【文档说明】【精准解析】专题39空间几何体的表面积与体积-（文理通用）【高考】.docx，共(39)页，4.735 MB，由小赞的店铺上传

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专题39空间几何体的表面积与体积最新考纲了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.基础知识融会贯通1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆

锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4π

R2V＝43πR3【知识拓展】1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球

为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(

3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.重点难点突破【题型一】求空间几何体的表面积【典型例题】在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（）A．B．6πC．D．【解答】解：△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体

一个大圆锥去掉一个小圆锥，因为AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，所以OA，AB＝2所以所形成的几何体的表面积是故选：A．【再练一题】如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．【解答】解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一

半球面S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π．故所求几何体的表面积为68π由，所以，旋转体的体积为思维升华空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔

接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．【题型二】求空间几何体的体积命题点1以三视图为背景的几何体的体积【典型例题】设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．【解答】解：该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高

为2，故所求体积为，表面积为．【再练一题】如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．πB．C．D．【解答】解：由三视图可知几何体是有四分之一个球与一个半圆柱组成，圆柱的底面半径与球的半径相同为：1，圆柱的高

为2，组合体的体积为：．故选：B．命题点2求简单几何体的体积【典型例题】正四棱锥P﹣ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是（）A．1：4B．3：8C．1：

2D．2：3【解答】解：如图，棱锥A﹣B1CD1的体积可以看成是正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，∵B1为PB的中点，D1为PD的中点，∴棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣ACD的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，棱锥C﹣PB1D1，的体积与

棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积V＝正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3个正四棱锥P﹣ABCD的体积个正四棱锥P﹣ABCD的体积，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．故选：A．【再练一题】一个正三棱锥的

底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（）A．B．C．D．【解答】解：设球的半径为r；正三棱锥的底面面积，h＝2r，．所以故选：A．思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若

所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．【题型三】与球有

关的切、接问题【典型例题】在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．8πB．C．D．【解答】解：如图，由PA＝PB＝PC＝2，过P作PG⊥平面ABC，垂足为G，则G为三角形ABC的外心，在△ABC中，由AB＝AC＝1，

BC，可得∠BAC＝120°，则由正弦定理可得：2AG，即AG＝1．∴PG．取PA中点H，作HO⊥PA交PG于O，则O为该三棱锥外接球的球心．由△PHO∽△PGA，可得，则PO．即该棱锥外接球半径为．∴该三

棱锥外接球的表面积为，故选：B．【再练一题】在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B﹣AC﹣D的余弦值为，则所得三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为（）A．B．πC．D．【解答】解：如下图所示，易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC

，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．因为在△BDN中，，所以，BD2＝BN2+DN2﹣2BN•DN•cos∠BND，则BD＝2．故三棱锥A﹣BCD为正四面体，则其内切球半径．因此，三棱锥A﹣BCD的内切球

的表面积为．故选：C．思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2

)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．基础知识训练1．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知半径为2的球内有一

个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（）A．43B．916C．34D．169【答案】D【解析】设圆柱的底面圆半径为r，则22213r=−=，所以圆柱的体积()21326V==.又球的体积32432233V==，所以球的体积与

圆柱的体积的比213216369VV==，故选D.2．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷)】四棱锥PABCD−的底面为正方形ABCD，PA⊥底面ABCD，2AB=，若该四棱锥的所有顶点都在体积为9

2的同一球面上，则PA的长为（）A．3B．2C．1D．12【答案】C【解析】解：连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，可得211822RPCPA=

=+，可得324198322PA+=，解得PA=1,故选C.3．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，//ADBC，2ABDCAD===，4BCPA==

，PA⊥面ABCD，则球O的体积为（）A．6423B．1623C．162D．16【答案】A【解析】取BC中点E，连接,,AEDEBD//ADBC且12ADBCEC==四边形ADCE为平行四边形AEDC

=，又12DCBC=12DEBC=AEDEBEEC===E为四边形ABCD的外接圆圆心设O为外接球的球心，由球的性质可知OE⊥平面ABCD作OFPA⊥，垂足为F四边形AEOF为矩形，2OFAE==设AFx=，OPOAR==则()22444xx+−=+

，解得：2x=4422R=+=球O的体积：3464233VR==本题正确选项：A4．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马PABCD−中，PC为阳马PABCD−中最长的棱，1,2,3ABADPC

===，若在阳马PABCD−的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（）A．127B．427C．827D．49【答案】C【解析】根据题意，PC的长等于其外接球的直径，因为222PCPAABAD

=++，∴2314PA=++，∴2PA=，又PA⊥平面ABCD，所以314431223332PABCDVV−===球，，∴3483274332P==.5．【北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三

】在正方体1111ABCDABCD−中，动点E在棱1BB上，动点F在线段11AC上，O为底面ABCD的中心，若1,BExAFy==，则四面体OAEF−的体积()A．与,xy都有关B．与,xy都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关【

答案】B【解析】因为VO－AEF＝VE－OAF，所以，考察△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值，因为BB1∥平面ACC1A1，所以，点E到平面AOE的距离为定值，又AO∥A1C1，所以，OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，即△AOF的面积是定值，所

以，四面体OAEF−的体积与,xy都无关，选B。6．【北京市东城区2019届高三下学期综合练习（二模)】鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作.下图是经典的六柱鲁班锁及六个

构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为A．334000mmB．333000mmC．332000mmD．330000mm【答案】C【解析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为2

0，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm3）．故选：C．7．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】已知点,,,ABCD在同一个球的球面上，22ABBCA

C===，，若四面体ABCD外接球的球心O恰好在侧棱DA上，23DC=，则四面体ABCD的体积为（）A．33B．32C．233D．3【答案】C【解析】由22ABBCAC===，，可知2ABC=，取AC的中点M，则点M为ABC外接圆的圆心，又O为四

面体ABCD外接球球心，所以OM⊥平面ABC，且OM为ACD的中位线，所以DC⊥平面ABC，故三棱锥DABC−的体积为11232223323V==．故选：C．8．【江西省新八校2019届高三第

二次联考】在三棱锥ABCD−中，AB⊥面,4,25,2BCDABADBCCD====，则三棱锥ABCD−的外接球表面积是（）A．25B．20C．5D．5【答案】B【解析】因为AB⊥面BCD，所以ABBD⊥，又4,25ABAD==，解得：2BD=，又2BC

CD==，满足222BDCDBC=+，所以BCCD⊥.由此可得三棱锥ABCD−是长方体中的一个几何体，如下图：长方体的外接球就是三棱锥ABCD−的外接球，长方体的体对角线长就是外接球的直径，即2222(2)(

2)420R=++=，所以三棱锥ABCD−的外接球表面积是：2420SR==故选B9．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】在一个圆锥内有一个半径为R的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体

积的最小值为92，则R=（）A．1B．3C．2D．23【答案】B【解析】几何体如图一所示：其正视图如图二所示设圆锥的底面圆心为O,半径为r，高为h,则OA=h,22rhhrR=+又圆锥体积223222222111V333hRh

rhhRhRhRppp===--令()fh=()322213hRhRhRp>-，则()()()222'2222313hhRfhRhRp-=-当()()''0,3;0,3fhhRfhRhR>?<?<，故()fh在()3,R+?单调递增，在()3RR，单调递减，故()fh在3hR=取得最

小值，此时42min221393,3332RVRRRRRpp==?-故选：B10．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试】在四面体PABC−中，ABC△是边长为3的等边三角形，3PA=，4PB=，5PC=，则四面体PABC−的体积为（）A．3B．23C．11D．10【

答案】C【解析】如图，延长CA至D，使得3AD=，连接,DBPD，因为3ADAB==，故ADB为等腰三角形，又180120DABCAB=−=，故()1180120302ADB=−=，所以90ADBDCB+=

即90DBC=，故CBDB⊥，因为4,5,3PBPCBC===，所以222PCPBBC=+，所以CBPB⊥，因DBPBB=，DB平面PBD，PB平面PBD，所以CB⊥平面PBD，所以13PBDPCBDCPBDVVCBS−−==

三棱锥三棱锥，因A为DC的中点，所以1113262PBDPBDPABCPCBDVVSS−−===三棱锥三棱锥，因为3DAACAP===，故PDC为直角三角形，所以22362511PDCDPC=−=−=，又333DBAD==，

而4PB=，故222DBPDPB=+即PBD为直角三角形，所以14112112PBDS==，所以11PABCV−=三棱锥，故选C.11．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】设O是正

四面体PABC−底面ABC的中心，过O的动平面与PC交于,S与,PAPB的延长线分别交于,,QR则111||||||PQPRPS++()A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值，且两者不相等D．是一个

与平面QRS无关的常数【答案】D【解析】设正三棱锥PABC−中,各侧棱两两夹角为,PC与面PAB所成角为,则111sinsin332SPQRPQRShPQPRSVP−==.另

一方面,记O到各面的距离为d,则SPQROPQROPRSOPQSVVVV−−−−=++,即11113333PQRPQRPRSPQSSdSdSdSd=++111sinsinsin323232dddPQPRPSPRPQPS=+

+,故有:sin()PQPRPSdPQPRPRPSPQPS=++,即111sinPQPRPSd++==常数，故选D.12．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】若圆锥1SO

，2SO的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为4，42，则这两个圆锥公共部分的体积为（）A．8π3B．8πC．56π3D．56163π3+【答案】A【解析】易得12,,,S

OOO在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示.11AB是圆锥1SO底面圆的直径，22AB是圆锥2SO底面圆的直径，两直径都与OS垂直.在1OAS△中，114,4SAOAOS===，则可得112OOOS==.在2OAS△中，2242,4SAOAOS===，则

22222SAOAOS=+，则2OAOS⊥.又222OAOS⊥，所以点2,OO重合.这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，其底面半径为12122OCOA==，高为12OS=，所以所求

体积为218π22π33V==.故选A.13．【天津市部分区2019届高三联考一模】已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________.【答案】2【解析】将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所

围成的几何体为一个组合体，该组合体由两个同底的圆锥组成，两个圆锥的底面半径为3，高为1，体积为()2123123=.故答案为2.14．【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试】已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为2的球面上，且圆

锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为_____．【答案】23【解析】如图，圆锥的母线长=2PB，球的半径2OPOB==，∴PAB△为等边三角形，又∵OPAB⊥，∴3AB=，1OP=，∴圆锥的侧面积为3223S==，故答案为23.15．【天津市部分区2019届高三联考

一模】圆柱的体积为34，底面半径为32，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为____________.【答案】43【解析】设圆柱的高为h，圆柱体积为34，底面半径为32，233

24h=，1h=，设球半径为R，则()()222231R=+，244R=，可得1R=，球的体积为34433R=，故答案为43.16．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第

二次模拟考试】如图所示，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，,MN为线段BC，1CC上的动点，过点1,,AMN的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是______①当0BM=且0CN1

时，S为等腰梯形；②当,MN分别为BC，1CC的中点时，几何体11ADMN的体积为112；③当M为BC中点且34CN=时，S与11CD的交点为R，满足116CR=；④当M为BC中点且01CN剟时，S为五边形；⑤当13BM=且1CN=时，S的面积63.【答案】①②【解析】对于①，画出图像如下图所示

，过N作1//NNAB，交11CD于1N，截面为1ABNN，由于111////NNCDAB，所以11CNDN=，故111BCNADN，所以11BNAN=，即截面S为等腰梯形.故①正确.对于②，以

D为空间坐标原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴，建立空间直线坐标系，则()()11111,0,1,0,0,1,0,1,,,1,022ADNM,则()11111,0,0,0,1,2DADN==−,11,0,22MN=−.设平

面11ADN的法向量为(),,nxyz=，则1110102nDAxnDNyz===−=，令1y=，则2z=，故()0,1,2n=.则点M到平面11ADN的距离为15nMNhn==.而1111110,DADNDADN=⊥，故111111115111

3262125MADNVDADNh−===，故②命题正确.对于③，延长MN交11BC的延长线于P，连接1AP交11CD于R，由于1//CPCM，所以113PCCM=，故116PC=.由于111//CRAB，所以111111161716CRPCABPB===+,故117CR

=，故③判断错误.对于④，当0CN=时，截面S为三角形1ABC，故④判断错误.对于⑤，延长1CN,交1BB的延长线于Q，连接1AQ,交AB于P，则截面S为四边形11APMC.由于11////PMACA

C,所以11113QMBMQCBC==，面积比等于相似比的平方，即1119QPMQACSS=，故111189PMCAQACSS=.在三角形11QAC中，1111132,2ACQAQC===,边1

1AC上的高为221111142ACQA−=,故11111222224QACS==,所以111189PMCAQACSS=822222949==.综上所述，本小题正确的命题有①②.17．【山东省栖霞市2019届高

三高考模拟卷（新课标I)】如图，多面体ABCDEF中，ABCD是菱形，60ABC=，FA⊥平面ABCD，//EDFA，且22ABFAED===.（1）求证：平面FAC⊥平面EFC；（2）求多面体ABCDEF的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）533.【解析】（1）证明：连接BD交AC于O

，设FC中点为P,连接OP，EPO，P分别为AC，FC的中点//OPFA,且12OPFA=//OPED且OPED=四边形OPED为平行四边形//ODEP,即//BDEPFA⊥平面ABCD，BD平面ABCDFABD

⊥四边形ABCD是菱形BDAC⊥FAACA=BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC又EP平面EFC平面FAC⊥平面EFC（2）11323423343FABCABCVSFA−===平面ADEF⊥平面ABCDC到平面

的距离为332CD=()12213332CADEFV−+==533ABCDEFFABCCADEFVVV−−=+=18．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模】如图，在多面体EFABCD

中，//ABCD，ABBC⊥，EB⊥平面ABCD，//BEDF，244CDBCAB===，24BEDF==．（Ⅰ）求证：ACEF⊥；（Ⅱ）求三棱锥ACDF−的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）83【解析】（Ⅰ）EB⊥平面ABCD，AC平面

ABCDEBAC⊥，//ABCD90ABCBCD==又244CDBCAB===12ABBCBCCD==ABCBCD则CABDBC=90ABDDBC+=90ABDCAB+=ACBD⊥又EBBDB=AC⊥平面D

BEF又EF平面DBEFACEF⊥（Ⅱ）三棱锥ACDF−的体积：1111833323ACDFFADCADCBDCVVSDFSDFBCCDDF−−=====19．【广东省2019届高三适应性考试】如图，在直三棱柱111ABCABC−中，底面ABC为等腰直

角三角形，2ABBC==，13AA=，P为11BC的中点，Q为1BB的三等分点（靠近1B）点.（1）求三棱锥PAQC−的体积；（2）在线段11AC上找点M，使得1//BM平面APQ，写出作图步骤，但不要求证明.【答案】(1)43PAQC

V−=(2)见解析【解析】(1)由题知11ABBCCB⊥面依题意得11422333PAQCAPQCPQCVVSAB−−====(2)如图，在平面11ABBA内，过点1B作1//BEAQ交1AA于点E，连结1AP，在1PAA中，作//EFAP交1AP于点F，连结1BF并延长交11AC

于点M，则1BM为所求作直线.20．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，三棱柱111ABCABC−中，平面11ACCA⊥平面ABC，1AAAC=，90ACB=.（1）求证

：平面11ABC⊥平面11ABC；（2）若160AAC=，22ACCB==，求四棱锥11ABCCB−的体积.【答案】（1）见解析；（2）233【解析】（1）平面11ACCA⊥平面ABC，平面11ACCA平面ABCAC=，BC平面ABC，90ACB=BC⊥平面1

1ACCA1AC平面11ACCA1BCAC⊥11//BCBC111ACBC⊥四边形11ACCA是平行四边形，且1AAAC=四边形11ACCA是菱形11ACAC⊥1111ACBCC=1AC⊥平面11ABC又1AC平面11A

BC平面11ABC⊥平面11ABC（2）四边形11ACCA是菱形，160AAC=，2AC=1122sin6032ACCS==11//BCBC，11BCBC=，BC⊥平面11ACCA，1BC=1111111

331333BACCACCVSBC−===，11111123223ABCCBACCBBACCVVV−−−===即四棱锥11ABCCB−的体积为23321．【云南省陆良县2019届高三上学期第一次摸底考试】如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，//ADBC

，ADCD⊥，且22ADCD==，42BC=，2PA=，点M在PD上．（1）求证：ABPC⊥；（2）若12PMMD=，求三棱锥MPBC−的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）169.【解析】证明：（1）取BC中点E，连结AE，则ADEC=，//ADEC，四边形AECD为平行

四边形，ADCDAEBC⊥⊥，又22AEBEEC===，45ABCACB==，ABAC⊥，又PAABCDABPA⊥⊥平面，ACPAA=，AB⊥平面PAC，ABPC⊥．解：（2）12PMMD=，13PMPD=，三棱锥MPB

C−的体积为：11111116224223333929MPBCDPBCPBCDBCDVVVSPA−−−=====．22．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】如图所示，四棱锥ABCDE−中，BECD∥，BE⊥平面ABC，32CDBE=，点F

在线段AD上.（Ⅰ）若2AFFD=，求证：EF平面ABC；（Ⅱ）若ABC为等边三角形，3CDAC==，求四棱锥ABCDE−的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1534【解析】（Ⅰ）取线段AC上靠近C的三等分点G，连接BG，GF.因为23AGAFACAD==，

则23GFCDBE==.而GFCD，BECD∥，故GFBE.故四边形BGFE为平行四边形，故EFBG∥.因为EF平面ABC，BG平面ABC，故EF平面ABC.（Ⅱ）因为BE⊥平面ABC，BE平面BCDE，所以平面

ABC⊥平面BCDE.所以四棱锥ABCDE−的高即为ABC中BC边上的高.BC边上的高为333322=.故四棱锥ABCDE−的体积1133153(23)33224V=+=.能力提升训练1．【新疆乌鲁木齐地区2019届高三第三次质量

检测】正方体的全面积是6.它的顶点都在球面上，这个球的表面积是()A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体的棱长为，则，故，又其外接球的直径，所以，所以，故选B.2．【东北三省三校2019届高三第三次模拟考试】已知四面体中，平面平面，为边长2的

等边三角形，，，则四面体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解:取BD中点M,因为为边长2的等边三角形,所以,且.又因为平面平面且交线为BD,所以,而且是等腰直角三角形,且面积为2,所以,故答案为A.3．【辽宁省大连市20

19届高三第二次模拟考试】已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，底面半径；圆锥的高圆锥体积本题正确选项：4．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】直三棱柱的所有棱长均为，则此三棱柱的外接球的表

面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由直三棱柱的底面边长为，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r，又由直三棱柱的侧棱长为，则球心到圆O的球心距d，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角

三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2＝r2+d2，∴外接球的表面积S＝4πR2．故选：C．5．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试】如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，将分别沿折起，使得三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A．B．C．D

．【答案】B【解析】由题意可知△是等腰直角三角形，且平面．三棱锥的底面扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：．球的半径为，球的表面积为．故选：．6．

【天津市河北区2019届高三二模】已知四面体的四个面都为直角三角形，且平面，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为直角三角形又平面平面平面由此可将四面体放入边长为的正方体中，如下图所示：正方体的外接球即为该四面体的外接球

正方体外接球半径为体对角线的一半，即的表面积：本题正确选项：7．【山东省聊城市2019届高三三模】如图，三棱台ABCEFG−的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，2CBGF=，BFCF=.（1）求证：ABCG⊥；（2）若ABC和梯形BCGF的面

积都等于3，求三棱锥FBEG−的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）16.【解析】（1）由ABCEFG−是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，从而BCFG∥.取BC的中点为D，连结DF.∵2CBGF=，∴//CDGF，∴四边形CDFG为平行

四边形，∴CGDF.∵BFCF=，D为BC的中点，∴DFBC⊥，∴CGBC⊥.∵平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG平面BCGF，∴CG⊥平面ABC，而ABÌ平面ABC，∴CGAB⊥.（2）∵正三角形ABC的面积为3，∴2BC=，1GF=.∴正三角形EFG的面积34

EFGS=.∵梯形BCGF的面积等于3，∴梯形BCGF的高233h=.∴BEG13FBEFGEFGVVSh−−==132313436==.8．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】在梯形ABCD中(图1)，//ABCD，2AB=，5=CD，过A、B分

别作CD的垂线，垂足分别为E、F，且2AEDE=，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，使得CFFE⊥，且//DECF，得空间几何体ADEBCF−(图2).直线AC与平面ABFE所成角的正切值是55.（1）求证：//BE平面ACD；（2

）求多面体ADEBCF−的体积.【答案】(1)见证明；(2)103【解析】（1）连接BE交AF于点O，取AC的中点H，连接OH，DH，因为四边形ABFE为矩形，则OH是AFC的中位线，所以//OHCF且12OHCF=，由已知得//DECF且12DECF=，所以//DEOH且DEOH=，所以四边

形DEOH为平行四边形，//DHEO，又因为EO平面ABFE，DH平面ABFE，所以//DE平面ACD.即//BE平面ACD；（2）由已知CFFE⊥，CFBF⊥，EFBFF=，可得CF⊥平面BEF，又CF平面CDEF，所以平面CDEF⊥平面BEF，又AEEF⊥，所以

AE⊥平面CDEF，设DEx=，2AEx=，3CFx=−，因为直线AC与平面ABEF所成角的正切值是55，所以2235tan5(2)(5)CFxCAFAFxx−===+−，解得：1x=，44ABFESx==，1212CDESxx===，1110421233

3ADEBCFACDECABFEVVV−−−+==+=.9．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模)】如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，3ABC=，M是PC的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面MBD；（2）若PBPD⊥，

三棱锥PABD−的体积为63，求四棱锥PABCD−的侧面积．【答案】(1)见证明；(2)2(52)+【解析】（1）∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴PABD⊥，又∵底面ABCD是菱形，∴BDAC

⊥，又∵PAACA=，PA平面PAC，AC平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又∵BD平面MBD，∴平面PAC⊥平面MBD.（2）设菱形ABCD的边长为x，∵3ABC=，∴23BAD=，在ABD中，2222cosBDADABADABBAD=+−22212232xxx=−−

=，∴3BDx=，又∵PA⊥平面ABCD，ABAD=，PBPD⊥，∴62PBPDx==，∴22223222PAPBABxxx=−=−=，又1sin2ABDSABADBAD=22123sin234xx==，∴13ABDPABDVSPA−=三棱锥213263423xx=

=，∴2x=，∴2PA=，6PBPD==，∵3ABC=，∴2ACAB==.又∵PA⊥平面ABCD，∴6PCPB==，∴四棱维PABCD−的侧面积等于22PABPBCSS+2112222(6)122

2=+−2(52)=+10．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】如图，直三棱柱111ABCABC−中，15,2,22CCABBCAC====，点M是棱1AA上不同于1,AA的动点，(1)证明：1BCBM⊥;(2)当

90CMB=时，求平面1MBC把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比。【答案】（1）详见解析；（2）23.【解析】(1)在ABC中，因为2228ABBCAC+==，所以90ABC=，所以BCAB⊥,又在直三棱柱111ABCABC−中，11,BCBBBBABB⊥=,所以BC⊥平面

11ABBA,又因为1BM平面11ABBA,所以1BCBM⊥.（2）设AMh=，则15AMh=−，所以22222211118,4(5)MCAMAChBMABAMh=+=+=+=+−,22111129BCBCCC=+=,因为90CMB=

，所以22211MCBMBC+=，即2284(5)29hh+++−=，解得1h=，在四棱锥111BMCCA−中，取11AC中点N，连接1BN，则1BN⊥平面11ACCA,且12BN=所以体积为1111111111

()(45)22263232VAMCCACBN=+=+=，又由直三棱柱111ABCABC−的体积为11225102ABCVSAA===,所以分成两部分的体积比为11106263VVV−−==，所以平面1MBC把此棱柱分成的两部分几

何体的体积之比23.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com