455的直线方程．【解析】设所求直线为x＋y－1＋λ(2x－y＋4)＝0，6即(2λ＋1)x＋(1－λ)y＋4λ－

1＝0，由点到直线的距离公式得λ＝－38所以所求直线方程为2x＋11y－20＝0.因为原点到直线2x－y＋4＝0的距离也为455，故直线2x－y＋4＝0也符合题意．故所求的直线方程为2x＋11y－20＝0和2x－y＋4＝0.【易错警示】易错原因

纠错心得直线系方程求解时，恰好漏掉了直线2x－y＋4直线系(2λ＋1)x＋(1－λ)x＋4λ－1＝0表示经过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交但不包括直线2x－y＋4＝0，而本题是特殊情况，因为原点到直线2x－y＋4＝0的距为455.1.若

两条直线1:230lxym+−=与2:120lxmy++=的交点在y轴上，那么m的值为（）A．24−B．6C．6D．以上答案都不对【答案】B【解析】设交点在y轴上为(0,)b，则30120bmmb−=+=，可得3120bb+=，故无解，

故选D2．（2020·南昌大学附属中学高二期中）过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6B.2C．2D．不能确定【答案】B【解析】由kAB＝1，得b－a1＝1，∴b－a＝1.∴|AB|＝(5－4)2＋(b－a)2＝1＋1＝2.3．（2020·山西高二期

中）已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A．2B．4C．5D.17【答案】D7【解析】根据中点坐标公式得到x－22＝1且5－32＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝(4－

0)2＋(1－0)2＝17.4．（2020·天津高二专题练习）已知平面上两点A(x，2－x)，B)0,22(，则|AB|的最小值为()A．3B.13C．2D.12【答案】D【解析】∵|AB|＝22)02()22(−−+−xx＝41)423(22+

−x≥12，当且仅当x＝324时等号成立，∴|AB|min＝12.5．（多选）（2020·福建省武平县第一中学高二月考）两直线（m+2）x﹣y+m＝0，x+y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0【答案】ABD【解析】由题知，

三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点．于是①m+2≠0；②m+2≠﹣1；③（m+2）•0﹣0+m≠0．综上所述，m≠﹣2且m≠﹣3且m≠0．故选ABD．6．（2020·江苏省响水中学高二期中）设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(

2，－1)，则|AB|等于________．【答案】25【解析】设A(x,0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴x2＝2，y2＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝42＋22＝25.7．（2020

·江苏马坝高中高二月考）经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．【答案】5x－15y－18＝0【解析】由方程组2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0，得x＝－35，y＝－75.又

所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝13，∴直线方程为y＋75＝13)53(+x，即5x－15y－18＝0.88．（2020·江苏启东中学高二期中）在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为__

______．【答案】)25,23(−【解析】设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即(a＋2)2＋(a＋4＋4)2＝(a－4)2＋(a＋4－6)2，解得a＝－32，故P点的坐标是)2

5,23(−.9．（2020·甘肃省武威第一中学高二期中）已知△ABC的三个顶点是A(－1,0)，B(1,0)，C)23,21(，试判断△ABC的形状．【解析】因为|BC|＝22)23()211(+−＝1＋34＝1，|AB|＝2，|AC|＝22)23()23(+＝3，有|AC|2＋|B

C|2＝|AB|2，所以△ABC是直角三角形．10．（2020·内蒙古集宁一中高二期末）已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.(1)求直线CM的方程；(2)求点P的坐标．【解

析】(1)设点C的坐标为(x，y)，因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，则1－17－1＝y－6x－4，6－14－1＝y－1x－7，解得x＝10，y＝6，即C(10

,6)．又点M是边AB的中点，所以M(4,1)，所以直线CM的方程为y－16－1＝x－410－4，即5x－6y－14＝0.(2)因为B(7,1)，D(4,6)，所以直线BD的方程为y－16－1＝x－74－7，9即

5x＋3y－38＝0.由5x－6y－14＝0，5x＋3y－38＝0，解得x＝6，y＝83，即点P的坐标为)38,6(.11．（2020秋•西城区校级期中）直线210kxyk−++=与240xy+−

=的交点在第四象限，则k的取值范围为()A．(6,2)−B．1(,0)6−C．11(,)26−−D．1(,)2+【答案】C【解析】联立方程21240ykxkxy=+++−=，可解得24216121kxkkyk−=++=+，由两直线21ykxk=++与240xy+−=交点在

第四象限可得2402161021kxkkyk−=++=+，解此不等式组可得1126k−−，即k的取值范围为1(2−，1)6−，故选：C．12．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高二月考）已知点A(3，－1

)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是()A．(1，－1)B．(－1,1)C.)513,513(−D．(－2,2)【答案】C【解析】点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，

直线A′B的方程为y＝14x－134，与x＋y＝0联立方程组并解得x＝135，y＝－135，所以点P)513,513(−.13．（2020·邯郸市永年区第一中学高二期末）设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰

直角三角形，则直线l的方程为________．【答案】x－y－4＝0或x＋y－24＝0【解析】法一：联立2x－3y＋2＝0，3x－4y－2＝0，得x＝14，y＝10，所以两直线的交点坐标为(14,10

)．10由题意可得所求直线的斜率为1或－1，所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.法二：设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整

理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1，解得λ＝－1或λ＝－57，所以所求的直线方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0.14．（2020·福建省仙游县枫亭中学高二期

末）已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．【解析】(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点在直线l上，且PP′⊥l.所以y0＋

1x0＋2×－12＝－1，x0－22＋2×y0－12－2＝0，解得x0＝25，y0＝195.即P′点的坐标为)519,52(.(2)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，则直线l上任一

点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．由x＋x12＝1，y＋y12＝1，得x1＝2－x，y1＝2－y.将(x1，y1)代入直线l的方程得，x＋2y－4＝

0，即直线l′的方程为x＋2y－4＝0.15．（2020·陕西高新一中高二期中）已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大；(2)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝

0，求证：l1与l2相交．【解析】(1)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，11点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，解

y＝x－2，x－2y＋8＝0，得x＝12，y＝10，故所求的点P的坐标为(12,10)．(2)证明(反证法)：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，可推出k1＝k2代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0，此与k1为

实数相矛盾，从而k1≠k2即l1与l2相交．