【文档说明】专题4.1 因式分解（原卷版）-2021-2022学年八年级数学下册单元题型精练（基础题型强化题型）（北师大版）.docx，共(18)页，782.496 KB，由管理员店铺上传

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专题4.1因式分解因式分解的概念【例1】下列从左到右的变形中，属于因式分解的是()A．21(1)(1)xxx−=+−B．222xyxy=C．22(1)21xxx−−=++D．222(2)2xxxx++=++【变式

训练1】下列各式从左到右的变形是因式分解的是()A．()mabmamb+=+B．241(4)1xxxx++=++C．2(1)mmmm−=−D．121(2)xxx+=+【变式训练2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()A．2(1)

(1)1xxx+−=−B．22816(4)xxx−+=−C．221(1)1xxxx−+=−+D．224(4)(4)xyxyxy−=+−【变式训练3】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()A．2222(1)

1xxx−+=−+B．22()()ababab+−=−C．221(1)xx−=−D．2244(2)xxx−+=−提公因式【例2】分解因式：2()3()ayzbzy−−−=．【变式训练1】分解因式：224abcab+=．【变式训练2】分解

因式36xyxz−=．【变式训练3】因式分解：2()2()xyyxy+−+=．完全平方公式【例3】把242436xx−+分解因式为．【变式训练1】分解因式：25105aa++=．【变式训练2】分解因式：3221218aaa−+−=．【变式训练3】因式分解：221122xxyy−+−=．完全平方求

参【例4】若2225(5)xkxx++=−，那么k的值是()A．5B．5−C．10D．10−【变式训练1】若226(3)xxabx−+=−，则a，b的值分别为()A．9，1B．9−，1C．9−，1−D．9，1−【变式训

练2】已知24xkx++可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为()A．4−B．2C．4D．4【变式训练3】若225()xxmxn++=+，则m，n的值分别为()A．254m=，52n=B．254m=，5n=C．25m=，5n=D．5m=，52n=平方差公式【例5】因式分解：33

12xx−=．【变式训练1】分解因式42218aa−=．【变式训练2】分解因式：2228mamb−=．【变式训练3】因式分解：229()()xyxy+−−=．整体思想【例6】已知3xy=−，2xy+=，则代数式22xyxy+的值是()A．6−B．6C．5

−D．1−【变式训练1】已知4ab+=，3ab=，则22abab+=．【变式训练2】已知3ab+=，1ab=，则多项式22ababab+−−的值为()A．1−B．0C．3D．6【变式训练3】已知20212020ax=+，20212

021bx=+，20212022cx=+，那么222abcabbcac++−−−的值等于．简便计算【例7】计算：2403780722019−=．【变式训练1】计算213.14793.14+的结果为．【变式训练2】利用因式分解进行简便运算：（1）2920.217220.2120.21+

−；（2）2101198101992++．【变式训练3】计算：（1）用简便方法计算：2210199−；（2）因式分解：2221218aabb++．因式分解与三角形【例8】若ABC的三边a、b、c满足222244acbcab−=−，则ABC形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．

等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【变式训练1】已知a，b，c为ABC的三边，且满足442222abacbc−=−，则ABC是()A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【变式训练2】若ABC的三边长a、b、c满足222681050abcabc++=+

+−，那么ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【变式训练3】已知a，b，c是ABC的三边长，且满足222()acbacb+=+−，则此三角形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角

形D．无法确定因式分解的应用【例9】小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：1a−，xy−，2，21a+，x，1a+分别对应下列六个字：西，爱，我，数，学，定．现将222(1)2(1)xaya−−−因式分解，结果

呈现的密码信息可能是()A．我爱定西B．爱定西C．我爱学D．定西数学【变式训练1】小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：1x−，ab−，3，2x十1，a，x十1分别对应下列六个字：你，爱，嵩，数，学，县，现将223(1)3(1)ax

bx−−−因式分解，结果呈现的密码信息可能是()A．你爱学B．嵩县爱你C．爱嵩县D．你爱数学【变式训练2】如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式2232mmnn++因式分解，其结果正确的是()A．2(2

)mn+B．(2)()mnmn++C．(2)()mnmn++D．(2)()mnmn+−【变式训练3】把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是(

)A．偶数B．奇数C．11的倍数D．9的倍数因式分解综合【例10】因式分解：（1）2(3)8xx−−；（2）2269aba−−+．【变式训练1】分解因式：（1）29x−；（2）2232axaxyay++．【变式训练2】分解因式：（1）29abb−；（2）322

288xxyxy−+．【变式训练3】分解因式：（1）244xx−+；（2）2(1)(29)10(1)xxxx+−−++．换元法【例11】阅读与思考：材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式

22(42)(46)4xxxx−+−++进行因式分解的过程．解：设24xxy−=，原式(2)(6)4yy=+++（第一步）2816yy=++（第二步）2(4)y=+（第三步）22(44)xx=−+（第四步）（1）小影同学第二步到

第三步运用了因式分解的（填写选项）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的平方公式D．两数差的平方公式（2）小影同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模

仿以上方法尝试对多项式22(2)(22)1xxxx++++进行因式分解．【变式训练1】阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式22(21)(23)4aaaa−−−++进行因式分解的过程．解：设22aaA−=，

原式(1)(3)4AA=−++（第一步）221AA=++（第二步）2(1)A=+（第三步）22(21)aa=−+（第四步）4(1)a=−回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填代号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D

．两数差的完全平方公式（2）请你模仿以上方法，分解因式：22(43)(411)49xxxx−−−++．【变式训练2】（1）填空：26aa++(a=+2)；（2）阅读，并解决问题：分解因式2()2()1abab++++解：设abx+=，则原

式22221(1)(1)xxxab=++=+=++这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请你用“换元法”

对下列多项式进行因式分解：①2()14()49mnmn+−++②22(42)(46)4xxxx−+−++【变式训练3】阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对

多项式22(21)(23)4aaaa−−−++进行因式分解的过程．解：设22aaA−=原式(1)(3)4AA=−++（第一步）221AA=++（第二步）2(1)A=+（第三步）22(21)aa=−+（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填代号）．A．提取公因式

B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为．（3）请你模仿以上方法对多项式22(43)(411)

49xxxx−−−++进行因式分解．待定系数法【例12】因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式2712xx−+进行因式分解：首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成2712()()

xxxaxb−+=++，即22712()xxxabxab−+=+++（对任意实数x成立），由此得7ab+=−，12ab=．易得一组解：3a=−，4b=−，所以2712(3)(4)xxxx−+=−−．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．（1）因式分解：215

34xx−−=．（2）因式分解：32234()()xxxaxbxc−+=+++，请写出一组满足要求的a，b，c的值：．（3）请你运用待定系数法，把多项式2235294mmnnmn+−++−进行因式分解．【变式训练1】1637年笛卡尔(R．Descartes，1596165

0)−在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：3223xx+−．观察知，显然1x=时，原式0=，因此原式可分解为(1)x−与另一个整式的积

．令：32223(1)()xxxxbxc+−=−++，而232(1)()(1)()xxbxcxbxcbxc−++=+−+−−，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：1203bcbc−=−=−=−，得33bc==，从而

32223(1)(33)xxxxx+−=−++．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若1x+是多项式31xax++的因式，求a的值并将多项式31xax++分解因式．（2）若多项式43

334xaxbx++−含有因式1x+及2x−，求a，b的值．【变式训练2】待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：31x−．因为31x−为三次多项式，

若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想31x−可以分解成2(1)()xxaxb−++，展开等式右边得：32(1)()xaxbaxb+−+−−，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：10a−=，0ba−=，

1b−=−可以求出1a=，1b=．所以321(1)(1)xxxx−=−++．（1）若x取任意值，等式2223(3)xxxaxs++=+−+恒成立，则a=；（2）已知多项式323xx++有因式1x+，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．【变式训练3】阅读理解应用待定

系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解31x−．因为31x−为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次

多项式的乘积．故我们可以猜想31x−可以分解成321(1)()xxxaxb−=−++．展开等式右边得：32(1)()xaxbaxb+−+−−，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等，10a−=，0ba−=，1b−=−，可以求出1a=，1b=，所以321(1)(1)xxxx

−=−++．（1）若x取任意值，等式2223(3)3xxxax++=+−+恒成立，则a=；（2）已知多项式32344xxx++−有因式32x−，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．阅读材料与新定义【

例13】阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：2(2)(3)56xxxx++=++；2(1)(3)23xxxx−+=+−．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：256(2)(3)xxxx+

+=++；223(1)(3)xxxx+−=−+．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223xx+−分解因式．这个式子的二次项系数是111=，常数项3(1)3−=−，一次项系数2(1)3=−+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字

交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：223(1)(3)xxxx+−=−+．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）2710xx++=；（2）2

23xx−−=；（3）2712yy−+=；（4）2718xx+−=．【变式训练1】在现今”互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码

就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式32xx−因式分解的结果为2(1)xx−，当5x=时，225x=，104x−=，此时可以得到数字密码2504或0425

；如多项式3222xxx+−−因式分解的结果为(1)(1)(2)xxx−++，当10x=时，109x−=，111x+=，212x+=，此时可以得到数字密码091112（1）根据上述方法，当12x=，5y=时，求多项式32xxy−分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个）（

2）若一个直角三角形的周长为12，斜边长为5，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式33xyxy+分解因式后得到的密码；（只需一个即可）（3）若多项式2(3)6xmnxn+−−因式分解后，利用本题的方法，当25x=时可以得

到一个密码2821，求m、n的值．【变式训练2】阅读下列材料，解决后面两个问题：对于一个四位正整数（各数位上的数字都不为零），若将它的千位上的数字移到个位数字的后面，将得到一个新的四位正整数，则称新数为原数的“变形数”．例

如：1234的“变形数”为2341，6789的“变形数”为7896（1）请写出1999的“变形数”，并判断1999的“变形数”与它的差能否被9整除？说明理由．（2）任意一个四位正整数与其“变形数”的差都能被9整除吗？说明理由．【变式训练3】如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，

其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形．（1）观察图形，可以发现代数式22252aabb++可以分解因式为(2)(2)abab++；（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15①则图中1块边

长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为；②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．