【文档说明】第05讲 复数 (精讲+精练）（原卷版）【精讲精练—新教材新高考】备战2023年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用版）.docx，共(12)页，746.414 KB，由管理员店铺上传

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第05讲复数(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：复数的概念高频考点二：复数的几何意义高频考点三：待定系数求复数zabi=+高频考点四：复数的四则

运算第四部分：高考真题感悟第五部分：第05讲复数（精练）1、复数的概念我们把形如,,abiabR+的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足21i=−.全体复数所构成的集合{|,}CabiabR=+叫做复数集

.复数的表示:复数通常用字母z表示,即,,zabiabR=+,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.2、复数相等在复数集{|,}CabiabR=+中任取两个数abi+，cdi+，（,,,abcdR），我们

规定acabicdibd=+=+=.3、复数的分类对于复数abi+(,abR),当且仅当0b=时,它是实数；当且仅当0ab==时,它是实数0；当0b时,它叫做虚数；当0a=且0b时,它叫做纯虚数.这样,复数

zabi=+(,abR)可以分类如下:0)000baba==实数（复数纯虚数()虚数（）非纯虚数（）4、复数的几何意义（1）复数的几何意义——与点对应复数的几何意义1：复数zabi=+(,abR)复平面内的点(,)Zab（2）复数的几何意义——与向量对应复数的几何意

义2：复数zabi=+(,abR)平面向量(,)OZab=5、复数的模向量OZ的模叫做复数zabi=+,abR)的模，记为||z或||abi+公式：22||||zabiab=+=+，其中,abR复数模的几何意义：

复数zabi=+在复平面上对应的点(,)Zab到原点的距离；特别的，0b=时，复数zabi=+是一个实数，它的模就等于||a(a的绝对值).6、共轭复数（1）定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两第一部分：知识点精准记忆个共轭复数也叫

共轭虚数.（2）表示方法表示方法：复数z的共轭复数用z表示，即如果zabi=+，则zabi=−.7、复数代数形式的加法（减法）运算（1）复数的加法法则设1izab=+，2izcd=+，（,,,abcdR）是任意两个复数，那么它

们的和：12(i)(i)()()izzabcdaccd+=+++=+++显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数（2）复数的减法法则类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：()()cdixyiabi+++=+的

复数xyi+叫做复数abi+减去复数cdi+的差，记作()()abicdi+−+注意：①两个复数的差是一个确定的复数；②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值（1）复数的三角形式一般地，任何一个复数izab=+都可以表示成(cosisi

n)r+的形式.其中r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数izab=+的辐角.(cosisin)r+叫做复数izab=+的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，iab+叫做复数的代数表示式，简称

代数形式.注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”（2）复数的俯角任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍.复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.我们规定在02

范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0arg2z.（3）复数代数形式和三角形式的互化复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.复数的代数形式化三角形

式的步骤:①先求复数的模；②决定辐角所在的象限；③根据象限求出辐角(常取它的主值)；④写出复数的三角形式．（4）三角形式下复数的相等两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．9、复数三角形式的乘法设1z，

2z的三角形式分别是：1111(cossin)zri=+，2222(cossin)zri=+，则12121212[cos()sin()]zzrri=+++简记为：模数相乘，幅角相加10、复数三角形式的除法设()1111cosisinzr=+，()2222cos

isinzr+=，且12zz，因为()()()()122212121112cosisincosisincosisinrrrr+−+−=+，所以根据复数除法的定义，有()()()()1

11112122222cosisincosisincosisinrrrr+=−+−+.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除

数的辐角所得的差.简记为：模数相除，幅角相减一、判断题1．（2021·全国·高一课时练习）对于复数()i,zabab=+R，若0b=，则z是实数；若0b，则z是纯虚数()2．（2021·全国·高一课时练习）34i+的实部等于3，虚部等于4i()3．（2021·全国·高一课时

练习）自然数是有理数，但不是复数()二、单选题1．（2022·云南昆明·一模（文））复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2)−，则iz=（）A．2i−+B．2i+第二部分：课前自我评估测试C．2i−−D．2i−2．（202

2·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））复数()1izmmm=+−R，且z在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的值可以为（）A．2B．2−C．1−D．03．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）设32iz=−+，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限

B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2022·福建省长汀县第一中学高一阶段练习）已知i为虚数单位，若复数13zi=−，则z=（）A．2B．2C．4D．85．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）设i为虚数单位，复数12i+与34i+在复

平面内分别对应向量OA与OB，则AB=（）A．2B．22C．4D．8高频考点一：复数的概念1．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））z是复数z的共轭复数，若()()3498izzzz++−=+，则12z−=（）A．22B．2C．22D．322．（2022

·河北·模拟预测）已知i是虚数单位，复数z满足42i12iz−+=，则z的实部为（）A．1−B．0C．1D．23．（2022·安徽淮北·一模（文））若复数2021i1iz=+，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为1i2B．z在复平

面内对应的点在第四象限C．2z=D．z的共轭复数为1i2−4．（2022·江西鹰潭·一模（理））已知复数z满足()12i34iz−=+（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）第三部分：典型例题剖析A．1B．iC．2D．2i5．（2022·河南·高二阶段练习（文））设1z，2z是复数，

给出下列四个说法：①2180z+；②若12zz，则120zz−；③若12=zz，则1122zzzz=；④若12=zz，则12=zz．其中所有正确说法的序号是______．6．（2022·上海交大附中高二开学考试）以下四个关于复数的结论：①任意两个复数不能比大小；②20zz

C；③12120zzzz−；④复数()ii,,,abcdabcdRac+=+=且bd=________.高频考点二：复数的几何意义1．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））复数z满足20222021ii2iz−=+，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第

一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2022·河南开封·高二阶段练习（文））已知i为虚数单位，且013i12iz−=+，复数z满足01zz−=，则复数z对应点的轨迹方程为（）A．()()22114xy−++=B．()()22114

xy−++=C．()()22111xy+++=D．()()22111xy−+−=3．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））如图所示，在复平面内，复数z对应的点为P，则45iz=−（）A．143i4141−+B．

143i4141+C．143i4141−D．143i4141−−4．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知复数1z，2z在复平面内对应的点分别为()1,1−，()0,1−，则12zz=（）A．1i+B．1i−C．1i−+D．1i−−5．（202

2·全国·模拟预测（文））在复平面xOy内，复数1z，2z所对应的点分别为1Z，2Z，给出下列四个式子：①2211zz=；②1212zzzz=；③2211=OZOZ；④1212OZOZOZOZ=

uuuruuuruuuruuur．其中恒成立的个数为（）A．1B．2C．3D．46．（2022·全国·模拟预测）已知点()2,1A−，()1,2B，()0,0O，复数1z，2z在复平面内对应的向量分别是OA，OB，则复数12zz=

（）A．3iB．34i+C．43i+D．43i−7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若复数z满足|1i|3z−+（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点构成的图形的面积为________．8．（2022

·全国·高三专题练习）设mR，若复数()()1iimn++在复平面对应的点位于实轴上，则23213log34mmnm+++的取值范围为___________.高频考点三：待定系数求复数z1．（2022·河南·模拟预测（理））已知32

25izz−=−，则z=（）A．2i−B．2i+C．2i−−D．2i−+2．（2022·山西临汾·二模（理））设2()3()46izzzz+−−=+，则z=（）A．12i+B．12i−C．1i+D．1i−3．（2022·广东江门

·模拟预测）已知复数z的共轭复数是z，若21izz−=−，则||z=（）A．1B．103C．2D．3034．（2022·河南·模拟预测（理））已知复数z满足i2z−=，z为z的共轭复数，则zz的最大值为（）A．1B．4C．9D．165．（2022·重庆·高

三阶段练习）已知复数z满足i1z−=，复数z的共轭复数为z，则z的最大值为（）A．1B．2C．3D．4高频考点四：复数的四则运算1．（2022·四川南充·二模（文））复数()()12i2iz=+−，则z=（）A．4B．23C．

3D．222．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）i为虚数单位，复数z满足2022(2i)i−=z，则下列说法正确的是（）A．15z=B．21i55=−−zC．z的虚部为－1i5D．z在复平面内对应的点在第三象限3．（2022·陕西·西

安中学二模（文））若复数2022|34i|i34iz+=+−，则z的虚部为（）A．45−B．45C．2i5−D．2i54．（2022·全国·模拟预测）已知32i13iz+=−+（i为虚数单位），则复数z

在复平面对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（2022·全国·高三专题练习）已知a，Rb，i是虚数单位.若i3iab+=−，则()2iba−（）A．106i+B．86i−+C．96i−

D．86i−6．（2022·重庆十八中高一阶段练习）设复数1z，2z满足11z=，22z=，1212izz−=+，则12zz+=________．7．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是______．①22zz=；②

若120zz−，则12zz；③若()()2212230zzzz−+−=，则123zzz==；④()21212124zzzzzz−=+−；⑤2212zz=，则1122zzzz=；⑥2212122zzzz+；⑦两个

共轭复数的差是纯虚数；⑧若iizz+=−，则z必为实数．8．（2022·上海·复旦附中高二期末）对任意复数1w.2w,定义1212wwww=,其中2w是2w的共轭复数.对任意复数1z.2z.3z,有如下四个命题：①()()()1231323zzzzzzz+=+；②()()()

1231213zzzzzzz+=+；③()()123123zzzzzz=；④1221zzzz=.则真命题是________（填写命题的序号）1．（2021·江苏·高考真题）若复数z满足()1i3iz+=−，则z的虚部等于（）A．4B．2C．-2D．-

4第四部分：高考真题感悟2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i−−在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z满足(1)2iz−=，则z=（）A．1i−−B．1i−+C．1i−D．1i+4．

（2021·全国·高考真题）已知2iz=−，则()izz+=（）A．62i−B．42i−C．62i+D．42i+5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32izi−=+，则z=（）A．312i−−B．312i−+C．3

2i−+D．32i−−6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346zzzzi++−=+，则z=（）A．12i−B．12i+C．1i+D．1i−7．（2021·浙江·高考真题）已知aR，()13aiii+=+，(i为虚数单位)，则=a（）A．1−B．1C．

3−D．38．（2021·天津·高考真题）i是虚数单位，复数92i2i+=+_____________．一、单选题1．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知()231i24iz+=+，则z=（）A．2i−−B．2i−+C．2

i−D．2i+2．（2022·辽宁抚顺·一模）若复数z满足(34i)1iz−=−+（i为虚数单位），则复数z的共轭复数z=（）A．7i55−−B．7i55−+C．7i2525−−D．7i2525−+3．（2022·安徽·高一阶段练习）若复数()2100(10)i

zxx=−+−为纯虚数，则实数x的值为（）A．10−B．10C．100D．10−或104．（2022·湖南常德·一模）若复数z满足(1i)2iz+=+，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（2022·河北·高

三阶段练习）已知复数z满足条件62izzz+=+，则z=（）A．5B．22C．5或22D．5或6第五部分：第05讲复数（精练）6．（2022·河南·高一阶段练习）在复平面内，O是原点．向量OA对应的复数为13i22−，其中i为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量OB对应

的复数的共轭复数为（）A．13i22+B．13i22−C．13i22−+D．13i22−−7．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的

点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如zOZ=，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．已知复数z满足2z=，则34iz−−的最大值为（）A．3B．5C．7D．98．（2022·河南·高一阶段练习）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正

确的是（）A．若1z=，则1z=或iz=B．若11z+=，则点Z的集合为以()1,0为圆心，1为半径的圆C．若12z，则点Z的集合所构成的图形的面积为D．若1izz−=+，则点Z的集合中有且只有两个元素二、填空题9．（2022·新疆·二模（理））复数2iza=+，aR，若

13ii+−z为实数，则=a________．10．（2022·江苏南通·模拟预测）已知复数z为纯虚数，若(2i)6iza−=−（其中i为虚数单位），则实数a的值为______．11．（2022·河南开封·高一阶段练习）下

列说法正确的序号为______．①若复数3iz=+，则13i1010z=−；②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；③已知复数1z，2z，若12zz，则1z，2z均为实数；④复数3i1z=−+的虚部是1．12．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知复数

z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)：甲：4zz+=；乙：3zz=；丙：25zzz=，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z=______．三、解答题13．（2022·福建·厦门市松柏中学高一阶段练习）（1）已知复

数z在复平面内对应的点在第二象限，2z=，且2zz+=−，求z；（2）已知复数()()2212i32i1imzm=−+−+−为纯虚数，求实数m的值.14．（2022·福建·三明一中高一阶段练习）已知复数()()()22232iRzmmmmm=−−++−，．(1)若0z，求m的值；(2)若z是纯

虚数，求zz的值．15．（2022·安徽·高一阶段练习）已知复数64i1imz−=+（,imR是虚数单位）．(1)若z是实数，求实数m的值；(2)设z是z的共轭复数，复数4zz−在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．16．（2022·

全国·高一单元测试）设复数1z、2z满足12122i2i10zzzz+−+=.(1)若1z、2z满足212izz−=，求1z、2z；(2)若13z=，则是否存在常数k，使得等式2|4i|zk−=恒成立？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明

理由.