【文档说明】山东省东营市2022-2023学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(28)页，3.594 MB，由小赞的店铺上传

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东营市2022-2023学年第二学期期末教学质量调研高二数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.()61xayx−+的展开

式中，含14xy−项的系数为15−，则=a（）A.1B.1−C.1D.2【答案】C【解析】【分析】先求出()6ay+的通项公式，然后整理出14xy−项的系数，根据系数相等可得答案.【详解】()6ay+的展开式

的通项公式为66Crrray−，令4r=，可得6246C15rrrayay−=；所以含14xy−项系数为215a−，即21515a−=−，解得1a=.故选：C.2.已知a为实数，函数()()32322=+++fxxaxax的导函数为()fx，且

()fx是偶函数，则曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为（）A.1160−−=xyB.960xy+−=C.51120xy−+=D.65110xy+−=【答案】A【解析】【分析】由偶函数的定义确定参数a的值，再根

据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程.【详解】因为()2942=+++fxxaxa是偶函数，所以()()22942942−=−++=+++=fxxaxaxaxafx，所以0a=，故()292=+fxx，()33

2=+fxxx，所以()15f=，()111f=，故曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为()5111yx−=−，的即1160−−=xy.故选：A.3.现有两筐排球，甲筐中有10个白色球、5个红色球，乙筐中有4个黄色球、6个红色球、5个黑色球.某排球

运动员练习发球时，在甲筐取球的概率为0.6，在乙筐取球的概率为0.4.若该运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球的概率为（）A.0.73B.0.36C.0.32D.0.28【答案】B【解析】【分析】设事件A=“运动员从这两筐球中任取一个排球，则

取到红色排球”，事件B=“运动员从甲筐球中取球”，事件C=“运动员从乙筐球中取球”，计算出()|PAB，()PB，()|PAC，()PC由全概率公式可得答案.【详解】设事件A=“运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球”，事件B=“运动员从甲筐球中取球”，事件C=

“运动员从乙筐球中取球”，由题意可得()51|1053==+PAB，()0.6PB=，()62|4655==++PAC，()0.4PC=，由全概率公式可得()()()()()12||0.60.40.3635=+=+=PAPABPBPACPC.故

选：B.4.各项均为正数的等比数列na，公比为q，则“1q”是“na为递增数列”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】先根据1q，得到

na递增，充分性成立，再推导出必要性成立.【详解】因为na各项为正数，且1q，所以11nnaqa+=，即1nnaa+，所以na为递增数列，充分性成立，若na为递增数列，则1nnaa+，因为na各项为正数，所以

11nnaqa+=，必要性成立.故选：C5.国内现存两件国宝级文物——战国宴乐水陆攻战纹铜壶，分别藏于故宫博物院与四川博物馆.铜壶上的图像采用“嵌错”制作工艺，铜壶身上的三圈纹饰，将壶身分为四层.假设

第一层与第二层分别看作圆柱与圆台，且圆柱与圆台的高之比为32，其正视图如图2所示，根据正视图，可得圆柱与圆台这两个几何体的体积之比为（）（注：()2213VhRrRr=++圆台）A.314B.914C.310D.910【答案】B【解析】【分析】利用圆柱和圆

台体积公式直接求解即可.【详解】由题意知：圆柱的底面直径为13.2cm，设高为3cmt；圆台的上下底面直径分别为13.2cm和26.4cm，圆柱与圆台的高之比为32，则高为()2cmt，圆柱的体积()231π6.63130.68πcmVtt==；圆台的体积()()

2222321π6.6π6.6π13.2π13.22203.28πcm3Vtt=++，圆柱与圆台这两个几何体的体积之比为()()3132130.68tπcm914203.28πcmVVt==.故选：

B.6.若函数()fx在R上可导，且()()fxfx，则当ab时，下列不等式成立的是（）A.()()eeabfafbB.()()eebafafbC.()()eebafbfaD.()()eeabfbfa【答案】D【解析】【分析】构造函数()()()=ex

txfxxR、()()()=exfxgxxR，利用导数判断单调性再比较大小可得答案.【详解】令()()()=extxfxxR，则()()()=extxfxfx+，由于()()fxfx+的

正负不确定，所以()tx的正负不确定，不能判断()tx的单调性，故AC错误；令()()()=exfxgxxR，由()()fxfx，则()()()=0e−xfxfxgx，所以()gx为R上的单调递减函数，因为ab，所以()()gagb

，即()()eebafafb，故B错误D正确；故选：D.7.数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数sinyAx=，我们平时听到的

音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为11sinsin2sin323xxx++，则其部分图象大致为（）A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，与选项中的图象比较即可得出答案.【详解】令()11sinsin2sin

323yfxxxx==++，求导得()coscos2cos3coscos2cos2cossin2sinfxxxxxxxxxx=++=++−()()()2cos12sincos21cos12coscos2x

xxxxx=−++=+，.当0,πx时，由()0fx=解得π2π3π,,434x=，当π0,4x时，()0fx¢>，()fx单调递增；当π2π,43x时，()0fx，()fx单调递减；当2π3π,34x时，()0fx¢>，()fx单调递增；当

3π,π4x时，()0fx，()fx单调递减，所以，当π4x=和3π4x=时，()fx取极大值；当2π3x=时，()fx取极小值，由于()()π2212π33π22100,,,0,π043234432fffff==

+==−=，可得π3π44ff，当()0,πx时()0fx，结合图象，只有C选项满足．故选：C．8.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后

逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了na子安贝（其中131n，*nN），数列na的前n项和为nS.若关于n的不等式()()2125625nnaSt++++恒

成立，则实数t的最大值为（）A.15B.20C.24D.27【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，数列na是以2为首项，2为公比的等比数列，从而得到nS，然后将t分离出来，再结合基本不等式即可得到结果.【详解

】由题意可知，数列na是以2为首项，2为公比的等比数列，故()*2131,nnann=N，所以()1212212nnnS+−==−−2.由()()2125625nnaSt++++，得()221225652nnt++++，整理得11256252nnt++

+−对任意131n，且*nN恒成立，又1111256256252252722nnnn+++++−−=，当且仅当1216n+=，即3n=时等号成立，所以27t，即实数t的最大值为27.故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列na的首项11a=，且121nnaa+=+，满足下列结论正确的是（）A.数列na是等比数列B.数列1na+是等比数列C.21nna=−D.数列na的前n项的和2nnSn=−【答案

】BC【解析】【分析】计算数列前三项可判断A；利用112(1)nnaa++=+，构造等比数列，可判断B，C；结合C的结果以及等比数列前n项和公式可判断D.【详解】由题意数列na的首项11a=，且满足121nnaa+

=+，则233,7aa==，则3212aaaa，故数列na不是等比数列，A错误；由121nnaa+=+得112(1)nnaa++=+，10na+，否则与11a=矛盾，则1121nnaa++=+，则数列

1na+是等比数列，B正确；由B分析知数列1na+是等比数列，首项为112a+=，公比为2q=，则1122nna−+=，所以21nna=−，C正确；数列na的前n项的和为1212(12)(21)(21)(21)2212nnnnn+−−+−+

+−=−=−−−，D错误.故选：BC10.某中学在学校艺术节举行“三独”比赛（独唱独奏独舞），由于疫情防控原因，比赛现场只有9名教师评委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取10分制．某选手比赛后，现场9名教师原始评分中去

掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如下表．对学生网络评分按[7,8),[8,9),[9,10]分成三组，其频率分布直方图如图所示．教师评委ABCDEFG有效评分9.69.19.48.99.29.39.5则下列说法正确的是（）A.现场教师评委7个有

效评分与9个原始评分的中位数相同B.估计全校有1200名学生的网络评分在区间)8,9内C.在去掉最高分和最低分之前9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7D.从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表

示评分不小于9分的人数，则()5EX=【答案】ABD【解析】【分析】根据中位数概念判断A，由频率分布直方图估计样本容量判断B，由极差概念判断C，由二项分布求出期望判断D．【详解】去掉9个原始评分中的一个最高分和一个最低分，不会改变该组数据

的中位数，A正确；因为学生网络评分在区间[8,9)内的频率为0.3，学生总人数为4000，则网络评分在区间[8,9)内的学生估计有40000.31200=人，B正确；若去掉的一个最高分为9.6，去掉的一个最低分为8.9，则9名教师原始评分的极差等于0.7，C错误

；学生网络评分在区间[9,10]内的频率为0.5，则(10,0.5)XB，所以()100.5=5EX=，D正确；故选：ABD．11.如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱的轴截面，点P为圆弧AD上一动点（点

P与点,AD不重合）(01)APAD=，则（）A.存在值，使得ADBP⊥B.三棱锥PABD−体积的最大值为163C.当12=时，异面直线PB与AD所成角的余弦值为66D.当直线PB与平面ABCD所成角最大时

，平面PAB截四棱锥PABCD−外接球的截面面积为42π【答案】BCD【解析】【分析】利用线面垂直的性质即可判断选项A；根据棱锥的体积计算公式判断选项B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式判断选项C；利用线面垂直的性质以及勾股定理和基本不等式即可判断选

项D.【详解】对于A选项，由题意知ADBA⊥，若ADBP⊥，ABBPB=，,ABBP平面BAP，则AD⊥平面BAP，所以ADAP⊥，不成立，故A不正确；对于B选项，在三棱锥PABD−中，AB⊥半圆面APD，则AB是三棱锥PABD−的高，当点P是半圆弧AD的中点时，三棱锥

PABD−的底面积PADS取得最大值，三棱锥PABD−体积取得最大值为11416443223=，故选项B正确；对于选项C：当12=时，则P为AD的中点，以AD的中点E为原点，以,EPEA分别为,xy轴，建立空间直角坐标系，的则(2

,0,0)P,(0,2,4)B，(0,0,0)E，(0,2,0)A，可得()()2,2,4,0,2,0PBEA=−=，则46cos,6242PBEAPBEAPBEA===uuruuruuruuruuruur，故异面直线PB与AD所成角的余

弦值为66，所以C正确；对于D选项，取BD的中点O，过点P作PHAD⊥于点H，连接BH，由题意知，AB⊥平面ADP，PH平面ADP，PHAB⊥，又因PHAD⊥，ADABA=，,ADAB平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD，所以BH为PB在平面AB

CD内的射影，则PBH为直线PB与平面ABCD所成的角，设AHx=，则04,4xDHx=−，在RtAPD△中，()()224,44PHAHDHxxPDDHADx==−==−，所以()2222(42)44164PBBDPDxx=−=−−=+，故()2222414sin16444

xxPHxxPBHPBxx−−===−++，令4tx=+，则4xt=−，且48t，所以()22(4)44432321221282124ttxxttxttt−−−−==+−−=−+，当

且仅当32tt=，即42=t时取等号，所以2sin322PBH−，则sin21PBH−，所以直线PB与平面ABCD所成最大角的正弦值为21−，此时()()2424,424842AHPH=−=−−，为所以()()()222444

221,4244221,421PHAPAP=−=−+−=−，连接,OHOP，因为PH⊥平面ABCD，HO平面ABCD，所以PHHO⊥，因为ABCD为正方形，所以45OAH=，在OHA中，可得2222cos72482OHAHOAAHOHOAH

=+−=−，在RtOPH中，可得2222162(21)724828OPPHOH=+=−+−=，则22OP=，因为1222OAOBOPODBD=====，所以点O为四棱锥PABCD−外接球的球心，因为DPAP⊥，由1122ADPSADPHAPD

P==V，解得44212DP=−，所以球心O到面PAB的距离4122122dDP==−，设截面半径为r，则有()222(22)8421242rd=−=−−=，所以截面面积为42π，故D正确.故选：BCD.12.已知函数()fx满足：①()fa

x+为偶函数；②()()2fcxfcxd++−=，ac．()fx是()fx的导函数，则下列结论正确的是（）A.()fx关于xc=对称B.()2fx的一个周期为2ca−C.()()ffx不关于(),cd对称D.()()ffx关于xa=对称【答案】

ABD【解析】【分析】A选项，对()()2fcxfcxd++−=两边求导可判断选项正误；B选项，由①②可知()fx的一个周期为4ca−，即可判断选项正误；C选项，验证()()()()ffcxffcx++−是否等于2d即可判断选项正误；D选项

，验证()()()()ffaxffax+=−是否成立可判断选项正误.【详解】A选项，由()()2fcxfcxd++−=两边求导得()()0fcxfcx+−−=，即()fx关于xc=对称，故A正确；B选项，由()f

ax+为偶函数，知()()()()2faxfaxfxfax+=−−=+.又()()()()222fcxfcxdfxdfcx++−=−=−+，则()()()()()()22222224fxdfxcafaxdfc

xfxcadfxca=−+−+=−++−=−+−()()4fxfxca=+−，即()fx的一个周期为4ca−，则()2fx的一个周期为2ca−，故B正确；C选项，注意到当cd=时，()()()()222fcxfcxcfxfcxc++−=+−=.则()()

()()()()()()22ffcxfcfcxffcxffcxc++−+=++−=，即此时()()ffx关于(),cc，即(),cd对称，故C错误；D选项，由()fax+为偶函数，知()fx关于xa=对称，即()()faxfax+=−，则()()()()ffaxffax

+=−，即()()ffx关于xa=对称，故D正确．故选：ABD．【点睛】结论点睛：()fax+为偶函数()()faxfax+=−；若()fx以xa=为对称轴，且以(),cd为一个对称中心，ac，则()fx为周期函数，且其一个

周期为4ca−.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.13.等差数列na中，7598aaa−+=，则数列na的前13项的和为_______________.【答案】104【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的性质，得到

78a=，再由等差数列的求和公式，即可求解.【详解】在等差数列na中，满足7598aaa−+=，即9578aaa+=+，由等差数列的性质，可得9572aaa+=，所以7728aa=+，可得78a=，又由11371313()1321042

2aaaS+===.故答案为：104.14.若()2~1,XN，且1()12aPXaPX−+=，则=a__________.【答案】53##213【解析】【分析】根据正态分布的对称性，列式求解.【详解】由题意可知，正态密度曲线的对称轴为1X=，由正态分布的对称性可得

15223aaa−+==.故答案为：5315.已知函数()fx，()gx在R上可导，若()()fxgx=，则()()fxgxⅱ=成立.英国数学家泰勒发现了一个恒等式：22012exnnaaxaxax=+++++，则1011nnnana+==________________.

【答案】2011##9111【解析】【分析】先根据题中所给定义，求出2!nnan=，进而可得11121nnanann+=−+，后利用裂项相消法可得.【详解】设()2=exfx，()2012nng

xaaxaxax=+++++，则()()0001agf===，记()()1fxfx=，()()()1nnfxfx+=，则()0!nngan=，又()()002nnngf==，所以2!nnan=，所以()1211211nnannnnna+==−++，所以1011

111112021223101111nnnana+==−+−++−=，故答案为：201116.如图，一张4A纸的长22ADa＝，宽2ABa=，.M，N分别是AD，BC的中点.现将ABD△沿BD折起，得到以A，B，C，D为顶点的三棱锥，则三棱锥ABCD−的外接球O的半

径为___________；在翻折的过程中，直线MN被球O截得的线段长的取值范围是___________.【答案】①.3a②.221,233aa【解析】【分析】利用外接球球心为两个平面的外接圆圆心的交点，可知三棱锥A

BCD−的外接球O的球心O在BD的中点，即可求出半径；分析直线MN被球O截得的线段长与二面角ABDC−−的大小有关，求出二面角在临界值时的情况，即可得到线段长的取值范围.【详解】解：由于ABD△和ABC都是直角三

角形，所以两个面的外接圆圆心都在BD的中点处，因此三棱锥ABCD−的外接球O的球心O在BD的中点，则半径()()22221112223222RBDADABaaa==+=+=，直线MN被球O截得的线段长与二面角ABD

C−−的大小有关，当二面角ABDC−−接近180时，直线MN被球O截得的线段长最长，趋于直径23a，当二面角ABDC−−接近0时，直线MN被球O截得的线段长最短，如图翻折后，此时90OBNBONNOHBON+=+=o，所以OBNNOH=则BONONHV:V

，由相似比可得BOBNONOH=，所以2633BNONaaOHaBOa===，直线MN被球O截得的线段长2222222122333dROHaaa=−=−=，综上直线MN被球O截得的线段长的取值范围是221,2

33aa，故答案为：3a；221,233aa.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列na与nb，且nb为等比数列，221122nnnnaaaa++−=

+,111ab==,从条件①nb的前3项和37S=；②()4122baab=+；③2416bb=.任选一个补充在上面问题中，并解答下列问题：（1）求证：数列na为等差数列；（2）求数列nnab的前n项和nT.（如果

选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】（1）证明见解析（2）()3232nnTn=+−【解析】【分析】（1）根据递推关系式221122nnnnaaaa++−=+，可得()()1120nnnnaaaa+++−

−=，根据0na，可得12nnaa+−=，从而证得结论；（2）确定na，再设等比数列nb的公比为q，选择条件①②③可得q的值，从而得通项nb，再根据错位相减法求和即可得前n项和nT.【小问1详解】由221122nnnnaaaa++−=+可得，()()1120nnnn

aaaa+++−−=又0na，所以10nnaa++，则120nnaa+−−=，即12nnaa+−=.∴na是以1为首项，2为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）可得()11221nann=+−=−.设等比数列nb的

公比为q，且11b=若选①，则2312317Saaaqq=++=++=，解得2q=或3q=−又因为nb各项为正数，∴2q=，故12nnb−=；若选②，又()4122baab=+，得()313qq=+，又0q，则解得2q=或2q=−又因为nb各项为

正数，∴2q=，故12nnb−=；若选③，因为2416bb=，则316qq=，则解得2q=或2q=−又因为nb各项为正数，∴2q=，故12nnb−=；所以112233nnnTabababab=+++即()0121123252212

nnTn−=++++−则()1232135222122nnTn=++++−相减得：()()()()12142212222222121212332212nnnnnnTnnn−−−=++++−−=+−−=−+−−所以()3232n

nTn=+−.18.2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务.（1）为了解“强国医生”使用次数的多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用者，得到表中数据，根据所给数据完

成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；男女总计使用次数多40使用次数少30总计90200（2）该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y

，得到以下数据：x1234567y611213466100195通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线xyab=的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数.附：随机变量()()()

()()22.nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++，()20Pxk0.050.020.010.0050.0010k3.8415.0246.6357.87910.828其中lg.iizy=参考公式：对于一组数据()()()1122,,,nnxyxyx

y，，，，其回归直线ˆˆˆycdx=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为717221ˆ.ˆˆiiiiixynxydcydxxnx==−==−−，yz71iiixz=71iiixy=0.6106

1.91.651.825223.98【答案】（1）表格见解析，有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关（2）0.25ˆ3.9810xy=，3980人【解析】【分析】（1）根据已知数据完成表格，计算出2与附表中值作比较

可得答案；（2）将ˆˆˆxyab=两边同时取常用对数，设ˆ=zlgˆy，则ˆlglgˆˆ=+zaxb，求出ˆˆba，，可得y关于x的回归方程，把12x=代入回归方程，可得答案.【小问1详解】男女总计使用次数多

4080120使用次数少503080总计90110200()2220040308050490016.49810.8289011012080297−==，所以有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；【小问2详解】将ˆˆˆxyab=两边同时取常用对数得()ˆ

ˆˆlglglglglglˆˆgˆˆ==+=+xxyababaxb，设ˆ=zlgˆy，则ˆˆˆlglgzaxb=+，因为2222112712714047，=+++=+++===niixx，所以1222151.ˆˆ8741.61lg0.2

5lg1.640.6140744niiiniixznxzbaxnx==−−====−=−−，，所以0.250.6ˆˆ1010，==ba，所以y关于x的回归方程为0.60.250.251011ˆ03.980xxy==，把12x=代入回归方程，得3ˆ3.

98103980y==，所以“强国医生”上线第12天，使用该服务的女性约有3980人.19.如图，已知六面体ABCDPE的面ABCD为梯形，//ABCD，ABAD⊥，2AB=，4CDAD==，棱PA⊥平面ABCD，//PABE

，4,2PABE==，F为PD的中点.（1）求证：//AF平面PBC；（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π4【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面的法向量后利用

线面角的向量公式直接求解即可.【小问1详解】因为PA⊥平面ABCD，所以PAAB⊥，PAAD⊥，且ABAD⊥，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则()()()()()()()0,0,0,0,2,0,4,0,0,0,0,4,2,0,2,0,2,2

,4,4,0,ABDPFEC所以(0,2,4),(4,2,0),(2,0,2),BPBCAF=−==设平面BPC的法向量为(),,mxyz=，则240420mBPyzmBCxy=−+==+=，令1x=，解得2,1yz=−=−，故()1,2,1m=−−，所以()()2102210

AFm=+−+−=，故AFm⊥，又AF平面PBC，所以//AF平面PBC.【小问2详解】由（1）得()()()4,0,40,4,00,0,2DPDCBE=−==，，设平面PCD的法向量为(),,nabc=，则44040abb−+==，

令1a=，解得0,1bc==，故()1,0,1n=，所以22cos222nBEnBEnBE===，设直线BE与平面PCD所成的角为，则2sin2=，又π0,2，所以π4=.20.某公

司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一､二级，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一件产品的利润如下表：等级一等二等三等利润（万元/每件）0.8

0.6-0.3（1）求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；（2）求该公司每天所获利润（万元）的数学期望；（3）若该工厂要增加日产能，公司工厂需引入设备及更新技术，但增加n件产能，其成本也将相应提升lnnn−（万元），假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请

回答，并说明理由.（ln20.69,ln31.1）【答案】（1）0.75（2）1.22（万元）（3）不该增产，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据独立事件乘法公式计算；（2）先分析的可取值，再按步骤写出分布列，根据数学期望公式求解；（3）分析当产品的数量增加n件时的净利润，根据净利润

决策.【小问1详解】设一件产品是一等品为事件A，则一件产品不是一等品为事件A，()()0.5,0.5PAPA==，2件产品至少有1件为一等品事件为AAAAAA++，其概率()()()122C0.520.50

.50.75PPAAPAPA=+=+=；【小问2详解】设一件产品为一等品为事件A，二等品为事件B，次品为事件C，则()()()0.5,0.4,0.1PAPBPC===，则可取的值为1.6,1.4,0.5,1.2,0.3,0.6−，()()()()()2120.

60.01,0.3C20.40.10.08PPCPPBPC=−======，()()()120.5C20.50.10.1PPAPC====,()()21.20.16PPB===，()()()121.4C20.50.40.4PPAPB====,()()21.6

0.25PPA===,其分布列为：-0.60.30.51.21.41.6P0.010.080.10.160.40.25数学期望()0.60.010.30.080.50.11.20.161.4

0.41.60.251.22E=−+++++=（万元）；【小问3详解】由（2）可知，每件产品的平均利润为1.2220.61=（万元），则增加n件产品，利润增加为0.61n万元），成本也相应提高lnnn−（万元），所以净利润0.61ln

ln0.39nnnnn=−+=−，()*Nn，设()ln0.39fxxx=−，则()'10.39fxx=−，当10039x时，()'0fx，()fx是增函数，当10039x时，()()'0,fxfx是减函数，在10039x=取得最大值，又1002

339，x只能取整数，2x=或3x=时()fx可能为最大值，()2ln20.3920.690.780.090f=−−=−，()3ln330.391.11.170.070f=−−=−，即在()fx取得最大值时也是亏本的，所以不应增加产量；21.已知函数()ln2=−fxax

xx.（1）若()fx在1x=处取得极值，求()fx在区间[1,2]上的值域；（2）若函数2()()2=−+fxhxxx有1个零点，求a的取值范围.【答案】（1）[2,4ln24]−−（2）(,0){2e}−【解析】【分析】（1）求导，利用

导数判断()fx在区间[1,2]上的单调性，然后由单调性可得值域；（2）当a<0时，将问题转化为两个函数的交点问题可得；当0a=时，直接判断可知；当0a时，利用导数求极值，通过极值结合问题分析可解.【小问1详解】()ln2fxaxa=+−因为

()fx在1x=处取得极值所以(1)ln120faa=+−=，得2a=则[1,2]x时，()2ln0fxx=，()fx在区间[1,2]上单调递增，所以(1)2()(2)4ln24ffxf=−=−所以()fx在区间[1,2]上的值域为[2,4ln24]−−【小问2详解】()hx的定

义域为(0,)+函数2()lnhxaxx=−有一个零点2lnaxx=有一个实数根lnyax=与2yx=有一个交点.当a<0时，由图可知满足题意；当0a=时，2()hxx=−在(0,)+上无零点；当0a时，令22()20aaxhxxxx−=

−=，得02ax令22()0axhxx−=，得2ax所以，当2ax=时，()hx有最大值2()ln()(ln1)22222aaaaaha=−=−因为函数2()lnhxaxx=−有一个零点，所以(ln1)022aa−=，解得2ea=综上，a的取值范围为(

,0){2e}−.22.如图，已知四棱锥PABCD−的底面为菱形，且60ABC=，2ABPC==，2PAPB==.M是棱PD上的点，且四面体MPBC的体积为36．（1）证明：PMMD=；（2）若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面BCQ与

平面ABCD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）32.【解析】【分析】（1）解法一：取AB中点O，连接PO，CO.推导得到PO⊥平面ABCD，//AD平面PBC，根据体积即可得出答案；解法二：先证明CO⊥平面PAB.过M作//M

NAD交AP于点N，证明得到//MN平面PBC，根据体积即可得出答案；（2）解法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合平面向量基本定理，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法二：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法三：通过作图

，作出二面角的平面角，构造直角三角形，即可得出答案.【小问1详解】解法一：如图1，取AB中点O，连接PO，CO.因为2PAPB==，2AB=，所以POAB⊥，1PO=，1BO=.又因为ABCD是菱形，60ABC=，所以COAB⊥，3CO=.因为2PC=，

所以222PCPOCO=+，所以POCO⊥.又因为AB平面ABCD，CO平面ABCD，ABCOO=，所以PO⊥平面ABCD.因为//ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以//AD平面PBC，所以1133143343DPBCAPBCPABCABCVSVVPO−

−−=====△.因为3162MPBCDPBCVV−−==，所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的12，所以PMMD=.解法二：如图2，取AB中点O，连接PO，CO，因为2PAPB==

，2AB=，所以POAB⊥，1PO=，1BO=，又因为ABCD是菱形，60ABC=，所以COAB⊥，3CO=.因为2PC=，所以222PCPOCO=+，所以POCO⊥.因为AB平面PAB，PO平面PAB，ABPOO=，所以CO⊥平面PAB.所以，11133223323APBC

CABPABPSVVCO−−====△.过M作//MNAD交AP于点N，//ADBC，所以//MNBC.又BC平面PBC，MN平面PBC，所以//MN平面PBC，所以1336MPBCNPBCCNBBPPNVVVCOS−−−====△.因为13AAB

PPCBVCOS−=△，13NNBPPCBVCOS−=△，所以2ABPNBPSS=，所以N是PA的中点，所以M是PD的中点，所以PMMD=.【小问2详解】解法一：由（1）知，BOCO⊥，POBO⊥，POCO⊥.如图3，

以O为坐标原点，OC，OB，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A−，()0,1,0B，()3,0,0C，()3,2,0D−，()0,0,1P，所以31,1,22M−，()3,1,0

AC=，()3,1,0BC=−，()3,3,0BD=−，()0,1,1AP=，31,1,22CM=−−.因为QAP，设()0,,AQAP==，则()3,1,CQAQAC=−=−−，因为//BD，Q，C，M，故存在实数a，b，使得CQaCMb

BD=+，所以3332312ababa−+=−−−=−=，解得431323ab==−=，所以123,,33CQ=−−.设平面BCQ的法向量为()1,,nxyz=，则1100nCQnBC==，即2303330yzxxy−−+=

−=，取1x=，得到平面BCQ的一个法向量()11,3,23n=.设平面BCQ与平面ABCD夹角是，又因为()20,0,1n=是平面ABCD的一个法向量，则1212123coscos,2nnnnnn===.所以

平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是32.解法二：由（1）知，BOCO⊥，POBO⊥，POCO⊥，如图3，以O为坐标原点，OC，OB，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A−，()0,1,0B，()3,0,0C，()3,2,0D−，()0,0,1P，

所以31,1,22M−，()3,1,0AC=，()3,1,0BC=−，()3,3,0BD=−，()0,1,1AP=，31,1,22CM=−−.设平面的法向量为(),,nxyz=，则00nBDnCM==，即3303102

2xyxyz−=−−+=.取1y=，得到平面的一个法向量()3,1,5=n.因为QAP，设()0,,AQAP==，则()3,1,CQAQAC=−=−−，因为3150nCQ=−+−+=，所以23=，所以123,,33CQ=−−设平面BCQ的法

向量为()1111,,nxyz=，则1100nCQnBC==，即111112303330yzxxy−−+=−=.取11x=，得到平面BCQ的一个法向量()11,3,23n=.设平面BCQ与平面ABCD夹角是

，又因为()20,0,1n=是平面ABCD的一个法向量，则1212123coscos,2nnnnnn===.所以平面BCQ与平面ABCD夹角余弦值是32.解法三：在平面ABCD内，过C作//EFBD

交AD延长线于点E，交AB延长线于点F，因为ABCD是菱形，所以ADDE=.如图4，在平面PAD内，作1//PPAE交EM的延长线于点1P，设1EP交AP于点Q.所以，四边形1EDPP是平行四边形，1PPDE=，1/

/PPDE.所以1QPPQAE△∽△，所以112PPPQAQAE==，所以点Q是线段PA上靠近P的三等分点.如图5，在平面PAB内，作//QTPO，交AB于T，的因为PO⊥平面ABCD，所以QT⊥平面ABCD，所以

QTBC⊥，因为1PO=，2233QTPO==，在平面ABCD内，作TNBC⊥，交BC于点N，连接QN，过A作//AKTN交BC于K，在ABK中，2AB=，60ABK=，所以332AKAB==，所以22333TNAK==，因为QTBC⊥，TNBC⊥，QTT

TN=，且两直线在平面内，所以BC⊥平面QTN，因为QN平面QTN，所以BCQN⊥.所以QNT是二面角ABCQ−−的平面角.在RtQTN中，3tan3QNTQTNT==，所以3cos2QNT=.所以平面

BCQ与平面ABCD夹角的余弦值是32.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com