【文档说明】北京市东直门中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 含答案.doc，共(9)页，916.500 KB，由小赞的店铺上传

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北京市东直门中学2020~2021学年度第二学期期中考试高二数学考试时间：120分钟总分：150分第一部分（选择题）一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）1.6位选手依次演讲，其中选手甲不在第

一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A.240种B.360种C.480种D.720种2.8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为A.8289AAB.8289ACC.8287AAD.8287AC3.某物体的运动方程为2()3stt=（位移单位：m，时间单位：s），若

()()033lim18m/tstsvst→+−===，则下列说法中正确的是（）A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B.18m/s是物体从3s到(3)ts+这段时间内的速度C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D.18m/s是物体从3s到(3)ts

+这段时间内的平均速度4.已知na为等差数列，nS为其前n项和.若555aS==，则1a=（）A.5−B.4−C.3−D.2−5.函数2cosyxx=的导数为A.22cossinyxxxx−=B.22cossinyxxxx=

+C.2cos2sinyxxxx−=D.2cossinyxxxx=−6.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有A.12种B.24种C.30种D.36种7.在6axx−

的展开式中，4x的系数为12，则a的值为（）A.2B.2−C.1D.1−8.函数f（x）＝（x2﹣1）3+2的极值点是（）A.x＝1B.x＝﹣1或x＝1或x＝0C.x＝0D.x＝﹣1或x＝19.已知点(

)211,Axx，()222,Bxx，10,4C，则“ABC是等边三角形”是“直线AB的斜率为0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.若直线:lxa=与函数

()21fxx=+,()1ln2gxx=的图像分别交于点P､Q,当P､Q两点距离最近时,a=A.52B.22C.1D.1211.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且

红色卡片至多1张.不同取法的种数为A.232B.252C.472D.48412.已知aR，设函数222,1,()ln,1,xaxaxfxxaxx−+=−„若关于x的不等式()0fx…在R上恒成立，则a的取值范围为A.0,1B.0,2C.0

,eD.1,e第二部分（非选择题）二、填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分）13.已知双曲线22:1yCxm−=经过点(2,2)，那么m的值为___________，C的渐近线方程为___________.14.用数字1，2，3，4，5，6，7，

8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）15.若5(3)nxx−的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_____16.已知x

a=是函数()32fxxxx−=−的极小值点，则a=_____________.17.设A是非空数集，若对任意,xyA，都有,xyAxyA+，则称A具有性质P.给出以下命题：①若A具有性质P，则A可以是有限集；②若12,AA

具有性质P，且12AA，则12AA具有性质P；③若12,AA具有性质P，则12AA具有性质P；④若A具有性质P，且AR，则ARð不具有性质P其中所有真命题的序号是___________.三、

解答题（本题有6小题，共77分）18.已知*{}()nanN是各项均为正数的等比数列，116a=，323322aa+=.（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设23lognnba=，求数列{}nb的前n项和nS，并求nS的最大值．19.已知函数

()()e2xfxx=+．（1）求()fx在点()()0,0f处的切线方程；（2）求()fx的单调区间与极值，并说明是极大值还是极小值．20.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，2BAC=，11AAABAC===，1

CC的中点为H.（Ⅰ）求证：1ABAC⊥；（Ⅱ）求二面角1ABCA−−的余弦值；（Ⅲ）在棱11AB上是否存在点N，使得//HN平面1ABC？若存在，求出111ANAB的值；若不存在，请说明理由．21.已知函数()()1lnfxxxaxa=+−+．（Ⅰ）若曲线

()yfx=在点()()1,1f处的切线倾斜角为4，求a的值；（Ⅱ）若()fx在()0,+上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）请直接写出()fx的零点个数．22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)AB−，离心率为

32.（1）求椭圆C的方程；（2）P为椭圆C上异于,AB的动点，直线,APPB分别交直线6x=−于,MN两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q.（ⅰ）求证：直线,APAN的斜率之积为定值；（ⅱ）判断,,MBQ三点是否共线，并说明理由.23.设()2nn为正整数，若()12,

,,nxxx=满足：①0,1,,1ixn−，1i=，2，…，n；②对于1ijn，均有ijxx．则称()12,,,nxxx=具有性质()En．对于()12,,,nxxx=和()12,,,nyyy=，定义集合(),|,1,2,,iiTttxyin

==−=∣．（1）设()0,1,2=，若()123,,yyy=具有性质()3E，写出一个及相应的(),T；（2）设和具有性质()5E，那么(),T是否可能为0,1,2,3,4，若可能，写出一

组和，若不可能，说明理由；（3）设和具有性质()En，对于给定的，求证：满足(),0,1,,1Tn=−的有偶数个．北京市东直门中学2020~2021学年度第二学期期中考试高二数学答案版考试时间：120分钟总分：150分第一部分（选择题）一、选择题：（本题有1

2道小题，每小题4分，共48分）1.6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有A.240种B.360种C.480种D.720种【答案】C2.8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为A.8289AAB.8289A

CC.8287AAD.8287AC【答案】A3.某物体的运动方程为2()3stt=（位移单位：m，时间单位：s），若()()033lim18m/tstsvst→+−===，则下列说法中正确的是（）A.18m/s是物体从开始到3

s这段时间内的平均速度B.18m/s是物体从3s到(3)ts+这段时间内的速度C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D.18m/s是物体从3s到(3)ts+这段时间内的平均速度【答案】C4.已知na为等差数列，nS为其前n项和.若555aS==

，则1a=（）A.5−B.4−C.3−D.2−【答案】C5.函数2cosyxx=的导数为A.22cossinyxxxx−=B.22cossinyxxxx=+C.2cos2sinyxxxx−=D.2co

ssinyxxxx=−【答案】A6.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有A.12种B.24种C.30种D.36种【答案】B7.在6axx−的展开式中，4x的系数为12，则a的值为（）A.2B.2

−C.1D.1−【答案】B8.函数f（x）＝（x2﹣1）3+2的极值点是（）A.x＝1B.x＝﹣1或x＝1或x＝0C.x＝0D.x＝﹣1或x＝1【答案】C9.已知点()211,Axx，()222,Bxx，10,4C，则“ABC是等边

三角形”是“直线AB的斜率为0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A10.若直线:lxa=与函数()21fxx=+,()1ln2gxx=的图像分别交于点P､Q,当P､Q两点距离最近时,a=A.52B.22C.1D.12【答案】D11.现有

16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为A.232B.252C.472D.484【答案】C12.已知aR，设函

数222,1,()ln,1,xaxaxfxxaxx−+=−„若关于x的不等式()0fx…在R上恒成立，则a的取值范围为A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e【答案】C第二部分（非选择题）二、填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分）1

3.已知双曲线22:1yCxm−=经过点(2,2)，那么m的值为___________，C的渐近线方程为___________.【答案】①.4②.2yx=14.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，

9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】108015.若5(3)nxx−的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_____【答案】202516.已知xa=是函数()32fxxxx−=−的极小值

点，则a=_____________.【答案】117.设A是非空数集，若对任意,xyA，都有,xyAxyA+，则称A具有性质P.给出以下命题：①若A具有性质P，则A可以是有限集；②若12,AA具有性质P，且12A

A，则12AA具有性质P；③若12,AA具有性质P，则12AA具有性质P；④若A具有性质P，且AR，则ARð不具有性质P其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④三、解答题（

本题有6小题，共77分）18.已知*{}()nanN是各项均为正数的等比数列，116a=，323322aa+=.（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设23lognnba=，求数列{}nb的前n项和nS，并求nS的最大值．【答案】（Ⅰ）52nna−=；（Ⅱ）()2392nSnn=−

−，nS最大值为3019.已知函数()()e2xfxx=+．（1）求()fx在点()()0,0f处的切线方程；（2）求()fx的单调区间与极值，并说明是极大值还是极小值．【答案】（1）320xy−+=；（2）3e−−.20.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥平面ABC，2BAC

=，11AAABAC===，1CC的中点为H.（Ⅰ）求证：1ABAC⊥；（Ⅱ）求二面角1ABCA−−的余弦值；（Ⅲ）在棱11AB上是否存在点N，使得//HN平面1ABC？若存在，求出111ANAB的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）33；（Ⅲ）在棱11AB上存在点N，使

得//HN平面1ABC，且11112ANAB=.21.已知函数()()1lnfxxxaxa=+−+．（Ⅰ）若曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线倾斜角为4，求a的值；（Ⅱ）若()fx在()0,+上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）请直接写出()

fx的零点个数．【答案】（Ⅰ）1a=；（Ⅱ）a的取值范围为(,2−；（Ⅲ）当2a时，()fx只有1个零点；当2a时，()fx只有3个零点.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=长轴的两个端点分别为(2,0),(2,0)A

B−，离心率为32.（1）求椭圆C的方程；（2）P为椭圆C上异于,AB的动点，直线,APPB分别交直线6x=−于,MN两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q.（ⅰ）求证：直线,APAN的斜率之积为定值；（ⅱ）判断,,MBQ三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）2214xy+=；（2）（ⅰ）证明见解析

；（ⅱ）是，理由见解析.23.设()2nn为正整数，若()12,,,nxxx=满足：①0,1,,1ixn−，1i=，2，…，n；②对于1ijn，均有ijxx．则称()12,,,nxxx=具有性质()En．

对于()12,,,nxxx=和()12,,,nyyy=，定义集合(),|,1,2,,iiTttxyin==−=∣．（1）设()0,1,2=，若()123,,yyy=具有性质()3E，写出一个

及相应的(),T；（2）设和具有性质()5E，那么(),T是否可能为0,1,2,3,4，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；（3）设和具有性质()En，对于给定的，求证：满足(),0,1,,1Tn=−的有偶数个．【答案】（1）(0,1,2),

(,)0T==，（2）存在具有性质()5E的和，满足(),T为0,1,2,3,4，（3）证明见解析