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第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式A级必备知识基础练1.(多选题)下列各式中,一定成立的有()A.sin8α=2sin4αcos4αB.1-sin2α=(sinα-cosα)2C.sin2α=1-cos2𝛼2D.tan2α=2tan𝛼1+tan2𝛼2.化简tan

14°1-tan214°·cos28°的结果为()A.12sin28°B.sin28°C.2sin28°D.sin14°cos28°3.设sinα=13,2π<α<3π,则sin𝛼2+cos𝛼2=()A.-2√33B.2√33C.43D.-√334.已知等

腰三角形底角的正弦值为√53,则顶角的正弦值是()A.4√59B.2√59C.-4√59D.-2√595.若sin𝛼+cos𝛼sin𝛼-cos𝛼=12,则tan2α=()A.-34B.34C.-43D.436.(2021上海虹口高一期末)已知α∈(0,π),且有1-2sin2α=c

os2α,则cosα=.7.化简:2sin2𝛼1+cos2𝛼·cos2𝛼cos2𝛼=.8.求下列各式的值:(1)2cos2𝛼-12tan(π4-𝛼)sin2(π4+𝛼);(2)2√3tan15°+tan215°;(3)

sin10°sin30°sin50°sin70°.B级关键能力提升练9.(2022甘肃天水高一期末)已知tan𝜃2=23,则1-cos𝜃+sin𝜃1+cos𝜃+sin𝜃的值为()A.23B.-23C.32D.-3

210.已知函数f(x)=cos2𝑥-1cos(2𝑥-π2)(0<𝑥≤π3),则()A.函数f(x)的最大值为√3,无最小值B.函数f(x)的最小值为-√3,最大值为0C.函数f(x)的最大值为√33,无最小值D.函数f(x)的最小值为-√3,无最大值11.4

sin80°-cos10°sin10°=()A.√3B.-√3C.√2D.2√2-312.若α∈(0,π2),且cos2α+cos(π2+2𝛼)=310,则tanα=()A.12B.14C.13D.13或-713.(多选题)下列各式的值为12的是()A.tan22.5°1-tan

222.5°B.tan15°cos215°C.√33cos2π12−√33sin2π12D.√1-cos60°214.(多选题)已知函数f(x)=|sinx||cosx|,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=π2对称B.f(x)的周期为π2C.(π,0)是f(x

)的图象的一个对称中心D.f(x)在区间[π4,π2]上单调递增15.若θ∈[π4,π2],sin2θ=3√78,则cos2θ=;sinθ=.16.化简:√2+√2+2cos𝛼(2π<α<3π)=.17.(2021安徽合肥高一检测)求证:1cos2𝜃-tanθtan2θ=1.18.已知

sinα+cosα=3√55,α∈(0,π4),sinβ-π4=35,β∈(π4,π2).(1)求sin2α和tan2α的值;(2)求cos(α+2β)的值.C级学科素养创新练19.在△ABC中,sinAcosA=sinBcosB,且A≠B.(1)求证:A+B=π2;(2)求si

nA+sinB的取值范围;(3)若(sinAsinB)x=sinA+sinB,试确定实数x的取值范围.第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式1.AC2.A原式=12tan28°cos28°=12sin28°.故选A.3.A∵sinα=13,∴(sin𝛼2+cos𝛼2)2=1+sinα=4

3.又2π<α<3π,∴π<𝛼2<3π2,∴sin𝛼2<0,cos𝛼2<0,∴sin𝛼2+cos𝛼2=-2√33.4.A设底角为θ,则θ∈(0,π2),顶角为π-2θ.∵sinθ=√53,∴cosθ=√1-sin2𝜃=23,∴sin(π-2θ)=sin2θ=2sinθc

osθ=2×√53×23=4√59.5.B等式sin𝛼+cos𝛼sin𝛼-cos𝛼=12左边分子、分母同时除以cosα(显然cosα≠0),得tan𝛼+1tan𝛼-1=12,解得tanα=-3,∴tan2α=2tan𝛼1-t

an2𝛼=34.6.√55由1-2sin2α=cos2α,得1-cos2α=2sin2α,即2sin2α=4sinαcosα.又α∈(0,π),所以sinα≠0,所以sinα=2cosα>0.由sin2α+cos2α=(2cosα)2+c

os2α=5cos2α=1,解得cosα=√55.7.tan2α原式=2sin2𝛼2cos2𝛼·cos2𝛼cos2𝛼=tan2α.8.解(1)原式=cos2𝛼2tan(π4-𝛼)cos2(π2-π4-𝛼)=cos2𝛼2tan(π4-𝛼)c

os2(π4-𝛼)=cos2𝛼2sin(π4-𝛼)cos(π4-𝛼)=cos2𝛼sin(2×π4-2𝛼)=cos2𝛼cos2𝛼=1.(2)原式=√3tan30°(1-tan215°)+tan215°=√3×√33(1-tan215°)+tan215°=1.(3)

(方法1)sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos80°=2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°=sin40°cos40°cos80°4sin20°=

sin80°cos80°8sin20°=116·sin160°sin20°=116.(方法2)令x=sin10°sin50°sin70°,y=cos10°cos50°cos70°.则xy=sin10°co

s10°sin50°cos50°sin70°cos70°=12sin20°·12sin100°·12sin140°=18sin20°sin80°sin40°=18cos10°cos50°cos70°=18y.∵y≠0,∴x=18.从而有sin10°sin30°sin50°sin7

0°=116.9.A∵tan𝜃2=23,∴1-cos𝜃+sin𝜃1+cos𝜃+sin𝜃=2sin2𝜃2+2sin𝜃2cos𝜃22cos2𝜃2+2sin𝜃2cos𝜃2=2sin𝜃2(sin𝜃2+cos𝜃2)2cos𝜃2(cos𝜃2+sin𝜃2)=tan𝜃2

=23,故选A.10.D因为f(x)=cos2𝑥-1cos(2𝑥-π2)=cos2𝑥-1sin2𝑥=-2sin2𝑥2sin𝑥cos𝑥=-tanx,0<x≤π3,所以函数f(x)的最小值为-√3,无最大值.故选D.11.

B4sin80°-cos10°sin10°=4cos10°sin10°-cos10°sin10°=2sin20°-cos10°sin10°=2sin(30°-10°)-cos10°sin10°=2(sin30°cos10°-cos30°sin10°)-cos10

°sin10°=-√3.12.Ccos2α+cos(π2+2𝛼)=cos2α-sin2α=cos2α-2sinαcosα=cos2𝛼-2sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=1-2tan𝛼tan2𝛼+1=310,整理得3tan2α+20t

anα-7=0,解得tanα=13或tanα=-7.又α∈(0,π2),所以tanα=13,故选C.13.ACDA符合,原式=12×2tan22.5°1-tan222.5°=12tan45°=12;B不符合,原式=sin15°·cos15°=12si

n30°=14;C符合,原式=√33·cosπ6=12;D符合,原式=sin30°=12.14.AB因为函数f(x)=|sinx||cosx|=|sinxcosx|=12|sin2x|,画出函数图象,如图所示,由图可知,f(x)的图象的对称轴是直线x

=𝑘π4,k∈Z,所以直线x=π2是f(x)图象的一条对称轴,A正确;f(x)的最小正周期是π2,所以B正确;f(x)是偶函数,其图象没有对称中心,C错误;由图可知,f(x)=12|sin2x|在区间[π4,π2]

上单调递减,D错误.15.-1834∵θ∈[π4,π2],∴sinθ>0,2θ∈[π2,π],∴cos2θ≤0.∴cos2θ=-√1-sin22𝜃=-√1-(3√78)2=-18.又cos2θ=1-

2sin2θ,∴sin2θ=1-cos2𝜃2=1-(-18)2=916,∴sinθ=34.16.2sin𝛼4∵2π<α<3π,∴π<𝛼2<3π2,π2<𝛼4<3π4.∴√2+√2+2cos𝛼=√2+√4cos2𝛼2=√2-2cos𝛼2=√4sin2𝛼4=2

sin𝛼4.17.证明1cos2𝜃-tanθtan2θ=1cos2𝜃−sin𝜃sin2𝜃cos𝜃cos2𝜃=cos𝜃-2sin2𝜃cos𝜃cos𝜃cos2𝜃=1-2sin2𝜃cos2𝜃=cos2

𝜃cos2𝜃=1.18.解(1)由题意得(sinα+cosα)2=95,即1+sin2α=95,∴sin2α=45,又易知2α∈(0,π2),∴cos2α=√1-sin22𝛼=35,∴tan2α=sin2𝛼cos2𝛼=43.(2)∵β∈(π4,π2),β-π4∈(0,π

4),sin(𝛽-π4)=35,∴cos(𝛽-π4)=45,∴sin2(𝛽-π4)=2sin(𝛽-π4)cos(𝛽-π4)=2425.又sin2(𝛽-π4)=-cos2β,∴cos2β=-2425.又易知2β∈(π

2,π),∴sin2β=725.又cos2α=1+cos2𝛼2=45,∴cosα=2√55,∴sinα=√55,∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=2√55×(-2425)−√55×725=-11√525.19.(

1)证明因为sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,解得2A=2B或2A+2B=π,即A=B,或A+B=π2.又A≠B,所以A+B=π2.(2)解由(1)可知A+B=π2,故sinA+

sinB=sinA+sin(π2-𝐴)=sinA+cosA=√2sin(𝐴+π4).由题意可知0<A<π2,所以π4<A+π4<3π4,所以1<√2sin(𝐴+π4)≤√2,故sinA+sinB的

取值范围是(1,√2].(3)解由题意可知sinAsinB≠0,所以x=sin𝐴+sin𝐵sin𝐴sin𝐵=sin𝐴+cos𝐴sin𝐴cos𝐴,设sinA+cosA=t∈(1,√2],则t2=1+2sinAcosA,故sinAcosA=𝑡2-12,代

入得x=𝑡𝑡2-12=2𝑡𝑡2-1=2𝑡-1𝑡≥2√2-1√2=2√2,